概率论的发展简介及在生活中的应用

　　摘要：概率论是一门研究不确定性和随机性等现象的一门数学，其发展过程从最初的研究赌博的随机性开始、最终形成了当代的概率理论这门重要的数学分支，研究概率论发展的历史，有助于更好的理解和学习概率论，并在实际的生活和诸多科技领域更好的应用这门数学科学。对此本文通过收集相关的文献资料对概率论的发展历程进行了梳理，从概率论的起源到发展，再到成熟进行了全面的论述，最后从生活应用的角度来阐述概率论和现代生活紧密的联系，并从经济管理决策、中奖问题、优化选择以及抽签公平问题和食品质量设计方案中等角度进行了深入的剖析。

　　关键字：概率论；发展历程；应用

　　概率论虽然属于数学理论知识，但是在现实的生活中我们能够常常发现概率论的应用，不过大多数人在应用概率论方面都相对简单，比如在竞猜硬币的正反面式，无论是正面还是反面机会都是50%，这个认识实际上就是最基本的概率论。但是学过概率论的人们大多数认为概率论过于理论化，比如母函数、极限定理等内容似乎和我国的生活应用没有关系，彰显了概率论的数学属性，但是如果我们采用概率论分析日常生活中内容往往会让人们获得更加深刻的认识。

　　概率论看起来相对复杂，但是在我们的日常生活中几乎每天都会和概率论打交道，现在被广泛应用的计算机技术就引入了随机理论，从而提升了计算机的运算性能，除了在高端科技领域概率论有着广泛的用武之地，在我们平时的生活中同样存在，比如我们常见的抽奖过程中就可以采用概率论进行分析，从而选择一些可能中奖的号码。还比如在经济管理决策中，利用概率论来筛选风险系数更小，投资回报率更高的项目，还有在选购上面同样可以采用基于概率论理论选择性价比更好的方案。

　　其实概率论和我们的生活中的应用有着密切关系，在学习概率论的时候其实也可以将这些理论知识和我们的实际生活联系起来，而不仅仅是当成一种数学理论学习来帮助自己获得相应的学分。概率论作为高等数学的一项重要内容，和我们的现实生活是密不可分的，本文研究的重点就是通过分析概率论的发展历程，追溯概率论从诞生到发展，进而从经济生活等方面的应用来分析概率论的重要作用，这也是本文研究的意义所在。

　　作为数学知识中的一个重要分支和其他数学理论知识一样都是人类通过社会实践以及生产活动所获得的治理积累，随着计算机技术的发展概率论已经在生活中的各个方面都得到了广泛的应用，在数学的众多分支中俨然成了一颗参天大树。而这个大树的诞生和早期一代又一代的科学家的辛勤劳动不无关系。

　　人们了解随机现象从远古时期就已经开始，古希腊哲学家很早就思考偶然和必然的潜在关系，我国从春秋时期就有有关随机现象的思考。但是从数学的角度进行思考最少也要追朔到西方的中世纪。在十五世纪上半叶就有很多数学家开始认真考虑这种随机的问题。意大利数学家帕乔利在1494年出版的《算术》这本数学专著中就探讨过赌博中的概率问题[1]。帕乔利在书中做过一个假设，当一个赌局的规则是以谁先获胜六局谁就能够赢得赌资。可是在赌博的过程中其中甲方赢得了5局，而乙方赢得了2局，此时赌博因故取消，那么这个赌资应该如何分配，帕乔利给出的答案是将赌资分成7份，然后以赌局胜负次数的5:2的方式分配给比赛双方。可是当数学家卡丹看到这个问题的答案确认为这种分配是不正确的，因为后面的比赛会存在多种不同结果，并给出了应以10:1的比例进行分配。很显然卡丹的这种分配方法显然也存在着问题。卡丹在早期概率论的发展上起到了重要的作用，不仅仅从赌博的角度探讨了概率论，同时和塔塔利亚共同合作研究了人口统计以及保险方面的概率应用。可是对于传统数学家们而言这些研究多少带有赌博的性质，所以不少数学家并不认可他们的研究。

