摘要
矩阵的特征值与特征向量在工程计算、几何、生物、天体物理和微积分方程数值求解等需要进行大规模数值计算才能解决的问题中起着极其重要的作用。但在教学过程中矩阵课程比较困难和枯燥，为了提高学生的学习效果和主动性，本文对矩阵的特征值与特征向量的相关知识进行了介绍，并基于现实中的应用对矩阵的特征值与特征向量的应用进行了初步研究。
关键词：矩阵；特征值：特征向量
1绪论
1.1研究背景
数学原理在我们日常生活之中随处可见，有些很容易被察觉，有些则比较困难，矩阵理论正是其中比较难的一员。为了研究矩阵理论在生活中的应用，我们首先需要对矩阵特征值和矩阵特征向量进行研究。通过对特征值与特征向量的分析、理论研究以及对其实际应用的深入研究，不但使得我们可以大幅度地提升我们对高等代数中矩阵相关理论内容的基本掌握和应用水平，还使得我们可以充分运用矩阵相关的理论和实践来帮助我们研究和解决各种实际的问题.它不仅在传统数学研究方面一直是主要的探究问题对象，而且在反问题等实际的研究和运用都非常可能被我们看作是对矩阵的特征值和矩阵特征向量的基础性问题，有着非常广泛的分析研究和实际应用。
1.2研究目的和意义
矩阵的特征值与特征向量在工程计算、几何、生物、天体物理和微积分方程数值求解等需要进行大规模数值计算才能解决的问题中起着极其重要的作用。矩阵的特征向量也对应着某种物理意义，例如，实对称矩阵的拟特征值刚好与曲面的主法曲率成比例具有几何意义和理论应用价值。特征值的一般求解方法是初等变换法，特征方程法，幂法，本文将介绍特征值的三种解法，分别是性质法、QR分解法、互逆变换法，解法将被运用在特征值与特征向量的应用上。
1.3国内外研究现状
贺加来.矩阵A的特征值与特征向量的关系理论研究及应用[J].巢湖学院学报，2018.]，覃姜色（2020）和赵新暖（2020）[覃姜色，赵新暖.互逆变化法在求特征值与特征向量中的应用[J].科技创新与应用，2020.]通过研究特征值和特征向量的概念，认为矩阵特征值和特征向量的计算在线性代数中占据重要地位，从研究利用互逆变换器求解对称矩阵的特征值和特征向量问题入手，研究了矩阵特征值与其特征向量关系的理论与应用，并逐步探讨特征值与特征向量之间的关系，以由此得到一系列性质、定理和推论，以及互逆变化法在求特征值与特征向量中的一些应用。刘红梅（2019）[刘红梅.基于矩阵特征值与特征向量的应用研究[J].许昌学院学报，2019，38(02):6-9.]，张亚（2018）[张亚.矩阵的特征值与特征向量及其应用[J].科技经济导刊，2018,v.26;No.637(11):85-90.]和邓亮章（2019）[邓亮章.矩阵特征值反问题的若干进展[J].计算机产品与流通，2019,000(010):P.176-176.]在分析矩阵的基本定义、性质以及寻找特征向量和特征向量的基础上，对矩阵的特征、抽象矩阵和反矩阵问题进行了分析和概括，并基于特征的概念和特征以及特征向量分析了矩阵的缺陷，以及特征值和特征值在若干领域的应用。结合基于主成分分析的方法，扩大了矩阵特征值和特征向量的应用范围，并在此基础上对矩阵特征的反问题进行了初步研究，其结果具有一定的理论和应用价值，有利于运用数学思维解决实际问题。朱凤娟（2020）[注释：
