引言
现如今人们不仅仅追求吃的多，吃的饱，更是要求吃好。营养过少轻则会导致营养不良，免疫力降低，重则危害人体健康。而营养过剩也会应发种种疾病，比如糖尿病，高血压，高血脂一阿姨那个，为此,世界上很多国家制定了膳食指南，又有很多人才投入到这个膳食平衡的建设中去，想让世界人民获得更好的膳食体验，得到健康的身体。平衡膳食都是其中的精髓，所以一份专属的食谱必不可少。
然而人们对于食谱的要求也在不断增加，每个人对于营养的需求也是不同的，例如：对于肥胖人群需要摄入较少的热量；对于糖尿病患者不能够摄入糖分；对于孩子而言需要摄入足够的各类营养，对于孕妇等不能摄入有害妇女和幼儿健康的食品等等。原有的食谱已经无法满足人们的要求，人们对于自身的食品摄入要求越来越高。此时，合理规划每个人的食谱是必要的，也是一个由市场的项目。可以针对不同人群的不同要求进行分析制定出独一无二的食谱，但是如何处理这类问题，在现如今的大环境下，这是一个关系到国家和民生的重要问题，也是一个很多人需要去努力解决的问题，当我们解决这些问题，我们人民的体质才有可能得到显著的提高。人们现在也很乐意去花费时间与金钱去获得适合自己的膳食管理。
当今，提到线性规划，我们都知道它是一个运用很广阔的运筹学分支。在运筹中层次分析法也是相对较好的理论方法[3]。如果我们依据遇到的问题选取适当的变化量为了达到目标，我们可以通过变化量的不同形式来体现出问题的目标，如果是对问题的约束情况下，我们就可以使用相关的等式和不等式来表现出我们的思想，如果我们想说这个模型属于线性规划模型[4]，那么我们就得将目标函数和约束条件都同时在线性的时候。若是要根据问题作为系统，带入决策者的喜好进行权重。通过两种方式分别对食谱的制作进行讨论分析，找出最优最适宜自身的食谱。并以此为例子，去为以后的膳食分析做好基础，让人民体质得到提高。
1.问题重述
某人为自己制定了一份食谱，主要有三类食品可供选择，分别是：肉类、粗粮和蔬菜。这三种食品所包含的部分营养成份及产品单价如下表：
表1各食品的成分及单价表
食品维生素A（IU/g）维生素B2（mg/g）热量（kJ/g）单价（元/g）
肉0.3527 0.0021 11.93 0.275
粗粮0 0.0006 11.51 0.06
蔬菜25 0.002 1.04 0.07
此人体重为55Kg，每天对各类营养的最小需求为：维生素A：7500IU,维生素B2：1.6338mg，热量：8548.5kj。
（1）考虑应如何制定食谱可使在保证营养需求的前提下支出最少（线性规划、层析分析法）？
（2）分析两种方法的优劣；
（3）在较好的方案下分析此模型进行灵敏度分析
2.问题分析
问题1的分析
根据所提供的各食品的成分及单价表，我们可以了解到肉，粗粮及蔬菜分别对应的维生素A、维生素B2、热量及单价的多少，通过某人对营养的最小需求量，我们可以建立合理、均衡且成本低的搭配模型。因此可以使人们更合理的膳食。
该问题在数学中我们称它为求最优化问题，为了解决这个问题我们可以先设计一个普通食物的成本支出在最少情况下的配餐模型一，就可以在我们最低需要的营养需求条件下列出相对应数量的不等式方程，把它变成数学求解问题，这样我们可以得到目标函数为食品花费最少的配置方案通过我们列出的方程式。
由于该问题中要求运用两种方法进行解答，对于线性规划、层析分析法两种方法我们要进行研究分析。通过对两种方法的区分及灵活操作，两模型所得到的膳食方案都能达到所要求的最低需求量。通过lingo函数了解相应的食品摄入品种、摄入剂量以及需要花费的最后成本。
问题2的分析