　　不过作为现代自然科学的创始人伽利略同样在研究掷色子时引入了概率知识。比如同时掷下的3个色子，有人通过简单归纳发现3个色子点数之和为9和为10的情形都为6中，所以就认为在掷色子的时候出现9和10的次数大概相当。不过伽利略通过穷举法却发现3个色子点数之和有25种，而为10有27中，所以在掷色子的游戏中出现10的几率要比9的几率大，这实际上就是早期概率论的萌芽[2]。

　　随后在16世纪，概率论随着法国数学家帕斯卡以及费马和惠更斯的努力，最终诞生了概率论，而概率论的诞生同样和赌博问题有着密切的关系。概率论的诞生颇具戏剧性，法国骑士在十六世纪五十年代向当时出名的数学神童提出了一个赌博问题。那就是两个赌徒约定赌博若干局，谁最先赢得N局之后，谁就获胜，获得双方赌本、但是其中出现如果一方赢得1局而另一方赢得5局赌博停止，此时赌本应该如何分配。帕斯卡一时并没有想到更好的方法，于是就将这个问题转给当时的业余数学家费马解决。随着他们的努力最终通过最初的概率论解决了这个问题，但是他们并没有对概率有着明确的定义，不过概率论的起源却和他们的赌博研究有着密切的关系。

　　后来荷兰数学家惠更斯在巴黎游学听说帕斯卡和费马的研究之后，于是也参与到其中，并在1657年出版了《论赌博中的计算》这本学术专著，第一次定义了概率论的概念和相关的定理，比如加法定理和乘法定理等。现代的概率论中概率是基础，数学期望属于第二级的概念，但是在概率论的发展早期却是数学期望放在第一级的概念中，而期望却放在了第二级。

　　帕斯卡、费马以及惠更斯在探究赌博问题的时候，莱布尼兹就已经认识到这个新的数学研究的重要性，也正是帕斯卡和费马在探讨赌博问题的那一年雅各•伯努利诞生了，正是雅各•伯努利在1713年出版的《猜度术》这本专著中首次提到了极限定理，后来这个定理还以伯努利命名成为伯努利定理[4]。这个定理总结了大量经验观测中的所呈现的稳定性，并作为大数定律的最初形式在概率论的发展上起到了重要的推动作用。

　　在伯努利之后，数学家棣莫弗和高斯在1809年各自独立的在概率论上引入正太分布，泊松在1837年推出了泊松大数定律，特别是拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理论》将概率论的发展推向了新的发展时期，正是在这部著作中，拉普拉斯将概率进行了定义，所谓事件中的概率就是一次实验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果的比率。而且拉普拉斯还根据中立原理计算了第二天太阳能否升起的概率为1/826214。

　　在十九世纪后期极限理论的进一步发展成了概率论的重要研究课题，其中俄国科学家切比雪夫在极限理论的研究上做出了重要贡献，切比雪夫在1866首次建立了关于独立随机变量序列的大数定律，并让伯努利定理和泊松大数定理在极限定理中成为一种特例，而且切比雪夫还进一步发展了棣莫弗–拉普拉斯极限定理，随后他的学生马尔可夫进一步发扬光大加速了概率论在20世纪的发展[6]。在19世纪末概率论在统计物理学中的研究方面得到了广泛的应用，在这个时期数学家发现了概率悖论对古典概率论的基本理论提出了挑战，其中最为著名的概率悖论就是贝特朗悖论，是由法国学者贝特朗提出。这个悖论就是在半径为r的圆中随机选择弦，计算弦长超过圆内接三角形边长的概率，如果根据随机选择的不同意义就能够得到不同的答案，而事实上只可能存在一个答案，这说明古典概率论的盖帘存在着一些缺陷，在加上概率论此时在实际的生活应用中越来越广泛，这些应用中存在的问题已经要求概率论的逻辑基础必须要做出改变，正是如此在二十世纪初，38岁的希尔伯特在世界数学家大会上首次提出了概率公理系统，这就是后来著名的第6希尔伯特问题，而这个问题同样让很多数学家深入其中研究。正是如此进一步推动了概率论的成熟。