朱凤娟.特征值与特征向量在线性代数中的应用[J].大连民族大学学报，2020(3):240-242.]冯福存（2020）和常莉红（2020）[冯福存，常莉红.幂等矩阵的性质及其推广[J].大学数学，2020(1):90-94.]综述了幂等矩阵的简单性质，讨论了此类矩阵与实际对称矩阵的关系。论证了度等矩阵特征的值范围及其等价条件，矩阵的匹配及其伴随值特征和特征向量矩阵，以及决策矩阵的对角线化，判定矩阵的合同关系和判定实二次型的正定性等问题进行系统地分析与归纳，为幂等矩阵的性质及其推广起到了重要作用。李林阳（2019）[李林阳.特征值与特征向量在多元统计分析方法中的应用[J].数码世界，2019，No.163(05):62-62.]对特征值与特征向量在多元统计分析方法中的应用进行了研究，多元统计分析是研究多个随机变量之间相互关系和规律的统计学分支，在统计学中具有重要的地位。他认为特征值和特征向量是矩阵论中研究的重要问题之一，具有良好的应用性质，在其他领域也有广泛的应用。最后总结了特征值和特征向量在主成分分析等多元统计分析方法中的应用。
周琴（2019）[周琴.矩阵特征值和特征向量在实际中的应用及其实现[J].高师理科学刊，2019(7):8-10.]和王小春（2019）[王小春.特征值与特征向量的教学研究[J].高师理科学刊，2019，039(012):66-69.]研究了线性代数中向量本身和向量本身的思想。据研究，矩阵的值本身和向量本身是矩阵理论中的重要元素。实际问题是在实际应用中可以解决很多问题。同时，通过对圆形游戏的评分和预测分析，利用MATLAB软件实现了仪表计数器的具体应用和计数器的快速解析，-并通过具体应用工程技术和科学研究领域的具体特点和因素。通过介绍应用实例，学生可以更直观地了解自己的价值观和向量的实质。从数字互联的非司法线性方法开始，实现自我价值和向量，结合样本刺激学生学习，在分析过程中加深对自我价值概念和向量的理解。
国外近些年对矩阵特征值和特征向量应用的研究多集中在矩阵特征值反问题的应用研究方面。Bai讨论了哈密顿系统、反哈密顿系统和广义哈密顿系统的特征值逆问题，得出通解的显式表示和通解的可解条件。Qian和Tan基于矩阵的谱分解理论，对特征值反问题求取简单参数解，再利用简单参数解对特征值配置和最佳逼近问题进行求解。Gigola，Lebtahi和Thome研究了厄米特矩阵的特征值反问题，得到了厄米特矩阵的特征值反问题的一般解，并对自反矩阵的特征值和最优逼近问题进行了研究。
1.4研究方法
矩阵不仅是线性代数的一个分支，同时也在许多相关学科领域承担相当重要的工具作用。在线性代数的研究过程中，矩阵理论也属于是极有魅力的一部分。在现实世界之很多问题都可以用矩阵来解决。在矩阵理论研究领域的某些方面的研究中，常常可以将性质不完全相同的，甚至是表面上完全不同问题转化成完全相同的矩阵问题来处理，因而这就使得矩阵理论成为线性代数领域内一个极富价值且应用广泛的研究对象。
在判断矩阵关系上，前人主要利用特征值研究矩阵合同关系，采用的是特征方程法去求矩阵的特征值，然后根据特征值判定两个矩阵是否合同；而本文将研究矩阵的合同关系，并分别采用QR分解法、互逆变化法去求矩阵特征值，然后根据特征值判定两个抽象矩阵是否合同，对两种方法分别进行细致分析，为研究提供多元化的思考方式。前人针对反问题的研究多数是在已知矩阵A的特征值与特征向量的条件下，利用定义法或者对角化法求矩阵A；同时针对矩阵合同关系与矩阵是否相似的研究，给出详细的概念；研究特征值与特征向量在日常生活中的相关应用，包括在经济发展和污染管控中的应用和在元宇宙概念领域的应用。利用所学知识进行细致分析，对这些问题可以起到深化的作用。
1.5主要研究内容
本文对矩阵的特征值与特征向量相关基础进行了简单介绍，并对特征值与特征向量的具体应用进行了重点研究。论文共分为六个部分，具体内容如下：
第1章简要介绍了研究背景和目的、研究方法和主要内容，并介绍了目前国内的研究现状。
第2章主要介绍了特征向量的特征值、定义和性质，包括矩阵的特征向量和特征向量，逆矩阵和矩阵契约关系。
