第一章课题背景与相关理论
1.1课题背景与意义
改革开放使得在中国大陆上沉寂了20年之久的证券市场重新崛起，随着90年代上海交易所与深圳交易所的成立以及xxxx同志的南巡，中国股市开始迅速扩张，这是中国金融市场新的开始。但是,伴随着金融市场全球化，金融事件如经济危机，泡沫经济等也都在给全球的经济带来难以估量的伤害。可以说，股价的合理性对国家的经济繁荣尤为重要，也牵扯到平民百姓的损益。这是本论文的出发点——希望借以分析股票的期权定价模型来探索股市的规律性。
1.2早期模型
1.2.1期权的含义
期权，简单地说就是一个订货合同，我们用一个例子来说明。
甲希望在一年以后购得某品牌新上市的手机A，甲认为该手机新上市时会以8000元出售，超过了甲的承受范围，同时，有乙认为，该手机新上市时会以6000元出售，那么这时甲乙同意签署一份合同（即期权），且甲向乙支付期权费用，该合同规定，当手机上市时，甲有权利以7000元的价格从乙处购买手机A，但是甲不具备买入的义务。
这是最简单的期权模型，我们也可以规定将“买入”改为“卖出”，不变的只是支付期权费用的人是有权利而无义务的。
1.2.2期权定价模型的发展
股市有风险，投资需谨慎。正是这种风险显示了期权的价格，长久以来，人们一直致力于研究如何用各种不确定因素估计标的资产的风险。
早在20世纪初，法国数学家路易斯在他的《投机理论》中就提出了对绝对的布朗运动的股票价格[2]（股价的变动也是一个随机过程，其变化过程可以用布朗运动来模拟）的估值模型，对于买方而言，其期权的价值为：
(1-1)
因为理论并未关注到正值货币的时间价值，投资者对风险的接受程度，所以该理论也只能作为定价模型的基石。
1964年，波内斯提出了在固定对数分布下的股票收益，给出了以下定价公式：
(1-2)
此处，α表示股票预期收益率。
1965年，萨缪尔森寻找到欧式买方期权[17]的定价模型，思考到期权需要具备相对高的预期收益率β，此模型主要公式为：
(1-3)
通过观察（1-2）（1-3）可知，波内斯模型就是萨缪尔森模型在α=β时的特殊情况[3-7,11]。
这些理论,为Black-Scholes定价理论的发展寻找到正确方向,还对日后的各项定价理论的发展起到了决定性的作用。
第二章现代期权定价模型
2.1 Black-Scholes模型
1973年，Black与Scholes指出Black-Scholes模型[15](此后叫做B-S模型），另外，Merton[8]在很多方面做出了重要推广。上述专家在股价服从对数正态分布的假定下，使用无套利理论，推测出不付红利的欧式期权的定价模型：
(2-1)
其中：
我们已经知道，在清算日，买入期权的支付为，我们只要求出的期望，我们就可以通过利率贴现，求出现在的期权价格，即：
(2-2)
因此突破口在于计算出。取是的概率，那么，,即
(2-3)
该问题最终归结为求解和。接下来我们来求解这两个量。
（1）求。
因为,有和，，
故有
(2-4)
在风险中性基础上，，基于Black-Scholes之假定，服从正态分布，此外其期望与方差主要是：
及
其中。所以，随机变量服从标准正态分布。
(2-5)
如果记
,。
(2-6)
由于服从对数正态分布。
分布密度函数
。
其中:
，，
故
作变量替换：
(2-7)
有：
，且当时，，而当时，
可以得到：
(2-8)
故：
Black-Scholes的核心理论是,人们对风险持有的态度并不能影响期权的有效价格,就是估值方式和股价期望收益率没有关系,它仅依赖于一些可观测变量,如:S(股票现价)、r(无风险利率)和σ(股票的价格波动率)(股价的波动率σ可以根据大量的历史数据估计得到)、X(股票的执行价格)、τ(到期期限),这就使得Black-Scholes公式的使用条件得到了很大的简化[16]。
2.2二项式定价法
二项式期权定价法(二叉树法)是由Rubinstein等人提出的一种数值计算法[9]。
