1.引言
本篇论文的研究工作目的在于对最佳投资问题进行探讨和分析，就具体事例进行建模并求解。本文的研究范围是运筹学范畴的线性规划问题。在这一问题的研究上，前人已经做了大量的研究，包括求解线性规划问题的单纯形法，对偶数论，线性规划的灵敏度分析和参数规划问题的求解。本文的理论基础是运用线性规划从各种限制条件的组合中，选择出最为合理的计算方法，建立线性规划模型从而求得最佳结果。研究设想是求出最优解。研究方法是对问题进行建模求解，用LINGO算法求解。预期结果是求得最优解，意义在于解决实际问题。
2.问题提出及符号设置
2．1基本情况
某企业现有资金200万元，计划在今后五年内给A、B、C、D四个项目投资，根据有关情况的分析得知如下信息。
2.2相关信息
第一年年末回收本利第二年年末回收本利第三年年末回收本利第四年年末回收本利第五年年末回收本利
项目A（从第一年到第五年每年年初都可进行投资）110%110%110%110%110%
项目B（从第一年到第四年每年年初都可进行投资，每年最大投资额不能超过30万元）125%125%125%125%
项目C（若投资则必须在第三年年初投资最大投资额不能超过80万元）140%
项目D（若投资则必须在第二年年初投资最大投资额不能超过100万元）155%
2．3问题提出
1、确定这些项目的每年投资额，使得第五年末拥有资金的本利金额为最大。
2、除了投入与回报外，考虑每个项目的投资风险。重新确定这些项目的每年投资额，使得第五年末拥有资金的本利在320万元的基础上保证其投资的总风险为最小（考虑每年可以将可投资资金全部投资和不一定全部投资两种情况）。下表为预测的每万元每次投资的风险指数。
项目A B C D
风险指数（每万元每次）1 3 4 5.5
3、企业考虑除了做风险投资外，把暂时不用的资金存入银行。假设银行一年期的利率为2%（扣除利息税后），那么，又该如何确定这些项目的每年投资额和银行存款额，使得第五年拥有资金的本利在320万元的基础上保证其投资的总风险系数为最小。
2．4符号设置
Xi(i=1,2,….,11)分别表示第i年初给项目A、B、C、D的投资金额。
Wi(i=1,2,…5)分别表示第1-5年初的本利总额。
Qi(i=1,2,…5)分别表示第1-5年初的风险指数。
3.模型建立及求解
3．1问题一——第五年年末本利金额最大值分配方案
3.1.1针对问题提出假设
假设一：将200万元全部投给项目A，则第五年末本利总金额经计算可得为322.102万元由上述假设可知，项目一在总投资额中占比越少，本利总额越大。另外当只投资给项目A,项目B时本利总金额小于只投资项目A。
假设二：设当项目A投资X11（第五年项目A的投资额）万元(0<x1<=200),项目B投资X10（第四年项目B的投资额）万元(0<=x2<=30)，项目C投资X5（第三年项目C的投资额）万元(0<=x3<=80)，项目D投资X6（第二年项目D的投资额）万元(0<=x4<=100)时，第五年年末本利总金额最大，为W万元。
3.1.2算法的建立与求解
1、记号
xi(i=1,2,….,11)分别表示第i年初给项目A、B、C、D的投资金额。
2、建立模型
第一年：年初拥有资金200万元，应全部投到项目A(万元)、B（万元）上，所以有
+=200=W1
第二年：第一年投到项目B的投资需要到第二年末才能收回，所以第二年年初的资金仅为项目A在第一年收回的本利，即1.1X1，此时从项目A本利中取出部分（万元）投资给项目D，一部分（万元）投资给B，其余继续投资给项目A（万元）。于是投资情况为：
第三年：第三年初将上一年本利取出，一部分（X6万元）投资给项目C，一部分投资给项目B（X8万元），其余投资给项目A（X7万元）于是第三年的投资为
第四年：将上一年本利中万元投资给项目A，万元投资给B可得第四年的投资为
第五年：将上一年可用本利全部投资给项目A（万元），即
另外，对项目B、C、D的投资有一定的限度，即
,,,<=30,X5<=100,<=80
以上就得到所有的约束条件。
目标函数：
问题求在第五年末手中拥有的资金总额最大，函数可表示为
