积分上限函数的性质及其应用研究

摘要：积分上限函数是微积分的概念之一,是微积分学中一类特殊形式的函数.积分上限函数证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并且通过它可以得到“牛顿-莱布尼茨”定理。积分上限函数是连接不定积分和定积分的桥梁，将导数与定积分这两个看似不相干的概念之间的内容联系起来。积分上限函数作为函数的一部分,是高等数学的重要内容.因而深入探讨关于积分上限函数的性质和应用尤为重要。本文主要介绍了积分上限函数的定义，其次结合定积分的性质,进一步探讨关于积分上限函数的连续性,可导性,奇偶性,周期性，凹凸性等若干性质,并对其相应的性质作出证明。此外,结合积分上限函数常见的题型和考察方式,给出利用积分上限函数去求解原函数问题,求解极限问题,求解导问题,求解最值问题以及利用积分上限证明不等式上的应用和典型例题。

关键词：积分上限函数，导数，极限，等价无穷小

1绪论1

1.1选题背景和研究意义1

1.2研究现状1

1.3研究方法和研究内容2

2积分上限函数的定义与性质2

2.1积分上限函数的定义2

2.2积分上限函数的几何意义3

2.3积分上限函数的性质3

2.3.1连续性3

2.3.2可导性4

2.3.3奇偶性5

2.3.4周期性5

2.3.5凹凸性6

2.3.6无穷小量性质7

3积分上限函数的相关应用7

3.1利用积分上限函数求解原函数问题7

3.2利用积分上限函数求解极限问题8

3.2.1使用洛必达法则求解极限8

3.2.2做等价无穷小替换后求解极限8

3.3利用积分上限函数求导问题9

3.3.1类型一9

3.3.2类型二10

3.3.3类型三10

3.4利用积分上限函数求解最值问题11

3.5利用积分上限函数证明不等式12

4总结13

参考文献14