2.2.1单期二项式期权模型
假定：股票在期初与期末时刻的价格主要是、。记起初时刻的期权价值为C。那么S与C在期末时有如下表示：
现在我们可以构建一个如下组合：
对任意S1，由于是套期保值组合，故存在等式：
解出：
(2-9)
又有：
(2-10)
其中，r是无风险利率，T是期初到期末的时间长度(以年为单位)。
由(2-7)与(2-8)可得
(2-11)
解出：
又因为：
则:
即
(2-12)
可得
得出单期看涨期权的二项式期权定价公式:
(2-13)
2.2.2 n期看涨期权的二项式期权定价公式
将单期看涨期权的二项式期权定价公式当做前提，此时把二项式期权定价公式使用到多期(此处常用条件是)。
下图是两期股票价格二叉树图
且有：
直接利用单期看涨期权的二项式期权定价公式，可得
(2-14)
(2-15)
其中，Δt是每一期的时间长度(以年为单位)。
再对，运用单期看涨期权的二项式期权定价公式，可得：
(2-16)
主要是两期看涨期权的二项式期权定价公式。
利用两期模型可以很容易的推广到期，思考买入期到期的看涨期权，股票当前价格是，而不同周期内股票涨价或降低的概率p，1-p和u,d值均类似，那么每期股票的价格主要被划分成两类，如此，在n期末，股票价格的全部可能取值是,i==0，1，…，n，并且=的概率为：
按照推导两期模型的思路，从第n期开始向前递推，可以得到n期看涨期权的二项式定价公式:
(2-17)
二项式期权定价的重点是u与d的明确，在现实使用中，假如当前时刻是t,期权到期日是T，就可以把期权有效期T-t划分成n个时间周期，不同周期长度是Δt(将年当做单位)，无风险利率是r，股票波动率是σ,那么可以让
,(2-18)
因为二项式期权定价模型主要使用离散化形式来处置价格，因此在期权和约期内，上述模型需要思考股利发放状况。此外，在树状结构结束之后，了解期权到期的全部价值，可以推测出以前结点的价位，且统计出价格树上所有结点的理论意义。在所有结点，可对比一直持有和马上执行的价值，进而挑选最佳值。不只能得到所有点的正当价格，此外还能了解最佳期权执行时间。因此此模型还能使用在美式期权统计中。
为了让此定价模型统计的数据更加精准，必须让n取相对高的数值。但是在n提高时，所要统计的任务也会随之增多。n一直变大最终趋向到无穷大的时候。二项式模型与Black-Scholes期权定价模型全部相同。在Black-Scholes期权定价模型遭受约束或者和现实状况有明显差异时使用二项式模型就可以得到较好的效果。
2.3 Monte-Carlo模拟方法
Monte-Carlo模拟方式[14]还是重要的数值统计方式，能对欧式衍生证券开展估值。上述方式可以处理相对杂的问题，此外统计相对效率好，其主要由初始时刻的期权值推导此后时刻的期权值，主要使用在欧式期权中。
Monte-Carlo模拟方式的主要理论是:假定了解标的资产价格的分布函数，之后将期权的有效期限划分成众多较小的时间间隔，通过计算机的功能，需要从分布样本内随机选择来模拟不同时间间隔股票价格的变化与股票价格也许会出现的运行路径，如此就能统计出期权最终价值。上述结论可被当做所有可能终值集合内的随机样本，使用上述变量的其他路径可得到其他的随机样本。通过较多的样本路径就能得到较多的随机样本。不断反复无数次，得出T时刻期权价格的集合，对众多随机样本开展大致的算术平均，可以得出T时刻期权的预期收益。依照无套利定价理论，将此后T时刻期权的预期收益Xr使用无风险利率折现就能得到目前时刻期权的价格:
(2-19)
此处，P代表期权的价格，r代表无风险利率，目前时刻是0，是T时刻期权的预期效益。
Monte-Carlo模拟方式主要使用在对标的股票标准差是随机变量的期权开展研究[21][24]，股票价格与标准差的路径全部被模拟。任意时间的标准差之值，影响被抽样股票价格的概率情况。
