第1章引言
单调性是当代数学的关键知识，是关联初等数学和高等数学的关键桥梁。函数单调性是函数的非常关键的特点，分析函数在无限变化内的变化趋势，从有限认知无限，从近似中了解精确，从量变中寻找质变，都需要使用单调性。在解题的时候，假如可以自主高效的使用函数特点，就能让我们寻找到正确的解题方向，简化解题流流程和环节。其的引入为处理有关数学问题寻找到全新的方向，为分析函数的属性、证明不等式、求解方程、对比大小等部分准备了良好的工具。本文会在现有文献的前提下，汇总单调性在处理数学问题时的具体应用。
第2章函数单调性的基础理论
2.1函数单调性的基本概念
2.1.1函数单调性的定义
一般地，设函数的定义域为：
如果对属于内某个区间上的任意两个自变量,当时,都有，那么就说在这个区间上是增函数。
如果对属于内某个区间上的任意两个自变量,当时,都有，那么就说在这个区间上是减函数。
假如函数在此区间具备(严苛的)单调性,就表示此函数在某个区间是增函数或减函数，此区间就是函数的单调区间，也就是函数是此区间内的单调函数。
2.1.2函数单调性的意义
在单调区间上，增函数的图像不断上升，减函数图像不断降低。函数的上述属性在处理函数求极值、对比大小、求解方程的根、解不等式等问题时具备良好的影响，在实际生活中，比如在经济行业内怎样得到最高利润，在工程行业内怎样统计原料的极限强度，在航空行业内统计航空器回收落地时间等，函数单调性都具备关键价值。
2.1.3函数单调性的理解
(1)图形理解
在区间上，的图像上升（或下降）是区间上的增函数（或减函数）。
例1证明函数上是减函数。
证明：设是区间上的任意实数，且，则
图像如下:
(2)正向理解（定义理解）
在区间上单调递增，,且；在区间上单调递减，,且。
例2设函数在上是增函数，函数是偶函数，确定的大小关系。
解：函数是偶函数，，，
又因为在上是增函数，且即
(3)逆向理解
在区间D上单调递增，,且；在区间D上单调递减，,且。
例3已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数a的取值范围。
解：由已知可知，，又是奇函数。
是定义在上的减函数，，解得。
(4)导数理解
设函数在区间D内可导，若，则是减函数；若，则是增函数。反之，若函数是增函数，则；若函数是减函数，则。
例4函数在是减函数，求的取值范围。
解：在上递减，恒成立，则
(1)当时，，满足条件。
(2)当时，只须满足即可。
综上所述得.
2.2函数单调性的常用定理和性质
2.2.1最值定理
对于在区间上有定义的函数,如果有,使得对于,都有(或)，则称是函数在区间上的最大值(或最小值)。
例1求函数在区间上的最大值和最小值。
解：由三角函数的性质可知,当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.故函数的最大值为2，最小值为0。
定理1（最大、最小值定理）若函数在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值。
如果函数在闭区间上连续，那么至少有一点，使是在上的最大值，又至少有一点，使是在上的最小值。
注意，不是任何函数都有最大值和最小值。例如函数在开区间内既无最大值又无最小值。
2.2.2有界性定理
根据定理1可知，函数在其连续区间上一定存在最大值和最小值，使任一满足。该式表明，函数在区间上有上界和下界，因此函数在区间上有界。
定理2若函数在闭区间上连续，则在上有界。
2.2.3零点定理
定理3设函数在闭区间上连续，且与异号，那么在开区间内至少有一点，使。
例2证明方程在区间内至少有一个根。
证明：设，则在闭区间上连续，并且，
，根据零点定理，在区间内至少有一点，使得。从而说明了方程在区间内至少有一个根。
2.2.4介值性定理
定理4设函数在闭区间上连续，且，若µ为介于与之间的任何实数(或)，则至少存在一点,使得。
2.2.5极值的判定定理
若函数在点的某邻域内对一切有，则称函数在点取得极大（小）值，称点为极大（小）值点。
极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。
函数极大值和极小值概念是局部性的，如果是函数的极值点，那只就附近的一个局部范围来说，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有则是函数的一个极大值；如果对附近的所有的点，都有，则是函数的一个极小值,对应的极值点就是（，）。如果就的整个定义域来说，不一定就是最大值或最小值。
定理5（费马定理）
设函数在点的某领域内有定义，且在点可导。若点为的极值点，则必有。
定理6（极值的第一充分条件）
设在点处连续，在某领域内可导。
（1）若时，，当时，则在点取得极小值；
（2）若时，，当时，则在处取得极大值。
例3判断函数在的单调性。
解：函数
有正有负，。
定理7（极值的第二充分条件）
设函数在的某领域内一阶可导，在处二阶可导，且，。
（1）当，则函数在处取得极大值；
（2）当，则函数在处取得极小值。
证明：在情形（1），由于，按二阶导数的定义有
根据函数极限的局部保号性，存在的某个去心邻域，在该邻域内有
；
则在时，，在时，。由极值的定义可知，函数在处取得极大值。
同理，可证明（2）当，函数在处取得极小值。
例4设函数由方程所确定，且。问在处是否取得极值？若取得极值，是极大值还是极小值？
解：因为，所以，即
又，。
