引言
运筹学是上世纪三十年代初发展起来的一门学科，其主要目的是在决策时为管理人员提供科学依据，是实现有效管理。而线性规划是运筹学中的一个重要分支。本题目主要是研究利用运筹学中线性规划分析在市场调查问题中分配合理的方案，在满足高效率的情况下使得调查费用最小达到最优分配。首先，建立数学模型，用数学符号和式子表述决策变量，构造目标函数、确定约束条件。其次，从实际问题出发用lingo软件求出最优解。最后通过灵敏度分析讨论模型中各种参数的变化对最优解的影响程度等。
1.问题概述
1.1基本情况
某市场调查公司接收委托进行市场调查，调查消费者对某种新产品的了解和反应情况。委托方对市场调查公司提出要求如下：
(1)要求调查家庭的数量共500个；
(2)在被调查的所有家庭中，其中最少调查200个有孩子的家庭和没有孩子的家庭；
(3)在被调查的所有家庭中，采用问卷式书面调查的家庭不超过300个；
(4)在被调查有孩子的家庭中，问卷式书面调查的数量最少占比50%；
(5)在被调查家庭没有孩子的中，问卷式书面调查的数量最少占比60%；
各调查方式调查各个家庭的费用如下表1。
家庭类型调查费用
问卷式口头调查
有孩子50 30
没孩子40 25
表1
1.2问题提出
问题一：帮调查公司设计一套调查方案，使得满足客户要求的前提下，总调查费用最小。
问题二：给出同类一般问题的模型。
问题三：针对原实际问题，讨论其中的某具体相关数据变化对问题的最优解的影响。
2.符号设置
问卷式书面调查有孩子家庭数量（个）
口头调查有孩子的家庭数量（个）
问卷式书面调查没有孩子的家庭数量（个）
口头调查没有孩子的家庭数量（个）
问卷式书面调查有孩子的家庭费用（元）
口头调查有孩子的家庭费用（元）
问卷式书面调查没有孩子的家庭费用（元）
口头调查没有孩子的家庭费用（元）
调查家庭总数量（个）
调查有孩子的家庭总数量（个）
调查没有孩子的家庭总数量（个）
问卷式书面调查的家庭总数量（个）
问卷式书面调查占调查有孩子家庭数量比例
问卷式书面调查占调查没有孩子的家庭比例
调查费用的总成本（元）
3.建立模型及求解
3.1问题分析
本题是市场调查问题，将各个方式调查家庭的数量设为决策变量，并根据公司所给的要求写出相应的目标函数和约束条件建立线性规划模型，再利用lingo软件即可求得最优解。本题值得注意的是在建立目标函数时注意这是一个求最小值的问题，且决策变量为个方式调查家庭的数量，所以均为自然数。
3.2模型的建立
调查费用的总成本的目标函数：
家庭调查总数的约束：
有孩子家庭调查总数的约束：
没有孩子家庭调查总数的约束：
采用问卷式书面调查的家庭的约束：
有孩子家庭采用问卷式书面调查比例的约束：
没有孩子家庭采用问卷式书面调查比例的约束：
综上可得本问题的线性规划模型如下：
3.3模型求解结果
利用lingo软件建模求解得计算结果如下表2：
调查方式调查数量最优值
100 18500
100
200
100
表2
由表中的结果可知最优解为：
，，，，最优值。
即最佳的调查方案为：
调查费用的总成本Z最小值为18500元；
采用问卷式书面调查有孩子的家庭的数量为100个；
采用口头调查的有孩子的家庭数量为100个；
采用问卷式书面调查的没有孩子的家庭数量为200个；
采用口头调查的没有孩子的家庭数量为100个。
3.4同类一般问题的模型
针对原问题，要求最优分配方案使得成本最小。如果家庭类型有m个，调查方式类型有n个，那么目标函数即用j种方式调查i种家庭乘积之和的最小值，即：
约束条件是根据委托方的要求来限制调查分配方案的条件。例如要求调查家庭总数量为，那么对应的约束条件可写为：
要求调查有孩子的家庭数量不少于个，那么约束条件为：
