浅谈导数在高中数学中主要的应用

　　17世纪中叶，伟大的数学家牛顿和莱布尼茨，分别从运动学和几何学去探索微积分的奥秘。然后他们分别独自完成了微积分的创立，又经过一个多世纪的发展，逐渐形成了更为严密和精确的微积分学体系。纵观整个数学发展史，微积分的产生是一个非常伟大的成就，为之后对函数和变量的探索提供了新的切入点。随着社会和科技的进步，微积分的教学也进入了新的阶段，其内容开始被纳入高中的数学课程中。导数是微积分中非常重要的基础知识，其产生和发展都有非常深厚的物理和几何背景。在2003年我国教育部颁发的《普通高中数学课程标准（实验）》中，明确将导数及其应用设置在高中数学的选修课程中，从而导数也成为了联系初等数学与高等数学的纽带。

　　导数与几何、代数问题的联系十分密切，为高中数学中函数的单调性、变化快慢等提供了理论依据。在此之前，对函数性质的研究主要是通过函数的图像和定义来完成的，虽然直观清晰，但是过程较为繁琐；导数的出现让我们可以使用代数的方法来研究相关问题，更为简洁迅速，因此，导数为高中数学带来了新的解题思路和方法。导数的相关知识与函数、几何、不等式、数列以及实际生活等内容联系在一起，使命题的方式灵活多变，增加了题目的难度，这也说明高考数学对导数综合运用的要求逐渐提高。由于对于这类题型来说，导数是命题的重点，也是解题的关键所在，因此，理解并掌握导数在高中数学中的应用非常重要。本文主要是通过对高考试题的分析，总结和归纳出导数在高中数学中的主要应用，为导数的学习提供一些参考，以帮助学生提高解决导数相关问题的能力和效率。

　　国内对导数的研究包括对导数概念的研究、对导数的教学策略的研究、对导数的解题策略的研究、对导数在数学中的应用的研究等,其中更为侧重的是对策略的研究。国内对导数的概念以及解题策略的研究，主要是通过问卷调查和访谈法，统计分析出学生在学习导数的过程中主要存在的问题；然后通过对各种与导数相关的题目进行总结归纳，进而分析各类题型的解题策略等。再由相关调查得到的结果，总结出对导数教学的建议和意见，以帮助提高学生对导数概念的学习和解决导数相关问题的效率。例如韦问敏在《高考数学导数试题解题研究》[7]中，通过问卷调查的方式，对不同的学生进行了测试，分析学生对于导数应用的掌握情况，然后对高考试题内容和特征进行研究，找到解决导数试题几种类型的方法和技巧，为学生提供高考导数试题的解题策略。

　　国内对导数教学策略的研究，主要是通过实例研究和调查研究。实例研究是对一些已知的教学策略进行课堂实践，通过实践效果得到较好的教学策略。调查研究则先是统计学生在导数的实际运用过程中存在的问题，然后再了解和分析教师在教学过程中遇到的问题，最后由总结的问题，提出对应的教学策略。例如张翻美在《高中导数教学现状调查与策略研究》[1]中，通过对问卷调查的分析，可以得到学生在学习导数的过程中存在的问题；通过访谈法，了解到导数的教学情况，最后综合新课标提出了四个教学策略。

　　在对微积分的研究上，国外提出了许多理论。相比国内的研究，国外对导数的教学策略的研究有所不同。国外比较注重数学文化、数学思想方法等在教学中的作用，同时也侧重于知识的实用性的教学。从他们的对导数的例题与习题的设计也可以看出，比较注重导数的应用与生活实际的联系，同时也注重对学生数学能力的培养。

　　总体来看，国内外对导数的研究的侧重点有所不同，但国内外都有非常多与导数相关的研究文献，包括对导数的概念、导数的教学策略、导数的解题策略和导数在各方面各领域的应用等，这也体现了导数的重要性。

　　1.案例分析法：通过对实例的分析，总结导数解决高中数学问题中的作用，进而归纳出导数在高中数学中的应用，在这个过程中体会利用导数解题的实效性。

　　2.文献研究法：查找与导数的发展史相关的资料、高中数学的教科书、与导数研究有关的文献以及历年的高考数学真题，本文查找的主要是理科试卷。

　　3.访谈调查法：与高中老师进行交谈，从教师的角度了解导数在教学中出现的问题，学生难以理解的知识点。同时也从学生的角度了解他们在运用导数解决各种数学问题时的遇到的困难。

