引言
微积分作为一门数学基本学科，主要包括两个方面：微分和积分。微分指的是对函数导数的计算，是对函数变化趋势的研究。可以使用一组通用的数学符号来表示曲线的速度、加速度和斜率等，从而对函数的变化趋势进行研究。积分是为求积分相关问题提供的计算方法。微积分的几何意义在整个微积分学中具有极其重要的作用，所谓微积分的几何意义通俗的理解，便是将微积分的理论作为研究空间的几何特性的工具。随着计算机的发展和软件的不断更新交替，许多软件都可以用于研究微积分学的几何意义。而最具优势的则是MATLAB软件，MATLAB软件集数值分析以及图形显示等优点于一身，在建模、制图以及应用开发中得到了广泛的应用。用MATLAB对微积分进行图像展示，可以使抽象化的问题形象化，使得微积分变得更加简易易懂。
微积分在与数学相关的所有领域都有重要的作用，例如在金融领域中，我们经常会对搜集到的一些数据，为了方便对数据的分析，我们通过了解一些经济分析中常见的函数，对与金融相关的价格函数收益函数、净利润等进行计算分析，从而做到理行的判断。各种最优化问题不仅是经济分析最为重要的部分，也是微积分中最关心的问题之一。而我们现实中通过计算面积绘制建筑图、计算成本和获益，最终以此作为决策的风向标等等，上述种种都可以通过我们所学的微积分的理论知识进行详细的解答，微积分在金融中的作用，由此可见一般。将MATLAB用于微积分图像的绘制，使得微积分的公式变得直观立体，在研究的时候也变得一目了然。
1.设计介绍
1.1微积分概述
微积分是研究微分和积分为主的基础数学分支。微积分的最为重要的两个部分是“无限细分”和“无限聚集”，微分对应“无限细分”，而积分对应“无限聚集”。无论微分还是积分都是以极限为核心思想。因为事情总是在不断发生变化，你不容易研究他们的走向。但是，如果你把它分成几个小部分，它可以被认为是一个连续的过程，殊途同归，最终走到一起。微积分是随着实际应用而发展起来的，以至于微积分现在被广泛应用于天文学、力学等，特别是各种软件发展起来以后，对微积分应用的研究和理解，更是起到了相当大的帮助。
初等数学可以作为整个数学体系这棵大树的根，许多其他数学分支可以视作这棵大树的树枝，微积分在数学体系作用便相当于大树树干的作用。微分学中的求导数运算是一套关于变化率的理论，运用一组通用的数学符号，以此用来表示曲线的速度，加速度和斜率，从而对函数的变化趋势进行标示和研究。积分学以积分为基础，对面积和体积的计算所提供的简单方法。
微积分的产生分为三个阶段：极限概念、无穷小的求面积方法、积分与微分的互逆转换。在微积分出现之前，初等数学中许多令人无从下手的问题，随着微积分的出现得以解决，这也说明了微积分在数学中的是极为重要的，一件新生事物的出现不可能是一蹴而就的，伴随着人类的深入研究而成长，随着时间的推移而渐趋成熟，这是古今中外许多数学家共同努力和研究的结果。
在现实生活中，我们周围的人都可以为数学研究提供服务，例如排队等待问题、找最优值的问题、银行存储最大收益问题等等，可见，数学本身就源于生活。数学在生活中的应用，不仅解决了生产和生活中的实际问题，而且体现了人类的数学智慧。如果我们发现抽象的东西很难理解，那么我们就应该把它还原为具体的东西，即实现“具体抽象具体”的思维方式，从而使事物实现不断的发展和完善。
1.2 MATLAB概述
MATLAB是XMathWorks公司推出的一款数学软件，MathWorks公司是具有世界领先的计算和基于模型软件开发的公司，而所推出的M ATLAB更是一款集算法开发、金融建模分析、数值模拟、图像处理、人机对话环境等高级技术为一体的一款软件。