该问题是对问题一中两种不同方案的分析，进行优劣对比。首先谈到运筹学中的线性规划，我们第一时间想到的是他的研究，发展，运用，方法等众多方面优秀的重要关键分支。人们可以使用它进行科学等思维的管理操作。在有限的物、人、财等资源使用的前提下做出最优的方案，提供科学有效的依据。而层次分析法是通过层次权重决策分析来进行比较的方法，在这种方法中，我们只需要用不多的定量信息使获得方案的思维流程数学化，通过定量与定性分析的融合，通过决策者的经验判断就可以考量目标是否能完成的关键程度，先在恰当的情况中给出每一个决策方案的每一个标准的权数，对于其中的优劣次序，我们可以先使用权数来比较获得，当我们发现了那些难以解决的有障碍的问题，再通过其中的比较进行方法的运用。通过对定义的不同进行比较，其次针对题目进行深入研究并分析其优劣。
问题3的分析
此问题要求进行灵敏度分析，首先是在问题2的优劣分析中选择较好的方案，其次对于数据进行整理并分析，通过灵敏度分析了解不同食品价格浮动在什么区间对于最终结果不会造成影响。
3.背景图文概述
线性规划概述
层次分析法概述
灵敏度分析概述
lingo软件分析概述及灵敏度分析窗口解读
对于LINGO软件，线性优化求解程序通常使用单纯形法[8]。
下图为运用lingo软件进行灵敏度分析的窗口：
图一灵敏度分析运用lingo软件所得图
表2 lingo软件窗口分析表
curren coefficient值表示当前变量的系数
allowable increase值表示允许增加量
allowable decrease值表示允许减少量
影子价格
营养配餐的概念
1）我们要做到的营养膳食的核心，就要做到均衡，有条有理，健康尝试；
2）想要合理的配餐，我们一定要结合不同人的身体特征，在每一天，每一周，没一月，对应不同的食物不同的方式等设计食谱，当我们体内的各种成分，包括脂肪，蛋白质，维生素，碳水化合物，各种矿物质等等达到一定的比例，在这种情况下我们就能得到平衡的膳食条件。
我们诺想要健康的食物，那么核心一定是平等的食物和营养；
3）我们通过合理膳食可以减少以及预防疾病的产生[9]。
4.问题的基本假设和符号说明
模型假设
假设一：不同的食品各营养素的含量不变，无论是生还是熟；
假设二：在较多时间内，三种不同的食物它们的价格不会做变化，各种食物它们的价格不会互相制约；
假设三：使用食谱的人将抗状态良好，所需营养均衡，对各种摄入的食物没有过敏反应，无偏食和挑食现象；
假设四：该食谱的制定除了考虑营养素摄入量的平衡关系，其他方面不予考虑
假设五：根据天为基本单位，相邻两天的摄入量之间没有关系。
符号说明
符号说明
购买食品所花费的金额
选择肉的克数
选择粗粮的克数
选择蔬菜的克数
5.模型建立及求解
利用线性规划模型求解
已知三种食材对应不用的单价，为了使支出最少，首先要满足目标函数：
其次，食谱对于所含维生素A，维生素B2和热量都有其最小需求，为此需满足以下约束条件：
（1）
通过其目标函数和约束条件利用lingo求解得出：=83.99654；=0；=687.5267；=610.6420即每日选择0g肉，687.5267g粗粮和610.6420g蔬菜所花费的成本最少为83.99654.
利用层次分析法求解
因为肉，粗粮和蔬菜都含维生素A，维生素B2和热量为了使满足每天对各类营养的最小需求，满足条件有各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后做出决策.
.
图二划分层次
将每日食谱根据层次分析法分成四层，每层两两因素之间进行比较，根据下表取1~9标度进行比较.
表3重要性标度含义表
标度定义与说明
1两个元素对某个属性具有同样重要性
3两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要
5两个元素比较，一元素比另一元素明显重要
7两个元素比较，一元素比另一元素重要得多
9两个元素比较，一元素比另一元素极端重要
2,4,6,8表示需要在上述两个标准之间折中时的标度
两个元素的反比较
根据自己的所需偏好第二层A的2种因素与上一层Z的关系进行俩俩对比，结果可见：
表4第二层A的2种因素与上一层Z的关系
Z A1 A2
A1 1 4
A2 1
由上表，可得比较矩阵为：.