　　通过对高中数（1）导数的定义

学知识点的分析，可以发现导数是高中数学中一个十分重要的存在。首先，导数在高中数学中具有工具性的作用，被用于研究函数、不等式等内容，简化了数学中的许多繁杂的问题。其次，导数也是对极限思维的发展，是对函数性质的深化，同时为以后对数学的进一步学习奠定基础。在人教版的普通高中数学教材中，导数的内容被编排在选修1-1的第三章、选修2-2的第一章，分别适用于文科生和理科生，主要区别是对选修1-1的导数

2.1.2导数的计算

（1）导数的定义

　　一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即[12]。

　　曲线在点处的切线的斜率等于函数在点处的导数。如果已知函数在点处的斜率为，则有，由此我们可以得到曲线在点处的切线方程是。

　　（1）基本初等函数的导数

　　①若，则；

　　②若，则；

　　③若，则；

　　④若，则；

　　⑤若，则；

　　⑥若，则；

　　⑦若，则；

　　⑧若，则。

　　（2）导数的运算法则

　　设,是可导的，则有

　　1)；

　　2)；

　　3)；

　　4)设函数与在的复合函数为，则。

　　知识拓展：

　　①推广：。

　　②在遇到复合函数的求导问题时，我们应该先将函数分解，将其变成基本初等函数的复合形式，然后再从最外层向内求导。

　　纵观多年的高考试题，导数是其中必考的内容，试卷中与导数有关的大题通常都是考查导数与函数的综合运用。当然，任意一道数学题考查的都不仅仅是知识点，还包括对学生的数学能力、数学思想以及核心素养的考查。以下是对近3年高考数学（理科）试题中关于导数情况的分析：

　　

 

　　由上表可见，导数是高考中一定会出现的内容，而且通常是综合应用，而不仅是对某一知识的单一考查。主要是对导数的几何意义、导数在函数中的应用、导数在不等式中的应用三个方面的考查。因此，我将从这三个方面进行详细讨论，总结归纳出导数在高中数学中的主要应用。

　　导数在几何中的应用是指运用导数来解决几何问题。导数的几何意义使导数与曲线的切线紧密地联系在一起，因此，考查的题型主要是求曲线的切线方程，解题的关键是利用导数求出斜率。

　　（1）导数与切线的关系：

　　假设表示切线与x轴正向的夹角，则。因此，如果，那么夹角是钝角；如果，那么夹角是锐角；如果，那么夹角，此时切线与x轴平行（或重合）；如果不存在但该点处的切线存在，那么夹角，此时切线与y轴平行（或重合）。

　　（2）求曲线在处的切线方程的步骤：

　　①求出在点处的导数；

　　②写出在点处的切线方程：。

　　例1．（2019全国Ⅰ卷，理13）曲线在处的切线方程为。

　　【分析】本题考查学生对导数的几何意义的理解和运用。同时也考查了学生分析问题、运算求解的能力和数学运算的核心素养。解决此类问题的关键是掌握曲线的斜率与导数之间的关系。

　　解：因为，所以曲线在处的斜率，故切线方程为。

　　例2．（2019江苏卷，理11）在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点，则点的坐标是。

　　【分析】本题意在考查导数的几何意义。此题是求曲线过非切点的切线方程，解题的关键是要先设出切点，再写出在设出的切点处的切线方程，然后将题中的点代入。考查的数学能力是和运算求解和分析问题的能力，同时也考查了直观想象的核心素养。