3.模型求解
第一年：A项目投资万元，B项目万元。
目标函数：年终收益
约束条件：
第二年：D项目投资万元,A项目投资万元,B项目投资万元
年底收益：
约束条件：
第三年;C项目投资万元,A项目投资万元,B项目投资万元
年底收益
约束条件：
第四年A项目投资万元,B项目投资万元
年底收益：
约束条件：
第五年A项目投资万元
年底收益：
约束条件：
经过合并求解可以得出：
目标函数为：
约束条件为：
经过求解可以得最大值为
，此时的模型结果运用建模得到问题的最优解为（只列出非零向量）：
30 30 30 30 80 80
最优目标函数值W=341.7812
对最优解的直观解释：
第一年，将200万元资金，在项目A上投资万元，到第二年初可收回本利共1.1万元。在项目B上投资万元，到第二年末收回本利1.25万元。第二年，将项目A得到的本息1.1万元部分投资（万元）于项目D,到第五年末可收回本利1.55万元,部分投资（万元）给项目B，其余继续投资给项目A。第三年，将项目A得到的本利1.1万元中的万元投资于项目C，到第五年末可收回本利共1.4万元，万元投资于项目B，其余继续投资给项目A。第四年，将手中的万投于项目A，万元投资给项目B。到第五年末收回本利共W万元。
这样五年共收回本利：341.7812万元。
3.1.3模型一得出的结果
共收回本利：341.7812万元。
3．2问题二——计算在一定条件下风险指数最小值
3.2.1问题提出
问题提出：除了投入与回报外，考虑每个项目的投资风险。重新确定这些项目的每年投资额，使得第五年末拥有资金的本利在320万元的基础上保证其投资的总风险为最小（考虑每年可以将可投资资金全部投资和不一定全部投资两种情况）。下表为预测的每万元每次投资的风险指数。
项目A B C D
风险指数（每万元每次）1 3 4 5.5
3.2.2模型二建立与求解
1、记号
Xi(i=1,2,….,11)分别表示第i年初给项目A、B、C、D的投资金额。
Wi(i=1,2,…5)分别表示第1-5年初的本利总额。
Qi(i=1,2,…5)分别表示第1-5年初的风险指数。
2、建立模型
为了获得最小风险指数Q，投资额应等于手中拥有的全部资金。由于项目A每年都可以投资，并且当年末即能收回本利，项目B也可从第一年年初开始投资所以第一年年初该部门每年应将部分的资金投项目A(万元)，部分投给项目B(万元)。此时风险指数为Q1。第二年给项目D投资万元，项目A投资万元,项目B投资万元，风险指数为Q2。第三年给项目C投资万元，项目A投资万元，项目B投资万元，此时风险指数为Q3。第四年给项目A投资万元，项目B投资万元，此时风险指数为Q4。第五年给项目A投资万元，风险指数为Q5。
第一年：A项目投资万元，B项目万元，风险指数
目标函数：年终收益风险指数
约束条件：
第二年：D项目投资万元,A项目投资万元,B项目投资万元，风险指数
年底收益：
约束条件：
第三年;C项目投资万元,A项目投资万元,B项目投资万元，风险指数
年底收益
约束条件：
第四年A项目投资万元,B项目投资万元，风险指数
年底收益：
约束条件：
第五年A项目万元，风险指数
年底收益：
约束条件：
3、求解
经过合并求解可以得出：
目标函数为：
约束条件为：
其中
经过求解可以得最小值Q为1221.02，此时的W5=322.102万元
模型结果：
运用建模得到问题的最优解为（只列出非零向量）：
200 220 242 266.2 292.82
最优目标函数值Q=1221.02
对最优解的直观解释：
第一年，将200万元资金，在项目A上投资200万元，到第二年初可收回本利共220万元。在项目B上投资0万元，到第二年末收回本利0万元。第二年，将项目A得到的本息220万元部分投资（0万元）于项目D,到第五年末可收回本利0万元,部分投资（0万元）给项目B，其余继续投资给项目A（220万元）。第三年，将项目A得到的本利242万元中的0万元投资于项目C，到第五年末可收回本利共0万元，0万元投资于项目B，其余继续投资给项目A（242万元）。第四年，将手中的266.2万元投于项目A，0万元投资给项目B。到第五年末收回本利共322.102万元。此时风险最小值为1221.02。