通过第二层A的的比较矩阵计算可得出第二层A关于Z的排序权重向量为：
同理可得第三层B的3种因素与上一层A1的关系进行俩俩对比：
表5第三层B的3种因素与上一层A1的比较
A1 B1 B2 B3
B1 1 3 3
B2 1 1
B3 1 1
由上表可得比较矩阵：
.
第三层的维生素A(B1)，维生素B2(B2)，热量B3关于营养A1的排序权重向量为：
经检验矩阵A和矩阵B均满足，所以这个矩阵A和矩阵B是一致性矩阵。
第三层B中可以看作有四个元素：维生素A（B1）,维生素B2(B2)，热量B3以及价格A2，第二层的价格因素A2与第三层B中的A2是一一对应的关系。因此得到：
,
求第四层C元素关于总目标Z的排序向量时，用到第三层B与第四层C元素的排序关系矩阵，可以用题目中的已给的每种食物的营养成分以及单价的数据得到。对于满足最低营养需求下，单价对于人们来说期望尽可能最小，因此将维生素A，维生素B2及热量按照原始的营养成分直接进行归一，而取单价的倒数进行归一。通过计算，得到下表。
表6各类食物所含营养的倒数后归一化
维生素A(B1)维生素B2热量B3价格A2
肉C1 0.0139 0.4468 0.4872 0.1051
粗粮C2 0 0.1277 0.4702 0.4819
蔬菜C3 0.9861 0.4255 0.0426 0.413
即得出矩阵：
，
可计算出最终的综合权重向量为：
即在上面的计算可以看出，，肉，粗粮，蔬菜的占比可以得0.18：0.19：0.63的时候是最为合适的（可以按照个人喜好）。
通过该比例，引入参数变量，令，，，代入不等式组（1），则可得到：
（2）
不等式（2）是通过把，，代入不等式（1）中得到的。=1713.298，故得到解3,.即肉308.39g、粗粮325.53g、蔬菜1079.38g，食品要花费人名币179.90元.
由此可以看出，个人的不同，我们创造的比较矩阵会有明显的差别，当然也会的好不一样的结果。
如果对于上面的支出不满意，可以适当对第二层和第三层的营养权重进行降低，
表7目标层Z对第二层A中两个元素的比较
Z A1 A2
A1 1 1
A2 1 1
目标层A1对第三层B的各因素的影响俩俩比较结果如下：
表8目标层A1对第三层各B元素的比较
A1 B1 B2 B3
B1 1 1 2
B2 1 1 2
B3 1
同理可计算出，故得到的解为，.即每日肉256.61g、粗粮417.48g、蔬菜655.47g，总支出为141.50元。
通过进一步计算，我们可以得出以上两种方案中个营养成分的含量分别为：
前一种方案：维生素A 27093.27国际单位（IU）
维生素B2 3.0017mg
热量8548.5kJ
后一种方案：维生素A 16477.33国际单位（IU）
维生素B2 2.100mg
热量8548.5kJ
不难看出，进一步降低了营养权重后，总支出明显下降了，但与此同时所摄入的营养也相对降低了。
对线性规划模型进行灵敏度分析
1.理解灵敏度分析
当要进行灵敏度分析是，不能首先想到用新参数创造模型，然后开始进行计算，这样是有问题的。在已经取得的最优单纯形表中反应个别的参数变化，然后再进行一些审查和分析的方法。因此，也称为优化后分析。
2.各参数变化的情况
（一）.价格系数的变化以及分析
进行划分，条件：变量的对应关系。可分为非基变量价值系数和基变量价值系数这两个系数。
我们可以将结果一分为二：对偶，原始问题都是可以的，最优解也是不变的：诺对偶问题不可解决，原始问题可以解决，那么就要用到单纯形法解决。（因为改变价值系数，那么检验数就会被直接影响）。
（1）非基变量的价格系数发生变化（仅会该变量的检验数的改变）
设价值系数的增量为，要保证最优基不变，必须是最终表中的检验数仍,即
或者，该式就是非基变量价值系数的变化范围。
（2）基变量的价值系数发生改变（会改变所有非基变量检验数）
如果是基变量价值系数的变化，那么就会改变非基变量检验数。设基变量价值系数的增量，则非基变量的检验数求解如下：
因为
因此，非基变量在最终表格的检验数变为；
如果要求原最优基没有变化，对于非基变量的检验数，必须达到的情况，这样可以得到，
于是，基变量价格系数的变化范围是，
该式仅适用于一个基变量的价值系数发生变化的情况。
（二）.资源量的变化分析
资源量的改变只会引起列的改变。
设第种资源发生变化，资源量从变为.其他系数保持不变。这样，在最终表中的基解相应地改变为,只要，最终表中的检验数没有变化，则最优基没有变化（最优解的值已经发生变化）。为保持最优基不变，资源增量的变化区间如下可见：
，.
