数学建模在经济领域中的应用

　　在二十年的发展历程中，数学建模得到了良好的成效，基于其长久的发展历史，大部分研究人员开始进行深入的研究与总结。张思明等站在统计研究的角度上分析国内数学建模的发展历程。章小童等，使用文学计量学的方式对以not币rst格式下载的文献开展软件研究，深入分析国内数学建模的发展走势。然而对上述文献开展研究，只可以得到文献时间、作者、期刊和关键词。上述研究表现出明显的不足和问题，无法充分表现出数学建模的发展走势。另外，本文从数学建模众多角度研究国内数学建模的发展和使用现状，进而寻找到出现的现实问题，为后续的发展准备良好的借鉴[3]。

　　通常状况下，只依赖数学模型无法全面处理现实经济学难题，大部分经济相关问题需要基于微观层面开展详细的研究，只有如此才可以汇总出本质规律。要想通过数学知识来处理经济学现实问题，就需要创建完善的经济学模型。使用数学建模来处理上述现实问题具备一定的理论基础，大部分时候站在经济学角度上只能了解问题方向与目标，但是具体过程缺少深入的研究，而通过数学模型就能全面处理上述现实问题。数学建模能够利用数字、图像和框图等方式来清楚直接的呈现当前经济的真实情况。

　　数学模型表示将某事物系统的重要特点、重要关系抽象出来，使用数学语言大致或类似的表达出数学结构。其主要是对客观事物的空间类型与数量关系的大致呈现[4]。

　　数学建模是创建模型处理现实问题过程的称呼，也就是通过数学方式处理现实问题的具体过程。此建模利用对现实问题的抽象、简化，明确变量与参数，且使用部分“规律”创建变量、参数和清楚的数学模型，求解此模型，解释检验得出的解，进而明确是否可以处理问题、反复循环、持续深化的过程。重要是把现实问题使用数学模式表达，创建完善的数学模型，之后使用领先的数学方式和计算机技术求解。也就是说，使用数学式(比如函数、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等)来表达所分析的客观主体或系统在某部分的重要规律。把现实问题使用模型表述出来，检验上述问题在各个假设基础上的多种结果，主要用来预估在多种环境中特定问题此后的发展[5]。

　　假如遇到较为困难的现实问题，无法直接创建数学模型，此时使用计算机模拟问题继而研究其发展历程和结果，就能寻找出其现实规律性，最终判定未来的发展走势和结果。也就是说在我们无法使用准确的数学模型处理时，就可以使用计算机模型处理[6]。

　　合理使用数学可以促进建模的发展。伴随计算机和科技的持续发展，数学逐渐使用到自然科学、工农生产、经济项目与日常生活的多个部分。使用定量方式对分析主体开展深入研究、预估、决策与控制时，一般需要使用数学，在具体使用的时候最关键的部分是创建数学模型，主要使用数学处理现实问题，在其出现之后，数学才可以使用在实践中，且为现实服务，目前数学建模逐渐变成分析大部分经济金融问题不可或缺的关键方式。

　　萨缪尔森使用数学方式处理经济相关问题，促进数学建模在经济行业内的使用，引导经济学术领域开展全新的变革，促使经济分析进入到全新领域。数学建模在1992年出现，到目前经历了几十年，上述时期内数学建模逐渐处理了大部分行业之前不能处理的复杂问题，比如变动连续性问题和集成优化地处理时效变化问题等，当前不同行业技术人才全部使用数学建模对经济项目开展研究预估，最终做出正确的决定，加快组织和个人的长久发展。所以，作为培育经管类人才的高校创建数学建模课程，对提升学生研究与处理问题水平具有非常个关键的影响，是我国培育具备数学专业素养人才的高效方式。

　　要想使用数学模型来全面处理现实经济学问题，重点被划分成两部分，首先要全面了解问题出现的背景且了解具体情况，之后利用假定方式来了解目前的现实问题，利用抽象和形象化模式创建符合需求的数学模型。使用数学知识与方式来叙述问题内变量参数间的紧密关系。如此就能得到众多与之相关的经济类信息，之后把建模内得出的数据和真实情况进行对比与研究，最后得到结果[7]。

　　例：设某产品可确保最低出售件，每件价格是元。假如销售量提高，可依照每销售增加件，每件减少元的比值适当调低价格。目前制造此产品的固定费用是元，可变成本是每件元，假设此产品是以销定产（也就是产量和销售量均等）的。请问产量是多少时，才可以得到最高经济效益？

