微积分在经济优化问题中的应用

　　微分学的主要理论是思考函数在小范围内是否可以使用线性或多项式函数来任意近似表述。直接分析，对于可以使用线性函数任意近似表述的函数，其图形上任意细微的段都类似以直线。在上述曲线，任意处都具备一条惟一明确的直线──此点位于的“切线”。其在此点处非常小的范畴内，能够和曲线紧密融合，无法划分。上述近似，促使繁杂函数的分析在小范围内得到处理。此时举例进行叙述——物理内物体运动速度：选取坐标轴为下图，设定路程函数。已知，求物体运动速度（也就是s变化率）的方式被划分成两部分：

　　“局部求近似”：即便物体在时段上进行非匀速运动，然而在细微段上可类似当做匀速运动。以“匀”取代“不匀”，也就是对变化率以“不变”取代“变”，采用解决均匀问题的除法得到似值v≈【1】。

　　“极限求精确”：越小，近似程度提高，因此让，使用极限法就可以将近似值转变成精确值，也就是。

　　积分学的主要定义是有关一元函数的定积分和不定积分。隐藏在定积分定义内的主要思想是利用有限逼近无限。所以极限方式就变成创建积分学严格理论的主要方式。此时举例进行分析——物理内运动物体通过的路程：设定速度函数已知，求运动物体所通过的路程也被划分成两部分：

　　“局部求近似”：非均匀量近似于均匀量必须在微小部分才可以成立。所以要解决上述非匀速变化的整体量，最重要的是将时间区间划分成众多小区间，之后在小区间上以“匀”代“不匀”，所以，此想法需要划分成两部分完成：

　　“分割”：把区间，随意划分成n份，查看微小区间上的小段；

　　“求近似”：在上把运动近似当做匀速运动，使用出来相应均匀量的乘法得出：≈，。

　　“极限求精确”：因为得出整体量，所以把局部近似值叠加之后向精确值转化（使用极限法完成“精确”过程），因此完成精确目标需要划分成两部分：

　　“求和”；

　　“求极限”，此时。

　　因此可知，微分和积分即便是微观与宏观两类范畴的问题，然而其分析主体依旧是“非均匀”变化量，处理问题的主要理论是相同的。可被划分成两个步骤：a。微小局部寻求近似值；b。使用极限求精确。微积分的上述主要思想方式融汇在所有微积分学系统内，此外引导我们使用此部分知识处理多种现实问题【2】。

　　极限定义是微积分的主要知识点，在极限定义前提下，大部分微积分定义知识得到延伸，大部分经济学理论也被全面使用。例如㐊极限处理连续复利问题。

　　例设银行存款现值与此后值，年利率是，那么年后的本利与即将来值是

　　假如一年分成次统计复利，那么每期利率是三，一年之后本利与即将来值是

　　其中t年后本利和即将来值是

　　在时，那么年后的本利和即将来值是

　　进而现值与将来值两者的关系是

　　或者

　　现值是，利息是，，得出

　　例子内极限使用表现出经济学内，在数值含有极限的意义也就是趋向无穷大或0时，使用微积分内的极限理论去解题可以减少难度，相对简单的处理大部分经济学类似问题【3】。

　　边际研究：在经济研究汇总，“边际”代表的某个值（或叫做边缘上）对的变动状况，是有关的瞬时变化率，是有关的导数，因此出现边际的意思。设定函数可导，叫导函数是的边际函数。代表边际函数在处的边际函数值，其表现出函数在点处关于的变化速度。在点处，转变单位，也就是，因此变成，假如单位很小，那么：，其表示在处，在改变某单位时，函数近似改变。假设销售某产品效益函数是，那么在可导时，叫是销售量为单位时的边际利润。边际利润，表示工厂每增加单位产出所得到的纯利增量，其和边际收入与成本有关，此利润是表现增加产品的销售量可以为公司带来的效益【4】。

　　例，某煤炭企业每天生产煤吨的综合费用函，假如每吨煤的价格四490元，求：（1）利润函数和边际利润函数；（2）边际利润是0时的产量。

　　解：（1）由于综合收入函数，因此利润函数是=。因此相关函数是=。

　　（2）在边际函数是0时，也就是==0可知=1000吨。

　　所以边际研究有下述使用：A、决定公司制造的某产品是否需要停产，只要亏损产品出现边际利润，就要不断制造。B、判定公司产品结构是否科学，假如公司制造的全部产品都存在边际利润，就表示公司产品结构大致科学。C、暂停某产品的制作需要以其余产品增产所产生的的边际利润超过停产商品的此利润基础【5】。