这样，最终表里保持最优基不变的列元素满足，是单纯形表中最优解的第个分量.解之得.
目标函数系数灵敏度分析
为了研究肉、粗粮、蔬菜的价格在什么范围内改变，不会影响最优解即购买各类品种的数目，对函数（1）进行灵敏度分析，得到下解：
表9目标函数的允许的变动范围
活动目标系数可减上限可增上限可变范围
肉的价格0.275 0.164无穷大
粗粮的价格0.06 0.039 0.169
蔬菜的价格0.07 0.065 0.13
当仅仅有且只有一种目标函数在被准许的范围内变化时，最优解就是不会发生变动的，最优目标值也会随之发生改变。
通过上表，当肉类的价格区间在内变换时，要求粗粮的价格保持在0.060元/g且蔬菜的价格保持在0.005元/g；当粗粮的价格在内变换时，要求肉的价格报纸在0.275元/g且蔬菜的价格保持在0.005元/g；当蔬菜的价格在内变换时，需要要求肉的价格报纸在0.275元/g且粗粮的价格保持在0.060元/g，才可以使得最优解=83.99654；=0；=687.5267；=610.6420即每日选择0g肉，687.5267g粗粮和610.6420g蔬菜所花费的成本最少为83.99654保持不变.
右边值灵敏度分析
为了研究在最优解（即食物摄入量）不变的前提下，不同营养成分的摄入情况，运用软件分析求解，得出下表：
表10营养摄入情况
营养最小需求量允许增长允许减少
维生素A 7500 7766.05无穷
维生素B2 1.6338 14.80562 0.6044429
热量8548.5 11595.23 7698.924
约束条件右端系数7500、1.6338、8548.5分别代表需要摄入肉、粗粮和蔬菜的最小摄入量，对于最优解=0；=687.5267；=610.6420通过灵敏度分析可得在满足最小摄入量的同时，可多摄入7766.050g维生素A。同时在满足最优解不变的前提下，维生素A的需求量下限为无穷小，上限为15266.05，维生素B2的需求量的范围（1.0293571,16.43942），热量的需求量的范围为（849.576,220143.73），其中当维生素A在区间范围中变化时，维生素B2和热量的值保持不变，反之亦然。
影子价格
线性模型（1）的对偶模型为：
（2）
通过对偶理论，线性模型（1）与其对应的对偶模型（3）的最优值相同。
通过lingo软件可求得下图：
图三lingo求解图
得到的最优解为（0,687.5267,610.6420），即每日选择0g肉，687.5267g粗粮和610.6420g蔬菜，所花费的成本最少为83.99654元.dual price给出了维生素A，维生素B2和热量产生的影子价格为（0，-33.18896，-0.0034827），即当资源减少一个单位时，所产生的量的变化[10]。
线性规划模型和层次分析法模型结果的比较
线性规划的优点
1.只会有一个目标函数对于线性规划模型，对于不同的食谱要求不同，本文中的食谱在满足营养的最低需求的要求下以支出最少为目标，用极小值表示支出。通过各种相互关联的多变量即每种食物摄入量约束条件下,解决或规划一个对象的线性目标函数最优的问题。对于目标只有一个的问题更易解决。
2.线性规划可以同时求解多项变量以及多个约束条件的问题，且对于有效的约束条件越多，所求的解的范围越小。对于求解最优方案，可以根据每个人对不同营养的需求设置不同的约束条件，使得该模型更方便、直观，数学原理、概念简单明了。
3.本文中运用线性规划求解的过程中，可以根据每个人对不同营养的需求编写约束条件以及目标函数，更加方便的根据条件求解出想要的结果。对于这类的食谱，我们可以增添更多的食物以及营养成分（只需增加相应的决策变量和条件约束），使得分析的所获得的营养成分更加细致，因此，这种方法拥有较为广泛的可移植性，而且便于人们的理解，在人群中可以得到推广与发展。
4.对于大规模的线性规划问题都可用软件lingo直接进行求解，方便快捷。
线性规划的缺点