MATLAB是matrix（矩阵）和laboratory（实验室）两个词的组合。MATLAB将许多复杂强大的功能变得简单易于操作，例如矩阵计算、图形处理、金融建模分析等等，因此MATLAB在科学研究、工程设计、图形处理、分析数据中运用的范围越发广泛，直至今日，MATLAB已经成为了当今国际科学非常重要的计算软件之一，亦是科技发展不可缺少的一部分。与另外两个常用的数学软件Mathematica、Maple相比，MATLAB的优点是可以执行矩阵运算、绘制函数和数据、连接其他编程语言等。它主要用于信号处理与通信、图像处理、信号检测、设计与分析等。
1.3研究现状
MATLAB软件在微积分中应用最多的一个方面就是借助MATLAB的绘图功能，将抽象的函数的图形以MATLAB软件的绘图功能直观地展示出来，借助MATLAB的绘图工能对函数的几何性质进行研究，在培养学生的空间想象能力和对知识的理解方面起到了很大的帮助。多元函数涉及多个自变量，因此相比一元函数相对难学，随着MATLAB的出现，使得一元到多元的转变变得简单化，也使得数学的研究和教学中的多元函数微积分教学变得轻松起来。因此在大学中，我们的学习会有计算机辅助数学理解的教学,现在很多中小学也会通过这种方式促进学生对于微积分的理解，这样不仅丰富了教学内容,也能起到培养学生的空间想象能力的作用，让本来难懂的知识点变的易于理解和掌握，通知过这种方式，不仅可以提高同学们的学习兴趣,也可以培养他们利用MATLAB等计算机作为辅助工具解决数学实际问题。
1.4论文组织介绍
本次论文通过四个方面介绍了用MATLAB实现微积分图形问题的设计和实现。第一部分是引言部分，对课题的背景，课题要用到的技术以及之后会提到的章节做了总体的描述。第二部分是对MATLAB函数的介绍，具体介绍了在MATLAB绘图过程中所使用到的绘图函数。第三部分介绍了MATLAB函数的功能模块和常见图形绘制。最后一部分是对图像实现的具体介绍，包括用MATLAB程序语言描述微分函数及图形实现等内容。
2.关键技术
2.1开发工具
2.1.1 MATLAB
矩阵是MATLAB的基本数据单位，其指令表达式与数学函数和c编程语言中常用的形式十分相似，用MATLAB计算问题要比用C语言完简捷得多。而随着MATLAB的普及，MATLAB的程序语言的包容性也随之变的强大，对C，FORTRAN，C++，JAVA程序语言亦是支持。
强大的绘图功能：简易绘图、叠加绘图、函数绘图、色彩添加……
语言特点：语法限制不严、自由性好、语言简易、可移植性好、具有庞大的库函数……
符号运算：变量不赋值便可以参与运算；对于求解代数方程、矩阵求解、复合导数求解、积分求解、寻找最优值等问题具有很好的效果。
2.2开发技术
2.2.1 MATLAB的绘图功能（图像处理）
图像处理作为MATLAB最为重要的功能，配合上MATLAB无与伦比的数值计算功能,使得MATLAB在数学软件中具有代表地位。MATLAB在数据可视化方面表现尤为出色，例如：MATLAB具有绘制二维及高维的图形功能,并可以通过对图形的线型、色彩等功能将各种数据区分开来，使得数据变得更加简明易懂。
2.2.2常用的几种函数
close关闭当前图形窗口
close(h)关闭图形句柄h指定的图形窗口
close name关闭图形窗口名name指定的图形窗口
close all关闭除隐含图形句柄的所有图形窗口
close all hidden关闭包括隐含图形句柄在内的所有图形窗口
clf清除当前图形窗口所有可见的图形对象
clf reset清除当前图形窗口所有可见的图形对象，并将窗口的属性设置为默认值。
表1
2.2.3绘图函数表
曲线绘制的基本函数：
bar直方图
errorbar给图形加上误差范围
stem柄图（又称针状图）
polar极坐标图
hist频数累计柱状图
rose极坐标累计图
stairs阶梯图
fplot较精确的函数图形
fill实心图
feather羽状图
compass矢量图
quiver向量场图（又称二维箭头图）
表2
3.总体设计
