向量自回归（VAR）模型定义

　　１．１．１背景

　　证券市场（尤其是股票领域）始终被当做宏观社会发展的＂天气表＂，可以限度以精准的体现出外部经济发展的主要趋势。目前我国股票行业规模不断扩张，此领域的直接融资和増量配置作用开始被充分呈现出来，此外外部经济运作与股票行业之间的关系更加密切。我国宏观经济的运作情况，不论是长久还是短期发展，一定会对股票市场的走势有所影响。待别是那些重要的宏观经济相关变量的变化，肯定会对股票行业价格的变化带来重要的影响。

　　证券市场的价格预测技术的历史十分悠久，近些年来有着越来越多的学者都加入到了这个行列之中，所以又发现了很多新的方法和理论。其实虽然有许多新的理论和技术被发现，但是总体上来说，证券投资的分析和预测最为主要方法和策略还是一共被分成了三个大的类别。第一个是主要研究方式：主要从宏观经济的区域、产业和企业三部分开展研究。宏观经济政策主要包含财政、货币、利率和税收等相关规章制度，区域与产业的研究思考到企业所处产业种类与生命周期各不相同，企业研究一般关注企业经营和管理水平、发展潜能和财务情况等部分。第二个技术研究方式，大体上说就是通过对股票的技术指标，让一个个不同的属性量化，研究它们的趋势。具体的又可以被分成波浪、技术指标理论、形态理论、切线知识、Ｋ线知识与切线知识。上述理论知识主要是在下述假设无误的前提下构建的，第一行业行为内具有所有需要的信息，第二价格根据相应趋势变化，第三历史会持续重复。第三个量化研究方式，此方式主要通过其它定量模型数值模拟、统计学的方法和数值模拟开展分析的方式。此方式需要使用众多数据、创建数学模型、使用电脑编程等，是以往研究方式延伸得到的，也是目前使用格外重要的证券投资研究方式。

　　

　　通过对定性或定量进行分析的研究方法，可以看出主要的经济指标变动和股票的指数波动之间存在着怎样的联系。这其中，官方制造业的ＰＭＩ指数能被当做预估宏观经济趋势的重要先行指标内容，此部分的变化趋势对于宏观经济的发展变化具有相对好的预测效果，此外对股票行业的价格指数变化产生一定影响。到现在为止，各个国家的相关专家开始对ＰＭＩ指数和股票指数之间的关系进行进一步研究，深度分析着两个指数之间存在的互相影响的关系。（注：ＰＭＩ指数是由制造业ＰＭＩ指数以及非制造业ＰＭＩ指数这两个部分构成的。这篇文章主要研究的是制造业ＰＭＩ指数；除非特别说明，要不然文章中所提到的官方ＰＭＩ都是指制造业ＰＭＩ指数。）可是，相比于其他的经济变量（比如货币供应量和ＣＰＩ）而言，对于ＰＭＩ指数的变化和股票市场的价格指数波动之间的相互联系的研究文献就少了很多；

　　另外，将两个不同口径的股票指数，经过对比的分析方式，研究官方ＰＭＩ指数与上证综指以及沪深300指数这两个股票指数之间关系的文献则几乎没有。通过比较的方法，可以具体的考察官方ＰＭＩ指数与国内上证综指以及沪深300指数的波动之间的某种连系，为了让投资者更好地利用官方ＰＭＩ指数提供了重要的借鉴价值。所以，这篇文章是将官方ＰＭＩ指数当做分析着手点，使用对比研究的方式，筹集相关信息，通过计量经济学有关模型，对它和上证综指以及沪深300指数这两个股票指数的关系进行的实证研究，分析官方ＰＭＩ指数和上证综指以及沪深300指数波动之间的关系，从而使现有研究成果进一步得到了丰富。