　　俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯•米西斯是最早将概率论进行严格化研究，并提出了一些公理作为研究概率论的前提，不过从现代的角度来看，这些公理本身也存在着一些缺陷。作为测度论的奠基人博雷尔最早将概率论理论采用测度论术语进行表述，并将测度论中的一些方法引入到概率论研究中。正是博雷尔的研究进一步激发了原苏联科学家科尔莫戈罗夫的研究热情，而且科尔莫戈罗夫在概率论的研究上同样成就卓著。

　　二十世纪的二十年代中期，科尔莫戈罗夫试图将概率论理论的表述完整的采用测度论的术语来进行，并在1926年推到了弱大数定律的有关条件，后来又对博雷尔的强大数定律存在的问题给出了一般性的结果，同时还推广了切比雪夫的不等式，并创立了科尔莫戈罗夫不等式以及可数集马尔可夫链理论。其最为出色的成就就是在1933年正式以德文出版了《概率论基础》，在这部著作中建立了集合测度以及事件概率的类比以及积分和数学期望的类比等等，这些广泛的类比让概率论有了演绎数学的重要特征，而且科尔莫戈罗夫的公理系统也得到了数学家们的普遍认可。

　　公理化的概率论对随机问题的研究获得了新的动力，是现代概率论的研究核心，莱维早在1938年就提出了随机过程的新方法，在1948年出版的《随机过程与布朗运动》中又提出了独立增量过程的理论，后来维尔有引入“鞅”这个名称，并成为鞅论的创始人，后来X概率论学派代表杜布则进一步对鞅论进行了系统研究，并让鞅论成为一门独立的概率论分支[11]。如今的概率论不仅仅是数学知识这颗大树的一个分支，而且这个分支还有很多强壮的根扎根大地，从而让概率论的发展有了丰富的源头活水，图1就是对现代概率论的分支进行了梳理。

　　概率统计在数学诸多知识体系中是具有一定的趣味性的，而且随着现代科技的发展，特别是计算机技术的广泛应用，概率论也开始借助先进的计算机技术在自然科学和社会生活中得到了广泛的应用。其中在经济生活中的应用就更为广泛，比如实验设计、质量控制以及抽样检查和价格控制等诸多内容，大量实践研究表明，概率统计理论知识对于经济中的量化研究非常高效，能够直观的为企业决策者提供量化内容，从而帮助决策者能够做出正确的决策。

　　经济决策之前都会存在很多不确定的随机因素，这对于决策者来说是具有一定的风险，因此只有通过科学有效的方法来进行决策才能够实现以最小的成本获得最大的利润，同时还能够保障投资的安全性，在这方面概率统计知识就能够有效帮助企业管理层做好科学合理的决策。下面就以数学期望以及方差等数字特征为例来分析概率统计知识在经济管理决策中的应用。

　　案例一：甲方有一笔可用资金有三个项目可以选择，分别是房产1、工厂2、商业3，其未来的收益和当时的市场状况关系密切。因此如果将未来的市场划分成好、中以及差三个等级，那么可能发生的概率就分别为,,然后在调研市场，并得知在不同等级的市场状况下其未来的投资收益（万元）如表2所示。

　　其中公式中的x、y和z分别取代了上述三个投资中的1、2、3，通过分析数学期望可以得知，投资房产带来的收益能够达到4.0，也就是投资房产能够获得最大的回报。但是既然有投资就要考虑风险，那么通过方差来计算不同投资模式的风险。计算如下：

