统计分布形态关系的研究

　　xxxx中提出，现在我国的经济呈现中高速增长的趋势，位列世界前列，国内生产总值已经达到八十万亿元，占据世界第二，经济增长贡献率已超百分之三十。在如今这样一个大背景下，统计分布在人们的经济社会生活中的重要性愈发凸显，例如，人们可以通过（0-1）分布检查产品的质量是否合格、通过泊松分布探讨经过计数器的粒子数、利用卡方分布进行适应性分析及独立性鉴定等。但，由于人们对统计分布形态关系的研究较少，更多的是对单个分布形态的研究和应用，缺少避免社会资源不必要支出的系统性，造成极大浪费。

　　统计分布是数理统计中由理论推演出来的随机变量的概率分布模型。[[[]周世国,齐祥来,杨松华.χ~2分布与F分布间的关系研究[J].南阳师范学院学报,2007,6(3):21-23.]]统计分布可以分为离散型分布、连续型分布和抽样分布，（0-1）分布、二项分布、泊松分布和几何分布属于离散型分布。连续型分布则包括均匀分布、指数分布和正态分布等。而卡方分布、t分布和F分布等，则是抽样分布的内容。

　　1.1.1概率论起源

　　概率论的来源和赌博有一定关系，早在16世纪，卡当诺发现赌博的输赢结果会呈现出一种偶然性，但当赌博的次数达到一定数量时，其结果就会表现出一种规律性。在文艺复兴之后，人们希望通过研究大规模的偶然事件，来寻找其中的规律。荷兰数学家惠更斯和法国的费尔马与帕斯卡都对其中所呈现的概率论原理法则进行讨论，塑造了概率论的雏形。[[[]赖景耀.概率论的起源和发展[J].西北师范大学学报(自然科学版),1984(3):13-19.]]

　　概率论真正形成并发展是处于18世纪。1713年伯努利在其著述《推想的艺术》中点明概率论中具备重要地位的大数定律。也因此，概率论发展到了普适性的理论概括阶段。[[[]赵晓芬.评贝叶斯方法对概率逻辑的继承和发展[J].安徽警官职业学院学报,2011,10(4):98-100.]]法国数学家德莫佛所著的《机遇原理》一书在1781年发表，其内容包含乘法法则和正态分布律的概念，为后来中心极限定理的提出与发展提供基础。

　　1.1.2伯努利试验及其衍生

　　随着牛痘在欧洲的广泛接种，疫苗所带来的副作用在人群中引起广泛关注，丹尼尔·伯努利以大量统计数据为根据，发现接种牛痘可以延长寿命，缓解了社会恐慌和人们的怀疑。同时伯努利还曾经提出了伯努利试验。该试验作为一种在相同条件下周而复始地进行实验的数学模型，每一次试验会产生发生或者不发生两种可能，在随机一次试验中，事件发生呈现相同概率，实验结果相互独立、互不干涉。（0-1）分布、二项分布和几何分布可由伯努利试验、n重伯努利试验和扩展的伯努利试验得出。（0-1）分布作为一种离散型机率分布，为使后人铭记瑞士科学家詹姆斯伯努利，也被称为伯努利试验。二项分布由伯努利提出，二项分布其实质就是周而复始做了多次的伯努利试验。几何分布也是一种离散型概率分布，即在n次伯努利试验中做k次试验才能够成功一次的概率。对于几何分布的研究，70年代的时候，就已经得到许多科学家的重视，Arnold在1976年利用顺序统计量来进行研究，随后EL-Neweihi、Shanbbag、Govindarajulu等科学家也对此进行了研究，马本成等人在前者基础上，以矩和顺序统计量为基点来探讨几何分布中的特征。[[[]刘丹.关于几何分布高阶矩的计算问题的研究[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2009,30(2):129-131.]]

