毕达哥拉斯与形数

摘要

毕达哥拉斯是古希腊时期著名的数学家、哲学家、天文学家，最早提出万物皆数的观点，他在古希腊数学史、哲学史、天文学史和音乐学史上都占有重要的地位。本文在对毕达哥拉斯其数学哲学思想的形成、发展研究的基础上，进而研究其数学哲学思想及其对后世的影响和思考，以期能为我国目前数学哲学的发展提供经验借鉴。毕达哥拉斯数学哲学思想的提出是对前人智慧哲学的超越，另辟新的“诺亚方舟”。对数学哲学思想内容的介绍，紧紧围绕他的数是万物本原的思想进行理论分析。

关键词：毕达哥拉斯；形数；和谐；数学哲学

　一、毕达哥拉斯简介

毕达哥拉斯，出生在爱琴海中的萨摩斯岛（今希腊东部小岛），生于公元前约 572 年，终于公元前约 497 年，享年 80 多岁。他是古希腊著名的数学家、哲学家和天文学家，在古希腊数学史、哲学史和美术史上具有重要地位，尤其他所创造的“万物皆数”的数学哲学思想在古希腊历史上有着深远的影响。毕达哥拉斯一生的学术贡献非常大，对数学的主要贡献有：“1、证明了勾股定理(直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和)。2、将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数等。3、利用几何学的直观，巧妙地定义了三角形数、正方形数、五边形数等。4、发现了无理数根号 2，发现了数学上的黄金分割。对数学哲学的主要贡献有：把抽象的‘数’作为万物的始基，建立了‘数’是万物本原的数学哲学思想[1]。”

　二、形数

即有形状的数。毕达哥拉斯学派研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生了一系列的形数[2]。

　三、万物皆数

　　（一）数的本原是“一”

毕达哥拉斯万物的本原抽象于科学，抽象于一门具体科学，抽象于数学中的数。从纯数学的角度、从毕达哥拉斯时代数学的发展水平来看，毕达哥拉斯数的范围比较狭窄，仅指自然数和分数（有限循环小数），无理数、负数的概念还没有出现，“负数概念在西方得到承认是近代数学时期的事。”他把数划分为奇数和偶数，包括完全数、过剩数和亏数。毕达哥拉斯的数与我们今天具有抽象意义的数是不同的，他的数不但具有数量的多寡，还有重量、大小等不同形状的几何体。这样看来毕达哥拉斯的数具有两种特点：一是事物的质料因，也就是造就事物所需要的物质材料，二是事物的形式因，也就是造就事物的性质、特点等所需要的精神元素。从几何、从数形结合的角度来看，毕达哥拉斯的数相当于有质量的原子和点，X的数学史家 M 克莱因认为：“毕达哥拉斯心目中的数就如同我们心目中的原子一样。”古希腊毕达哥拉斯之前常用卵石计数，拉丁文“calculus”含有卵石和计数的意思，卵石是一种计数工具，到了毕达哥拉斯时代还继续沿用。“毕达哥拉斯派继承了上古时代以卵石计数的传统，常用平面上的点来代表数（自然数），他们将这些点排成各种几何图形。……借助几何图形来表示的数叫形数。”毕达哥拉斯把 1，3，6，10，15，21，28，……这样的数称为“三角形数”，把 1，4，9，16，25，36，49，……这样的数称为“正方形数”。总之，毕达哥拉斯天才地把数与几何图形有机结合起来的思想，是后来解析几何发展的萌芽。毕达哥拉斯把数是万物本原的思想深入到一是万物的本原，这个一就是元一，他和纯数学的 1 是有区别的，“元一对于毕达哥拉斯来说是一切数目所从出的一，是绝对的一，没有任何和它相反的东西，因此它既不是奇数也不是偶数。”元一是指宇宙的统一性和整体性，纯数学上的 1 是对元一的分有，是由元一产生的，把数的终极本原规定为元一，把元一比作太阳，当作宇宙的第一制造者、推动者。曹兴对毕达哥拉斯数的本原是一，他是这样认为的：“数的最高规定是‘一’。‘一’是一切数得以确立、产生、发展的单位和尺度，因此‘一’是有限事物的最终根源，‘一’是有限者的真正化身。”毕达哥拉斯数的本原是一，这个‘一‘就是元一，是个万能的上帝，毕达哥拉斯有句格言：什么最智慧?——数目。宇宙中包含着许多数目，数目中最基本的元素是一，由一可以组成无穷个数目，这里数目中的一应该指纯数学上的一。现在我们来研究毕达哥拉斯这个最具有智慧的数是如何产生万物的。

