引言
函数最早出现于17世纪，之后人们逐渐将某些具有特殊性质的函数称之为特殊函数。从20世纪开始，对特殊函数理论及应用的研究越来越深入，并且对物理学等其它科学领域的渗透也越来越深入。简单理解，特殊函数是一些和“对称性”有关的函数。特殊函数包括“特殊函数”的书中出现的那些函数，当然也包括一些“耳熟能详的”，比如指数、对数、三角函数和一些退化为多项式的特殊函数；“对称”包括但不限于李代数、量子群及其表示。伴随着现代科学的不断发展，特殊函数对很多相关领域的研究有着重要的作用，特殊函数理论正伴随着当今飞速发展的科技越来越被人们所重视。
本文较为详细的研究了数学分析中所涉及到的几个特殊函数，主要总结了它们的性质及应用，例如Beta函数、Gamma函数、黎曼函数以及狄利克雷函数。随着对这些特殊函数的定义和性质的深入研究，发现了它们不仅在数学分析这门学科中有着至关重要的作用，而且在其它相关学科概率论、微积分、统计学等领域都有很深的影响。因此研究这些特殊函数的性质，以及其在实际生活中的广泛应用，对进一步研究和学习数学分析和相关学科都有着十分重要的意义。
1伽马(Gamma)函数和贝塔(Beta)函数的性质及应用
1.1伽马(Gamma)函数和贝塔(Beta)函数的定义
定义1.1.1设含有参量的积分：
称为Gamma函数。
定义1.1.2设含有参量的积分：
称为Beta函数。
当时，是无界函数反常(瑕)积分，瑕点为；当时，是无界函数反常(瑕)积分，其瑕点为。
1.2伽马(Gamma)函数和贝塔(Beta)函数的性质
性质1.2.1在定义域内连续且可导。Gamma函数可写成两个积分之和，即：
当时是正常积分；当时是收敛的无界函数非正常积分；当时是收敛的无穷限非正常积分。在任何闭区间上，对于函数，当时有，由于积分收敛，从而在上一致收敛；对于函数，当时有，由于收敛，从而在上也一致收敛。又由于在任何闭区间上一致收敛，于是在上可导，由a和b的任意性可得在上可导，且有：
性质1.2.2 Gamma函数存在递推关系：
性质1.2.3 Gamma函数存在如下的等式关系：
性质1.2.4 Gamma函数的Euler无穷乘积公式：
性质1.2.5 Gamma函数与三角函数的关系：
性质1.2.6 Gamma函数的乘积公式：
性质1.2.7 Gamma函数的对数微商：
性质1.2.8 Gamma函数存在Legendre加倍公式：
性质1.2.9对于Gamma函数，令，则有：
令，，则有：
性质1.2.10 Beta函数在定义域，内连续，有连续的偏导数。由于对任何，，不等式
成立，而积分收敛，故由维尔斯特拉斯M判别法知在，上一致收敛，从而在，内连续，并且其偏导数也具有连续性。
性质1.2.11对称性，即：
性质1.2.12 Beta函数存在递推关系：
如果m，n都是自然数，则：
性质1.2.13对于Beta函数，令，则有：
性质1.2.14两类特殊函数的关系：
1.3伽马(Gamma)函数和贝塔(Beta)函数的应用
例1.3.1计算，
解：
例1.3.2计算
解：根据Gamma函数和Beta函数的性质可得：
例1.3.3证明
证明：令,则，所以：
即：
例1.3.4已知，试证
解：
例1.3.5计算定积分，其中.