　　1.1.3泊松分布诞生

　　作为物理学家、数学家和力学家的泊松，年少时就进行有限差分研究，有数百篇论文发表，并积极对概率论的应用，特别是用在统计方面的应用，做出一定的发展以及改良，1837年《关于判断的概率之研究》发表问世，在这篇文章中特别地首次阐述了泊松分布，这是一种描述随机现象的离散型的概率分布，对后世有巨大影响的泊松分布自此诞生，同时泊松还广泛推行了大数定律，以此为基础上导出了泊松积分，对后来影响重大。

　　1.2.1正态分布首次提出及发展

　　统计开始是被运用于社会人口普查，但这并不等同现代认为的统计学，严格来说，18世纪时，由于概率论的影响，统计才开始以独立学科的地位演进。1733年，德国科学家Moirvre首次提出正态分布的概念。后来，高斯研究天文观测的误差时，在其中采用了最小二乘法，并且首次将正态分布的概念应用其中，这意味着近代数理统计学开始发展，因而正态分布又可以称为高斯分布。后来，凯特勒在数据拟合时采用了正态分布，接着生物统计学派的奠基人在研究亲子间的身高数据时，发现它们呈现同一的正态分布形态，为了进行深入研究，设计了高尔顿钉板，引进了回归直线和相关系数的定义，回归分析诞生。

　　1.2.2抽样分布产生与发展

　　在20世纪时，数理统计学发展很快，物理学家麦克斯韦在进行空气分子运动速度分布的研讨时，发现空气分子速度呈现为正态分布，而其平方则契合卡方分布。同时期，皮尔逊在其研究对物种进行区分所需求的数据分布理论时，提出“概率”和“相关”概念，以及标准差、均方根误、正态曲线差等术语表达，后又发现有些数据有显著的偏态，正态分布无法很好利用，于是将麦克斯韦的发现与分布曲线和数据的拟合优度测验相结合，提出卡方统计量，并肯定卡方分布是其极限分布。

　　其学生戈塞特跟随其学习了一年的统计学，利用工厂的条件，对小样本进行研究，探讨其均值和标准差以及它们之间比值的关系，并画出分布图来对其在图表中的特点加以调查，因其工作原因，戈塞特化名学生氏，提出了t分布，该分布是样本均值和标准差比值，且样本为正态样本，并编制出此分布表，为小样本统计的发展提供了基础条件。

　　同为其学生的费歇尔，曾提出了极大似然估计,且在1924年阐释了F分布，也因其是F分布的提出者，故命名时，直接以其姓氏首字母命名。戈塞特、费希尔等人提高了正态分布在统计学中的地位，促进了小样本统计的发展，为诸多的概率统计分析方法的产生奠定了基础，同时也促进了现代统计学的发展。

　　在对统计分布的研究之前我们先要了解几个关于随机变量及其分布的概念。

　　首先是随机试验的概念。随机试验是对自然现象中的随机事件进行的观察和试验，具有可在相同条件下进行、试验全部可能结果可列清、试验之前人们无法预测会产生什么样可能结果的特点。

　　其次是样本点和样本空间的概念。人们把随机实验中能够呈现的不同结果叫做样本点，记作或，而整体样本点的集合被叫做样本空间，以或进行表示。

　　然后是随机事件与随机变量。样本空间中的子集被叫做随机事件，就是在随机试验中有可能发生也或者不发生的事件。当样本点构成的子集为不可分的单点集或称为基本事件，即相对于观察目标不能再分的事件。设为随机变量的样本空间，如果对的每个基本事件，都能有且仅有一个实数和它相对，则是定义在上的随机变量。

　　最后是期望和方差的概念。所谓数学期望（也可以称为均值），是用来表现随机变量的平均取值高低的数学特征之一，通常是将每次可能产生的结果概率与结果相乘得到的和值。所谓方差是用来权衡随机变量与其均值（数学期望）的偏离水平值。

　　如果某些随机变量能够取到有限个或无限多个但可数清时的值，就可以叫做离散型随机变量。例如某个城市的报警平台一天内接到的求助次数就可以表现为离散型随机变量。假设我们要把握某个离散型随机变量呈现的规律，就要了解的所有可能取值，和这些可能取值的分别概率。

　　设离散型随机变量所有可能值是，呈现每个可能值的概率，也就是事件的概率，为也可叫做随机变量的分布律（分布列）。[[[]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计.3版[M].高等教育出版社,2001：32-33.]]且这些概率相加为1，换言之，就是概率1以某种的规律表现在可能值上，而这，就是分布律名称的由来。