　　解：设A，由得，，（第一步，设出切点）

　　得到曲线在点处的切线方程：；

　　将点代入得，（第二步，写出切线方程），化简得，解得,故点A的坐标是。

　　【注意】若题目中给出了点，需要我们求解经过点P的切线，那么需要注意判断点P是否为切线的切点，上面两个例子分别已知点的两种不同的情况。

　　（1）函数的单调性与导数的关系：

　　设函数在某个区间内可导，则

　　（i）若，则函数在区间内是单调递增的；

　　（ii）若，则函数在区间内是单调递减的。

　　【注意】①上面两个条件都是充分不必要条件，因为有些函数是增（减）函数，而他们的导数可以等于零，但是不恒等于零。

　　②可导函数在区间上单调递增（减）（）且不恒成立。

　　（2）求可导函数单调区间的步骤：

　　①明确的定义域；

　　②求出导数，由方程，解得其在定义域中的所有实根；

　　③由上一步求出的根，将的定义域写成小区间的并集。再判断的值的正负性，从而得到函数的单调区间。

　　例3.（2019年，理20）已知函数，讨论的单调性。

　　【分析】本题意在考查学生对通过导数判断函数单调性的运用，是对导数与函数单调性之间关系的深化。通过此题能够增强学生解决问题的能力，发展逻辑推理和数学运算的核心素养。另外由于本题含有参数，在解题过程中要学会使用分类讨论思想。

　　解：由题写出导数，

　　首先求解方程，然后分为三种情况讨论，对定义域R进行划分，再通过判断在各区间的单调性。

　　①若，则当时，，

　　当时，，

　　从而在,在。

　　②若，则在。

　　③若，则当时，，

　　当时，，

　　故在,在。

　　例4.若函数在区间上，在区间上，。

　　【分析】本题考查的是运用函数的单调性求参数的取值范围。解决此类问题的关键是将问题转化为求（）在相应区间成立的问题。在这个过程中经，充分体现了对转化与化归思想和数形结合思想的运用。同时也是对学生运算求解能力和逻辑推理的核心素养的检验。

　　解：由题意知，，

　　由，得或，

　　所以,即，

　　故的取值范围为。

　　【注意】①在求函数单调区间时，首先需要求出满足方程的点，其次还需要注意定义域中不可导、不连续的点。

　　②当一个函数的单调递增（减）区间不止一个的时候，需要用“，”、“和”连接，这里要特别注意不能使用用“∪”连接。

　　③如果题目中给出了函数的单调区间，需要求解参数的取值范围，那么可以将问题转化为证明不等式或在已知区间I上成立；或者先求出单调区间A，再利用已知区间I与区间A的关系求解。

　　3.2.2利用导数求函数的极值

　　（1）导数与函数极值的关系

　　设函数在点处连续，且，则

　　①假如在点附近的左侧，右侧，那么在点处取得极大值，点为的极大值点。

　　②假如在点的附近的左侧，右侧，那么在点处取得极小值，点为的极小值点。

　　③假如在点的左右两侧的值同号，那么不是极值。

　　（2）求函数极值的步骤：

　　①明确函数的定义域；

　　②求导数；

　　③解方程；

　　④求出在上一步的解的两侧值的符号，从而求出极值。

　　例5.（2019年，理20）已知，为的导数，证明：在区间存在唯一极大值点。

　　【分析】本题考查了导数在研究函数的极值问题中的作用、零点存在定理和函数的单调性。同时也考查了学生的运算求解能力，体现了逻辑推理的核心素养和数形结合思想。此题要证明两点：存在性和唯一性，证明过程中要注意对零点的存在性定理和函数单调性的使用。此题的考查目的是深化学生对导数和函数性质关系的理解，提高学生的数学能力。

　　解：设，则，

　　当时，单调递减，（第一步，求出）

　　又∵，

　　∴在内有唯一零点。

　　不妨设该零点为，（第二步，求）

　　当时，，当时，，

　　即在区间，在区间。

　　从而为在区间上的极大值点，（最后一步，判断极值点）

　　故在区间存在唯一极大值点。

　　【注意】①极值点是一个点，而极值是一个数，两者有本质区别。如果可导函数在点取得极值，那么我们说点是函数的极值点，则称之为函数的极值。

　　②函数的极值点一定满足，反之，则不一定成立。

　　③为函数的极值，且在点的左右两侧的值的正负性不相同。

　　假设函数在上连续，在内可导，那么求函数在上的最值问题步骤可简化为：

　　（1）求函数的极值；

　　（2）比较上一步求出的极值与、之间的大小关系，从而得到函数的最值。

　　例6.求函数在区间上的最值。

　　【分析】本题考查的是运用导数求函数在区间上的最值。解决此题的关键是充分运用函数的单调性，先求出函数的极值与端点值，然后比较大小方可得到。此题考查了学生的运算求解能力和逻辑推理的核心素养。