3.1 MATLAB常见绘图
3.1.1直方图
在实际应用中，我们经常会遇到一些关于离散数据的问题，当我们需要将所得的数据进行比例分析时，直方图便是一个不错的选择，但要我们在运用直方图的同时，必须要注意该方法仅适用于数据较少的情况，一旦数据较多，我们必须另图他法。
绘图函数bar存在两种基本形式：绘制的矩阵的直方图，其中为矩阵，必须满足单向递增的条件；绘制向量的直方图，其中向量默认值为。Bar函数还可以绘制误差直方图，比如,其中与相当于直角坐标系中的横轴和纵轴，表示误差的最大值，代表误差的最小值，从而绘制出误差直方图。
3.1.2针状图
针状图主要用途是用来绘制数位信号的，又称饼图或针状图。MATLAB中对应的常用函数是函数，代表的是横轴的长度，从轴平行于轴延伸。除此之外往往会用参数来确定是否需要填充末端，以及参数对针状图的线型、颜色等属性进行标记。
3.1.3阶梯图
由于图形形似阶梯，所以被称为阶梯图，在MATLAB中，阶梯图用函数来绘制，而简单的绘制只需要设置出y轴坐标的步长，再将关于x的y表达式表示出来，以stairs（y）进行实现便可。
3.1.4饼图
饼图的作用是对已知数据的某一个分量在总量中所占的比例进行表述，饼图通常用用绘制，用绘制的向量的饼图，的值被规范化，以此确定饼图中每一区域的大小。在饼图中，时，的值视为饼图中片区域的大小；时，只需要画出饼图的一部分区域。的作用是用来从向量的饼图中去掉向量表示的片，必须与的大小相同。向量所置的分量对应区域与此饼图分开。用来标注饼图中对应区域的名称。
3.2编程功能
MATLAB语言被称为脚本式的解释语言，其语法规则简单，这种语言具有高度的包容性、编写简单、库函数丰富、交互能力好、移植性好、绘图函数丰富等。选择用MATLAB作为计算数学和研究微积分几何问题的工具，要比选择其它语言更为简单，如今MATLAB吸收了其它软件的优点，使得MATLAB渐渐地变得简易广泛化，对其它程序语言如今亦是支持的。
3.3微积分的数学问题
3.3.1速度与距离的问题
微积分在物理中的应用颇为广泛，例如求解运动中的物理时刻的速度以及其该物体时间段内运动的距离，我们列出距离函数公式：，当给定条件，已知物体的加速度，并且距离是以时间为变量的函数公式，让我们求解要求我们求物体的速度和距离。由于我们所研究的速度和加速度是瞬时的，所以求解速度和距离便变得困难起来。在我们计算物体在某时刻瞬时速度时，当我们采用移动的距离去除运动的时间，由于给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间都是0，0/0没有意义，可见，采用求平均速度的方法是不合理的。根据物理知识：绝对静止的物体是不存在的，为此我们会通过已知的速度公式，由于速度是个非固定值，所以我们来求解移动中的物体的瞬时速度会变得相对于棘手，为此我们引进了微积分的理论和思想对这类问题进行求解，只需要计算，求解出的值，带入后便可以得出的值。
3.3.2曲线切线问题
定积分求切线是微积分里最为常见的问题，简而言之便是，在某一轨道上的任何地点找寻一个物体的运动方向的问题，也就是说，一个物体的任一点的运动方向既是切线。而我们计算的时候只需要将公式化简，之后进行求导，便可以得出切线的值和切线的方向，当我们利用MATLAB对该类问题进行图形绘制时，其切线大小及方向会更加直观简明的展示出来。
3.3.3面积、体积等问题
求曲线的长度、曲线围成面积、曲面围成体积、物体重心等问题。可以应用穷竭法，但穷竭法缺乏一般性，常常得不到准确的解，随着数学的不断进步，微积分的创立，使得穷竭法从根本上被修改。
3.3.4最值问题
最值问题，简而言之就是微积分的极限思想，这在我们现实生活中应用是最为广泛的一点，在物理学、天文学、经济学等领域应用亦是颇为广泛。
3.4微积分中的实际问题
3.4.1陀螺仪