解：首先做变元替换，令，于是得到：
例1.3.6求积分
解：
其中令，则有：
令，则上式可以转化为：
例1.3.7计算，其中。
解：根据性质1.2.13和性质1.2.14可得：
例1.3.8计算
解：令，则：
例1.3.9利用正则变换的方法将二重积分计算问题转化为特殊函数的计算问题。
设变换
满足如下条件：
(1)D与D′之间关于T是一一对应关系；
(2)在D′上，具有一阶的连续偏导数，其逆变换和在D上具有一阶的连续偏导数；
(3)T的Jacobi行列式在D′上恒不为零．满足上述要求的变换T称为正则变换，且有：
计算：
其中D是由及这3条直线所围成的闭区域，
解：作变换
则：
此变换将区域D映照成正方形：于是有：
例1.3.10计算积分
解：
例1.3.11计算积分
解：设，则可以得到：
例1.3.12设随机变量服从瑞利分布，其概率密度为：
求。
解：
,
令，则：
令，则可以得到：
,
例1.3.13由统计物理学知，分子运动速度的绝对值服从麦克斯韦尔分布，其概率密度为
求分子的平均动能及动能的方差（设分子质量为m）。
解：设随机变量表示分子的动能，则，那么要求的是
因为：
令，则可以得到：
所以:
因此平均动能:
动能方差:
2狄利克雷(Dirichlet)函数的性质及应用
2.1狄利克雷(Dirichlet)函数的概念
定义2.1.1对，令
则称函数为狄利克雷函数，其定义域为实数集R。
定义2.1.2对，令
则称函数为狄利克雷拓展函数，其定义域为实数集R。
2.2狄利克雷(Dirichlet)函数的性质
性质2.2.1与以任意正有理数r为周期，但是对于任何的无理数都不是或的周期。
性质2.2.2与在实数集的任何区间上都不具有单调性。
性质2.2.3与都是有界函数。
性质2.2.4与都是偶函数。
性质2.2.5与在R上处处不连续。
性质2.2.6，有
及
都不存在。
性质2.2.7与在任何区间上非R可积。
2.3狄利克雷(Dirichlet)函数的应用
2.3.1可以用来判定命题真伪
例2.3.1.1判断命题：函数f和函数g都是不连续的，则与也是不连续的真假，并证明.
证：该命题显然是错误的。
令，,可知f，g都是实数上处处不连续的函数，但，均为常函数，当然都是连续函数。
例2.3.1.2判断命题：f为非有界变差函数，则和也是非有界变差函数的真假，并证明。
证：该命题显然是错误的。
在上令，则f为非有界变差函数。事实上，设上的划分：
其中当i取偶数时，为有理数；当i取奇数时，为无理。这时
随着划分的无限细密，趋于无穷大，即是一无界集，所以f为非有界变差函数，而为常数函数，对于上的一切划分T，均有
所以和都是有界变差函数，且
2.3.2处理直观上可能存在的错觉
例2.3.2.1“勒贝格(L)可积与黎曼(R)可积等价”的反例。
例如，在上定义，则f在上非R可积，但却是L可积的。首先，为有界函数，区间为可测集，即为可测集上的有界函数，，取的分划D，满足D=，为有理数集，为无理数集，则
所以在上是勒贝格可积的。
例2.3.2.2“函数仅在一点连续这种情况不存在”的反例
例如，令，因为，所以，在处连续，但当时，因为不连续，所以不连续。
2.3.3.证明定理的条件与结论的不可替代性
例2.3.3.1“逐项求导的富比尼(Fubini)定理”中函数列中的各个函数的单调性不可或缺。
例如，设中全体有理数为,对每个，在上定义
显然，对每一n，函数除点外恒等于零，但不是单调函数。另一方面，易知
由于在上处处不连续，所以处处不可导。
例2.3.3.2列维(Levi)单调收敛定理对黎曼积分是不成立的。
例如，设中全体有理数为,令
其中
则是上非负递增的R可积函数列。因为
而在上是黎曼不可积分的。因此Levi单调收敛定理对于黎曼积分是不成立的。
3黎曼(Riemann)函数的性质及应用
3.1黎曼(Riemann)函数的概念
定义3.1.1黎曼函数是定义的特殊函数，其表达式如下：
R
3.2黎曼(Riemann)函数的性质
性质3.2.1(奇偶性)黎曼函数是R上的偶函数。
证明：若，设，则，故：
若，则，则
故R是R上的偶函数。
性质3.2.2(周期性)黎曼函数是周期函数，且是它的一个周期。
证明：若，设，且,则
,
故
若，则，则
故是R上的周期函数，且T=1是它的一个周期。
性质3.2.3黎曼函数在无理点上是连续的，以有理点为可去间断点。
证明：若为有理数，任意取定，满足的自然数只有有限个，从而在中至多只有有限个，使
因此存在，使不含上述有限个有理数。即当时，
即：
而，故在间断，且为可去间断点。若为无理数，，同上述分析，，当时，
故在连续。综上，在无理点上连续，在有理点上间断。
性质3.2.4(可微性)在R上处处不可导
证明：只需证在无理点处不可导。设为任一无理点。，且
使得：
下面只需证明存在某个有理点的点列收敛于，使得上述极限不为0即可。
因为为无理数，可用无限不循环小数表示。截取前n位小数，令，则
注意有无穷多项不为0.记第一个不为0的下标为N，按的定义，当时，有。故
综上，在R上处处不可导。
性质3.2.5(黎曼积分)黎曼函数在可积且.