3.2.3问题二的结果
风险最小值为1221.02。
3．3问题三——增加一种投资方式时分配方案的变化
3.3.1问题提出及分析
企业考虑除了做风险投资外，把暂时不用的资金存入银行。假设银行一年期的利率为2%（扣除利息税后），那么，又该如何确定这些项目的每年投资额和银行存款额，使得第五年拥有资金的本利在320万元的基础上保证其投资的总风险系数为最小。
针对问题三，当企业可以投资的项目发生变化时（可以向银行存入资金），若还要保证第五年拥有资金的本利在320万元基础上保证其投资的总风险系数为最小，在这种情况下增加变量Xi(i=1,2,3,4,5)表示每年向银行存入的资金（考虑到问题二求得每年所有自己全部投资给项目A时风险指数最低且第五年本利总额大于320万元），此时，既要使风险指数尽可能小，又要保证剩余的投资给项目A的资金能够满足这样的分配方案。在这种情况下，减少项目A的投资资金，此时该分配方案同样还是受到第五年年末的本利收益的约束，由此建立线性规划模型，考察对项目A投资资金减少，剩余存入银行时对分配方案造成的影响，并求出各种情况下的最优解。
根据以上分析，建立模型三求解。
3.3.2模型三的建立与求解
1、记号
xi(i=1,2,….,10)分别表示第i年初给项目A、E的投资金额。
Wi(i=1,2,…5)分别表示第1-5年初的本利总额。
Qi(i=1,2,…5)分别表示第1-5年初的风险指数。
2、分析
为了获得最小风险指数Q，投资额应等于手中拥有的全部资金。由问题二只投资项目A，可在第五年年末本利金额达到320万元情况下达到风险最小值，且第五年年末本利金额大于320。要使投资风险最少，可以从第一年年初起每年向银行存入Xi（i=2,4,6,8,10）万元，使得第五年年末的本利收益刚好达到320万元。
第一年：A项目投资万元，项目E万元，风险指数
目标函数：年底本利金额：W1=1.1X1+1.02X2 Q1=X1
约束条件：X1+X2=200
第二年：A项目投资,E项目投资，风险指数
年底本利金额：W2=1.1X3+1.02X4 Q2=X3
约束条件：
第三年:A项目投资X5,E项目投资X6，风险指数
年底本利金额W3=1.1X5+1.02X6 Q3=X5
约束条件：
第四年A项目投资X7,E项目投资X8，风险指数
年底本利金额：W4=1.1X7+1.02X8 Q4=X7
约束条件：
第五年A项目X9,E项目X10风险指数
年底本利金额：W5=1.1X9+1.02X10 Q5=X9
约束条件：
3.求解
经过合并求解可以得出：
目标函数为：MinQ=Q1+Q2+Q3+Q4+Q5
=X1+X3+X5+X7+X9
约束条件为：W5=320
其中W5=X9+X10=1.61051X1+1.1040808032X2
经过求解可以得最小值MinQ=1201.981538，此时的W5=320万元
模型结果：
运用建模得到问题的最优解为（只列出非零向量）：
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10
196.8 3.1 216.5 3.1 238.2 3.2 262.0 3.3 288.2 3.3
最优目标函数值Q=1201.981538
对最优解的直观解释：
第一年，将200万元资金，在项目A上投资X1万元，E项目投资X2万元。到第二年初可收回本利共W1万元。第二年，将项目A得到的本利W1万元部分投资（X4万元）给项目E，其余继续投资给项目A（X3万元）。第三年，将项目A得到的本利W2万元中的X6万元投资于项目E，其余继续投资给项目A（X5万元）。第四年，将手中的W3万元中的X7投于项目A，X8万元投资给项目E。第五年年初将W4万元投资X9万元给项目A，X10万元投资给E。到第五年末收回本利共320万元。此时风险最小值为1201.981538。
3.3.3模型三的结果
风险最小值为1201.981538
4.进一步讨论实际问题
4.1讨论一——针对问题一本利金额最大值问题的讨论
