摘要：现如今，初高中数学教育都尤其注重对孩子思维能力的培养，传统的填鸭式数学教育已经被时代所摒弃。注重学生思维，开拓学生创新方法成为了教师教学的重要教学模式。在这种过程中，教师能够更有效的提升学生能力的活动就落脚在提升学生思维能力上，尽量给学生出一些一题多解或者一解多题类型的题目，从而开放学生的解题思维模式，帮助他们多角度、多方位的去思考数学题。本文就从一题多解问题进行考虑，提供了一些简单的定义、思想和典型例子来进行阐释，描述这些题型对于学生的意义，从而开放学生的解题思维模式，让学生感受到数学题求解过程中的趣味性和新颖性，避免数学枯燥之外，更好的奠定其实际生活中的未来发展。
关键词：初高中数学：一题多解；数学；思维能力；范例
一、引言
数学是自然生活中不可缺少的规律，在生活中的方方面面都有数学的应用。随着现代科学技术的迅速发展，数学更是社会生活中每个领域都无法缺少的科目。因此对于初高中而言，数学都是现在的学生们必须学习的科目。然而，由于数学覆盖着多种多样的知识，以及其中计算的复杂性，对于各个年级的学生而言，数学都是最令人头疼的科目之一，许多初高中学生都因学不好数学而丧失了数学学习的兴趣，遭受了重大打击。当前很多老师在教学数学的时候，总是强调题海战术，认为让学生在不断熟练和学习数学解题的过程中，有助于提升学生的数学解题能力和思维能力。
然而，对于刚刚深入接触数学的初中同学，以及在数学难点题型中刚刚入门的高中同学而言，数学内容中环环相扣的理论以及各种各样的类型，都使得他们的数学学习能力的提升受限。数学对于初高中学生的升学成绩而言，其重要性不言而喻。因此，若是能对学生进行一题多解训练，从而让学生拥有良好的数学方法和技能，从而不断提升自身数学学习能力，拓宽数学学习思维，加强数学成绩分数，最终帮助学生在不同的解法中理解数学的奥秘，基于不同定理学到新的方法和思想，这对于学生学习数学，开发自身智力和拓宽思路拥有很重要的意义，有助于培养学生思维，锻炼学生实事求是的态度，让学生能更好的求解数学问题，甚至延伸到实际，提升学生在生活中解决问题的能力。
二、一题多解的相关概念及理论
2.1 一题多解的概念
何为一题多解，顾名思义就是对于某一道问题，让学生从不同的数学方法中进行计算从而求解的过程，该过程中可能利用的思路不同、定理不同、方法不同、角度不同，但都能正确运算求解。本质上而言，就是对于同一数学问题采取不同的解题策略。数学问题的求解是需要创造性思维的，而一般只要不是标准模式化的数学问题，其利用思维的解题策略很容易获得，只不过途径是多样的。数学求解问题中，一题多解的策略产生后，正确性被证实的过程就是解决数学问题的最终过程。
2.2 数学问题的解题策略
数学问题想要获得正确答案，就需要采用不同的方法或途径来进行策略选择。一般而言，模式识别法、辅助法、枚举法、整体局部法、中途点法、问题转化法、特殊一般法等等策略都是数学解题中常用的方式。一题多解本质上是对这些方法不同步骤的应用的综合。老师教学中应该采用适当的一题多解训练，这样对于学生思维的锻炼和提高意义重大，便于提高学生利用自身的数学知识求解问题的技巧，也对于学生思维的灵活性具有帮助。
2.3 一题多解的作用
一题多解对于初高中数学教学工作中学生思维的提高，具有重要作用。
2.3.1 对思维能力的提高
首先是有助于培养学生的思考能力。一题多解问题中，教师基于引导性，有助于引领学生利用不同解法进行习题分析，从而发散思维，联想到将解题方式拆分，多角度思考，整体思维能力得到提高。数学问题中只要存在两种以上的解题思路，便有助于引导学生多方位分析，基于不同运算方法变换，从而提升学生的思维能力。不同运算方法之间必然存在某种关联性，这是计算数学问题的本质，比如一道题中不等式、数列、几何思想都会运用到，但是计算的方式步骤，就会形成不同的思路。举例而言，如果一道三角函数问题，可以利用三角函数公式，也可以利用反三角函数，这就是最简单的一题多解的思想。
2.3.2 对分析能力的提高
数学的一题多解对于学生分析能力的提高是不言而喻的。多种运算方式的数学问题在学生的重复分析和运算过程中，能有效提升学生举一反三的能力，这本质上是学生通过强化型训练提升了自己的分析能力，在相同的类型题目中，学生很容易能把握相关类题求解过程中的具体思路，能够解析题目并提高做题效率，能帮助学生提升创新思维和归纳问题。
2.4 在实际操作中需要注意的问题
在一题多解的实际教学和操作中，教师要充分发挥自己的主导作用，在设计题目的过程中需要着重注意如下几条：
2.4.1题目设定范围需要在学生可接受的范畴