　　弹性研究：比如，甲产品单价10元，提价1元；乙产品单价200元，提价1元。上述产品绝对改变量是1元，然而和其原价进行比较，双方涨价幅度具有明显差异，甲提价10%，乙则是0。5%。所以需要分析函数的相对量和相对变化率，假定函数可导，函数相对改变量和自变量的相对改变比就是函数从到两点间的弹性。让，极限值是函数在处的弹性，就是，也就是==，其依旧是的函数，就是弹性函数。设需求函数在点处可导，那么就是为在到两点间的需求弹性。

　　例，已知某产品需求函数，求：（1）=30到=20两点间需求弹性；（2）=30处需求弹性。

　　解：（1）由于此时，也就是在商品价格从30降低到20时，从30每下降1%，需求量从40平均增多1.5%【6】。

　　（2）由于，那么，也就是在=30处价格增加1%，需求缩减1%，价格降低1%，需求增多1%。设供给函数在处可导，叫比值是到上两点之间的供给弹性。设某商品的供给函数是，求供给弹性函数和时的供给弹性。解：由于，因此供给弹性函数是，因此时的供给弹性是，也就是在处价格增加1%，供给增多0。81%。因此在实际问题分析中，可以采用弹性观点做出价格决定。

　　最大利润问题：利润是评估公司经济效益的关键指标。在相应的设施环境中，怎样安排生产才可以得到最高效益，还是公司管理中的重要问题。概念，收入减去总成本之后的剩余价值是利润，一般是呀字母代表，也就是利润函数是，此处是总收益函数，是总成本函数。函数是利润函数。可使用求函数最大值、最小值的方式来寻求最大利润。根据，让，得，也就是得到最大值的重要基础实际：边际收益是边际成本。显然最大或最小利润并非肯定出现在时，很多时候需要分析导数不存在的点与端点【7】。

　　例，某工厂生产某产品，固定成本20000元，每生产一单位产品，成本提高100元，已知总收益R是年产量Q的函数：

　　问每年生产多少产品时，综合利润最高？目前综合利润是多少？

　　解：依照题意综合成本函数是：，因此可知综合利润函数

　　。让，得出，因此时L最大，此时，，也就是当年产量是300个单位时，综合利润最高，此时综合利润是25000元【8】。

　　例，某公司制造甲、乙两种产品，出售单价是100、80（单位：万元）生产单位的甲产品和制造单位的乙产品的综合成本是，寻求两种产品的产量是多少时可得到最高利润？

　　解：设制造甲产品单位、制造乙产品单位，那么收益函数是。

　　所以利润函数是

　　=

　　因此解方程组：，得出唯一驻点（30，10）。因为所以（30，10）是的唯一极大值点，所以，在甲、乙两种产量是30和10单位时，可得到最高利润，则是万元。所以可全面激发人的潜力，最后完成公司利润最大化目标【9】。

　　最小成本问题：总成本C表示制造特定数目的产品需要的所有经济资源投入的价格或成本的总数。其主要由固定成本和可变成本构成，平均成本是制造特定量产品，平均每单位产品的成本。设产品生产量是，成本是。假如制造的产品越多，费用就更高，因此C是增函数。固定成本是即便不制造也付出的成本。接下来举例表述怎样求解平均成本最低时的生产量问题【10】。

　　例，已知某公司成本函数是此处代表成本（单位：千克），代表产量（单位：吨）。求平均可变成本（单位：千克）的最小值。

　　解：平均可变成本，，让=0，得出=4。5。因为，=4。5时，得出最小值，因为是唯一极值，因此是最小值，（千克），也就是产量是时，平均可变成本得出最小值9。75千克。

　　例，某单位要创建长方形仓库，综合体积是，仓库平顶成本（单位：百元/）、仓库底成本、仓库正面墙成本、其它墙面的成本的比是，试问怎样设计才可以让成本最少？

　　解：设仓库的长、宽、高是（此时是正面墙宽）仓库顶、底、正面墙、其余墙面的单位面积的成本是、、1。7、1。3，仓库成本是。此时，

　　。

　　令，令。

　　得出驻点此时。因为驻点唯一，且真实问题有最小值，因此长、宽、高主要是时造价最少。所以，思考最小成本问题可节省资源【11】。

　　导数在经济学内的使用相对宽泛，所以在经济学内大部分函数中都有导数，只有如此才可以开展后续的定量研究，之后得到最优化结果。基于导数的部分属性解释经济学函数图像的走向情况，为什么会发生此走向等。导数在经济学中最普遍的使用是边际与弹性。