　　根据概率理论知识，方差越大其收益的波动就会越大，也就是所存在的风险就会越大，所以从上述方差计算的结果来看，投资房产的风险是最大的，而投资工厂风险则相对较小，但是如果综合分析投资收益，也就是将风险和收益进行综合性考量，就可以得知投资工厂为好，虽然平均收益小0.1万元，但是风险却是房产的三分之一。

　　很多人都喜欢玩彩票，而且随着玩得时间越长往往就在实际的竞猜中不知不觉的应用到概率论的知识，只不过那些玩彩票的人们并知道已经在生活中使用到了如此高深的数学理论，下面就来分析一下概率知识在中奖问题上的应用。

　　案例二：在小夜市上有一个商家在摆设摸彩的小摊子，商家手中有一个黑色的袋子，这个袋子里面放了有20个白球，每个白球的大小和质量以及形状都完全相同，而且每一个球上都有一个号码，二十个球有二十个号码。除了这二十个白球之外，还有一个红球，而且红球大小、形状以及质量也和这二十个白球一样。此时摸彩规则如下：玩家每次只能够摸一只球，在摸之前要交一块钱，并事先写出要摸出球的号码，如果摸到红球就能够获得5元，再加上原来的成本，如果摸到的白球号码数和事先写的号码数，那么就要奖励10元。针对这个规则，摸彩玩家是不是有利？如果摸彩者进行N次的墨江，那么他的平均的每次获利或者损失是多少元呢？对于这个问题事实上也可以用以下的概率论知识进行分析。

　　首先摸到红球以及摸到数字一样的白球的概率都是，那么可能得到的收益则分别为为或。每次的平均获利则为（）。那么根据这些数字就可以得知摸到红球或者是摸到同号球实际上对于玩家来说是没有利益的，而且每次的平均收益仅仅为从比值上来看是负值，也就是每次会损失元。换句话说摸彩游戏制定者，也就是商家本人会随着玩家不断增多而不断获利，而那些长期玩这个游戏的摸彩玩家则会随着玩得次数越多，就会输的越多。

　　在优化选择方面往往有助于选择方占据更多的优势，比如在下面这个游戏中，小明拿着一个罐子来找小王做一个游戏，罐子里面的有四个玻璃球，大小一样，但是颜色只有两种，分别是黑色和透明色。小明制定的这个游戏规则是，实现摇晃这个罐子，将玻璃球在罐子里面的顺序打乱，然后等待小球位置落定，如果小球呈现黑白相间的位置进行排列，如图2所示，那么就算摇晃着赢，否则就是对方赢，对此小明问小王，你是当摇晃着还是当对方。根据这个问题，同样可以按照概率论知识。首先将第一个黑球使用A表示，第二个黑球使用A，第一个白球则使用B表示，第二个白球则使用B显示，那么落定的顺序主要有图2这些形式，并得知可以出现24种结果

　　分析这24种结果可以发现，黑白相间排列只有8种，所以摇晃着一方的胜算没有对方大。这就能够有效的优化选择。

　　我们在平时的生活中少不了到商场上买东西，在买东西之前又少不了货比三家，这样才能够购买到最佳性价比的产品，下面我们就来探讨概率论在选购方面的几点应用。比如某电脑公司有三种型号的联想电脑，这三种型号可以用A、B、C三个字母来代替。另外两个型号的电脑是神州电脑，可以使用D、E这两个字母代替。IT管理人员要根据这些型号和价格各选择一种型号的电脑，并要求IT工作者写出可能所有的选购方案，并使用树状图的方式表示。第二如果各种选购的方案可能被选中的概率是相同的，那么A型号电脑可能被选中的概率是多少。第三如今知道了这个中学要购买联想和神州电脑各36台，具体的价格如图3所示，正好使用了10万元，其中联想电脑中的A型号，那么购买A型号的电脑有多少台？对于这些问题就可以采用概率论知识来进行回答。