　　对于离散型变量而言，其期望为，其方差为，其中。

　　与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值可以充满整个样本空间，甚至整段数轴。换言之，连续型所取的可能值无法通过一一列举的方式予以展示。同时，在我们的日常生活中，出于经济以及合理性、恰当性等多方考虑，人们对于这种非连续型随机变量往往从区间的角度进行考量，且这些变量取某个值时的概率有可能是0。例如在考虑误差时，人们更关注的是误差低于某一个临界值的概率；在候车问题中，人们更关心花费某个段时间等待的概率；在降水问题上，人们更重视某段降水量的概率等等。

　　连续型随机变量定义：连续型随机变量关于随机变量的分布函数，有非负函数对于任意一个实数有，那么就被叫做连续型随机变量，其中函数就是的概率密度函数，简单称之为概率密度。[[[]冯卫国,武爱文编.概率论与数理统计[M].上海交通大学出版社,2014：64-65.]]

　　由定义可知假如变化密度函数在某个点上的函数值，并不能使分布函数的取值变化，故而密度函数并不是有且仅有一个的，其图形分布形态为一条曲线，称为密度曲线。且概率密度函数具有非负性，同时符合规范性。

　　从图形的几何形态上来看，概率密度函数的图形处在X轴上部，且介于X轴上面与函数图形下面的面积为1。而落在区间的概率与区间上的曲线下边曲边梯形面积相等。

　　对于连续型变量而言，其期望可以表示为，而连续型变量的方差则可以表示为，其中。

　　3.1.1（0-1）分布

　　（0-1）分布是离散型分布的一种，所谓随机分布是在一次实验中，发生事件A的概率为，不发生的概率为，如果用记事件A出现的次数，那么有且只有0，1两种可能的值，它的分布律为

　　，

　　则称服从以为参数的（0-1）分布，也被称为两点分布，人们可以简记为。[[[]周阳洋.重要抽样法在概率潮流中的应用[D].华北电力大学(北京)华北电力大学,2011：10-11.]]

　　这种试验也被称为伯努利试验，故该分布又称为伯努利分布。针对一个只包括两个元素的随机试验的样本空间，即，我们能够定义其为一个随机变量（该随机变量遵从（0-1）分布）

　　来对随机试验的结果做出描述。（0-1）分布的数学期望可用表示，而方差则可表示为。

　　对于但凡只会有两个结果的试验，例如种子是否发芽、系统是否正常、新生儿童的性别以及我们生活中的抛硬币正反面等等，都可以运用（0-1）分布来进行描述，是一种常见的分布形态。

　　3.1.2二项分布

　　二项分布即当随机变量的分布律为

　　其中,,可以认为是服从参数为和的二项分布，简记为。[[[]林文浩.概率论与数理统计[M].厦门大学出版社,2002:53-54.]]

　　随机变量是重伯努利试验中取得成功的概率。所谓的重伯努利试验是指将伯努利试验独立反复地做次，“反复”顾名思义是说在每一次的试验中始终不会产生变化，独立则指的是每次试验的结果不彼此干扰。

　　通过分布律我们可以知道在重伯努利试验中试验成功（事件A出现）次的概率为

　　因此，当为1时，二项分布就化为（0-1）分布，即

　　也因此，（0-1）分布可以被认为是二项分布的特殊情况，二项分布相对而言更具有普遍性和重要性。除了这一关系也能从期望与方差的方向来理解，二项分布的期望与方差分别是和，因此当为1时，二项分布就表现成（0-1）分布。

　　3.1.3泊松分布

　　泊松分布是指当随机变量所有可能取的值为0,1,2，…，且取各可能值的概率为

　　其中是常数，则称服从参数为的泊松分布，简记为。[[[]赵瑛.关于泊松分布及其应用[J].辽宁省交通高等专科学校学报,2009,11(2):77-78.]]