第3章简要介绍了不同的特征和矢量特征的确定方法。
第4章介绍了在现实生活中运用特征值和特征向量的基本研究。
第5章主要研究应用研究在实际教学活动中对学生产生的影响。
2矩阵特征值和特征向量的基本知识及解法
2.1特征值和特征向量的基本概念及相关性质
2.1.1特征值和特征向量的基本概念
当矩阵A是n×n方阵时可以计算矩阵A的特征值，特征值可以为实数，也可以是复数。在n阶矩不为0的n阶矩阵A的情况下，如果存在Aα=λα且α≠0，λ是矩阵A的特征值，n维非零列向量α是矩阵A的特征向量。另一角度看，矩阵A存在特征值λ及对应特征向量α，则α必定是非零向量，且对任意非零常数k，k≠0，存在kα，此时kα也为特征值λ的特征向量；若α1，α2都是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量，且存在k1α1+k2α2≠0，则k1α1+k2α2也是特征值λ的特征向量；若λ1，λ2是矩阵A的两个不同特征值，α1，α2分别是λ1，λ2的特征向量，则α1+α2必不是A的特征向量。
若n阶矩阵A的特征值为λ，其对应的特征向量为非零向量α，则kλ，αλ+b，λ，，，f(λ)是kA，αA+bt，AA’，A-1，A+，f(A)的特征值；非零向量α是kA，αA+bI，AA‘’‘，A－1A*，f(A)对应于kλ，αλ+b，λ，，，f(λ)特征值的特征向量。
2.1.2矩阵特征值和特征向量的相关性质
性质1：若特征值λi存在对应特征向量为α1，α2，则特征值λi非零时，特征值λi存在特征向量k1α1+k2α2。
性质2：矩阵主对角线元素之和等于特征值的和，矩阵行列式的值等于特征值的乘积。性质3：n阶矩阵A和其转置矩阵AT必然有相同的特征值。
性质4：n阶矩阵A的特征值均不为0，则矩阵A可逆。
性质5：若矩阵A存在特征值λ，则必有Ak的特征值λk存在，此时k为任意正整数。
2.2抽象矩阵的定义及性质
抽象矩阵一般是矩阵中的一些特殊的矩阵，通常只给出矩阵具有哪些性质而不给出矩阵的具体元。抽象矩阵的性质如下：
性质１：若ε１，ε２都是矩阵Ｍ属于特征值λ的特征向量，则ε１，ε２的线性组合k１ε１＋k２ε２仍然是λ的特征向量。
性质２：λ１，λ２，…，λn是Ｍ的不同特征值，其相应特征向量为：ε１，ε２，…，εn则ε１，ε２，…，εn线性无关。
性质３：若Ｍ＝（ｍij）n×n的特征值为λ１，λ２，…，λn，则λ１＋λ２＋…＋λn＝ｍ11＋ｍ22＋…＋ｍnn，且｜λ１λ２…λn｜＝｜Ｍ｜。性质４：Ｍ可逆矩阵的特征值全不为零。
性质５：Ｍ为n阶实对称矩阵，λ１，λ２，…，λn是Ｍ的不同特征值，则λi＞０（i＝１，２，…，n），Ｍ正定；λi＜０（i＝１，２，…，n），Ｍ负定。
性质６：Ｍ为n阶方阵，λi（i＝１，２，…，n）是Ｍ的不同特征值，则Ｍ可逆的充要条件是λi≠０（i＝１，２，…，n）。
性质７：λ不为方阵Ｍ的特征值的充要条件是｜λE－M｜≠０。
性质８：设n阶方阵Ｍ的n个特征值λ１，λ２，…，λn，且ε１，ε２，…，εn为相应特征向量，记Ｐ＝｛ε１，ε２，…，εn｝2.3矩阵的逆及合同关系
2.3.1矩阵的逆
如果矩阵A有完全不同的特征值，则它必须有n个向量，且其自身的向量是线性独立的，那么矩阵A和必须是诊断性的，或者B=P-1AP。在此期间，矩阵B是由矩阵a的所有固有值组成的对角矩阵，矩阵P为由A的所有特征向量组成的可逆矩阵。通过使用矩阵A的特征值和特征向量来求解矩阵A中各个元素的这一过程就被称为矩阵A的逆
2.3.2矩阵的合同关系