　　首先来回答第一个问题，我们先将联想电脑作为甲品牌，神州电脑则作为乙品牌。根据问题可以得知有以下六种可能的结果，分别是(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）．具体如表2所示。

　　对于第二个问题由于选择A型号的方案仅为(A，D)（A，E）这两种，所以选择A型号电脑的可能的概率就是。下面再谈谈第三个问题，根据第二个答案克制，在选择方案（A，D）时，那么购买A型号以及D型号的电脑可以分别假设为x,y台，然后根据题目可以得出方程公式分别为

　　根据这个公式可以计算出x为80台，y为116台，这显然是不和题目的设定，因此只能够选择方案（A，Ｅ），然后根据公式可以得知x为7台，y为29台，而这个答案显然是符合题意的。

　　在生活中我们经常采用抽签的方法来解决有争议的事情，那么在抽签的过程中如果次序不一样会对抽签的结果产生什么样的影响呢？这个问题实际上非常古老，而且非常典型。通过概率论的知识首先这具有不一般性，首先这是一个五人签，其中有一个是彩签，对于第一个抽签者来说，得到彩签的概率就为，因为他是从五个签中抽取。而第2个抽签者得到的抽检概率又是多少呢？那么可以将前面两位抽签的情况可以当成一个整体，也就是五个签中被先后抽取了2个，也就是从五个元素中抽出了2个进行排列，于是种数就是，其中第二个人抽到彩签的可能性有，如果第一个人没有抽到彩签，那么第二个抽到彩签的概率就可以以公式，计算出也是为，根据类似的原理进行推论，第三个抽签人的概率就为，直到第五个都是五分之一，那么只要是是在n个签中抽取某一个彩签，无论抽签的顺序如何，其成功抽取到的概率都是一样的，所以都不会影响其公平性。

　　对于这个问题还有另外一种解决方法，比如在第n个签中，其中第i个抽签人员抽中了彩签，那么此时样本点就取决于n个人中那个抽到彩签，此时一共有个抽中彩签点。而第i个人抽中彩签就只需要其余的（n-1）个人在（n-1）个黔中进行选择，可以用数值取代，那么根据计算公式同样可以得知当第i个人抽中彩签的概率都是一样的，这两种以不同角度来进行解答的结果都是一样的，这足以说明抽签顺序的变化并不会影响抽签的公平属性。

　　在生活中也常常伴随着偶遇的事件，其实这些偶遇事件同样也可以通过概率论进行解析，比如两位朋友想约在上午10点到11点之间在街上的某一家商店门口相会然后再上街购物，他们共同约定如果先到的一方面一定要等待后来的一方，超过15分钟，对方还没有到，那么就可以选择离开。在这种条件下这两位朋友可能相遇的概率会有多大。可以假设这对朋友到达约定的时间都是随机的，而且都是一个小时之内。针对这个问题就可以采用概率论进行分析。

　　首先可以明确的知道这是一种几何概率问题，能够借助几何方面的知识比如长度、面积以体积等方面来合理的分析其可能的概率。这个问题中主要涉及到两个变量，也就是这两位朋友分别到达这个商店门口的时间变量，可以分别使用x和y分别代替上午10之后这两位朋友分别到达的商店门口时间，时间的变化以分钟度量。这两位朋友分别到达这个商店门口的时间可以使用有序对（x,y）来进行标示，其中0<x<60,0<y<60，那么这个样本空间就是一个边长为60的正方形。为了让这两位朋友能够相遇，他们到达目的地的时间不能够超过15分钟，也就是要满足|x-y|<15。在这个范围之内，这对朋友就能够相遇，因此可以根据下面公式计算得知，两人能够在商店门口相遇的可能性还不到0.5，如果将这个时间延长，那么相遇的概率就会明显增大。

