单方向外汇兑换

       外汇兑换是一种特殊的风险资产投资，可将单方向外汇兑换看作是单一风险资产投资，将双方向外汇兑换看成是两种风险资产投资。外汇兑换的序列决策特点和在线决策性使得可将在线搜索与之对应起来。该章首先在已有的基于风险资产收益率下跌威胁保守投资策略基础上，给出了风险厌恶型的单一风险资产的在线投资策略，得到了两种风险资产收益率变动情形下的竞争性能分析。考虑到投资者的风险偏好及实际情况，利用al-Binali的风险回报模型，进一步给出了新预期下单一风险资产投资的风险策略，并通过数值算例进一步分析所给策略的竞争性能。

4.1 研究问题描述

       在线投资者持有一定数量的风险资产，在序列决策中，将风险资产分成若干份，在不知未来风险资产收益率序列的情形下需要决定每次投资的比例，这种决策问题我们称之为单一风险资产在线投资。运用在线算法与竞争分析理论研究单一风险资产在线投资是近年来金融优化领域兴起的一个热点研究方向^{[9， 50]}。令P = (E， S， R)表示一个最优化问题，E为所有可能的风险资产收益率(输入)集合，对于任意的风险资产收益率(输入)e ∈ E对应着一个可行的投资比例（输出）s = S(e) ∈ S，R是一个收益（效用）函数，对于所有的e ∈ E， s ∈ S，存在着一个收益(效用)R(e， s) ∈ R。ALG是解决问题P的任意一种竞争策略，对于任意的风险资产收益率e ∈ E，ALG计算出相应的投资比例(输出)s = S(e)，记ALG(E) = R(E， S)为ALG对于风险资产收益率(输入)为E 时的收益。
特别地，当对应的风险资产收益率为有限的序列
e = (e₁， e₂· · · ，e_n)
其对应的可行投资比例也可用序列
s = (s_1， s₂， · · · ， s_n)
       来表示，如果对于任意的j = 1， 2， · · · ， n − 1，策略ALG在第j + 1期的风险资产收益率e_j+1给出以前必须计算出第j期的投资比例s_j，则称策略ALG为在线策略。最优投资策略OPT显然是离线时的情况，收益可表示为

满足不等式
OPT (E) ≤ r ALG(E) (r > 1)
的最小的常数r为策略ALG的竞争比。假设在k天内将1美元兑换为日元，则在线策略ALG的收益可表示为
ALG(e) = R(e， s) =，
离线收益为
，
       竞争比为r = 。设总的投资量为1，单一风险资产投资就是要寻找较好的在线序列投资策略，使得竞争比r越小越好，从而使得在线收益越来越接近于离线收益。本章提出的单一风险资产在线投资策略就是基于以上假设进行研究的。
       在生活中，有许多在线序列搜索问题，消费者搜索某一商品的最低价格，而他需要在线决策是否选择某一款的商品，即需要从随着时间不断揭示的一系列价格序列中寻找出最大（或最小）的价格。在某阶段，可以获得当前价格，消费者需要决定接收当前价格还是继续寻找，如果接受当前价格则该问题结束且收益可计算。搜索是许多经济市场中的一个显著特征，如职位、雇员搜索和寻找同一商品的最低价格等等。搜索另一个重要的应用就是单一风险资产投资。在单一风险资产投资中，投资者将一定数量的风险资产根据风险资产收益率进行投资。在此问题中价格序列就是风险资产收益率序列。在每个已知的风险收益率下，投资者必须决定在剩下的风险资产中选择多少比例进行投资。单一风险投资投资问题存在于日常生活中的许多经济现象和金融问题中。例如，一个投资者需要调整其拥有的证券投资组合，进入或退出某个资本市场；外汇投资者在不同货币之间进行兑换等。在线外汇兑换是单一风险资产投资的一种特例。许多文献研究了在线外汇兑换的策略，都可将之应用于单一风险资产的在线投资。文献 [9] 探索了在线外汇兑换与在线搜索之间的关系。
       在搜索问题中，对于每个当前价格，决策者必须决定接受还是继续寻找；然而在单一风险资产在线投资问题中，投资者可以将他最初的总资产分割成很多份，然后根据获得的风险资产收益率序列逐份进行投资。如，外汇兑换中，把1美元分成不同的份数，在不同的汇率上进行兑换成日元。从另一个角度说，可以把搜索问题看成单一风险资产在线投资问题的一个特例，其中投资者必须决定在什么风险资产收益率上一次将所有的资产进行投资。事实上，这两个问题在某种程度上是一致的，因为可以将每次交易部分资产的单一风险资产投资问题的确定（或随机）算法看成是在线搜索问题的随机算法，反之亦然。因为对于单一风险资产在线投资问题的期望值等于一次随机投资所有的资产所获得的期望收益。根据文献 [9]，有引理4.1成立。
引理4.1.
       令ALG1表示单一风险资产投资的随机算法，则对于任意的风险资产收益率序列e总存在确定性的在线算法ALG₂使得ALG₂(e) = E[ALG₁(e)]成立。相反，令ALG₂是单一风险资产投资的确定性算法，则对于任意的价格序列e总存在随机算法ALG₁使得ALG₂(e) = E[ALG₁(e)]也成立。
       在已有文献的基础上，本章进一步研究单一风险资产在线投资策略。考虑到资产收益率波动比较平稳，本章第4.2节从投资者风险厌恶的角度，研究基于风险厌恶型的单一风险资产在线投资策略，建立风险资产收益率线性波动和对数波动两种变化形式的在线投资模型，并得到其竞争性能分析。