陀螺仪阻尼系数很小，只考虑了载体X轴方向的角速度输入，其传递函数为：
其中，a为进动角，为陀螺转子的转动惯量，H为陀螺的角动量，为载体的角速度输入，是弹性系数。框架轴旋转方向记为X轴也称为测量轴，我们在这里将此轴记作Y轴。的方向为主轴起始位置，即当W=0时，Z轴应与重合。
壳体随着转子高速旋转以角速度W绕Y轴转动。将产生陀螺力矩Mg，使H以最短途径运动，主轴偏离起始位置轴。框架绕X轴转动时，弹簧将产生弹性力矩My反抗陀螺力矩Mg。在陀螺力矩和弹性力矩以及框架转动而引起的摩擦力矩相平衡时，框架停止转动。这时角速度满足：
3.4.2排队等待问题
提到微积分首先想到的便是极限思想，而求极限的方法中，令人最为深刻的莫过于夹逼准则，夹逼准则：如果数列｛｝,｛｝,｛｝同时满足n>时，∈,有≤≤,并且｛｝,｛｝具有相同的极限a，设，那么，数列｛｝的极限存在，且。以剪辑定理角度来说，我们画出三个平行的平面，为了便于区分，我们将其从上到下将其分别标记为，，，将a视为一个固定的平面，当向下、向上，缓慢的靠近时，我们将一个新增的平面随机放置在和，这是正在无限接近a。再以生活为例，节假日放假，我们坐车回家，我们排队去买票的时候，每个窗口都未有序的排成一个队列，后面的人数增加，前面的人数减少，我们将排队某个人视作，并且会随着前面人数的减少，渐渐地靠近“购票窗口”，如果我们将购票窗口视为，是在实际情况中排队的某个人，和是在前后的人员，这是夹紧定理在现实中的直观展示。只要我们善于发现，生活中的微积分是无处不在的。
3.4.3投资决策问题
投资决策问题中，如果我们第一笔资金m次存入银行，并且定期每当x月，就将一笔新的资金a存入银行中，银行利率k计算公式为：，那么当我们在t年末计算利润总值时，由于我们是定期存入，本金是在不断改变的，所以每x月的利润是不一样的，那么x月的时候利润，2x月的时候则是，……之后的月份以此类推，这样计算的话，水师的计算量变得相当大，但是如果我们借助微积分，这个问题就会变得相当简单了，只需要按确定的点进行计算相加便可以了。
例如：把我们假设为某一企业的投资决策者，想要建立一个生产项目，预计投资两千万元，并且规划一年内建成，一年后便开始投入生产，以此获得一定金额的回报。在忽略资金的时间价值的情况下，三年时间便可以收回所投资的两千万元本金，提高回报。作为一个合格的投资人，各个方面都要考虑到，到我们将生产时间算在内、机器磨损等计算在内时，收益便会发生很大的改变，为此，我们要提亲预算收益，让我们的投资趋于科学化，从而我们引进了微积分的应用，以此来计算风险并从而将风向降到最低，从而使得投资的决策变得理性化。
4.图像实现
综合上面，对于数学问题和实际问题的描述，我选择了MATLAB进行处理，运用MATLAB的绘图功能，将抽象的问题变得直观易懂。
4.1极限问题求解
用MATLAB实现
n=1:100;
xn=n./(n+1);
for i=1:100
plot(n(i),xn(i),'rd')
hold on
pause
end
图1极限
4.2 MATLAB描述质点运动
用MATLAB描述质点运动的位置、速度和加速度，如今已知条件为，
?clear
?tm=3;
dt=1;
t1=0:tm;
x1=5*t1-t1.^3;%位置坐标
v1=diff(x1)/dt;%为速度均值
v1=[5,v1];
a1=diff(v1)/dt;%为加速度均值
a1=[0,a1];
dt=0.1;%时间间隔为0.1s
t2=0:dt:tm;
x2=5*t2-t2.^3;
v2=diff(x2)/dt;
v2=[5,v2];
a2=diff(v2)/dt;
a2=[0,a2];
dt=0.01;
t3=0:dt:tm;
x3=5*t3-t3.^3;
v3=diff(x3)/dt;
v3=[5,v3];
a3=diff(v3)/dt;