1.对于所求数据无法修改。虽然线性规划可以将我们所需要的营养要求都得到满足，但是所得的不同食物不可以根据自己的喜好选择比例，对于本题而言，线性规划模型的缺点比较明显，通过分析、建模、求解，所得结果为每日选择0g肉，687.5267g粗粮和610.6420g蔬菜所花费的成本最少为83.99654.虽说满足成本最少的要求，但是对于爱吃肉的人来说，虽说营养都达标，但却在现实生活中很难实现。
2.线性规划方法只能对线性的问题进行规划约束。会在特殊条件下将问题变成非线性规划：当某一个要素与决策变量组成的函数为分段函数的时候。可以通过本题来举例，在本题中是线性的，如果我们自己添加了一点条件，成为了分段的情况下，那么我们使用这个方法就不能直接计算出来
层次分析法的优点
1.层次分析法能够将一个问题当成一个整体进行逐步分析。本文中将制作食谱看做一个系统，根据个人的需求进行分解划分成四层，并比较判断确定权重，每一层的权重都是会影响最终的结果。
2.层次分析法更具实用性，将定性和定量的方法相结合，从每个人对于不同要素的需求和评价入手，比线性规划模型更能定性的分析和判断。这种方法更加的贴近生活，考虑到每个人的实际情况，每个人的层次分析法的结果都不同，更符合量身定做这一说法。
3.层次分析法更符合实际，将每一层的因素，如本文中第二层为价格和营养，可以根据自己的喜好设置权重，同样的第三层中热量、维生素A，维生素B2对于营养的要求和自己的喜好加上对应的权重，权重对于结果来说是很重要的，每一层都是对最后的结果有影响，并且我们看到的每个影响都是可以量化出来的，可以使我们清楚直观的看出来其中的奥妙。
4当我们采取分析时候我们需要用到较少的定量数据，但需要对问题包含的各种因素还有它们之间的关系进行具体而且明确的要求。
5.可延拓至多准则、多目标的复杂问题的决策分析。
6.有着简洁的计算，查看结果时简单易懂，很容易被人们所理解和使用。
层次分析法的缺点
1.本文中一层的指标数最多为三个，所形成的比较矩阵也最多为三阶，但若是要拓展到实际生活中或是指标数过多，则会导致计算量过多，且对于权重的比较也难以确定，所得的结果误差较大。解决一些较常见的问题的时候，我们可能会面临选取数量较多的障碍，因为他们会随之增多，他们的增多会让我们了解要更加深入的进行计算，并且我们需要更多的比对工作，指标的增多，障碍也会随之增多，一致性也会出现，这样是不行的不可取的，一旦进行改变，那么障碍也会随之增多的
2.本文中的比较矩阵最大为三阶，求其特征值以及特征向量时较为简单方便，但是同样用在实际生活中亦或是增加过多的指标，阶数也会随之增加，在计算方面则会增加很大的难度。
3.层次分析法主要是根据两两比较从1至9来说明其相对重要性，对于该指标的评判标准仅仅是根据个人对于该指标的重要与否进行评判，人主观因素对整个过程的影响太大，对于求得的解针对性较强，不适合普遍运用，不具有大众性。
4.对于其他方法来说，这种方法的在比较判断和计算结果的时候都会让其变得粗糙有误差，对于一些精度要求较高的问题，不太适合使用
5.该模型对一些客观因素考虑不足，例如食物在制作过程中，营养的变化，食物价格的变化未能予以更好的考虑，有一定的局限性。
6.模型的评价
模型的优点
（1）该模型对营养的摄入和不同食物的营养等多方面的因素予以充分考虑，统筹规划，寻求最优的分配方案，使得食谱制作时的成本最小化，可运用到对于不同营养需求的不同人群的问题上[11]。
（2）这种模型创建的时候简易，容易得到人们的理解。进行分析的时候很透彻，囊括很多。
（3）lingo软件的使用，会让我们更加轻松的处理这个模型的问题，简单容易操作
模型的缺点
（1）客观因素对于这个模型会有明显的考虑不足存在，例如食物在制作过程中，营养的变化，食物价格的变化未能予以更好的考虑，有一定的局限性。
参考文献
[1]中国居民膳食营养素参考摄入量速查手册[M].中国标准出版社,中国营养学会,2014
[2]唐加冕,周京徽.线性规划问题在经济生活中的应用[J].商业时代,2011(19):10-11.