　　由于中国境内的民众收入综合水平的较高幅度提升与资本领域的高速发展,因此更多的人开始进入到股票行业的投资中,想要在股票行业中确保资金保值与增值。即便股票是也许会得到较高回报的投资理财产品,然而其也需要承担较高的风险,持续变化的价格,让投资人员体会到行业的复杂性,因此他们想要通过理论来诠释价格变化的因素,且想要使用合理的预估方式来引导投资,进而避免风险,得到较高的投资效益。本文实证研究国内ＰＭＩ指数走势和上证综指变化两者间的关系，重点表现出下述理论和实践价值：（１）理论价值部分，在股票市场产生之后，宏观经济变量和此市场之间的关系始终是专家重视的主要问题，且得到众多良好的理论分析结果。本文分析重点从宏观经济变量ＰＭＩ指数着手，分析其和股票指数之间的关系，便于丰富目前此研究领域的理论成果；另外值得关注的是，本文使用对比研究方式，准备对官方ＰＭＩ和汇丰ＰＭＩ与股票指数的关系开展实证研究，可以在一定程度上增加目前的分析角度。（２）利用计量经济学研究方式对官方ＰＭＩ和汇丰ＰＭＩ与股票指数的关系开展实证分析，重点表现出下面几部分价值：第一利用实证研究不同ＰＭＩ指标和股票行业的关系，为相互组织或人员划分上述ＰＭＩ指数和股票行业指数的关系提供借鉴和理论知识，仅为帮助其做出合理、正确的选择和判定；第二利用实证研究上述ＰＭＩ指标和股票行业的关系，确定ＰＭＩ走势也许对股票指数走势造成的影响，帮助投资人员进一步避免风险的产生，为其正确投资，得到经济效益提供帮助和参考。

　　１．２国内外硏究现状

　　时间序列分析的理论进展主要表现在非线性模型理论和单位根理论两个方面。非线性模型理论的研究进展主要集中在几何遍历和非线性过程平稳问题上。Chen,Tsay(1991)，Petruccelli和Woolford为简单的TAR(1)模型得出了重要的结论。

　　虽然时间序列分析的研究在近年来在理论和方法上都取得了很大的进展，但在许多领域的预测和控制中也得到了应用，并且取得了令人满意的结果。由于我们都知道模型和数据处理方法并不完美，所以预测结果并不十分准确。因此，在这个领域也有许多值得探讨的问题，未来的工作将集中在以下几个方面:1)多变量时间序列。

　　多变量时间序列(MTS)数据集是各种科学领域中常用的数据类型。MTS通常是非常高维的，其主要特征是变量之间的相互关联，这些变量可以提供更有效的信息，从而获得更好的预测结果。因此，对多变量时间序列的分析和建模进行研究具有重要意义。2)神经网络

　　即便近期产生众多预测技术，然而时间序列数据的信息并不充足，有所差异，因此具备智能信息处理能力的预测系统是必要的，神经网络的使用可能是这一领域的尝试。将模糊逻辑和遗传算法引入神经网络，实现更准确的预测。

　　3)日期预处理

　　目前信息社会来临，大众在日常生活中遇到更多数据与信息。但是，众所周知，数据库内存在众多问题，比如冗余信息、信息缺失、信息不确定与不符合等，是知识发展的阻碍，甚至会降低预估精准性。所以，为了进一步提升信息挖掘效率，缩减数据处理环节，此时要在数据挖掘之前处理原始信息。如何高效处理众多数据，就是我们目前需要分析的重点问题，在此后的分析中具备关键影响。

　　4)时间间隔

　　不仅研究了常见的时间序列数据，而且不同观测的时间间隔可能是一个发展走势。所以，事件出现的时间会在时间序列研究与预估中发挥积极影响。

　　单位根理论在时间序列分析理论中得到了较快的发展。该理论用于研究随机行走统计的不对称，越来越多的当代计量经济学家和统计学家致力于单位根理论。该理论提供了定义ARIMA模型差异顺序的正式测试方法，并为一些统计测试开辟了新的领域。通过Tsay和Tiao(1990)将单位根检验扩展到多元，称为协整检验。