　　在日常中泊松分布时常可以被用来做二项分布的相近替代。在此引入泊松定理：设作为一个常数，是随意一个正整数，设，则针对任意某个固定的非负的整数，有

　　定理表明（常数）而这意味着当很大时，反而会很小。因此，当很大，很小时，可以有如下近似公式：

　　这便说明参数为，的二项分布概率表达值可以用以为参数的泊松分布的概率表达值进行近似。泊松分布可以理解为二项分布的极限状态。同样可从期望和方差角度理解，当，且当很大，很小，二项分布的期望以及方差都可以用表示，而这就是泊松分布的期望和方差表达式。

　　3.1.4几何分布

　　几何分布被认为是重贝努利试验中，某事件A（称为试验成功）的概率，该试验互不影响多次进行，直至试验第一次取得成功为止，记为试验首次成功时的试验总次数，则的所有可能的取值为1，2，…，，…。即

　　这便是的分布律，称之为几何分布，服从于参数为的集合分布，简记为。几何分布具有无记忆性，有定理如下

　　设，则对任意正整数与有，即在n重伯努利试验过程中，事件A首次成功进行的试验次数会服从几何分布。而若是前次试验中，事件A暂时还没有出现或达到首次成功目的的前提下，在接下去的次试验中，事件A仍未出现或成功的概率只和有关，而与之前所进行的次试验均无关系，而这便是无记忆性的含义所在。而这，是所有离散型统计分布中所独有的。

　　几何分布的数学期望能够用来表示，方差则表示为。

　　3.1.5超几何分布

　　超几何分布同样是离散型概率分布中的一种，经常运用于产品的抽样检查。假定在件产品中有件不符合标准的产品，也就是说产品的不合格率为。如果从产品中随意抽件进行质量测定，发现有件不合格品的概率也就是超几何分布的分布律，即：

　　称服从参数为的超几何分布

　　超几何分布是一种没有放回的抽样，超几何分布表示为。当趋向于正无穷时，接近于,其数学期望接近于，方差，故，当趋向于无穷大，即样本量相当多时，可以用二项分布来表示超几何分布。

　　3.2.1均匀分布

　　若随机变量的概率密度为

　　则称遵从参数表示为或（区间上）的均匀分布，即。

　　均匀分布的分布函数同其他连续型随机变量的分布函数一样，具有规范性。即，因此，在区间上遵从均匀分布的随机变量，具备等可能性，也就是说它落在的子区间的概率只和它的长度有正相关的关系，至于子区间处在什么位置则对此没有什么影响。

　　故，有公式如下：

　　如果，那么对任意满足的实数,按概率计算公式有

　　。

　　随机变量的分布函数为

　　均匀分布是连续型统计分布中的常见分布，任何连续随机变量的概率密度经过适当的变换都可以转变为区间的均匀分布，常应用于如遗传学、病理学、交通流等方面。例如公交车站每隔一段时间有一班车经过，任一乘客到达车站的时刻、数字计算中的舍入误差、时钟任一时针的角度值等都会服从均匀分布。其数学期望表示为，方差则表示为。

　　3.2.2指数分布

　　若随机变量的概率密度为

　　式子中常数，则称遵从参数是的指数分布，即。

　　随机变量的分布函数为

　　表现为指数分布的随机变量具备无记忆性，即对于任意，有。也就是说假设是某一机器的寿命，而这个机器之前开始使用了小时，它总共能够使用小时与从该设备开始使用起最少使用小时的概率相等。即后期能使用时长的概率与前期使用时长的概率无关。

　　同时，若随机变量满足泊松分布（参数为），则时间两次发生之间的中间时间满足参数为的指数分布。指数分布的充分必要条件是随机变量服从上的均匀分布。

　　3.2.3正态分布

　　假设随机变量有为其概率密度，式子中是常数，同时，那么认为满足参数为的正态分布，记为，此时也称为正态变量。式子中，是总体的均值；是总体的标准差；是经过随机抽样得到的样本值。一般来说，当某个数量指标受到众多独立的随机因素的综合作用，且每一个因素的作用都比较小，难以产生主导作用，那么就可以认为这个数量指标满足正态分布。

　　正态分布形态特点：

　　首先，是一条钟形的曲线，呈现出两边低中间高的形态，以为对称轴。其次，对任意的有。再次，当时有最大值，拐点在，其渐进线是轴。在单调上升，在单调下降。当区间长度相等，要使落在该区间的概率愈小，那么这个区间离点愈远。如果固定、改变，曲线会沿着轴平移，但形状不会发生变化，曲线的位置由（位置参数）所确定。如果将固定住，然后对形状参数进行改变，因为最大值是，所以当愈小，曲线在旁变得越发陡峭，故处在附近的概率也就更加大，反之，曲线则愈平坦，相应的概率也就愈小。[[[]冯启明.正态分布及其应用[J].广西医学,1998(1):43-46.]]

