导数在不等式证明中的应用

　　其中导数这个概念首先是被著名数学家费马提出的，其提出导数的目的在于方便研究极值问题，随着时代的发展，导数相关的内容成为了高等数学中最为主要的内容。对于微积分而言，导数是一个最基本的知识点，同时在研究函数性质方面起到很大的作用，而且在处理实际问题方面应用较为广泛。改知识点主要包含了两部分内容，即中值定理以及应用。例如在不等式证明问题中，假如不等式形式繁琐，那么用初级的方法会出现计算量大或者无法分析的问题，而且还不一定能够证明出来；如果用导数分析不等式，将不等式视为函数，使用导数的方法，那么解答就要简单的多了。笔者在文中通过证明例题的方式，通过具体的证明过程向读者展示如何使用中值定理以及函数性质，进而体现了导数在不等式证明中的重要地位。

　　小学、初中和高中阶段均涉及了不等式的教学，其证明方法随着学生们知识的增加,也呈现了很大的差异。在以往的学习中，通常使用放缩法、比较法、数学归纳法等基础方法证明不等式。通过对导数的学习以及理解，便可通过导数进行不等式证明,利用导数工具进行数学证明可以将不等式证明由难化简。不等式证明中可以利用导数判断函数的单调性、最值、凹凸性以及极值等内容,通过这些将不等式的证明结合起来,进而能够有效证明不等式成立。笔者在文中通过例题进行探讨如何在不等式的证明中使用导数的方法，进而为不等式的证明研究提供一定的借鉴。

　　对于微分中值定理而言，是一个完整的体系，依据具体的应用条件表现为不同的形式，例如罗尔定理主要用于证明零点问题、柯西定理本质为拉格朗日中值定理在两个不同的连续函数中的应用、泰勒级数等。其中证明不等式主要使用拉格朗日定理和柯西定理，泰勒级数应用也比较多。

　　定理1（拉格朗日中值定理）如果函数=()满足以下条件

　　（1）在闭区间上连续

　　（2）在开区间上可导

　　那么在使得

　　格朗日中值定理主要表示同一个函数值之差与自变量之差之间的关系，因此可以在不等式或者是其变形式中有函数值以及自变量的差值的情况下使用。

　　首先需要证明的不等式中代数式，可以将其视为函数，并且满足拉格朗日中值定理的使用条件，经过变形后得到得式子与相似，我们可以利用拉格朗日中值定理去证明，具体流程见下文：

　　第一步，分析不等式，提出函数，构造，这个步骤相当重要。此外还可以通过分析及的性质，通过变形处理后得到。

　　第二步，分析函数的性质判读其在题目给出的区间范围内是否满足中值定理的使用条件，如果满足则使用该方法证明。

　　可以根据不等式的相关特点，对症下药，使用简便的方法来构造函数。

　　利用函数单调性证明不等式主要思路就是将证明不等式转化为函数单调性的判断。无论是高中还是大学，在不等式中使用单调性进行证明或者确定两个函数的大小关系均十分有效，即便函数的图形再多么的复杂。证明不等式只要两步就可以完成：第一步，将要证明的不等式与函数联系并构造新的函数；第二步，判断新的函数在给定区间内的单调性。

　　3.应用函数图形的凹凸性证明不等式

　　定义2设函数在区间I上定义，若对任，以及任，有，则称为区间I上的凸（凹）函数.

　　通常函数的凹凸性以及其导函数的单调性存在一定的关联。假如导函数在一个区间上呈现单调增的性质，与之对应的是函数在该区间的图形是凸的。在二阶导数存在的情况下，一阶导数连续，可以利用二阶导数的正负进行分析，假设在一个区间上的二阶导数总是小于零的，那么在上述区间上函数图形为凸形，如果二阶导数大于零则函数图形为凹形。

　　设函数在区间上有定义，若对上任意两点,和正数总有成立，则称为区间上的凸函数。函数的凹凸性是相当有用的，例如在不等式的证明中应用相当广泛，并且不等式的证明最终可以视为一种关于函数性质的研究，因此分析函数的凹凸性也就相当关键了，下文笔者将通过几个例题阐述具体过程。

　　尽管在不等式证明中使用函数凹凸性的方法在大多数情况下步骤相当繁琐，但是在某些情况下却有奇效，可以很方便处理较为复杂的的不等式问题，并且处理过程相当简洁。大多数情况下，通过函数的凹凸性的途径处理不等式，这种题目的解答流程相当复杂和困难，基本上都体现在分析函数的相关性质，由于函数图像呈现出凹凸形状，故在定义域内不是简单的单调函数,而是不单调函数,即在某个区间内出现函数时而单调增,时而单调递减或者在区间内仅仅对应一个值。这些问题的分析,学生们在学习解题的时候极易出现解题有漏解,在区间中对于函数的分析不彻底、不到位,致使解题出现困惑。

　　4.应用函数的极值与最值证明不等式

　　函数的最值这个知识点对于高中的学生来说是一个比较简单容易接受的内容，运用函数的最值证明不等式也是比较常见的。那么，该如何利用函数的最值去证明不等式呢？首先要根据不等式的特点构建一个新函数()，再求出()并判断函数的单调性，最后根据函数的单调性求出函数的最大值或最小值。

　　利用函数的极值或最值证明不等式的解题步骤为：

　　第一步，根据题目或已知条件确定函数自变量x属于哪一个区间；

　　第二步，对已知函数或者构造函数进行求导，判断函数所在区间的增减性，从而计算出函数所在区间上的极值；

　　第三步，通过极值求出最值，再由最值得到不等式。

　　利用函数的最值证明不等式的优势，思路清晰，方法简单明了，并且还避免了在不等式证明过程中的一些放缩、转化等问题，而且在不等式的证明中处理这些问题也是比较复杂，比较难的。所以当遇到像这样函数取最大值或最小值不等式都成立的问题时，我们就可以利用函数的最值去证明不等式了。

　　不等式证明作为应试教育必须考察的内容,如何将不等式学习好,利用导数几乎可以解决所有的不等式证明题。但是在应用过程中仍然需要视题目的情况决定选取何种方法证明不等式。因为数学不等式证明非常博大精深,证明的相关方法也是有很多种，重在在于如何在解题时依据具体情况择取对应的方法。通过对于导数知识的学习，也就掌握了在不等式的证明中使用导数的相关方法，因而可以使得复杂的不等式证明转化为难度较小的函数分析。简而言之，在不等式的证明中选用导数方法进行解决,第一要重视对自变量的选取工作，接下来分析不等式中代数式的结构，进而得到一个连续可导的函数（满足微分中值定理条件），确定函数的自变量取值范围，接着判断函数的单调性区间、极值等。利用上述的导数的祥光性质进而确定不等式的形式，值得留意的是需要结构最终的证明结果开展构造工作，进而可以更加灵活处理不等式。笔者在调查案例的过程中，发现不等式中使用导数的相关概念以及方法进行证明越来越普遍，值得注意的是需要在实际遇到的问题中依据具体情况灵活使用，选取一个简捷的切人点构建不等式,达到不等式证明的目的。

　　1.华东师范大学，《数学分析》，高等教育出版社，156.293

　　2.扈志明，韩云端《高微积分教程》北京清华大学出版社，1998

　　3.刘晓玲.《不等式证明中辅助函数的构造一》，邯郸师专学报，2000

　　4.李旭金，《导数在不等式中的应用》，新作为（教育教学研究），2011

　　5.陈秋华，《也谈利用凸函数证明初等不等式》，高等数学研究2009

　　6.周晓农，《导数在不等式证明中的应用》，金筑大学学报2000.03