　　宏观经济的运作情况，能够显著影响股票行业的指数变化，也是其中重要的现实因素。在各个国家有很多学者通过很多不同的分析方式，来分析重要经济指标和股票指数之间具有的重要关系。比如路易·己舍利耶最初在１９００年就指出证券价格变化具备随机特点。再比如X的经济学家Ｍａｕｒｉｃｅ·Ｇ·ｋｅｎｄａｌｌ在１９５３年的时候经过对经验数据的分析之后得知，最早了解到证券收益率也表现出一定的随机性，其了解到利用对历史信息的分析，不能预估股票投资的效益。此时，他还是首次指出股票价格变化基本上服从正态分布。六年以后，奥斯本（Ｍ·Ｆ·Ｍ·Ｏｓｂｏｒｎｅ）也第一次指出随机漫步观点，其清楚的指出：股票价格变化和化学中分子布朗运动类似，变化路径无法预估，此外表现出＂随机漫步＂的特征。相应时间他还得知证券价格具有对数正态分布的特点。“随机游走”理论一直得到证券技术研究专家的重视。１９７０年尤金·法玛在（Ｅｕｇｅｎｅ·Ｆａｍａ）指出有效市场的假定。假如证券市场价格可以全面且及时体现出全部有价值的信息，此时市场价格就可以表示证券实际价值，上述市场被可以被叫做有效市场。法玛也参考市场对信息反应的明显程度差异把此市场划分成强式、半强式与弱式三类。因此，法码确定出和证券价格有关的而不同信息：首先：＂历史信息＂，主要基于证券市场交易的有关历史信息，例如历史股价与成交量等；其次：＂公开信息＂，也就是全部能公开得到的与企业相关的财务和未来发展空间等众多部分的信息；最后：“内部信息”，表示只有企业内部人员才可以得到的有关信息。此外我国证券行业的现实状况是，投资者可以获得的信息并不对等，此外投资人员会受到周围环境的影响，造成股价不符合企业实际价值，就是因为如此，我国证券市场最近一段时间经常不符合有效市场，随着计算机技术的发展与应用，国民对于股票分析的理论以及技术的研究提高到了更深的层次；出现了多种理论与技术方法相互交叉的势态，比方说现在的跨学科、跨层次研究，像最近这几年出现的神经网络、人工智能、神经网络、模糊数学、和信息算法以及支持向量机等各种用于预测分析理论的融合技术。长久以来，ＰＭＩ变化状况和股票指数变化之间的关系是各国专家分析的主要内容；很多专家在此部分进行充分分析，且得到良好的成就。通过整合相关资料可知，得知各国专家在分析双方关系的时候，根据建模形式的差异，重点制造业ＰＭＩ与上证综指关系的实证研究基于官方ＰＭＩ与汇丰ＰＭＩ的比较分析币供应量、物价水平、工业增长水平、ＰＭＩ指数等指标之间具有长久正相关关系。

　　１．２．３简要评述

　　从各国专家分析结果中我们就能知道，因为不同专家在分析方式、分析样本选择等部分存在明显的不同点，不同专家在把ＰＭＩ指数当做众多变量之一添加到计量模型，且对ＰＭＩ指数变量和股票市场指数的彼此关系开展分析时，最终得到的结果并不相同。有专家指出，ＰＭＩ指数变量和股票指数具有正相关，很多专家指出具有负相关关系；此外，也有专家指出双方没有相关关系。即便专家得到的分析结果各不相同，然而经过对目前众多文献进行整合我们就可以知道，专家所使用的分析方式大致相同。分析方式一般是协整研究方式、格兰杰因果研究方式、自向量回归研究方式、脉冲研究法、方差研究法等，上述都给本文分析提供思路和方法上的借鉴。另外，通过对目前文献的整合，我们可以知道目前文献内把ＰＭＩ当做单一变量进行计量模型的分析非常少。就是因为如此，本文尝试从ＰＭＩ指数着手，主要使用众多研究方式对官方ＰＭＩ和汇丰ＰＭＩ与上证指数的彼此关系开展对比分析，最终丰富现制造业脚Ｉ与上证综指关系的实证研究一基于官方ＰＭＩ与汇丰ＰＭＩ的比较分有研巧成果。