经计算可知，当投资给项目B,C,D三个项目最大值的时候，第五年年末的本利金额达到最大。当项目A的投资金额最少时，第五年年末本利金额达到最大。
此时，我们可以用LINGO算法进行验算前面得到的结果。
1、记号
Xi(i=1,2,….,11)分别表示第i年初给项目A、B、C、D的投资金额。
Wi(i=1,2,…5)分别表示第1-5年初的本利总额。
2、分析
为了获得最大收益，投资额应等于手中拥有的全部资金。由于项目A每年都可以投资，并且当年末即能收回本利，项目B也可从第一年年初开始投资所以第一年年初该部门每年应将部分的资金投项目A，部分投给项目B。
第一年：年初拥有资金200万元，应全部投到项目A万元、B万元上，所以有
+=200=W1
第二年：第一年投到项目B的投资需要到第二年末才能收回，所以第二年年初的资金仅为项目A在第一年收回的本利，即1.1，此时从项目A本利中取出部分（万元）投资给项目D，一部分（万元）投资给B，其余继续投资给项目A（万元）。于是投资情况为：
第三年：第三年初将上一年本利取出，一部分（万元）投资给项目C，一部分投资给项目B（万元），其余投资给项目A（万元）于是第三年的投资为
第四年：将上一年本利中万元投资给项目A，万元投资给B可得第四年的投资为
第五年：为使在本年末收回全部本利，该年初只能对项目A投资（万元），即
另外，对项目B、C的投资有一定的限度，即
,,,<=40,<=100,<=80
以上就得到所有的约束条件。
目标函数：问题求在第五年末手中拥有的资金总额最大，可表示为
综上可得
MAX W=1.1+1.25+1.55+1.4
s.t
+=200
++-1.1=0
++-1.1-1.25=0
+-1.1-1.25=0
-1.1-1.25=0
0,,,30,0100,080
3、求解（程序见附录）
模型结果：
运用lingo软件得到问题的最优解为（只列出非零向量）：=30,=30,=30,=30,=100,=80
最优目标函数值W=341.7812
对最优解的直观解释：
第一年年初，将200万元资金，在项目A上投资万元，到第二年初可收回本利共1.1万元。在项目B上投资，到第二年末收回本利1.23万元。第二年年初，将项目A得到的本息1.1万元部分投资（万元）于项目D,到第五年末可收回本利1.55万元,部分投资（万元）给项目B，其余继续投资给项目A（万元）。第三年年初，将项目A得到的本利1.1万元中的万元投资于项目C，到第五年末可收回本利共1.4万元，万元投资于项目B，其余继续投资给项目A（万元）。第四年年初，将手中的1.1万元中的万元投于项目A，万元投资给项目B。第五年年初将手中的1.1万元全部投资给项目A，到第五年末收回本利共341.7812万元。
4.2讨论二——针对问题二风险指数最小值问题的讨论
经计算可知，当200万元资金五年全部投资给项目A时，第五年年末风险指数达到最小值，且本利金额大于320万元。假设提高第五年年木本利金额要求，使其大于200万元全部投资给项目A在第五年年末的收益，则需要考虑投资B,C,D三个项目以达到本利金额要求。可以用建模和LINGO算法进行求解。
此时，我们可以用LINGO算法进行验算前面得到的结果。
1、记号
Xi(i=1,2,….,,11)分别表示第1-5年初分别给项目A、B、C、D的投资金额。
Qi(i=1,2,…5)分别表示第1-5年初的风险指数。
Wi(i=1,2,…5)分别表示第1-5年初的本利总额。
2、分析
为了获得最小风险指数Q，投资额应等于手中拥有的全部资金。由于项目A每年都可以投资，并且当年末即能收回本利，项目B也可从第一年年初开始投资所以第一年年初该部门每年应将部分的资金投项目A，部分投给项目B。此时风险指数为Q1。第二年给项目D投资X5万元，项目A投资X3万元,项目B投资X4万元，风险指数为Q2。第三年给项目C投资X6万元，项目A投资X7万元，项目B投资X8万元，此时风险指数为Q3。第四年给项目A投资X9万元，项目B投资X10万元，此时风险指数为Q4。第五年给项目A投资X11万元，风险指数为Q5。
第一年：A项目投资万元，B项目万元，风险指数