a3=[0,a3];
x=5*t2-t2.^3;%坐标的瞬时值
v=5-3*t2.^2;%速度的瞬时值
a=-6*t2;%加速度的瞬时值
figure
plot(t1,x1,'-*',t2,x2,'-+',t3,x3,'.-',t2,x,'-o')
legend('1','0.1','0.01','瞬时值')%插入时间差图例
grid on
title('质点的位置','FontSize',16)
xlabel('ittrm/s','FontSize',16)
ylabel('itxrm/m','FontSize',16)
figure
plot(t1,v1,'-*',t2,v2,'-+',t3,v3,'.-',t2,v,'-o')
legend('1','0.1','0.01','瞬时值')
grid on
title('质点的速度','FontSize',16)
xlabel('ittrm/s','FontSize',16)
ylabel('itvrm/mcdots^-^1','FontSize',16)
figure
plot(t1,a1,'-*',t2,a2,'-+',t3,a3,'.-',t2,a,'-o')
legend('1','0.1','0.01','瞬时值')
grid on
title('质点的加速度','FontSize',16)
xlabel('ittrm/s','FontSize',16)
ylabel('itarm/mcdots^-^2','FontSize',16)
图2质点位置
图3质点速度
图4质点加速度
4.3最大值、最小值求解
求f=2在0<x<8中的最小值与最大值
MATLAB编程:
f='2*exp(-x).*sin(x)';
fplot(f,[0,8]);
[xmin,ymin]=fminbnd(f,0,8)
f1='-2*exp(-x).*sin(x)';
[xmax,ymax]=fminbnd(f1,0,8)
图5最值结果
图6最值图像
4.4导数问题求解
计算函数y=sin(x)的导数：
x=0:pi/100:2*pi;
y=sin(x);
x1=pi/200:pi/100:2*pi;
y1=diff(y)./diff(x);
y11=sin(x1);
subplot(1,1,1)
plot(x1,y1,x1,y11)
grid on
legend('dy','y')
?
图7导数求解
结论
本次论文以微积分的几何意义作为出发点，运用MATLAB软件的绘图功能，解决微积分几何意义的相关问题。在本文中，我们将发现微积分的几何含义是利用微积分的定理和思想，作为研究几何数学的空间特性的出发点，而现阶段MATLAB软件的齐全的功能以及操作简便，更是如今数学图形处理软件中的佼佼者，为此我们选择使用MATLAB软件的绘图功能来绘制和显示微积分的几何图形，使其抽象化问题可以直观显示出来，从而使微积分的相关知识变得更加简洁易懂。
本主题基于MATLAB解决微积分问题并给出图形展示。为此，我们需要设计一个用MATLAB编写的程序。目的是直观地显示微积分中的图形问题。借助MATLAB在图像处理中的帮助，我们可以将这些函数抽象为直观的图像，并且使用图像来研究相关函数的特性有利于对微积分知识的理解。
本设计除了结合现实中的应用对微积分几何意义进行解释说明，更是利用了MATLAB强大的图形处理功能，使得所构建的图形直观易懂，除此之外，还充分考虑了操作可行性，通过对数据线条粗细的改变、绘图中选择的色彩的不同，实现了微积分在现实中各方面应用的直观易读性，尽管微积分只是一门大学才刚开始涉及的学科，但经过全面的了解，我们会发现微积分在生活中无处不在。
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