即使委托方增加要求，或者调查公司增加调查家庭类型和调查方式类型，也都可以写成上述约束条件形式。另外在实际问题当中，调查家庭数量显然不能为负数，因此在操作中要注意隐藏的约束条件，即：。在得到目标函数和约束条件后通过lingo软件带入相关数据即可获得模型的求解结果。
4.数据变化对最优解的影响
4.1数据一：调查家庭所需费用变化对最优解的影响
4.1.1数据一：数据分析
通过灵敏度分析可得如下表3：
决策变量目标系数允许的增量允许的减量终值变化率
50∞5 100 0
30 5 15 100 0
40 5 15 200 0
25 15 5 100 0
表3
调查家庭所需费用的变化属于线性规划模型中目标函数价值系数的变化。由于各决策变量的变化率均为零，所以此处的为基变量的系数。且目标函数的改变并没有影响其它约束条件改变，因此在的变化范围在增量范围内时，对应的最优解不发生改变。如果变化范围超出增量范围则最优解发生了改变，需要重新建立模型求解。由于参数费用的变化，即使最优解不发生改变，它的最优值也会因为参数的改变而改变。
当，即当书面调查有孩子的家庭费用大于45元时，最优解不变；
当，即口头调查有孩子的家庭费用大于15个且小于35元时，最优解不变；
当，即书面调查没有孩子的家庭费用大于25个且小于45元时，最优解不变；
当，即口头调查没有孩子的家庭费用大于20个且小于40元时，最优解不变。
4.1.2数据一：模型建立
模型一：如果不在对应的区间内，这里以口头调查有孩子的家庭费用为例。取，那么新的目标函数为：
其他约束条件不变。
模型二：如果不在对应的区间内，这里同样以口头调查有孩子的家庭费用为例。取，那么新的目标函数为：
其他约束条件不变。
4.1.3数据一：求解结果
模型一：利用lingo软件求解得到如下表4：
调查方式调查数量最优值
100 17500
100
200
100
表4
由表中的结果可知最优解为：
，，，，最优值。
可以看到最优解并没有发生改变，而最优值随着参数的减小而减小。
模型二：利用lingo软件求解得到如下表5：
调查方式调查数量最优值
120 19400
80
180
120
表5
由表中的结果可知最优解为：
，，，，最优值。
可以看到最优解发生改变。
综上可得当各种调查方式所需的费用在其增减范围区间内变化时，最优分配方案不会发生变化。而调查的总费用受到各种调查方式的数量和费用的影响，因此调查总费用的最优值会随着各种调查方式所需费用的增加或减少而增加或减少。但是超出增减范围区间时，最优分配方案会发生改变，需要重新求解。
4.2数据二：调查家庭数量变化对最优解的影响
4.2.1数据二：数据分析
通过灵敏度分析可得如下表6：
约束条件限制约束值允许的增量允许的减量松弛变量影子价格
调查家庭的总数量500 33 100 0 25
调查有孩子的家庭数量200 100 200 0 7.5
调查没有孩子的家庭数量200 100∞100 0
书面调查的家庭数量300 100 20 0 15
表6
调查家庭数量的变化属于线性规划模型中约束条件右端参数的变化。由于对应调查人数的改变，所以对应最优解和最优值都可能会发生改变，但是在一定范围内对应的最优基并不会发生改变，对应的影子价格不会改变，所以如果右端参数在允许的增减量范围内变化，那么最优解和最优值的变化是有迹可循的。如果右端参数的变化超出允许的增减量，那么需要重新建立模型计算。
当，即当调查家庭总数量大于400个且小于533个时，影子价格不变；
当，即调查有孩子的家庭数量小于300个时，影子价格不变；
当，即调查没有孩子的家庭数量小于300个时，影子价格不变；
当，即问卷式书面调查的家庭数量大于280个且小于400个时，影子价格不变，但最优解仍然改变。
4.2.2数据二：模型建立
这里以调查家庭总数目为例。取，那么新的约束条件为：
其他约束条件不变。
4.2.3数据二：求解结果
利用lingo软件求解得到如下表7：
调查方式调查数量最优值
100 19000
100
200