　　与其他分布的关系：

　　第一，当时，这个分布就被称为是标准正态分布，概率密度记做，即，所以如果随机变量满足标准正态分布则为标准正态变量。

　　第二，由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即

　　该定理表明，当足够大时，不接近于0和1，最好处在，可以用正态分布来近似替代二项分布，这个过程也称为二项分布的正态逼近。[[[]于洋.浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系[J].企业科技与发展,2008(20)：108-110]]

　　第三，对任意的，有，其中，，对泊松分布，正态分布是当时的极限分布。

　　卡方分布、分布与分布被人们称之为统计三大分布，而这三大分布皆是从正态分布发展而来，为了更好的说明这三大分布，在此先引入样本均值与样本方差的概念。

　　设总体的均值为，方差为，是来自的一个样本，，分别是样本均值和样本方差，有，，且。[[[]张志旭,林雪,汪宏远.统计学三大分布相互转化[J].佳木斯大学学报(自然科学版),2017,35(4):643-644.]]

　　3.3.1卡方分布

　　设相互独立而且都满足标准正态分布,则称统计量

　　满足自由度为的分布，记为。所谓自由度指的是式子右端包含的独立变量个数。也可以写作

　　卡方分布的概率密度为

　　式子中的是函数在处的值。

　　卡方分布具有如下性质：

　　可加性：若，且与相互独立，则

　　数学期望和方差：若，则，

　　其从样本统计量的角度考虑，有定理：

　　因此，卡方分布呈现正偏态分布特征，随着每次抽取的随机变量的个数（的大小）不同，其分布的曲线形状也不相同，或越小（如果不知道样本总体的平均数，可以用样本平均数作为替代，自由度是），分布越倾斜。其图形与自由度有关，假定卡方分布自由度很大（接近正无穷），此时正态分布就可以作为卡方分布的极限分布。所以说卡方分布是一族分布，而正态分布可以认为是卡方分布的一个特殊情况。

　　3.3.2分布

　　分布又称为学生氏分布，其定义为设，，并且，独立，则称随机变量

　　满足自由度等于的分布，写作。

　　其概率密度为

　　分布的图形关于纵轴对称，为偶函数，其形态与标准正态分布的密度函数形状相似，只是峰值相对于标准正态分布而言来的稍低，尾部的概率比标准正态分布稍大，且受到自由度的影响。

　　分布具有以下性质：

　　当=1时，其数学期望不存在，分布为柯西分布

　　当>1时，分布的数学期望虽然存在，但为0

　　当>2时，分布存在方差，且为

　　当较大时，实际运用中通常指多于40，可以用正态分布来近似分布

　　从样本统计量角度考虑有。

　　3.3.3分布

　　所谓分布是指设，,且独立，则称随机变量

　　服从第一自由度，第二自由度的分布，记作。[[[]贾天理.x~2分布和F分布导出的检验定理及其证明[J].西南科技大学学报，2004，19(3):89-91]]

　　分布的概率密度为

　　分布与卡方分布的关系：从分布的定义中可以看出所谓分布呈现为一种比值，而这个比值正是两个卡方分布与各自自由度商的比，同时也可从样本统计量角度看待这一问题。假设与是正态总体和的样本，而且这两个样本彼此间不相干扰。[[[]Jones M C.Multivariate t and beta distributions associated with the multivariate F distribution[J].Metrika,2002,54(3):215-231.]]

　　设，为这两个样本的样本均值，而这两个样本的样本方差则为，，有。同样可以看出分布是两个卡方分布的比值。[[[]Liu X,Liu K.The density curve of F distribution[J].Progress in Natural Science,2004,14(4):359-361.