（二）万物由数生成

毕达哥拉斯的伟大之处就在于关于世界本原的叙述中，他超越了古希腊神话关于“混沌神”创世的叙述，超越了泰勒斯学派把感性具体事物当作世界的本原，另辟新的诺亚方舟，把世界的本原归功于某种抽象—数。关于数是如何产生万物的问题，毕达哥拉斯关于数产生万物的过程可以大体上分为三个阶段：数的产生过程；几何体的产生过程；物体的产生过程；下面我们对每一个具体过程逐一分析[4]。

（1）数目由一生成

古希腊哲学家对数目一非常重视，亚里士多德就曾经指出：“一表示着众多的尺度，数目表示着已经被度量过的多和诸尺度的多（所以很有理由认为，一并不是数目，因为一个尺度不能是多个尺度，一是尺度，是本原。”这段话说明了毕达哥拉斯把一当作万物的本原，一是神秘宇宙的创造者，一是奇数和偶数的复合体，一是使宇宙运动起来的发动机，一具有雌雄的特性，万数皆由一生成，由完满的一和不定的二共同作用产生一切数目，至于如何相互作用，根据目前的记载不得而知。

（2）由数目生成几何图形

毕达哥拉斯时代继承了卵石计数法，把一颗颗卵石当成一个个点，一和点等同，曹兴指出：“毕达哥拉斯数的本原是‘一’和‘点’。一切皆由‘一’组成，一切皆由‘点’形成。‘点’和‘一’是相通的。任何一个点都是一个‘一’。‘点’和‘一’是不可再分的最小单位。”这说明了‘点’和‘一’是构成物体不可分割的最小单位，但是由‘点’和‘一’不能直接构成物体，还要经过一个中间环节：线、面、体。关于点、线、面、体的生成历来有两种观点，第一种观点认为，点、线、面、体分别由数字 1、2、3、4 生成，“我们可以依据普罗克路斯和其他评注者的方法，把毕达哥拉斯学派在几何学方面的发现归纳为：1，点是由确定位置来界说的‘元一’。2，点可以类比为一元，线为二元，面为三元，体为四元。” 这说明 1 生成点，2 个点生成一条最短的线段，不在同一直线上的 3 点确定一个平面（三角形），3 点确定一个平面外加一点就确定一个体（角锥体），即体是由 4 产生的。格思里指出：“杨布利柯在其《算术的神学原理》中提到，斯彪西波说，1 是点，2 是线，3 是三角形，4 是角锥体，这些对于其所属类别的其他图形而言都是最初的和根本的；格思里认为，斯彪西波的这一讲法极可能来自菲洛劳或阿其泰，而后者则可能来自更早的毕达哥拉斯学派。” 格思里的言外之意，斯彪西波的说法线、面、体分别是由数目 2、3、4 产生的，这种观点在毕达哥拉斯学派前期就提出了，很可能是毕达哥拉斯本人的观点。另一种观点认为，由于点的运动形成了线、面、体，点动成线，线动成面，面动成体，从运动的角度来解释线、面、体的形成[5]。

（三）数与事物的关系

毕达哥拉斯的数不是纯粹的数，他的数是指事物的几何数和图形数。X哲学家梯利说：“（毕达哥拉斯）数一定是真正的实在，事物的实体和根基。”毕达哥拉斯的数虽然从具体事物中抽象出来，但它仍然存在于具体事物之中，这和柏拉图的理念和亚里士多德的实体有着本质的区别，理念也好实体也好，它们都是先于具体事物而存在，和具体事物是分离的。毕达哥拉斯认为事物即数，事物摹仿数来刻画自己，数存在于具体事物之中。

参考文献

[1] 曹兴.超越神话──古希腊人的哲学智慧[M].民族出版社，2005 年.

[2] 罗素.西方哲学史[M].何兆武、李约瑟译注,商务印书馆，1963 年.

[3] 黑格尔.哲学史讲演录（第一卷）[M].北京：商务印书馆，1983 年.

[4] 恩格斯.自然辨证法[M].北京：北京人民出版社，1984 年.

[5] 杨适.古希腊哲学探本（第一卷）[M].北京：商务印书馆，2003 年.

[6] 叶秀山.前苏格拉底哲学研究[M].北京：北京