　　本文选取了2008年1月至2017年12月的制造业PMI，上证综指指数（下称SH），沪深300指数（下称HS300）的月度信息，此处制造业PMI数据源自我国统计局部数据网站（http://data.stats.gov.cn/index.htm），上证综指和沪深300指数数据来自于国泰安数据库。

　　为分析我国制造业PMI与上证综指、HS300彼此的影响关系，本文创建向量自回归（VAR）模型开展实证研究；此外，使用协整研究、格兰杰因果研究、脉冲研究等计量方式对PMI与上证综指、HS300的关系开展全面且深入的解析。之所以采用VAR模型进行对制造业VAR与股票指数进行相互关系的分析，一方面是因为宏观经济信息与股票市场的相互影响一般会存在相应的滞后期，运用VAR模型可以很好地捕捉到这种滞后期的影响，另一方面要分析制造业PMI与股票指数之间的相互关系、影响大小，VAR模型的格兰杰因果检验、脉冲研究、方差研究等方式就为完成上述目标提供相对实际的方法。另外VAR模型自身也具有很多优点，比如不需要指明哪些变量是内生变量，哪些是外生变量，可以用OLS方法直接进行估计，比ARMA模型更具有一般性等等。本文运用Eviews软件进行数据处理。

　　1980年，Sims指出向量自回归模型（vector autoregressive model）。上述模型使用多方程联立的方式，其并未将经济理论当做基础，在模型所有方程内，内生变量对模型所有内生变量的滞后值实施回归，进而预估所有变量的动态关系。

　　包含N个变量的变量滞后k期的VAR模型详情为:

　　其中

　　为阶时间序列变量。c为阶常数项列向量。均为矩阵，是阶随机误差向量，此处所有元素全部是非自相关，然而上述元素，也就是各个方程对照的误差项之间也许出现相关性。

　　因VAR模型内不同方程的右侧只包含内生变量的滞后项，其和是渐进不相关，因此使用OLS法依次预估所有方程，得出参数估计量均具备一致性。

　　（1）对于滞后一期的VAR模型，即，维持VAR模型稳定的基础是的根全部在单位圆之外。也被叫做反特征方程。或的根都在单位圆以内。特征方程的根就是的特征值。

　　（2）对于滞后k期的VAR模型(k>1)，其稳定性的判别要复杂的多，能利用附加伴随矩阵的方式，改写成一阶分块矩阵的VAR模型方式。之后使用特征方程的根判别稳定性。详细变换过程为。

　　确定k阶VAR模型，

　　再配上如下等式，

　　将上述k个等式撰写成分块矩阵的方式，

　　此处不同元素都代表单个向量或矩阵。让

　　上式可以写为

　　那么一个滞后k阶的VAR模型便化为了上式的滞后一阶的VAR模型，平稳的条件是方程的根都在单位圆以外。

　　创建VAR模型不只要达到平稳性要求，此外也需要明确滞后期k。假如滞后期不足，误差项的自相关会更明显，且造成参数估计非一致性。然而k假如过高，会造成自由度缩减，甚至影响参数估计量的精准性。为了准确的确定滞后阶数k，我们有两种途径可以走：似然比法；信息准则法。

　　似然比法采用LR统计量挑选k值，LR（似然比）统计量定义是，

　　其中和分别是VAR（k）和VAR（k+1）模型的极大似然估计值，k代表滞后阶数。LR统计量渐进服从分布。很明显在VAR模型滞后阶数的增加不会导致极大似然函数值显著性增加时，也就是LR统计量的值低于临界值，新增滞后变量对VAR模型没有影响。

　　信息准则法有以下三种常用的信息准则：

　　在这里，表示的是回归方程中所有的回归参数的总个数，即，N为回归变量的个数，k为滞后阶数，T为样本个数，为回归方程的残差向量估计值的协方差矩阵。信息准则统计量越小表示滞后阶数的选择越恰当，因此我们可以通过比较不同滞后阶数的信息准则统计量来选择最佳的滞后阶数。

