重积分的计算及其应用

摘要

重积分的计算在多元函数积分学中一直占据着重要的科研地位，并且在我们现实生活中已经有着广泛的实际应用.由于重积分是将定积分延申到了多元函数，可知重积分是定积分的推广，其积分的范围由数轴上的一维区域，扩大到二维平面域，直至三维空间域.重积分在积分学中主要被分为二重积分，以及三重积分这两个大部分.在本论文中，主要总结了二重积分以及三重积分的基本概念与简单及特殊的性质，在此基础上我还总结了二重积分和三重积分的各种比较常见的积分计算技巧与积分计算方法，并通过各种积分计算方法来深入研究二重积分和三重积分在平面、空间、物理力学等诸多方面的实际应用.

关键词:二重积分；三重积分；计算技巧；应用

摘要I

Abstract II

引言1

1重积分的定义与性质2

1.1二重积分的定义与性质2

1.1.1二重积分的定义2

1.1.2二重积分的性质2

1.2三重积分的定义与性质3

1.2.1三重积分的定义3

1.2.2三重积分的性质3

2重积分的计算4

2.1二重积分的计算4

2.1.1利用直角坐标系计算4

2.1.2利用极坐标系计算5

2.1.3利用二重积分的几何意义计算7

2.1.4利用格林公式计算7

2.1.5利用函数奇偶性与区域对称性计算8

2.2三重积分的计算9

2.2.1利用直角坐标计算9

2.2.2利用柱坐标及球坐标计算13

3重积分的应用15

3.1二重积分的应用15

3.1.1计算曲面的面积15

3.1.2计算平面薄片的重心，转动惯量及对质点的引力16

3.1.3计算空间立体体积19

3.1.4计算曲线及曲面积分19

3.2三重积分的应用21

3.2.1计算转动惯量21

3.2.2计算引力22

结语24

参考文献25

致谢26