　　解：设此产品的产量是件，那么成本函数为，价格函数是，收入函数是，利润函数是，站在利润比低于零的角度分析利润函数的定义域，解得x超过，此外不大于，由于原题内最少出售一万件的条件，假定产量的范围是大于等于，此外小于等于。让，得出，此时，此外在内只存在单个驻点，则肯定出现对照收入最高的产量，根据数学分析内导数的知识了解到此产品的产量是三万件得到最高效益。此外，让，得出，此时，且在内只存在单个驻点，则肯定会出现对照于利润最高的产量，因此在产量是两万件时效益最高。对比两万件与三万件时的效益，明显前者利润收益更高，因此产量确定城两万件时可得到最高效益，最高效益是三十四万元。因此可知在现实管理中不能只寻求收入最高，而不思考利润怎样，收入最大需要将利润最高当做基础要素。

　　上述案例表示使用导数求极值问题在经济行业内具备现实指导价值。分析表示，使用数学模型对经济问题所进行的定性研究与定量研究相对严谨、可靠、精准。

　　例：设某产品可确保最低出售件，每件价格是元。假如销售量提高，可依照每销售增加件，每件减少元的比值适当调低价格。目前制造此产品的固定费用是元，可变成本是每件元，假设此产品是以销定产（也就是产量和销售量均等）的。请问产量是多少时，才可以得到最高经济效益？

　　解：设此产品的产量是件，那么成本函数为，价格函数是，收入函数是，利润函数是，站在利润比低于零的角度分析利润函数的定义域，解得x超过，此外不大于，由于原题内最少出售一万件的条件，假定产量的范围是大于等于，此外小于等于。让，得出，此时，此外在内只存在单个驻点，则肯定出现对照收入最高的产量，根据数学分析内导数的知识了解到此产品的产量是三万件得到最高效益。此外，让，得出，此时，且在内只存在单个驻点，则肯定会出现对照于利润最高的产量，因此在产量是两万件时效益最高。对比两万件与三万件时的效益，明显前者利润收益更高，因此产量确定城两万件时可得到最高效益，最高效益是三十四万元。因此可知在现实管理中不能只寻求收入最高，而不思考利润怎样，收入最大需要将利润最高当做基础要素。（崔宜兰，1997）。

　　上述案例表示使用导数求极值问题在经济行业内具备现实指导价值。分析表示，使用数学模型对经济问题所进行的定性研究与定量研究相对严谨、可靠、精准。

　　在竞争发展中，某产品价格会自主调节，促使此产品的需求量和供给量保持均衡。为了进行深入研究，诠释农学家新发现的影响现象，此时需要使用下面的方式：弹性定义。弹性是评估买卖两者对市场变化反应激烈程度的指标，其促使我们精准的研究供给和需求，在分析某事件或方针怎样作用于现实市场的时候，我们不只要分析杉树影响趋势，此外也需要分析具体大小。弹性是重要的数学定义，表示相对变化率，使用比例分析，是自变量变化1%所造成囚变量变化的百分数，所以弹性是不依靠其他单位的计量法，也就是无量纲。设x与Y是不同变量，Y对X的弹性是，在可导时，其计算公式是

　　。

　　显然，设某商品市场需求量是Q。价格是P，需求函数可导，那么此产品需求对价格的弹性（也就是需求弹性）是,因为需求函数通常是单调减少，所以需求对价格弹性一般是负值。

　　比如，假定某商品需求量Q是价格P的单调减函数：，收益函数是R，其需求弹性。假定在时，由于，那么，其所代表的经济含义是：在时，价格每提高1%，那么综合收益会提高0.54%。

　　现实运作时期，利用对市场的深入调查和信息收集，且使用上述研究和统计，让决策者按时调节生产和销售方案，就可以全面的对市场开展监管和调节，其是经济学领域内普遍使用的关键定义，在预估市场结果、研究市场受到干预时所出现变动等部分具备关键影响，是公司管理层使用数学方式做出决策的重要研究工具。因此可知，“弹性”是调节供需关系的核心[8]。

　　人口问题是世界性难题，也是目前值得关注的现实问题，是目前大部分国家普遍重视的问题。当前，全球人口不断增加，对人数的管控和预估就变成重要的社会学中难题。人口规模是目前地区规划与土地使用综合计划内非常关键的指标，人口规模是否合适，不只作用于此后区域经济与社会进步，此外也会作用于区域生态环境长久稳定发展。所以，精准预估此后人口的发展走势，修订完善高效的人口计划与布局方案，就表现出重要的理论与实践价值[9]。

　　在上述模型中，思考到所有生物的总个数全部是正整数，其是时间X的阶梯函数，在种群总数很多时（比如某个国家人数，某海域内鱼的条数），种群内个体变动和总数相对来说并不多。所以，此时可当做，时间X伴随时间连续，可轻微变动。马尔萨斯指出，人口在X时的增长率和目前人口总数为正比：