120
表7
由表中的结果可知最优解为：
，，，，最优值。
结合灵敏度分析和求解的结果，可以看出当右端常数在允许的增减量范围内变化时，每增加或减少一个单位，最优值便会增加或减少对应的影子价格。
即当调查家庭总数量大于400个且小于533个时，调查家庭总数量每增加或减少一个，调查总费用的最优值便增加或减少25元；
当调查有孩子的家庭数量小于300个时，调查有孩子的家庭数量每增加或减少一个，调查总费用的最优值便增加或减少7.5元；
当调查没有孩子的家庭数量小于300个时，由于松弛变量为100，所以调查没有孩子的家庭数量增加或减少不超过100个时，调查费用的最优值和最佳调查方案不会发生改变；
当书面调查的家庭数量大于280个且小于400个时，问卷式书面调查的家庭数量每增加或减少一个，调查总费用的最优值便增加或减少15元。
4.3数据三：调查家庭数量的比例变化对最优解的影响
4.3.1数据三：数据分析
调查家庭数量的比例属于线性规划模型中约束条件变量技术系数的变化。为了方便计算增减量的范围，这里把决策变量和作为右端常数和来讨论。
通过灵敏度分析可得如下表8：
约束条件限制约束值值允许的增量允许的减量松弛变量影子价格
书面调查有孩子家庭的数量0 20 100 0 5
书面调查没孩子家庭的数量0 20∞20 0
表8
当时，即书面调查有孩子家庭的数量不超过120个时，影子价格不发生改变。
当时，书面调查有没孩子家庭的数量不超过220个时，影子价格不发生改变。
4.3.2数据三：模型建立
(1)当其它约束条件不变的情况下，假设改变没有孩子家庭采用问卷式书面调查比例的约束,要求在调查没有孩子的家庭中至少有50%的家庭采用问卷书面调查。那么新的约束为：
将原问题的最优解：
，，，
带入新的约束中可得：
成立
则最优解不变，即：
，，，，最优值
(2)如果原题目的最优解在新的约束条件下不成立，则重新建立模型求解。假设要求在调查没有孩子的家庭中至少有70%的家庭采用问卷书面调查。那么新的约束为：
将原问题的最优解：
，，，
带入新的约束中可得：
不成立
则最优解发生变化，故重新求解。
4.3.3数据三：求解结果
利用lingo软件求解得到如下表9：
调查方式调查数量最优值
100 18650
100
210
90
表9
由表中的结果可知最优解为：
，，，，最优值。
结合灵敏度分析和求解的结果，可以看出当书面调查有孩子家庭的数量不超过120个时，书面调查有孩子家庭的数量增加或减少一个，调查总费用的最优值便对应减少或增加5元。而当书面调查有没孩子家庭的数量不超过220，书面调查没有孩子的家庭数量增加或减少少不超过20个时，调查费用的最优值和最佳调查方案不会发生改变。
5.问题的补充
5.1问题提出
在第四节讨论了各种数据的变化对最优解的影响，但是这里的各种数据仅针对的单一数据的变化的情况。那么如果多个数据同时在其允许的增减范围内变化对最优解产生什么样的影响？如果多个数据变化超出其允许的增减范围，最优解是否又一定改变？
5.2建立模型及分析
5.2.1数据一：调查家庭所需费用同时变化
如果多个方式调查家庭所需费用同时变动且其变动量占其允许变动量的百分比之和不超过百分之一百，最优解不变。如果超出百分之一百则需要重新建立模型求解。
模型一：若变动量之和低于百分之一百，取
，
此时的变动率：
目标函数为：
其他约束条件不变。
模型二：若变动量之和超过百分之一百，使同比例减少，取
，
此时的变动率：
目标函数为：
其他约束条件不变。
5.2.2数据二：调查家庭数量同时变化
如果委托方多个要求调查家庭数量同时变动且变动量占其允许变动量的百分比之和不超过百分之一百，对偶价格不变，最优值仍然可以通过影子价格得出。如果超出百分之一百则不能确定对偶价格是否有效，需要重新建立模型求解。
模型三：若变动量之和低于百分之一百，取
，
此时的变动率：