教师发挥自己的引导作用，就需要教师主动进行一题多解数学题目的设计，或者发挥引导性计算。这个过程中，教师无论是基于课本习题，还是主动出题，都需要确保题目的设定范围是学生可接受的，由于初高中学生的知识储备不同，老师就需要发挥数学题目的设计和想象空间，让他们能在自己的知识储备、认知架构的条件内能有效求解问题，这样才能真正发挥提升学生能力的效果。否则，这些题目超过了学生的接受范围，非但不能提升学生的思维能力和分析能力，反而会影响学生的数学学习积极性。
2.4.2 题目设定时应严格控制题目的深度和解题难度
教师在设定题目时，必须要严格控制题目的深度和难度，保持问题难点覆盖但又不要覆盖太多，要求难度适中，求解过程也较为普遍。要不然太过困难和复杂的数学问题，很容易影响学生心态。教师在题目设定过程的依据，应该是初高中学生中大多数学习能力的平均水平。
2.4.3题目之间的关联性设计和清晰的解题思路的促进
教师在进行题目设定的过程中，需要注重题目内多种方法的关联性设计，对于数学问题而言，关联必须存在，要不然求解过程中就无法运用多解方式得到结果，但是若是关联性太强，也很难发挥学生的创造性思维，出题的意义就失去了，很难给学生带来良好的训练效果。一般可以设定几个数学公式在某种衔接问题，比如不等式、函数、数形结合等等，不同思路引入进来，最终归结与一个最终的运算公式算得结果，这就是关联性设计很好的题目。教师在课题教学的时候，需要传授思想形式，让学生能深入了解相关问题运用了什么思想，迅速领悟解题要领和思路，这样对学生自主的剖析问题是有帮助的。有助于促进学生拥有清晰的解题思路，从而更好的掌握答题方法。
一题多解和一解多题是初高中数学教学中最为常见的两种模式，两者相辅相成，分别对应着学生思维的训练能力和发展深度，无论是教师出题还是学生解题过程中都需要寻找题目中的连接点，发挥一题多解优势，这样一来，教学方式和教学效果才能完美的展现。下文中将对初高中数学中典型数学问题进行一些案例探讨，从而总结一题多解策略的意义。
三、一题多解的解题范例
一题多解的数学解题经验是需要运用到多种思想的，只有各类思想的融合才能拓展解题思路。数学思想本质上是人们对于数学相关概念、原理、法则和方法的认识，各种之间的融合最终形成了新的方法。数学知识和方法对于数学求解而言是基础，但基本思想则是核心。目前初高中数学教学常用的集中思想分别有二次函数思想、数形结合思想、三角换元思想、辅助思想、化归转化思想和归纳思想等等，这些基本思想的应用，对于学生的一题多解策略应用而言，对于学生的个人发展而言，都有非常重要的意义。
以下，将分别就如上思想提供一些简单的范例进行参考和学习，希望能总结上述思想的重要性，其中不乏有问题是相同的，这样一来，更能直观的感受到一题多解的冲击性。
3.1 二次函数思想求解相关范例
在二次函数思想求解过程中，本文设定的问题如下问题1所示：
是本文的已知条件，所以利用二次函数思想，依据二次函数的图像和性质可以知道，x=1/2的时候，题目的最小值应该为1/2，而当x取值0或者1的时候，题目的最大值为1，故而本题目利用二次函数思想所求解的结果为[1/2 , 1]。
本题目利用二次函数思想求解过程中，基本思路就是将二元二次函数基于现有的变量关系和已知条件来进行转换，将题目的未知变量缩减，当题目成为一元函数的时候，就能非常简单的处理相关问题，减小题目难度，保证题目的求解过程更为清晰和明了，节省解题时间。
3.2数形结合思想求解相关范例
关于数形结合，华罗庚教授评价说：“数与形，本质相倚依，焉能分作两边飞；数无形时方直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分离。”
数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合。
3.3 三角化元思想求解范例
本思想同样可以应用在问题1上面，依据本问题的内容，可知无论是
还是都可以利用三角函数中的角度问题进行处理，可以假设其中的角的数值是处于0和π/2的范围之间的，因此问题1的解题方法又可以转变成为，的四次方的相加，从而能够通过转化，将问题最终推导成为
根据这一算式的推导，就能够求解出来，当
的取值范围是最小值的时候，本问题的数值求解是最小值，数值为1/2，当的数值取值范围是最大值的时候，本问题的数值求解是最大值，数值是1。
这就是三角换元思想，这一解题方法对于熟练三角函数的同学而言，是非常简单的一种思路，通过将问题转变为三角函数，再转变成三角恒等式，就会使得问题的解答相当简单了。
3.4 转化思想对问题的求解
在该环节，本文提出了一个新问题，问题2，该问题为：
1+2+3+4+5+……+89=？
问题2