　　伴随人们生活水平逐渐向好，人们未雨绸缪、防微杜渐的保险意识也不断提高，保险业不断发展，可供保险公司运用的资金余额也逐年上升，由2010年的46046.42亿元到2016年的133910.67亿元，可谓稳步增长，具体可见图1。

　　数据来源：中国统计年鉴-2017

　　保险公司资金投放方向则直接关系到人们的切身利益，受到人们的广泛关注。即投向的领域是否能够带来稳健的收益，是否在遭受意外时能够及时提取资金。因此我们有必要对保险公司的各资金投放方向运用数据进行分析，判断不同的资金运用方向是否会产生差异，而由此对保险公司产生影响，进而影响社会发展。以下是2016年的保险公司各资金运用方向的数据图

　　数据来源：中国统计年鉴-2017

　　为了更好的分析保险公司各个资金运用方向是否具有差别的问题，我们将采用方差分析来进行探讨，而方差分析的主要依据便是分布，这是一种从数据差异着手的分析方法。

　　表1 2012年-2016年保险公司各年的资金运用数据单位：万亿元

　　资金运用2012年-2016年各年资金运用额

　　银行存款2.35 2.26 2.53 2.44 2.45 12.03 28.99

　　国债0.48 0.48 0.50 0.58 0.78 2.82 1.66

　　金融债券1.48 1.48 1.51 1.52 1.63 7.62 11.63

　　企业债券1.09 1.37 1.55 1.73 1.86 7.60 11.92

　　证券基金0.36 0.36 0.47 0.89 0.86 2.94 2.01

　　33.01 56.21

　　数据来源：中国统计年鉴-2017

　　首先建立假设

　　：至少有四种保险公司的资金运用方向的总体平均运用额存在显著差异。

　　其次计算统计量：

　　总平方和：=

　　处理平方和：

　　=

　　误差平方和：

　　然后求自由度

　　总自由度：

　　处理自由度：

　　误差自由度：

　　接着求均方

　　再次求误差均方,比率：

　　最后进行统计决断：

　　根据，查F值表，得到

　　由于<。接受原假设，五个总体方差一致，由此可得，对于保险公司来说，在其资金运用中这五种资金运用并不存在显著的差异。换言之，保险公司对资金的使用比较均衡，安全性高，风险较低。

　　随着统计在人们日常的经济活动以及经济研究中的重要性日益凸显，以及人们运用统计分布、统计数据的收集与利用的客观环境的质的飞跃，人们更加关注对统计分布形态间关系的研究，了解直至掌握统计分布形态的关系，可以使人们在满足生活或研究的统计精准度的需求下，更好地从整体的层面上上反映和剖析事物的数量特征，寻找事物的本质和规律，以最低的统计成本，做出最优判断，获得最大的利益，减少各种不必要的支出浪费，充分发挥概率论与数理统计对生产生活的促进作用。

　　[]周世国,齐祥来,杨松华.χ~2分布与F分布间的关系研究[J].南阳师范学院学报,2007,6(3):21-23.

　　[]赖景耀.概率论的起源和发展[J].西北师范大学学报(自然科学版),1984(3):13-19.

　　[]赵晓芬.评贝叶斯方法对概率逻辑的继承和发展[J].安徽警官职业学院学报,2011,10(4):98-100.

　　[]刘丹.关于几何分布高阶矩的计算问题的研究[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2009,30(2):129-131.

　　[]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计.3版[M].高等教育出版社,2001：32-33.

　　[]冯卫国,武爱文编.概率论与数理统计[M].上海交通大学出版社,2014：64-65.

　　[]周阳洋.重要抽样法在概率潮流中的应用[D].华北电力大学(北京)华北电力大学,2011：10-11.

　　[]林文浩.概率论与数理统计[M].厦门大学出版社,2002:53-54.

　　[]赵瑛.关于泊松分布及其应用[J].辽宁省交通高等专科学校学报,2009,11(2):77-78.

　　[]冯启明.正态分布及其应用[J].广西医学,1998(1):43-46.

　　[]于洋.浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系[J].企业科技与发展,2008(20)：108-110

　　[]张志旭,林雪,汪宏远.统计学三大分布相互转化[J].佳木斯大学学报(自然科学版),2017,35(4):643-644.

　　[]贾天理.x~2分布和F分布导出的检验定理及其证明[J].西南科技大学学报，2004，19(3):89-91

　　[]Jones M C.Multivariate t and beta distributions associated with the multivariate F distribution[J].Metrika,2002,54(3):215-231.

　　[]Liu X,Liu K.The density curve of F distribution[J].Progress in Natural Science,2004,14(4):359-361.