　　VAR模型能用来测试变量和其他变量是否具有因果关系。计量经济学中格兰杰（Granger）非因果性概念为：

　　假如由与滞后项所确定的的条件分布和只有的滞后项所确定的条件分布没有差别，即

　　则称的滞后项对存在格兰杰非因果性。

　　假设以为被解释变量的方程如下：

　　则检验对存在格兰杰非因果性的零假设是：

　　假设检验的统计量是，近似服从分布。若统计量大于临界值，则拒绝原假设。这里表示不施加约束条件的残差平方和，代表施加约束条件的残差平方和。k代表最大滞后期，N代表内生变量的个数,T表示样本容量。

　　因为VAR模型参数的OLS估计量仅表现出一致性，单个参数估计值的经济解释相对艰难。要对模型进行研究，一般需要查看系统脉冲响应函数与方差分解。

　　（1）脉冲响应函数

　　脉冲响应函数叙述内生变量对误差冲击的反馈。详细的说，描述是在随机误差项上增加标准差大小的冲击之后对内生变量当期值与未来值所产生的影响。

　　对于所有VAR模型都能化成无限阶的向量MA（∞）过程。详细方式是所有VAR（k）模型都能利用之前指出的附加伴随矩阵式的形式撰写成单个VAR（1）模型，写为

　　这是一个无限阶的向量MA（∞）过程，或写成

　　全部的移动平均参数矩阵改用表示，

　　则有下式成立：

　　若误差项的各个分量是不相关的情况下，中第i行第j列元素代表的是，让其余误差项在所有阶段都不变，在第j个变量对照的误差项在t期受到一个单位的冲击之后，对第i个内生变量在t+s期产生的影响。将内的第i行第j列的元素当做滞后期s的函数，就变成脉冲响应函数。

　　对脉冲响应函数的解释存在的而主要问题是现实中不同方程对照的误差项有一定的关系。在误差项相关时，他们存在相同的构成方面，无法被其他特定变量所辨别。为解决上述问题，一般增加变换矩阵与相乘

　　进而将的方差协方差矩阵变成对角矩阵，之后开展后续的操作，此处不再赘述。

　　（2）方差分解

　　VAR模型的另一种分析方法是方差分解，即分析未来t+s期的的预测误差有不同的新息的冲击影响的比例。具体的数学推导步骤在这里不做具体阐述，只给出一般性的结论，当中各分量之间线性无关时，它给出了未来t+s期的的预测的方差由各内生变量在t时期的变化所贡献的比例，以此来衡量影响各变量变化的因素的重要程度。

　　注：表格中的PMI表示制造业PMI指数，SH表示上证综指指数，下同。

　　由于本文的目的是要探索股票市场和宏观经济间的相互关系，因此本文拟对PMI、上证综指（下称SH）与HS300建立3变量的VAR模型，进行比较分析。

　　先对单个数据进行时间序列的平稳性检验，即单位根检验，检验结果见下表：

　　由表2可知，PMI指数是平稳的，而上证综指和HS300都不平稳，有单位根，通常我们要对数据进行差分处理，但是差分处理后的数据会丢失掉它原有的经济金融意义，但是我们知道，如果数据之间是协整的，即使不平稳，仍旧可以建立VAR模型，为此我们先尝试建立VAR模型，然后再检验数据间的协整性。

　　3.2.1滞后阶数的选取

　　用Eviews进行信息准则统计量的计算，选取最佳的滞后阶数，计算结果见下表：

　　3.2.2 VAR模型参数的估计以及协整检验与平稳性检验

　　本节一开始我们说到，由于我们的数据是非平稳的，因此建立的VAR模型必须是协整的，才能说明变量之间存在长期的相互作用关系。我们先利用3.1.1的结果，选取最优的滞后阶数，估计模型的参数，由于估计的结果内容较多，不便放在正文，见附录2。

　　当估计了模型的参数后，对模型进行平稳性检验，检测这个模型的单位根，结果如下：

　　由平稳性检验可知，根都落在单位圆内，因此建立的两个VAR模型都是平稳的，由表4的协整检验结果可知，VAR模型都是协整的，因此我们接下来可以进一步做因果检验，脉冲分析，方差分解。