此方式的主要优点则是其可以使用在标的资产的预期收益率与波动率的函数形式相对繁琐的问题中，此外模拟运算时间伴随变量个数的增加呈线性增长，其运算是比较有效率的。然而，此方式的不足主要是必须被使用在欧式期权中，而无法被使用在能提早执行合同的美式期权。并且蒙特卡罗模拟方法的结果的精度依赖于模拟运算次数。
Monte-Carlo模拟可以和二叉树图方法结合起来为期权定价。在树图构造完成之后，能够从树图内随机选择路径样本。不同的是我们这次不是从后往前倒推，而是顺着树图往后推。基本方法如下:
在首个结点我们选择0到1范围内的随机数，假如上述随机数低于P，此时需要选择上升分支，否则就要选择降低分支。达到下个结点之后，继续重复以上过程，一直到达树图底端，之后可统计此选定路径的期权盈亏值，如此就可以结束首次模拟。反复以上所有环节，开展数次模拟。此时把全部盈亏值按照无风险利率开展贴现之后得到平均值，也就是期权价格计值。
第三章股票期权的定价方法
在之前的长久时间内，股票定价观点出现明显的改变与进步，一直并未出现被大众认可的定价方式。之前的定价方式认为股票的内在价值等于该股票持有者在经营期内预期得到的股息收入按一定折现率计算的现值。
最初股票定价模型是John B.Williams在1938年设计的，主要内容是:
(3-1)
此处，S是目前股票价格，是第i期期末现金股息，α是期望收益率，其等于无风险利率以及风险补偿率。
1962年，Myron J.Gordon在以上模型前提下，设计股息折现模型。
假定：股息以预期的稳定增长率δ发展，此时(3-1)式则是:
(3-2)
在α>δ的基础上，公式被简化成[12]:
(3-3)
可以看出，传统模型的构造是完全符合逻辑的，但是也存在如下弊端：
①α的值和无风险利率与风险补偿率有关，后者和众多不明确的隐藏投资者的风险偏好有关，故α难以准确估算。
②准确的预计未来很长时间内支付的现金股利非常困难。
而对于股息折现模型，其在α<δ时是没有意义的。切对δ的估计很难精确。因此，除了在简化模型中用于检测，传统方法很难进行实用。
3.1股票的期权定价方法
3.1.1权益资本的期权特征[10]
假定：V表示公司价值，X表示公司负债，那么在到期日，会有如下情况：
①V<X,股东无剩余价值。
②V>X,公司不仅能覆盖债权人的债务，其超过部分还归股东所有。
这种情形如图所示:
类比可知，公司的资产好比一个看涨期权，在经营周期期末，若有V>X，股东将行权，其盈利为V-X;若有V<X或V=X，股东将放弃行权，股东会亏损买入股权的费用[20]。
3.1.2期权定价模型
根据之前的叙述，即便企业股票属于看涨期权，显然可以通过看涨期权的定价模型来统计股票综合价值，只需要了解总股数，每股价格就可以顺利了解到。
接下来深入分析怎样使用Black-Scholes期权定价模型确定股票价格[27]。
根据Black-Scholes期权定价模型，主要公式是:
(3-4）
其中
，
，是标准正态分布函数，
把上面模型中的变量重新定义:
我们可以直接代入（3-4）式进行计算，得到的C就是公司股票的总价值。
3.1.3模型参数的估计
在采用Black-Scholes模型时可知，S、X、r、T都是可以直接得到或者精确估计的，那么问题的关键就是如何准确预估行业价值的波动率σ。
企业此后市场价值的年波动率σ的明确。
Black-Scholes期权定价模型假设股票价格的对数符合正态分布，此时价格波动率就是股票年收益率的标准差，且假设波动率在期权有效期内不发生改变。一般来说波动率统计是在大量信息前提下开展估计，在此处明显可通过企业价值的之前评估值来明确年波动率。
确定下述定义符号:n+1代表观察次数，代表在第i个时间间隔末的企业价值评估值，τ代表间隔长度(将年当做单位)，之后让，此时i=1,2,…,n。由于，所以就是第i个时间间隔后的连续复利收益(并不是以年为单位的)。的标准差S通常估计为:
(3-5)
或
(3-6)
其中为的均值。
因为的标准差是，其中变量s是估计值，因此σ自身就是被预估成，此处，因此估计标准误差类似于。