　　此时，和社会条件相关，根据上述情况可知人口案指数型增长：

　　马尔萨斯在创建自身人口模型时使用下面的公理(基本假设)：首先食物是人类生活所需要的，其次是人口表现出自然增长走势。其指出因为劳动报酬递减规律的影响，人口增长始终超过生活资料（食物）的增加，因此人口始终是饱和状态，导致社会发展暂停。其主要论题是人口增长有高于食物供应增加走势的思想。马尔萨斯在个人早期撰写的文章中，使用比较严苛的方式表述上述观点，指出人口出现几何增长走势(也就是依照指数增长走势，比如级数1，2，4，8，16…..），其中食物供应只是算术增长走势（也就是依照直线性增长走势，比如级数1，2，3，4，5…..）。马尔萨斯在自身撰写的书籍中，使用并不严苛的方式再次重申个人观点，只表明人口会出现无限增长的特点，一直到食物供应的最高限额为止。其主要从撰写的书籍中得出下面的结果：大部分人肯定要在贫困与饥饿中生存。基于长远角度进行分析，所有技术进展也无法转变上述走势，由于食品供应增加会遭受一定的约束，其中“人口指数无限地大十地球为人类生产物质的指数”。其明显不符合现实情况，此后专家对上述模型进行修改，指出（*）式中的a并非是常数，其是更高规格的一次函数，由于假如要当做常数，其并未分析到大部分社会生存因素。因此，把修订成，后者不如前者大，也就是说，在持续增多，因为生存环境的资源等作用，对X的增长率随之变慢。如此，随之出现在更大时，，此项必须重视，我们使用解常微分方程的方式，且使用初值条件,对上式左右两边开展积分，得　在时，，其表示，在特定时期以后，人群总数就会维持在饱和数值。基于我国多次人口统计数据可知，a和b的拟合值，之后得到某年人口预测值和饱和值。从二十世纪中期开始，世界上就逐渐使用微分模型处理生态种群问题，尤其是人口问题，也得到了良好的成果[10]。

　　对于函数，在条件的条件下求最大值或最小值问题，也就是在条件极值问题。例如，一个工厂的收益是由其成木与价格以及其余相关因素确定的，此处就涵盖比如人事支出成本、电费、垃圾处置费等众多囚素，所以无直接利用售价减去费用的运算得出结果，此时要创建数学模型处理。在上述换机中，条件极值模型随之出现。因此，我们需要创建辅助函数

　　之后求解方程组

　　全部满足此方程组的解中是在条件下的可能极值点，最终在也许存在的极值点中得出最大值点或最小值点，具备优化功能。

　　比如，某工厂制造甲乙两类产品，在上述产品产量是单位:吨)时的综合收益是

　　综合成木函数是(单位:万元)。另外，制造甲，乙两种产品每吨也要另外支付排污费2万元，1万元。目前可以分析:在规定排污费用支出总数是8万元的时候，甲，乙两产品产量是多少时综合利润最高，且具体数值是多少?

　　在规定排污费用支出总额是8万元的时候需要算出综合利润函数在约束条件即下的条件最大值，使用拉格朗日乘数法，因此

　　为求的驻点，让

　　目前可利用前两式消去参数得出，之后和第三式联立得出唯一驻点，由于驻点唯一，此外上述现实问题肯定会有最高利润，统计结果可知，在排污费用要求是8万元的时候，甲，乙产品产量是2.5(吨)与(吨)时总的利润得到最大值，且利润（万元）。如此规划生产，更为科学，可以得到最高利润。

　　数学在经济领域内的使用也有一定的局限性，使用数学知识与模型来处理经济领域内的问题，上述情况并非是数学的现实延伸与分析，而是使用数学更为便利的诠释经济领域内的相关现象。经济学是社会科学的重要部分，逐渐变成社会经济与科学发展的关键基础，其中人类受到多种因素的影响，开始更加依赖经济学，经济学发展不能变成抽象的，使用公式轻松计算的科学，此时需要添加数学知识与模型，才可以全面加快经济学的进步。

　　在经济学的长久发展历史中，大部分时候要站在独特的分析角度上去仔细查看与发现，通过数学模型来帮助经济学进行研究，才可以得到良好的结果，然而数学建模的使用并非全部适用于所有问题，而需要满足相应的标准，在经济学领域内数学建模的使用被限制在特定区域内，并不能无所禁忌的使用。

　　通过数学建模来处理目前的经济问题是普遍的方式，然而上述方式也存在一定的问题。由于大部分经济类问题中也许不能使用数学建模处理，大部分时候高校教师通过经济学的思维模式进行处理。因此为了全面加快经济学的教育与普及，需要和数学建模相互结合，只有如此才能全面促进经济学的进步。