　　在盒装饮料产品线上，为了确保盒装产品质量的稳定，一般而言在24小时之内要不定期的超过30次来检测生产线的盒装产品，这时候我们可以将24小时划分成144个时间段，每个时间段相隔10分钟，然后再这144个时间段中随机抽取30个时间段，并让任意一个时间段能够被抽取的机会时间段拥有均等的机会，并在同一个时间段中还能够被多次抽取。实现这个的操作步骤请写出来。

　　对于这个问题，实际上可以有两种方法来解决，第一种方法可以分为下面几个步骤。

　　第一使用1到144的个位数，并将从0到24个小时之内每十分钟的时间顺序进行编号，一共编写144个。

　　第二在144个小物品中，比如选择大小质量形状相同的立方体或者小球上进行变化，一共144个小球。

　　第三讲这个144个物品相同数字编号不同放在不透明的罐子里，然后进行均匀的混合。

　　第四每次从罐子里摸出一个小物品，并记录上小物品上的变化，然后再将这个小物品放回袋子里进行均匀的混合。

　　第五按照第四个步骤重复30次，从而得到30个数。

　　第六要得到每一个数并除以60就可以转换成具体的时间。

　　通过这六种方法显然就能够实现抽取机会的均等性。

　　另一个方法可以借助计算机进行操作，具体的步骤可以分为以下几个步骤。

　　第一将0到24小时中的每隔10分钟进行一个编号。一个分成144个编号。

　　第二使用计算机rand函数编写随机数。

　　第三将1到144作为随机数的产生范围。

　　第四执行随机函数，记录下每次获得的随机数，一共执行30个数。

　　第五将得到的每一个数和小时基数进行计算就能够换算出具体的时间

　　概率论的快速发展虽然仅仅有三百多年的历史，但是却让数学和生活的联系变得越加紧密，特别是近年来计算机科学的发展，概率论和计算机信息技术一道在生活中的应用越加紧密频繁，通过从本文中分析的从经济生活、到日常生活中的诸多场景中都能够看到概率论发挥的作用。当然本文提到的应用方面也仅仅概率论应用的几个方面而已，概率论在生活中的应用远远不止于这几个方面，而且还在新的领域不断发挥着作用，这也是进一步促进概率论发展的重要因素。

　　参考文献

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　　[5]徐君.例谈概率论方法之应用[J].中学数学研究.2010(02)

　　[16]GlennShafer,VladimirVovk.ThesourcesofKolmogorov’’sGrundbegriffe.StatisticalScience.2006

　　致谢

　　四年的本科程学习就要结束了，此刻，我的心情非常复杂。四年来的学习是有苦有甜，有奔波劳累的苦楚，也有学有所得的甘甜。在撰写论文的过程中，我经受了一次次的考验，有痛苦有彷徨，也有得到指导后的欣喜，这一切将会成为一笔财富，引导我以后的工作和学习。

　　首先，我要感谢我的导师ⅩⅩⅩ教授。Ⅹ老师给我提供了大量资料和建议，耐心的给我指出每一个细节上的错误，指导我完成整篇论文的撰写。另外，Ⅹ老师诚恳友善的为人品行、敏捷高超的智慧、对待科研的严谨态度，都给了我深刻的影响，使我在学习上有了很大的提高。

　　其次，我要感谢我们的班主任ⅩⅩⅩ教授，Ⅹ老师在我研究的方向上给出了中肯的指导，对我研究过程中出现的学术问题也耐心的点拨，他的辛苦我们有目共睹。同时，我也要感谢开题和预答辩时对我的论文撰写提出中肯建议的老师们，他们以专家的身份，用他们渊博的学识从不同角度对我的论文写作进行了指导。在此，对所有帮助过我的老师，致以诚挚的谢意。

　　最后，我还要衷心地感谢我的亲人、朋友，感谢他们对我无私的爱和对我学业的支持。

　　谢谢你们，祝福你们，这三年的丰富不是言语可以铭记的，谢谢，谢谢。