目标函数：年终收益风险指数
约束条件：
第二年：D项目投资万元,A项目投资,B项目投资万元，风险指数
年底收益：
约束条件：
第三年;C项目投资万元,A项目投资,B项目投资，风险指数
年底收益
约束条件：
第四年A项目投资,B项目投资，风险指数
年底收益：
约束条件：
第五年A项目，风险指数
年底收益：
约束条件：
3、求解
经过合并求解可以得出：
目标函数为：
约束条件为：
其中
（代码见附录）
经过求解可以得出风险最小值为1221.02
此时第五年本利总额为322.102万元
对最优解的直观解释：
第一年，将200万元资金，在项目A上投资200万元，到第二年初可收回本利共220万元。在项目B上投资0万元，到第二年末收回本利0万元。第二年，将项目A得到的本息220万元部分投资（0万元）于项目D,到第五年末可收回本利0万元,部分投资（0万元）给项目B，其余继续投资给项目A（220万元）。第三年，将项目A得到的本利242万元中的0万元投资于项目C，到第五年末可收回本利共0万元，0万元投资于项目B，其余继续投资给项目A（242万元）。第四年，将手中的266.2万元投于项目A，0万元投资给项目B。到第五年末收回本利共322.102万元。此时风险最小值为1221.02。
4.3讨论三——针对问题三增加投资方式后风险指数最小值问题的讨论
经计算，由问题二可知，如果将200万元资金全部投资给项目A第五年年末本利金额可求得为322.102万元。可以从第一年年初到第五年年初向银行存入少量资金，且不将投资给项目A的钱存入银行，也不将存入银行的钱投资给项目A，并且保证第五年年末本利金额刚好达到320万元。将求得的风险指数最小值与问题二进行比较，可知在投资一部分资金给银行后，风险指数略微降低（题目未给出存入银行的风险指数，默认存入银行的风险指数为0）。
我们可以联系生活常识，我们个人进行投资时也会承担投资风险。买卖股票的风险最高，同时如果操作得当可以获得巨大收益，也可能会亏损一大笔钱。相反，向银行存入定期存款则被我们认为是最稳健，风险最小的投资方式。另外，还存在其他投资方式，比如国债，彩票，余额宝，零钱通等等，还可以通过购房，租房等方式进行投资。在当今社会，投资方式可谓是因人而异，每个人都可以选择自己理想的投资方式进行投资。我个人倾向选择稳健的投资方式，如向银行存入定期存款，购买国债等等。
5.致谢
在这四年的学习和生活中，我取得了许多成就，这些成就与那些一直关心帮助我的人是分不开的。首先，我要感谢学校提出这一方案，使我能够熟悉工作方案，使我对运筹学这门课有了全新的认识，毕业方案持续了两个多月，毕业后，我有能力在业务能力等方面大幅度提高。分析问题、分析问题的能力和进行分析的能力，我要对合作精神、我们工作的严谨性等表示衷心感谢。没有他们的帮助，我们就不可能成功地完成这一项目。我要感谢我的导师的干练领导。他在邮件中向我解释了解决这些问题的想法和行动方法，并鼓励我以一种特别的方式思考这些问题，他的知识和不懈的态度使我学到了很多东西。我还要感谢大学的学生和朋友们的关心和支持，感谢他们的学习和生活，使我能够在大学过上充实的生活，在编写这份文件的过程中，他们给予我压倒性的支持和支持，留下了许多难忘的记忆。
毕业意味着我的学业和我在寄宿学校的生活即将结束！回顾过去，我有很多感觉，但这些真实的事实是我生命中宝贵的回忆，在这方面，我要感谢教师、朋友和家人，他们是我生命中最宝贵的记忆。
感谢我的导师，从日常学习到研究课题，到撰写论文。在他的领导和指导下，教授给予我认真和耐心的领导、鼓励和鼓励，使我能够按时完成工作。感谢我们的同学们在学校里一起学习。我感谢我的父母和家人对我的学习和生活给予的支持和关心！
6.参考文献
[1]袁新生《LINGO和EXCEL在数学建模中的应用》[M].2007年科学出版社
[2]赵静、但琦《数学建模与数学实验》[M].2008年高等教育出版社
[3]朱道元《数学建模案例精选》[M].2003年科学出版社
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