　　解：由题意知，

　　令得，

　　则，

　　故区间上的，。

　　【注意】①在求函数的最值时，函数的极值是关键，但其不一定是函数的最值。

　　②由于函数在内的全部极值都是在满足方程的点或导数不存在的点处取得。因此只需要将这两类点计算出来，然后再与函数在区间端点处的值相比较，就可以得到函数在上的最值。

　　3.2.4利用导数求函数的零点

　　运用导数求函数零点的方法：

　　（1）先使用导数求出函数的最值，然后就可以将问题转化为求的图像是否与轴有交点的问题。

　　（2）对于含参函数，首先由，得到，然后转化为求与的交点问题。

　　例7.（2019年，理20）已知函数，为的导数，证明：有且仅有2个零点。

　　【分析】本题考查的是函数零点的证明。其意在使学生体会导数在求解函数零点问题中的作用。本题考查了学生运算求解和推理论证的能力，同时也是对逻辑推理、直观想象的核心素养的考查。另外，在解题过程中，转化与化归、数形结合的数学思想起着重要作用。首先需要分别证明函数在各区间零点的存在性和唯一性，即分类讨论，然和对其整合。

　　解：由题意知的定义域为：，

　　然后分别讨论函数在每个区间上的零点的情况。

　　①当时，由例5知，在,而，

　　则当时，，因此在，

　　又由于，所以是在的唯一零点。

　　②当时，由例5知，

　　在上，在上，

　　∵，

　　∴存在，使得，

　　∴在，在。

　　又∵

　　∴当时，，即在没有零点。

　　③当时，，在单调递减，

　　又∵，

　　故在有唯一零点。

　　④当时，，所以，

　　故在没有零点。

　　综上所述，有且只有2个零点。

　　【注意】如果函数在闭区间上连续，且，那么，。

　　这类题通常是导数与函数的综合应用。运用导数解决不等式问题，其解题关键是充分利用函数的单调性。下面是针对两类常见的证明不等式题型的方法：

　　（1）若已知，求证。

　　①先构造函数，再转化为证明不等式在上成立；

　　②由函数在区间上的单调性，得到结论。

　　（2）对于含参数的不等式，要先将参数移到一边，再将不等式的另一边构造为一个函数，转化为证明不等式成立，然后判断该函数在区间上的性质，进而证明不等式成立。

　　例8.（2019年北京卷，理19）已知函数，当时，求证：。

　　【分析】本题考查的是运用导数证明不等式成立的问题。将该问题转化为求解在区间上的最值是解决此类题型的重要思路。本题意在检验学生对导数与函数的综合运用能力。通过解题可以提高学生的推理论证和运算求解能力，发展学生的数学思想，在一定程度上还提升了逻辑推理的核心素养。

　　解：首先设，

　　则问题就变成了证明，即求在上的最值。

　　由得，

　　令，则或，

　　通过比较，，，，

　　得到的最小值，最大值，

　　故，即。

　　导数作为高中数学的重要内容之一，是高中阶段必须要掌握的内容，同时也为之后对高等数学的学习奠定了基础。导数的出现让我们可以使用代数的方法来研究相关问题，更为简洁迅速，提高了解题效率，尤其是在许多函数问题中占关键地位。通过对高考试卷（理）中对导数的考查情况的分析，可以发现在高中阶段，主要是考查导数的几何意义、导数与函数的综合应用以及导数在不等式中的应用三个方面。本文对每个部分的知识都做了总结，并且结合例题做了相应的分析，说明了需要注意的地方以及一些解题方法。由于本文是通过对高考试题考查的内容进行分析，得到了导数在高中数学中的主要应用，因此内容不够全面和深入。除了本文总结的三点之外，导数还可用于解决实际生活中的问题，例如优化问题、几何中的最值问题等，解决这些问题的思路是构造正确的函数关系，然后转化为求函数的最值问题。利用导数及其应用的相关知识解决数学中的综合问题，既能发展学生分析问题、解决问题、推理论证和运算求解等能力，又拓展了学生的数学思维，使学生体会转化与化归、函数与方程等数学思想，同时还能提升学生的核心素养。

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