3.2股票的期权定价应用实例[23]
下表确定某企业在1997年4月到2002年6月底二十个季度的企业价值评估值。
季度公司价值评估表
（千万元）公司评估价值比率（）每季收益每季收益平方
0 20
1 20.125 1.00625 0.00623 0.00004
2 19.875 0.98758-0.01250 0.000156
3 20 1.00629 0.00627 0.00004
4 20.5 1.02500 0.02469 0.00061
5 20.25 0.98781-0.01227 0.00015
6 20.875 1.03086 0.03040 0.000924
7 20.875 1.00000 0.00000 0.00000
8 20.875 1.00000 0.00000 0.00000
9 20.75 0.99401-0.00601 0.000036
0 20.75 1.00000 0.00000 0.00000
11 21 1.01205 0.01198 0.00014
12 21.125 1.00595 0.00593 0.000035
13 20.875 0.98817-0.01190 0.00014
14 20.875 1.00000 0.00000 0.00000
15 21.25 1.01796 0.01780 0.00032
16 21.375 1.00588 0.00587 0.000034
17 21.375 1.00000 0.00000 0.00000
18 21.25 0.99415-0.00587 0.000034
19 21.75 1.02353 0.02326 0.00054
20 22 1.01149 0.01143 0.00013
合计0.09531 0.00333
根据(3-6）式，可以计算出公司价值季度收益率标准差的估计值是：
由于τ=1/4年，则波动率的估计值是：
所以该公司价值波动率的估计值是每年2.46%，这个估计值的标准误差是：
或每年0.389%。
公司资产负债表(2002年6月30日）[18]
单位：千万元
资产负债及所有者权益
流动资产5.43流动负债3.62
固定资产12.24公司债券12.00
其他资产4.33股东权益6.38
资产合计22.00负债及权益合计22.00
上述是此企业在2002年第二季度底的大致资产负债表，企业下发的债券到期时间是2006年6月底，综合面值是1.2亿元，年息按照11%下发，到期日还本付息数值是:
(千万元)。
己知该公司在2002年6月30日的评估价值是22千万元，去除其余短期负债后企业价值是S=18.38千万元(22-3.62=18.38)。假定无风险年利率r=10%,那么依照Black-Scholes定价公式，可统计得到:
负债率：（12.00+3.62）/22.00=71%
假如企业准备下发的综合股数是100万，那么每股价格是61.1元。根据上述案例可知，即便企业总负债率为71%，然而企业价值变化不大，运作业绩平稳，企业在债券到期时执行看涨期权的可能性是98.5%，也就是企业有很高的概率支付债务，破产概率很低[26]。
3.3与蒙特卡洛模拟的对比
为了说明B-S模型的准确性，我们采用一种传统方法来与B-S模型所得到的结果来进行比较。从前面的介绍我们可以知道，二叉树是最容易理解的方法，但是为了使二叉树模型得到精确的结果，我们不得不使n取一个很大的数，然而当n增加时，所需要计算的步骤将呈几何级数增加，很难操作。并且n越来越大时，会越来越趋近于B-S模型，这种验证是没有意义的。而蒙特卡洛模拟法和B-S模型是完全不同的两种思路，同时可以借助matlab进行快速的计算，且不会因为维数而影响误差，相比之下，我们选择蒙特卡洛模拟法来与B-S模型比较。