设矩阵A，矩阵B为两个任意n阶实对称矩阵，当矩阵A和矩阵B大于0的特征值个数相等且矩阵A和矩阵B小于0的特征值个数也相等时，称矩阵A，B具有合同关系，或者说B与A合同。
也就是说当存在可逆矩阵C使得B=CTAC成立时，则矩阵A，B具有合同关系。当A，B具有合同关系时，它们具有相同的正惯性指数和负惯性指数。
2.4特征值和特征向量的解法
特征值和特征向量的解法有很多，本文主要对性质法、QR分解法和互逆变化法进行介绍。
2.4.1性质法
性质法是矩阵的特征值与特征向量的基础解法，主要通过矩阵的性质进行求解，下面以举例进行说明：例：设矩阵A的特征值为－2，1，3，求矩阵A3－3A2+2A+1E的特征值。
解:设f(x)=x3－3×2+2x+1，则有f(A)=A3－3A2+2A+1E。
由性质知f(A)的特征值为f(λ)，其中λ为矩阵A的特征值，而f(-2)=(-2)3-3(-2)2+2(-2)+1=-23;
f(1)=13-3·12+2·1+1=1;f(3)=33-3·32+2·3+1=7。
即矩阵A3－3A2+2A+1E的特征值为-23,1,7。
2.4.2QR分解法
QR分解法是求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变化成为Hessenberg矩阵，然后再应用QR方法求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角形矩阵R，所以称为QR分解法，与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。QR分解一般用于求解列满秩矩阵Am×n的特征值和A的逆。对此列满秩矩阵Am×n，必有Am×n=Qm×n·Rn×n。当Q为正交矩阵，即QT·Q=1时，R必为对角线下面的元素全为0的非奇异上三角矩阵。这样用矩阵Q和R来进行A分解的过程就是QR分解。若R的对角线元素为正则解唯一。用QR分解来求矩阵Am×n的特征值的具体过程为：
根据定义对式：Am×n=Qm×n·Rn×n做如下变换，A=QR=>QTA=QTQR=R=>QTAQ=RQ
因为Q是正交阵，可知QTAQ的特征值即为矩阵A的特征值。
令A1=RQ，对A1进行QR分解得：A1=Q2R2，令A2=R2Q2，对A2进行QR分解得：A2=Q3R3，照此继续计算，直到对An-1进行QR分解得到一个只有对角线上有值，其他位置值都为0的矩阵An，此时矩阵An对角线上的值就是矩阵A对应的特征值。
2.4.3互逆变化法
如果矩阵A具有完全不同的自身值，则对应于每个自身值的内部向量必须是线性独立的，并且矩阵A必须是诊断的，因此存在矩阵P，P是由N个线性独立的内部向量A组成的可逆矩阵，已经由矩阵A的特征值所构成的对角矩阵B，且B=P－1AP，这种方法就称为互逆变化法。
定义：把矩阵的下列三种变换称之为行列互逆变换。
（1）互换i，j两行，同时互换i，j两列；
（2）第i行乘非零数k，同时第i列乘
（3）第i行k倍加到第j行，同时第j列k倍加到第i列。
3应用及教学研究
矩阵的特征向量和特征向量在数学应用、工程计算等大规模数值计算中起着极其重要的作用。目前，矩阵特征及其向量机的具体应用包括矩阵元素来确定矩阵及其向量机的特征、判定两个矩阵是否相似、判断两个矩阵的合同关系、在矩阵运算中的应用等。
矩阵的特征值与特征向量在现实中的应用主要是要利用矩阵的乘法、转置等将现实中遇到的实际问题建模，转化为数学问题，再通过矩阵计算求解，从而解决对应的实际问题。一般来说，日常生活中的实际问题主要可以分为宏观和微观两个角度，其中宏观角度的应用主要涉及一些基于大数据的宏观调控，例如人口流动，三产比例变化；微观角度则主要是针对特定对象的指定特征的分析管理，例如人员分配、生产调度等，以及各类基于统计数据的排序和预测问题。