[3]王茹,黄亚辉.线性规划在实际生产生活中的应用[J].科技创新导报,2018,15(09):155-156.
[4]陈诺凡.数学软件在线性规划模型求解中的多用与妙用[J].福建教育学院学报,2018,19(01):125-126.
[5]黄洪金.层次分析和模糊综合评价方法在公共政策评价中的应用研究[D].湖北:华中师范大学,2014.
[6]何超,李萌,李婷婷,彭雪,李婕,赵锦慧.多目标综合评价中四种确定权重方法的比较与分析[J].湖北:湖北大学学报(自然科学版),2016,38(02):172-175.
[7]张焕梅,杨瑞刚.基于响应面法的起重机结构可靠性灵敏度分析[J].中国工程机械学报,2020,18(02):131-136.
[8]梁彩霞.LINGO软件在线性规划案例教学中的应用[J].科技视界,2017(09):80+97.
[9]秦龙龙，周锐丽.大学生简易营养食谱的设计及营养分析[J].食品工程，2014(3):61-64.
[10]王丽丽,王爱法.影子价格在产品计划中的应用和解法[J].科教文汇(下旬刊),2020(04):76-79.
[11]杨月欣,杨晓光,马爱国,肖荣,陈伟,李增宁,刘景芳,石汉平,齐玉梅,刘晓军,刘英华,姚颖,孙建琴,万燕萍,张片红,张谦,刘培,蒋燕.新型冠状病毒肺炎防治营养膳食指导建议[J/OL].营养学报:1-2[2020-04-08].https://elkssl0a75e822c6f3334851117f8769a30e1cportal.sqc.edu.cn:4443/10.13325/j.cnki.acta.nutr.sin.20200302.001.
致谢
光阴荏苒，将近四年的时间转瞬即逝，学位论文的完稿将在我的本科学习生活画上一个句点。回想初刚入学结识新同学、聆听老师的教诲各种美好的回忆历历在目，在这几年中要感谢的人太多，千言万
语只能用一句谢谢来表示。
首先，特别感谢我的指导老师给予了我无限的帮助和支持，每次讨论他都能给予一针见血的意见和指导，不辞辛苦，发送的稿件无论什么时候，他都能在力所能及的第一时间给予批示和回复，
是他为我迷茫的写作过程点亮了明灯。
其次，在三年多的学生生活中，感谢文理学院的各位老师对我的关心和在平时的生活中给与的指导和帮助。
再次，我要感谢和我相处几年的同窗好友，是你们的活力和感染让我的本科生生活丰富多彩，欢声笑语。同时我也要感谢给予过我帮助的其他老师和同学朋友，是你们让我的本科生生涯靓丽多彩。
另外，在这将近四年的学习中我的不仅仅是学业上的进步，收获的更多的是生活和人生的财富。过去的三年时间，是一个亲切的怀念，感谢所有陪伴我一起成长的老师、同学和亲人。
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