第3章函数单调性的判别
3.1初等数学中函数单调性的判别
在早期学习函数的时候，重点了解与掌握一次函数、二次函数、指数函数、幂函数、分段函数等。在对上述函数的认知过程中重点了解函数图像来判定函数单调性。
3.1.1一次函数单调性的判别
一次函数的解析式：
在时，对应定义域内图像上升：
在时，对应定义域内图像降低；
在时，一次函数变成常数，不分析单调性。
3.1.2二次函数单调性的判别
二次函数的解析式，其图形形式为抛物线。其中当时，抛物线开口向上，当抛物线在时，函数有最小值，即在上为单调递减函数；其中当时，抛物线开口向上，当抛物线在时，函数有最大值，即在上为单调递增函数。
3.1.3指数函数单调性的判别
指数函数的解析式,此处此外过点（0,1）。此时在时，函数在定义域内是单调递减函数,此时在时，函数在定义域内是单调递增函数。时，的值小函数值降低更快；时，的值大数值增加更快。
3.1.4对数函数单调性的判别
对数函数的一般解析式,此处此外过点。此时在时，函数在定义域内是单调递减函数，此处在时，函数在定义域内属于单调递增函数。在时,的值小函数值降低更快；在时,的值大函数值增加更快。
3.2高等数学中利用导数判别函数单调性
设函数在的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（在点仍在邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比，在时的极限存在，这称函数在点处可导，并且称这个极限为函数在点处的导数，记为，即。
导数体现在单调性上就是导数的几何意义：函数在点的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中是切线的
的倾角。也就是说若导数大于零，则函数单调增加，若导数小于零，则函数单调减小。
例1求证：当时，。
证明：令，则，则
故在上单调递增，从而当时，，于是
在上单调递增，，即。
第4章函数单调性的解题应用
4.1单调性在求极值、最值中的应用
4.1.1一元函数的极值
极值定义：一般地，若函数在点的某领域内对一切有则称函数在点取得极大值，是极大值点。函数在点的某领域内对一切有，则称函数在点取得极小值，是极小值点。极大值与极小值统称为极值。极大值点、极小值点统称为极值点。
例1设为实数,函数
(1)求的极值。
(2)当在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点。
解：(1)，若=0，则，。
当变化时，，变化情况如下表：
(－∞，－)－(－，1)1(1，+∞)
+0－0+
极大值极小值
∴的极大值是，极小值是
(2)函数
由此可知，取足够大的正数时，有，取足够小的负数时有，所以曲线与轴至少有一个交点。
结合的单调性可知：
当的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与轴仅有一个交点，它在上。
当的极小值－1>0即时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在上。
所以，当∪时，曲线=与轴仅有一个交点。
例2设函数，已知是奇函数。
（1）求、的值。
（2）求的单调区间与极值。
解：（1）∵，∴,从而
即是一个奇函数,所以得，由奇函数定义得；
（2）由（1）知从而，令=0，
解得，由，
。
由此可知,函数的单调递增区间是和；单调递减区间是；进而得在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。
4.1.2二元函数的极值
对于二元函数在点的某邻域内有二阶的连续偏导数，，。令，，。
（1）当时，函数在处有极值，且当时有极小值；时有极大值；
（2）当时，函数在处没有极值；
（3）当时，函数在处可能有极值，也可能没有极值。
如果函数具有二阶连续偏导数，则求的极值的一般步骤为：
第一步解方程组，求出的所有驻点；
第二步求出函数的二阶偏导数，依次确定各驻点处、、的值，根据的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数在极值点处的极值。
例3设是由确定的函数，求的极值点和极值。
解：因为，所以
解：设之间的距离为，则有
假如公路费用是，此时铁路运费是，因此原料供应站途径中转站到工厂需要综合费用是
求导得
让，可知,得出，（舍去），此外是函数定义域内唯一驻点，因此是函数极小值点，此外还是函数最小值。因此可知，车站建设在之间此外和相距处时，运费最少。
结论及展望
本文主要利用叙述函数单调性的定义、作用和单调性的判定方式，全面汇总整理函数单调性在处理数学问题上的使用，最终根据现实生活内的日常问题，进而对函数单调性的使用进行全面分析。本文主要创新点是不只对单调性在处理数学问题中的使用开展汇总和归纳，此外也例举函数单调性在处理现实问题中的使用，像怎样让材料最少、利润最高，改善路径等。对于学生来说，利用查找此论文不只可以全面了解单调性的有关理论，此外还能掌握单调性在处理现实问题中的功能，拓展视野，提高其对单调性的学习积极性。设想未来，伴随有关理论基础的持续增多，函数单调性会在处理问题中激发自身的积极影响，比如计算飞船下落回收时间，统计物种成长繁殖速度等问题，上述在当前看来依旧无法全面了解的问题也会迎刃而解。
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