3.1矩阵的特征值与特征向量在排名预测中的应用
在体育运动领域中，由于互相竞争的选手和队伍经常会同场竞技，所以可以经由多个团队的历史战绩来预测循环比赛中各队的排名。
例1国内某团体2018年国庆乒乓球象棋双项邀请赛中乒乓球循环赛比赛结果如下表1所示，求乒乓球比赛最终排名。
解：先定义矩阵A的元素aij在比赛获胜时为1，否则为0。则
经由对A进行求解，即可获得排名。用MATLAB软件实现计算的程序如下：
A=[0,1,1,0,0,0,1,1;0,0,1,0,1,1,1,1;0,0,0,0,0,0,1,1;1,1,1,0,1,1,1,1;1,0,1,0,0,0,1,1;1,0,1,0,1,0,0,1;0,0,0,0,0,1,0,1;0,0,0,0,0,0,0,0];
[V,D]=eig(A);
D=diag(D);
[D,I]=sort(D,’descend’);k=1;
temp(1)={D(1:k)};temp(2)={V(:,I(1:k))};
celldisp(temp(1));celldisp(temp(2));输出结果见下图1：
图1计算结果1
可知8人排名依次为：5，2，6，1，4，3，7，8。
例2在例1所述的比赛中，象棋比赛的结果如下表2所示，求象棋比赛最终排名。
解：先定义矩阵A的元素aij在比赛获胜时为1，否则为0。则
经由对A进行求解，即可获得排名。
用MATLAB软件实现计算的程序如下：
A=[0,1,1,1,0,0,1,0;0,0,0,0,1,0,1,1;0,0,0,0,0,0,1,0;0,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,1,0;1,1,1,1,1,0,1,0;0,0,0,1,0,0,0,0;1,0,1,1,1,1,1,1,0];
[V,D]=eig(A);
D=diag(D);
[D,I]=sort(D,’descend’);k=1;
temp(1)={D(1:k)};temp(2)={V(:,I(1:k))};
celldisp(temp(1));celldisp(temp(2));输出结果见下图2：
图2计算结果2
可知8人排名依次为：3，4，6，7，5，2，8，1。
3.2矩阵的特征值与特征向量在区域发展与污染管理中的应用
在现有研究中，学者们在宏观角度的研究主要集中在经济发展与环境污染的相关性研究上，本文在此基础上，针对当前世界范围内比较重视的碳中和领域进行研究，将一个区域的生产企业分为高碳排放，低碳排放和无碳排放三种类型，以矩阵为工具，通过三种类型企业前三年的变化建立发展模型，推测将来某年的企业数量。
例3：假设某城市群管辖区域共有高碳排放，低碳排放和无碳排放三种类型企业共计50万家，企业总数在不随时间变化且三种类型企业相互之间存在转换可能。该区域2018至2020年每年都调查了企业分布，具体情况如下：2018年有高碳排放企业25万，低碳排放企业15万和无碳排放企业10万人；2019年有高碳排放企业21.5万，低碳排放企业16.5万和无碳排放企业12万人；2020年有高碳排放企业19.55万，低碳排放企业17.05万和无碳排放企业13.4万人。现在要根据现有调查数据建立模型，预测2021年该区域高碳排放，低碳排放和无碳排放的数量。
解：先通过分析该区域2018至2020年调查数据建立企业转化模型