该问题若是基于高斯求解是非常简单的，但是对于初中生而言，高斯求解还未达到他们的认知水平，在本问题中，转化思想就是非常典型的一种计算方法了，以下通过两种转化思想进行处理。
转化1：
1=1×1
1+3=2×2
1=3=5=3×3
……
1+3+5+……+89=45×45
转化2：
1=1x1x1
3+5=2X2x2
7+9+11=3x3x3
……
73+75+……89=9x9x9
因此本问题可以转化为对正方形面积或者正方体的体积的计算过程，转化1中，其中的一些数字之和，转变为了正方形面积，因此从1-89之间的所有奇数之和，就是45正方形的面积，转化2中的等式右边则是空间正方体的体积，这种思想就将毫无规律的一种数字形式转变成了有规律可循的数学形式。化归法源于17世纪法国的著名数学家笛卡尔，他将这种方法称为解决问题的万能方法，著名数学教育家也曾给予这一方法高度评价。这种典型方法本质上就是把问题划归为已知的一些规律或者模型，从而简化计算的过程。
问题2用两种简单的化归解法，使得问题成为易于求解的，符合初高中学生知识架构的新方法。这就是思想的妙用。
3.5 其他思想在范例中的应用
在研究一般性问题之前，简单的情况归纳出一般的规律的方式方法，一般可以将其称为归纳思想。数学知识本质上就是对归纳的应用，在无论何种问题中，归纳是最容易发现规律的一种方法，此外，归纳还能让给定问题更容易深入进去，基于客观规律提出新的原理或者定义。归纳不只是解决问题的方式，还是探索数学问题的最优思想方法。
四、结论
4.1一题多解有利于培养学生思维的灵活性
初高中学生的思维灵活性是其数学思想塑造的关键阶段，若是在数学问题中经常性的遭遇挫折，就很容易形成学生的思维定式，甚至会导致学生对数学产生消极的心态。一题多解的设计，就能让学生更多的进行思考，避免机械思维定式，让学生的思维更加灵活。
4.2一题多解有利于培养学生思维的严密性
初高中学生的逻辑思维是非常需要严密性的，不只是在解题的步骤中得以体现，更是在日常的学习中，若是不能方方面面的分析和思考问题，就很难正确推导结果，甚至出现的结果即便正确，但是理论上是完全不成立的。一题多解虽然方法不同，但是答案唯一，这就需要学生全方位的分析和思考。
4.3一题多解有利于培养学生的创造性思维
一题多解本质上是基于学生自身的知识架构水平，从现有的角度上针进行创造性解题的过程，该过程中对于创造性思维的培养是非常典型的。教师在教学的过程中，完全可以通过对学生思维能力的培养，让学生针对某些问题从不同角度创造出创造性解法，教学必须要充分挖掘教材中的智力条件，通过启发和引导来创造条件，引导学生的创新。
初高中数学的教学和学习的过程中，通过一题多解这种数学教学模式可以提高学生的思维能力。只有这样孕育的人才才是符合时代发展需要的全面型和新型人才。
参考文献
[1]王琳.一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用[J].学科教育，2014（26）.
[2]韩军利.高中数学中的一题多解问题[J].数学学习与研究，2014（2）.
[3]吴曼，董丹，胡文明.高中数学中一题多解策略研究[J].数理化学习：高-二版，2015（10）：3.
[4]豆妮娟.浅析从一题多解谈高中数学的发散思维[J].中国科教创新导刊，2014（9）：161-162.
[5]薛大勇.利用一题多解培养高中学生的数学思维品质[J].中学时代；理论版，2012（10）：212.
[6]赵鲁辉。高中数学教学中“一题多解”对学生思维能力的培养[J].中学数学，2019（19）：86-87.
[7]张香娟.“一题多解”在高中数学教学中的应用[J]，数学学习与研究，2019（18）：114.
[8]芦瑞雪.高中生数学运算素养影响因素研究[D].山东师范大学，2019.
[9]天意.探究高中数学“一题多解”的学习心得[J].数学学习与研究，2019（06）：149.
[10]陶强绪.一题多解培养学生数学核心素养[J].数学教研，2017（42）：65-66.
[11]孙旭花.“一题多解”之再升华螺旋变式课程设计理论介绍：以三角形中位线定理推导为例[J].数学教育学报，2008，17（6）：21-27.
[12]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：1-2.
[13]赵建平，韩建兴，黄韬.初中数学线上教学的设计视角[J].湖州师范学院学报，2020（10）：116-121.
[14]王罗那，王建磐.人工智能时代需要关注的新素养：计算思维[J].比较教育研究，2021，43（3）：24-30.
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