　　边际成本的变化情况：早期在产量逐渐增多时为了全面提升生产要素的效率，因此，产量不高；随着生产的开展，生产要素使用率提高，产量增加速度超过成本的增加，所以边际费用伴随产量的增多而减少；在产量提高到相应层面的时候，因为边际收益递减情况，边际成本会伴随产量增多而增多。假如不思考早期的特殊状况，此时，其变动规律一般体现在：边际成本随产量增多而降低，在产量增加到特定层面的时候，伴随产量增多而增多，所以，此类曲线是先降低后提高的“U”形曲线。接下来举例分析：

　　例，为何甜筒是第二个半价？

　　解：平常购买甜筒时一般是第二个半价，大部分顾客不明白。本质上对肯德基来说，店租、水电费、人工和原料全部蕴含在首个甜筒成本中，在你购买第二个时逐渐将上述成本分担，此后半价第二个只要原料费用，也就是边际成本，显然原料成本通常都不高，因此购买第二个甜筒就可以得到更高效益。

　　弹性概念：假定函数在点x处可导，函数相对改变量和自变量的相对改变量比值，此时极限是函数在点处的相对变化率，或被叫做弹性函数。记载成：需求价格弹性的定义。在工厂定价内的使用，经济学内，将需求量对价格的相对变化率叫做需求的价格弹性。也就是。因为需求函数是价格递减函数，因此需求弹性通常是负值。其经济价值是在某产品价格降低（或提高）1%时，其需求量会增多（或降低）。也就是产品需求量和价格之间的相对变化大致均等；需求价格弹性的使用，在产品经济中，经营者重视提价或降价对综合效益的影响，使用需求弹性的定义，可得到结果：涨价并非会提高效益，降价并非降低效益。

　　例：假定某产品的需求函数是Q=1000-5p，Q是需求量p是价格，分析此弹性。

　　解：根据弹性定义了解到，需求量Q对价格p弹性是：，第一研究在需求相对变化率和价格相对变化率均等，也就是|时，p=100。在0<p<100时，<1，在上述价格范围内，伴随价格减少，随之递减，需求量变化幅度低于价格，假如此时使用降价举措，所以需求量增多的百分比低于价格降低幅度，综合收入会缩减。在100<p<200时，>1，在上述价格范围内，随p的增多而增多，需求量变化幅度超过价格，假如这个时候不使用提价举措，因需求量降低的百分比超过价格涨幅，综合收入会降低。在p=100时，=1，那么价格提高1﹪，需求量会缩减1﹪，需求量和价格变化幅度相等，属于最佳价格。因此可知:在弹性>1时，使用降价举措，可得到更高效益。在弹性<1时，进一步提升价格，不会因为降价促销而降低综合利润。在产品经济活动中开展边际研究与弹性研究十分关键，导数是边际研究和弹性研究的工具，能为公司决策者提出科学的凭证；在价格预估时期的功能，因为需求弹性是需求量变动的比值和价格变动比值之比，因此在产品需求弹性、基期价格都知道的时候，此时就能预估此后需求量或需求量变动率后，预估产品在此后一段时间的价格。比如：假定产品a的弹性系数是3，2012年的销售价格是1000元，预估2013年的销售量会从3000件提高到4000件，那么可预估2013年的价格变动率=需求变动率/弹性系数=33。3%/3=11。1%，预期价格=基期价格(1+价格变动率)=1000*1。111=111。

　　（三）积分在经济学中的应用

　　成本和收益函数：在了解某经济函数变化率或边际函数，求总量或总量函数在相应范围内的增量时，一般使用定积分开展统计。现有某产品总量的变化率是时间的连续函数，那么从到时间内产量是，可知制造吨产品的边际成本函数是与固定成本是，那么成本函数是。已知边际收益函数，那么收益函数是。

　　例，已知某商品的边际成本函数为（元/件），固定费用是80元，求：（1）成本函数。（2）假如此产品的销售单价是20元，求利润函数，且问产量是多少时效益最高？

　　生产者剩余，供给函数(是价格，是供给量反映出某产品的生产者通过多种价格供应此产品的数目，通常是增函数。假如市场价格是时对照的供给量是，此时在价格低于时，依旧供应数量是的商品，那么生产者从价格的事实中得到效益，上述效益的总和就是生产者剩余，记成。根据定积分的几何价值了解到[为的反函数]。