设：第i年高碳排放，低碳排放和无碳排放三种类型企业数量分别为xi，yi，zi。则x0=25，y0=15，z0=10；x1=21.5，y1=16.5，z1=12；x2=19.55，y2=17.05，z2=13.4。假设高碳排放企业对下一年高碳排放企业，低碳排放企业和无碳排放企业的转化系数分别为aa，ab，ac；低碳排放企业对下一年高碳排放企业，低碳排放企业和无碳排放企业的转化系数分别为ba，bb，bc；无碳排放企业对下一年高碳排放企业，低碳排放企业和无碳排放企业的转化系数分别为ca，cb，cc。则可列矩阵如下：
代入（x0，y0，z0），（x1，y1，z1），（x2，y2，z2）解得aa=0.7，ab=0.2，ac=0.1，ba=0.2，bb=0.7，bc=0.1，ca=0.1，cb=0.1，cc=0.8。通过分析该区域2018至2020年调查数据可知：A、每年所有的高碳排放企业中，有约20%的企业会减排成为低碳排放企业，有约10%会成为无碳排放企业；
B、每年所有的低碳排放企业中，有约20%会提高产能成为高碳排放企业，有约10%会减排成为无碳排放企业；C、每年所有的无碳排放企业中，有约10%改行为高碳排放企业，有约10%改行为低碳排放企业。
aa=0.7，ab=0.2，ac=0.1，ba=0.2，bb=0.7，bc=0.1，ca=0.1，cb=0.1，cc=0.8代入（1）得：
因为2021年是x3，代入i=3：
得x3=18.435，y3=17.185，z3=14.38，也就是说2021年预计有高碳排放企业18.435万，低碳排放企业17.185万和无碳排放企业14.38万人。
例4，国家统计局公布第四次全国经济普查主要数据。普查结果显示，2018年末，全国共有从事第二产业和第三产业活动的法人单位2178.9万个，与2013年第三次全国经济普查相比，增长100.7%，较五年前翻倍。第三产业从业人员五年增长28.9%。假设某地区2018年至2022总从业人口数量保持200万人不变，2018年初第一产业50万人，第二产业90万人，第三产业60万人，每年第一产业流出5%从业人口，其中4%流入第三产业，1%流入第二产业；每年第二产业流出15%从业人口，其中13%流入第三产业，2%流入第一产业；第三产业每年向一二产业各流出1%，求2022年末三大产业从业人员数量。
解：首先构造转移矩阵A：
则可知：
代入X1=[50，90，60]T，当n=5时，X5=[48.57,44.91,106.52]T，2022年末三大产业从业人员数量分别为48.57万人，44.91万人和106.52万人。
3.3矩阵的特征值与特征向量在企业生产调度中的应用
在企业生产调度中，面临最大的一个问题就是如何针对不同的厂区、车间和订单工量设计最优化的工作计划。本文中仅对某企业单一厂区的不同车间生产同一种产品进行研究，在现实中，随着企业规模越大，其生产规模越大，生产种类越多，需要考虑的因素越多，转化的矩阵也就越复杂。假设某企业有i个车间可以生产A产品，在A产品生产过程中需要j种原料或中间件，根据不同车间各工序的加工设备和操作人员的差别，在生产过程中原料或中间件的消耗系数为aij，则可构成n阶矩阵A，若A不为n阶矩阵则通过对紧前或紧后工序进行关联，将A调整为n阶矩阵。通过求解A的特征值，可以获得A的综合生产效率，或通过已知订单逆算各原料或中间件的需求量。
例5：某企业有三条生产线都可以用三种原料生产某产品，消耗系数矩阵，求该产品的生产效率。
解：首先解A的特征值与特征向量。
由
解得特征值为3.2603，0.0864，0.0433对应特征向量分别为由于值不能为负，合理特征值为3.2603，
即该产品的综合生产效率为3.2603。