家庭调查总数的约束：
有孩子家庭调查总数的约束：
没有孩子家庭调查总数的约束：
采用问卷式书面调查的家庭的约束：
目标函数及其它约束条件不变。
模型四：若变动量之和超过百分之一百，使同比例减少，取
，
此时的变动率：
家庭调查总数的约束：
有孩子家庭调查总数的约束：
没有孩子家庭调查总数的约束：
采用问卷式书面调查的家庭的约束：
5.3求解结果及结论
5.3.1数据一：求解结果
模型一：利用lingo软件求解得到如下表10：
调查方式调查数量最优值
100 17200
100
200
100
表10
由表中的结果可知最优解为：
，，，，最优值。
模型二：利用lingo软件求解得到如下表11：
调查方式调查数量最优值
100 3700
100
200
100
表11
由表中的结果可知最优解为：
，，，，最优值。
结合上述分析，如果多个方式调查家庭所需费用同时变动且变动量占其允许变动量的百分比之和不超过百分之一百，最优解不变。当按照同比例增大或者减少则不论变化是否在其允许的增减范围内，变化率之和是否超过百分之一百，最优解都不会改变，最优值会同比例增大或减小。
5.3.2数据二：求解结果
模型三：利用lingo软件求解对偶价格得到如下表12：
约束条件对偶价格影子价格
调查家庭的总数量-25 25
调查有孩子的家庭数量-15 15
调查没有孩子的家庭数量-7.5 7.5
书面调查的家庭数量0 0
表12
模型四：利用lingo软件求解得到如下表13：
调查方式调查数量最优值
50 9250
50
100
50
表13
对偶价格同模型三：表12
由表中的结果可知最优解为：
，，，，最优值。
结合上述分析，如果多个调查家庭数量同时变动且变动量占其允许变动量的百分比之和不超过百分之一百，对偶价格不变。当按照同比例增大或者减少则不论变化是否在其允许的增减范围内，变化率之和是否超过百分之一百，对偶价格都不会改变，最优值和最优解会同比例增大或减小。
结论
本次毕业论文是讨论在市场调查问题上最优决策和各种约束条件变化对最优决策可能带来的影响。完整的论述与解决市场调查问题不是那么容易实现的，所以本次论文只对部分情况作了相应的讨论。
在解决此线性规划问题中，想得到最优的分配方案首先就要先找到决策变量，所以我把四种调查方案分配的人数作为决策变量。再根据委托方的要求给出对应的约束条件，利用lingo软件就很容易得到最优解，但是需要注意实际问题中的变量类型，这里的家庭数量就是一个整数且非负变量。另外各因子的变化可能会对最优解产生影响。通过lingo软件的灵敏度分析，无论是调查的费用，调查家庭的个数还是调查家庭的比例，只要这些因子在其增减范围内变化，那么最优值最优解的变化都是有迹可循的。如果某个约束条件中包含了松弛变量，那么原因子在松弛变量范围内无论增减多少都不会对最优解产生影响。但是如果这些因子的变化超出其合适的增减量范围就需要重新建模求解才能到的新的最优解。
最后讨论了如果多个数据同时变化的情况，如果多个价值系数在其允许的增减范围内变化，且变化率之和不超过百分之一百，则最优解不变。如果不满足百分之一百法则，价值系数同比例增大或缩小最优解也不会改变，最优值同比例增大或缩小。如果多个右端常数项在其允许的增减范围内变化，且变化率吧之和不超过百分之一百，则对偶价格不变。如果不满足百分之一百法则，右端常数项同比例增大或缩小，对偶价格也不变，最优解和最优值也会同比例增大或者缩小。
通过这次论文，我发现了自己在运筹学中的许多不足，知识上层面上还存在很多漏洞，虽然只了解了一些皮毛知识，但是这次的论文还是非常有意义的。这段时间增进我对线性规划问题的理解，同时提高了实践能力，相信通过未来进一步的学习可以更加善于运用运筹学知识，提供更优秀的决策。
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