证明：任给正数。由于内满足，即的有理数只有有限个(设为m个)，所以对的任意分割T,T中包含这类点的小区间至多个，在其上，因此，当时，满足的那些小区间的总长
由可积准则知在可积。
对于的任一分割：
T：
取为上的无理数，由定义知：
性质3.2.6(L-积分)黎曼函数在上Lebesgue可积，且
证明：是有界函数，且在上Lebesgue可积，由黎曼积分与L-积分的关系知：
性质3.2.7 R在任意点，且极限值
性质3.2.8 R在区间上不存在原函数，而且在上的任何一个区间都不存在原函数。
3.3黎曼(Riemann)函数的应用
例3.3.1证明R在区间内所有无理点及连续，但在内所有有理点不连续。
证明：由性质1可以知道，若为区间的无理点或者0，1，则由于：
因此由定义R在连续（其中在右连续，并且在左连续）；若为区间的有理点，则由于：
因此由定义在处不连续，并且是R的可去间断点。
例3.3.2证明在区间可积，并且
证明：对，，因为在上使得R的点至多有有限个，所以设有N个，则对区间的任何分割T，属于T的振幅的所有小区间的个数，现在取的一个分割T，使得，则属于T的振幅的所有小区间的总长
由可积的充要条件在区间可积。
有对的任何分割T，在T所属的每一个小区间上均取介点作为无理点，作积分和可以得到:
因为在区间可积，因此由定积分定义可以得到:
结论
本文比较详细的研究了Gamma函数、Beta函数、黎曼函数和狄利克雷函数这四个在数学分析中所涉及到的特殊函数，总结了它们的独特性质及在实际问题中的广泛应用。对于传统的方法如换元积分法和分部积分法等并不是万能的，有时甚至可能会使问题复杂化，以至于根本无法求解。通过对几类特殊函数相关性质的研究，发现了一个可以简单快速的求解积分的方法，可以把积分运算问题中的积分转化为特殊函数，将积分运算问题转化为特殊函数的运算问题，从而可以使原本很复杂的问题变得简单且易于求解，提高效率。狄利克雷函数和黎曼函数而言数学领域中的一种构造函数，也存在着很多的特殊的性质。这些特殊性质可以帮助证明很多难以证明的命题的真假，例如可以用来纠正直观上可能产生的错觉以等。正因为它们的这些特殊性质才使得其在数学这门学科的发展过程中起着非常重要的作用。
通过本文的研究我发现这些特殊函数不仅对数学分析这门学科的理论的发展起着至关重要的作用，并且在概率论、统计学、数论、实变函数等学科中都有着举足轻重的地位。它们甚至对物理学，工程力学等其它科学领域的渗透也越来越深入，已经成为研究这些领域所不可或缺的重要工具。因此对特殊函数性质的研究不仅可以推动数学甚至是整个科学技术的发展。对特殊函数的进一步研究无论在理论上还是应用上都具有十分重要的意义。
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