　　1.逻辑推理能力。是我们学习与工作需要具备的主要能力。

　　2.数学应用能力。数学建模使用数学语言表述经济领域内重要变量关系，进而处理现实问题的过程，因此其需要具备较高的数学应用能力。

　　3.计算机应用能力。在无法使用数学语言表述经济变量关系时，也需要使用计算机程序设计来模拟表述具体的变量关系，因此计算机应用能力也是非常关键的部分。

　　4.统计分析能力。经济变量关系不仅可以表述成确定函数关系，此外还能表述成不确定随机关系，随机关系表述要使用统计研究理论与方式，因此统计研究是数学建模中的关键能力。

　　5.实证研究能力。实证分析是当前会计、金融、经济、管理中非常关键的分析方式，其不只可以查看数学理论的精准性和高效性，此外还能分析出全新的经济变量关系。因此实证分析是数学建模方式，实证分析能力还是建模中的关键部分。

　　6.实践创新能力。数学建模不只可以表述原本理论，此外还可以寻找全新的知识，因此数学建模需要学生不断探究与全面创新。

　　经济建模使用数学语言表达经济问题因此我们要具备充足的理论知识。其由确定经济变量关系创建的确定性数学建模，也包含众多不确定经济变量关系创建的随机性模型，上述不确定的一定概率下的经济变量关系使用统计知识才可以创建经济数学模型，进而协助处理现实问题，因此统计学是经济数学建模中关键的理论知识。在创建经济管理数学建模的时候会使用到经济学与管理学知识，因此在现实问题的处理中也需要使用建模知识。会计学是公司财务和财务管理的重要科目，其根本上是经济财务问题不断健全的模型和在模型前提上创建的理论体系，因此会计学也是数学建模的重要成就，经济数学建模是会计学理论不断发展和分析的过程与方式，比如资本资产定价模型、投资组合模型等多种类型的，全部是会计领域内的关键知识。金融、会计、经济各方彼此关联，大部分经济建模是会计、金融间，哦，金融学和会计学相同，和经济数学建模彼此依赖，全部是数学建模中的关键的理论知识。在使用计算机方式模拟创建建模的时候，使用到计算机程序设计等相关理念，因此此类理论还是经济数学建模非常关键的部分。所以经管建模是融合会计、金融、经济、数学、计算机知识的负责科目。

　　高等数学内大部分概念公式定理其使用背景较强，因此要分析上述教材知识，结合数学建模方式，整理和研究上述内容，进行相应的创新，加强其在现实中的使用。比如关注导数使用，上述应用范围较为宽泛，比如使用一阶、二阶导数求函数的极值，处理经济学领域内边际研究与弹性研究等。比如某企业基于产品成本与销售情况确定产品价格，寻找最佳价格，促使企业利润最高，上述案例内可粉嫩系产销均衡局面下优化价格模型。

　　教学过程中也需要通过典型案例不断激励学生。比如举例表述，诺贝尔经济学奖的获得全部是其分析工作正确且合理的使用了数学方式去处理他们所遇到的相关经济问题，创建了比较高效的经济数学模型。另外华尔街与部分西方国家大银行、证券企业高薪聘请大量专业的数学、物理博士开展资本资产定价、套利、风险评估、期货定价等相关活动；此外部分薪酬较高的IT领域工作人员，比如IBM、微软、谷歌等产业领军者，不只不断聘请数学领域博士、硕士到企业工作，此外也单独创建具备庞大规模的数学分析组织开展相关理论分析，以提升自身综合竞争水平。此外，数学建模在经济行业内的使用较为普遍，促使国家开始更加需要具备数学建模能力的专业人才，所以此部分经济人才具备强大的职业竞争能力。利用上述真实案例来激励学生，提升他们学习的积极性。

　　目前国内经济学发展逐渐得到了良好的成效，不管是站在宏观经济层面进行分析，还是站在微观经济层面进行分析，经济学的发展都要使用合适的数学建模来协助，近期采用数学建模也为国社会经济的持续发展带来了积极影响。本文研究数学建模对经济发展的影响，论述经济学领域内的弹性模型与马尔萨斯的人口模型的现实案例，此外深入研究数学建模能力相关标准，在现实使用中，数学建模需要对市场进行相应的调查和信息收集，且进行深入研究和计算，让管理层尽早调节生产和销售计划，如此才可以对市场开展监控和调节。然而数学建模在国内经济行业内始终位于发展早期，数学建模能力需要不断提升。所以在国内社会经济持续发展的时候，需要提升数学建模的教育水平。希望利用本文分析，能够促使大众更加重视数学建模，提高整体水平，进一步加快国内社会经济的发展。

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