我们还是采用上表的数据，选择第四季度为起始时间，由原始数据，该季度公司股价为4.85（用B-S模型估计出来的股价为4.839，吻合良好）。
接下来，我们用matlab来估计股价：
首先，我们把股票的有效期限分为若干个很小的时间间隔，这里我们选择将其定义为dt=1/365。
确定无风险利率r=0.1，这和用B-S模型时市场的无风险利率是一致的。
第三步，计算市场的波动率,这里用到的方法和B-S模型中第一步用到的方法是相同的，只需要带入第四季度的数据计算即可。过程也非常简单，易知波动率sigma=0.0304。同时确定从起始日到到期日的时间间隔为nDays1=1440，这里的单位是天。
现在我们要构造蒙特卡洛模拟，确定三个循环：
首先是由起始日到到期日中的每一天我们都要进行模拟。这是第一个循环：
For nDays=1:nDays1
其次，每一天中要选择若干个运行路径，并且利用这些路径产生符合正态分布的随机矩阵。本例中我们确定路径数是1000条。这是第二个循环：
for j=1:nTrails
n=randn(1,nDays)
最后要确定每一天的股价，从而依次确定其后的股价，直至到期日。这是第三个循环：
for i=1:nDays
ds=s*（expTerm+stddev*n(i))
确定三个循环之后，即我们经过几千次的重复实验之后，得到到期日时刻股票价格的集合，对这些随机样本进行简单的算术平均就可以得到到期日当天的股票价格了。
完整的蒙特卡洛模拟模型如下图：
经过模拟我们得到了如下所示的到期日当天的股价集合：
通过取出这些股价的算术平均值，我们得到如下的股价：
很容易看出，由蒙特卡洛模拟得到的最终的股价是在[59.2,59.7]波动，由期权定价法得到的股价是61.1，两个结果较为吻合。从上面的构造过程可以看出，蒙特卡洛模拟最后是简单的取得集合的算术平均值，这对最后结果的准确性是有影响的，因为任一时刻投资者对股价影响的大小是不同的，所有这些影响都会使得股价的变动趋向于某个方向，在股价趋向于某个方向后，投资者的行为对股价的影响又会改变，这种影响我们可以看作是一种较为定向的影响，而不再是随机的影响，因此蒙特卡洛模拟在处理股价问题上时虽然过程简单，但结果仍然不是非常准确的，在没有对蒙特卡洛模拟法进行改进、时期较长或B-S模型没有受到限制时，B-S模型应该是一个更好的选择。
第四章反思与展望
回顾整篇文章，运用到了如下几种方法：
①历史研究方法。通过回顾期权定价理论的历史，发现期权定价理论发展的规律以及对股票期权定价方法的借鉴意义。
②定性与定量相结合研究方法。论文中在重视股票价格的定性描述的同时，着重强调对定量研究方法的探讨和运用，通过实例说明了Black-Scholes模型确实可以运用到股票定价上。
③共性与个性的比较研究。期权理论具有一般性，论文在系统描述期权理论和方法发展的同时，强调股票期权定价的特殊性。
至此，我们已经成功的把Black-Scholes模型运用到了股票定价中，但是以上过程都是基于市场上已知的信息，换句话说，B-S模型只是用于对股价的检验，查看公司对股票的定价是否合理、投资者对市场的影响是否已经导致了市场失灵。那么我们能否将B-S模型运用到股价的预测上呢？
对于这一问题，理论上是不可以的。
首先我们要清楚，对股价的预测是以人为主体的，“人”这个变量本身就是不可测的，人的情绪、人所具有的知识体系都影响着人对股价的预测。借用索罗斯的观点，即便预测股价这一行为本身具有一定的可行性，对其进行预测这一行为本身就会对股价产生影响——最重要的是，这种影响是无法预测的。如此一来，就会导致对股价的预测是不可行的。总之，股票投资是一个大众选美的过程，除非你能左右大众的思想，否则，你想准确预测股票的价格是非常困难的。
虽然就目前而言预测股价是一个“不可能事件”，但是结合行为经济学、行为金融学，说不定可以找到一个适合大众使用的数学公式。
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