4.2 基于风险厌恶型的单一风险资产投资的在线策略

       提出的基于风险的策略是一种经典的在线搜索策略，在此基础上处理了每期风险资产收益率的界随时间变动的情况。从博弈论的角度处理了每期风险资产收益率变化服从几何分布(e_i/α≤ e_i+1≤ e_iα)的在线外汇问题。
       保守策略当每期风险资产收益率浮动不大时，风险资产收益率降到该期的最低点时仍进行交易。假设竞争比为r，保守策略投资时服从以下两条规则：
a. 当且仅当当前的风险资产收益率达到最大时才进行投资；
b. 当前的投资比例保证一旦风险资产收益率降到该期的最低点将剩余的风险资产总额全部投资后仍能达到竞争比r。
事实上，有些风险资产收益率变动的幅度没有几何分布那么大，而是近似的服从线性分布，即满足p_i−θ≤ p_i+1≤ p_i+θ，也就是每期风险资产收益率变动幅度最多，这种模型在保守策略下的竞争比上下界可由竞争比分析法获得，同样也可得到风险资产收益率对数波动模型在保守策略下的竞争比上下界。

4.3 竞争策略分析

       在上节中，我们分析得到：风险资产收益率线性波动情形下的竞争比上界和竞争比上下界的近似离差，并逐步分析当交易期k一定时，不同的𝜃和 p对其两者数值的大小影响，具体的数值见下表4-1和4-2。
表4-1  当k=100，𝜃=0.5时，p值对和△max的影响

p	8	10	12	14	16
	1.73	1562	1.451	1.378	1.351
△max	0.600	0.486	0.440	0.352	0.309

 
表4-2当k=100，p=10时，𝜃值对和△max的影响

𝜃	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7
	1.310	1.430	1.562	1.705	1.864
△max	0.297	0.392	0.486	0.578	0.668

 
       同样的，从上式(4-7)可以得出：当𝜃和k一定时，风险资产收益率价格p越大，竞争比越小；当p和k同时固定时，浮动率𝜃越大，竞争比也随之越大。由竞争比定义可得，竞争比越小越好。所以，在𝜃和k一定的情况下，投资者更愿意在更大的p值下采取保守型投资策略，如下表4-1所示，竞争比上界和浮动率𝜃成反比，竞争比上下界离差△max也和浮动率𝜃成反比；在p和k一定的情况下，投资者更愿意在更小的𝜃值下采用保守型投资策略，如下表4-2所示，竞争比上界和浮动率𝜃成正比，竞争比上下界离差△max也和浮动率𝜃成正比。此外，我们得出，进行单方向外汇兑换时，投资者可以根据已获知的信息，也就是p、𝜃和k的大小来决定是否采用保守型策略，同时估算得到采用该保守型策略时的竞争比最大值和每期的投资份额和比例。最后，文章中还分析得到：当𝜃和p一定时，不同的k值对以上两种模型在线投资策略的竞争性的影响，具体数值见下表4-3。
表4-2当k=100，p=10时，𝜃值对和△max的影响

k
5	1.129	1.060	0.068	1.177	1.080	0.096
10	1.201	1.091	0.109	1.216	1.097	0.118
11	1.212	1.095	0.116	1.221	1.100	0.127
12	1.222	1.101	0.122	1.225	1.101	0.123
13	1.232	1.104	0.128	1.230	1.103	0.117
14	1.244	1.107	0.137	1.233	1.104	0.119
15 20 25 30	1.248 1.281 1.300 1.332	1.110 1.123 1.113 1.142	1.038 0.157 0.175 0.191	1.236 1.247 1.256 1.262	1.106 1.110 1.113 1.115	0.120 0.137 0.142 0.146

其中有：
因为线性函数的增长速度大于对数函数的增长速度，所以风险资产收益率的线性波动模型大于风险资产收益率的对数波动模型，从而得到：以上研究的这种风险厌恶保守型策略应用于风险资产收益率对数波动情形更为适合。从上图4-1和表4-3中可以得出：当θ=0.5、p=10，时，=13是对数波动与线性波动的竞争性能分界点。具体来说就是：当k ≥时，风险资产收益率的线性波动竞争比大于对数波动的竞争比；当k时，风险资产收益率的对数波动竞争比大于线性波动的竞争比。由此说明：在保守型策略下，风险资产的收益率波动模型对竞争比有相当大的影响。

      通过以上分析得知，本节研究的基于风险厌恶型单方向外汇兑换的竞争性能不仅仅取决于模型本身的内部参数：如p、θ、k参数的，同样的也取决于不同的风险资产收益率波动情形，正如本节对风险资产收益率的对性波动和风险资产的收益率线性波动这两种不同情形的比较分析。由此可见，本章节所提出的单方向外汇兑换在线投资保守型策略是可以作为风险厌恶型投资者进行投资的一种策略选择，尤其是当交易期数k较小时，这样更容易估算出每期的竞争比以及投资份额比例，以此能够进一步指导投资者的投资行为。