　　3.2.3模型的格兰杰因果检验、脉冲分析、方差分解

　　对PMI、SH与HS300的VAR(10)模型，做格兰杰因果检验，检验结果如下表：

　　由上格兰杰因果检验可知，只有一个检验是显著的，也就是HS300是PMI的格兰杰“原因”，其他的变量间都不构成“因果”关系，因此接下来我们重点关注HS300对PMI的影响。

　　通过3.2.1节的选取最佳的滞后阶数，以及3.2.2节的模型的稳定性、协整性检验，我们建立了平稳的关于PMI，SH，HS300的平稳的VAR(10)模型，并且在3.3节中，进行了格兰杰因果检验，脉冲分析，方差分解，我们发现这三个变量间，仅仅HS300对PMI有“因果”关系，而上证综指对PMI不存在格兰杰“原因”，并且单独做了HS300与PMI双变量的VAR模型的脉冲分析，通过图5，我们发现当在0时刻对HS300受到一单位标准差的冲击时，对PMI的影响是先升后降的，在前四个月这种影响逐渐增加，并且在第四个月达到极值，然后这种影响逐渐下降，大概在第10个月，这个冲击带来的影响基本消失。通过方差分解，我们可以看到HS300以及SH对PMI方差的贡献率，随着时间的推移，PMI未来大约30%的方差来自于当期的SH和PMI的波动的影响。

　　另外，从脉冲分析的结果，我们观察PMI对PMI，SH对SH，HS300对HS300的脉冲图，我们可以看出，这三个变量自身对自身的影响是明显的，它们对自身脉冲的影响，大体上都呈现出初期最大，随着时间的推移，递减的趋势，后来逐渐趋向于0，当观察方差分解的结果时，我们也可以看出，类似于脉冲分析的结果，PMI，SH，HS300这三者，它们各自未来一段时期的方差的来源，80%以上都来自于当期自身的波动，其中HS300最为明显，90%以上的方差来自于当期自身波动的影响。由此可见，这三个变量都是具有时间相关性的，具有自回归的性质，即变量将来的取值变化，受到现在值的影响。

　　本文通过对制造业PMI，上证综指，沪深300指数进行建模，建立了平稳的三变量的VAR模型，主要分析股票指数和PMI之间的关系，我们得出，HS300是PMI的格兰杰“原因”，而上证综指不是，也就是说在解释股票市场和宏观经济变量PMI间的关系时，HS300更具有代表性，解释力度更好，这可能与这两个指数的构成有关，HS300是沪深证券交易所联合发布的反应市场的指数，它反映的是流动性强和规模大的代表性股票的股价的综合变动，而上证综指是大型蓝筹公司为主，不同规模的公司共同发展的多层次蓝筹股市场，相比之下，HS300更能反应经济的情况，更具有代表性及参考性。

　　另外我们发现HS300是PMI的格兰杰“原因”，而PMI不是HS300的，另外从脉冲分析也可以看出HS300对PMI的冲击是明显的，也就是HS300的变化，会伴随着随之的PMI指数同向的变化，先递增，后递减，逐渐消失，但是PMI对HS300的冲击是不明显的，也就是PMI变化时，HS300的反应是平缓且微小的，可能的解释是，PMI指数和HS300都能在一定程度上反应经济状况，但是正如前文所说，股票市场是瞬息万变的，是宏观经济的“晴雨表”，当宏观经济状况发生变化时，它首先在金融市场上被反应感知出来，体现在HS300指数首先会因为经济状况的变化而发生变化，而PMI指数的反应则相对较慢，当HS300指数产生波动时，意味着经济状况有所波动，这种波动随即会逐渐的影响到PMI指数，而且这种影响会在初始的一段时间逐渐增大，后慢慢减小，这就是为什么HS300是PMI的格兰杰“原因”，并且HS300对PMI的脉冲影响的图像是先增后减的“钟罩”型曲线。

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