　　例，设供给函数，市价是，求生产者剩余。

　　解：反函数是，在时，。

　　因此。

　　所以，使用消费者剩余、生产者剩余定义和理论，就能研究XX干预市场（比如要求规价格上限与下限）的影响，消费者剩余评估的消费者在相关行业内买入产品或服务从中得到的效益。生产者剩余评估公司在相关行业内出售产品或服务从中得到的效益。

　　积分学是微分学的逆问题，使用积分学来分析经济变量的变化问题是经济学内的关键方式，不定积分求所有原函数，定积分是求和式极限。根据边际函数求出原函数，或求变上限的定积分，通常使用不定积分来处理；假如求原函数在某范围的变化量，那么使用定积分来处理。对公司经营者来说，对其经济部分开展定量研究十分重要，不只能给公司经营者准备准确的数值，此外在研究的时候，还能为公司经营者准备全新的观点与角度。接下来使用积分来处理最优化问题。

　　例设制造个产品的边际成本，其固定费用是元,产品单价要求是元。假定产销平衡，求生产量是多少时效益最高，且得到最高效益。

　　解：总成本函数是

　　总收益函数是

　　总利润

　　，令，得

　　在生产量是个时，效益最高

　　最大利润为（元）

　　在此处，使用定积分，研究得到最高利润，并不表示多提高产量就增多效益，只有科学筹划生产量，才可以得到最高效益。所以，作为符合标准的公司经营者需要了解对照的数学研究方式，进而为做出科学决策准备稳定的基础。

　　商品贮存费的预估：

　　例，售商得到一船总共10000公斤大米，此大米按照常量每月2000公斤运送，花费5个月时间，假如贮存费是每月每公斤0。01元，五个月后此公司需花费多高的贮存费？

　　解：让代表个月后贮存大米公斤数，那么

　　把区间划分成个等距小区间，此外让代表第个小区间的左端点，在第个小区间中，每公斤贮存成本是每月每公斤贮存成本和月数之积，因此

　　每公斤贮存费用，而个月后贮存的公斤数为，因此第个小区间的贮存费，所以总贮存费，在不断增多时，根据定积分概念可知总贮存费=250（元）。

　　商品保管费的估计：

　　例，企业每天支付仓库租金，保险费，保证金等均和产品库存量相关。目前有企业，其每三十天会得到1200箱巧克力，之后，其每天以相应比值出售给其他组织，已知到货之后天，企业库存量是箱。每箱巧克力的保管费是0。05元。问企业平均每天支付多少费用？

　　解：统计出平均每天库存量是多少，由于将每日库存量增加之后除以30就是，因此使用积分中值定理可知：(箱)。

　　因此企业每天支付（元）保管费。所以，销售中需要分析产品贮存费与保管费，避免出现更多亏损。

　　今年，社会生产总值持续提升，当代经济发展效果显著，因此就需要对应的理论知识来扶持持续发展社会经济。高等数学是当前经济管理的主要理论，此处微积分对社会经济发展具有关键价值，微积分和当代经济彼此影响、互利共赢。微积分是高等数学，分析函数微分、积分和相关概念与应用的重要分支，主要涵盖极限、微分学、积分学和其应用，属于数学的重要科目。其中经济学是分析价值的生产、流通、划分、消费规律的知识，利用数学知识和微积分理论完成稀缺资源的高效划分与最佳分配，达到民众的经济目标与现实需求。微积分对经济的影响为：延伸经济学的分析领域。当前分析领域相对宽泛，分析个人、公司、XX和有关机构怎样在日常生活中做出抉择，和上述抉择会对稀缺资源造成什么样的影响。上述特点导致经济学在学科分支上和其余学科建立了密切你关系与重合点。微积分理论在经济学的使用正好充当桥梁功能，把经济学和其余学科全部关联起来，在一定程度上促进经济学在现实生活中的使用；寻找合理的指导方式。微积分的微分学与积分学将经济问题利用数学函数和方式表述出来，协助国家或组织修订满足现实经济需求的相关政策，在处理现实经济问题、满足经济发展需求上具备相应的积极影响。此外，微积分理论的广泛性、合理性和精准性对多元化与复杂化的经济学问题的处理具有积极影响，促进经济学问题的解决，比如效益最大化、收支均衡、供求对应等问题的处理有良好作用。高等数学内的微积分理论在经济学的使用加快了经济学问题的高效处理与逻辑思维的严密性，而持续进步的经济也会影响微积分体系的探究和扩展，加快理论体系的充实与健全。所以，当代经济和微积分知识彼此影响、彼此促进，本文利用分析和微积分相关的思想和极限、导数、积分在现实生活中的使用，为未来的深入分析准备相应的理论基础。

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