例6：某厂A车间有2条流水线负责生产5种零件，B车间有4条流水线负责将5种零件加工成4种不同产品，假定工人在任一流水线的生产效率相同，求各流水线人员最佳配比。
解：考虑使用QR分解法，首先将上述表格内容转化为Ax=B的形式，假设x为各零件的生产或消耗速率，表示为x=[a，b，c，d，e]T，则有：
解得x=[1.00，2.93，1.47，5.87，0.33，6.00]T，因此各流水线人员最佳配比为1：2.93：1.47：5.87：0.33：6。
4矩阵的特征值与特征向量的应用教学研究
作为线性代数教学中的一部分，矩阵的教学也是比较枯燥的，为此如何在课程中加入与学生学习或使用知识密切相关的应用例子，成为提高矩阵教学效果的重要方式。具体来说应用教学有以下好处：
（1）提高学生的学习兴趣和学习动机。从教学实践的角度来看，应用教学作为补充课程，通过列举与学生日常生活和专业学习相关的应用实例，让学生们更广泛的讨论和思考，可以极大地促进学生的积极性和主动性。
（2）提高学生分析、归纳和解决问题的能力。通过分析生活中各种问题的数学原理，让学生理解这些问题是如何转化为数学问题的，然后再通过思考这些问题的数学解，学生们也有机会在实践中理解一个复杂的问题。通过分析，可以从一个相对简单的数学问题，培养学生的思维能力和总结经验教训的能力。通过应用案例引导学生从问题出发理解数学的本质，可以让学生思考在日常生活中的其他问题是否可以用同样的方法解决，从而提高学生的接触面，使其对生活中的实际问题具有更具现实意义的认知，和对这种问题的学习和处理能力。
此外还需要让学生对一个问题从更多不同的角度和方法来思考如何来解决问题。此外由于矩阵的特征值与特征向量的求解过程和计算过程通常比较复杂繁琐，为了避免重复的定量计算，在日常生活中经常使用MATLAB软件来辅助计算，这就要求学生学会MATLAB软件的使用方法。由于MATLAB是一种对初学者非常友好的编程语言，同时线性代数的计算也仅使用了MATLAB编程语言中较简单的部分，因此，学生可以通过一个1至2小时的较短学习时间，就对MATLAB有一个简单的了解，并掌握它在线性代数中的简单应用。
结论
线性代数是一门大多数大学都会开设的基础数学学科，而矩阵正是线性代数教学中核心且困难的一部分内容，同时矩阵的特征值与特征向量在日常工作生活中有着举足轻重的作用。通过对特征值与特征向量的分析、理论研究以及对其实际应用的深入研究，不但使得我们可以大幅度地提升我们对高等代数中矩阵相关理论内容的基本掌握和应用水平，还使得我们可以充分运用矩阵相关的理论和实践来帮助我们研究和解决各种实际的问题.它不仅在传统数学研究方面一直是主要的探究问题对象，而且在反问题等实际的研究和运用都非常可能被我们看作是对矩阵的特征值和矩阵特征向量的基础性问题，有着非常广泛的分析研究和实际应用。但由于内容相对复杂且抽象，许多学生都难以理解这个关于符号和数字的数学游戏，学习的效果和积极性相对较低。通过在教学中引入与学生专业相关、生活相关的现代热点技术应用实例，可以更好的对教学内容进行解释，使定义、定理更加形象化，同时可以培养学生的分析能力，归纳能力和对问题的处理能力。通过生动灵活的教学方式更好的提高学生对学习的能动性，从而提高学生的学习主动性，提高学生的学习效果，让学生在未来的学习、生活和工作中受益一生。
参考文献
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[4]张亚.矩阵的特征值与特征向量及其应用[J].科技经济导刊，2018,v.26;No.637(11):85-90.
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