1.一维连续随机变量函数的概率密度及其解
1.1随机变量的一般概述
随机变量：也就是有两个变量，它们的值是随机确定的。研究随机变量的根本原因是我们需要研究一些事物中的变量因素。这些因子的值是随机的，但可能有一些规则（例如总是取一些特殊值）。我们需要研究这些规律（如分配规律），并预测这些因素。
引入其目的：因为我们把古典概型描述成了函数的关系，如，，有了函数就可以做积分，做求导运算用微积分来研究一系列问题。随机变量的引入使我们可以用随机变量来描述各种不同的随机实验，这样就把问题统一起来了。
1.2一维随机变量概率密度
概率密度定义：设为随机变量，为的分布函数，当实数轴上存在非负可积函数时，用它直观地描述连续随机变量，使对于任意实数，有
（1 1）
则称为连续性随机变量，其中称为的概率密度函数，称为概率密度。
但是如何求解函数的概率密度，在概率论与数理统计中经常会遇到和需要解决的问题，一般思路：先求其分布函数，然后再在其基础上进行求导得到概率密度，这中间需要用到高等数学的所学的内容（比如：曲线积分，函数等）。
1.3连续型随机变量的分布的概率密度
均匀分布，其概率密度为：
（1 2）
其在区间上服从均匀分布。如图1
图1
分布函数：
（1 3）
如图2
图2
指数分布：连续性随机变量的概率密度函数为：
其中>0为常数，（1 4）
分布函数：
（1 5）
指数函数有重要的一个性质：无记忆性如图3
图3
正态分布：也称高斯分布，其概率密度为：
（1 6）
其中为常数如图4
图4
1.4分布函数的求导法
如果分布函数是连续可微的，分布函数的导数就是概率密度函数。如果是离散的，概率分布函数就是密度函数的和。
分布函数法（定义法）：已知的概率密度，，求的概率密度
（1 7）
（1 8）
在使用分布函数求导方法时，当所需的概率密度函数是分段函数时，需要找出分段点才能找出分布函数，而分段点的确定是其中的一个重要环节。
1.5分布函数求解例题
设随机变量的概率密度为
（1 9）
令，为二维随机变量的分布函数，
求：的概率密度。
分析：此函数是个分段函数，不单调。（用分布函数求导法）
的分布函数为：
（1 10）
当时，
（1 11）
当时，
（1 12）
（1 13）
当时，
（1 14）
得到
（1 15）
当时，
（1 16）
综上：的概率密度为：
（1 17）
1.6经典公式法
公式法：若是的单调且是可导函数，则
（1 18）
其中是的反函数；
此方法中要求函数必须一对一的单射，且函数一定得单调，否则建议使用分布函数求导法。
1.7利用公式求解例题
设随机变量在区间服从均匀分布。
（1）求的概率密度；
分析：设随机变量的在区间服从均匀分布，则的概率密度函数为
（1 19）
方法一：（分布函数法）：
随机变量的取值范围为，于是
当时；当时
；（1 20）
当时，
（1 21）
则随机变量的分布函数为：
（1 22）
对分布函数求导得随机变量的概率密度为
（1 23）
方法二：（公式法）：
函数为单调递增函数，函数的值域为，反函数为，且，根据公式法可得
（1 24）
（2）求
方法一：（分布函数法）：
随机变量的取值范围为，于是当时，；当时，
（1 25）
则随机变量的分布函数为
（1 26）
对分布函数求导得随机变量的概率密度为
（1 27）
方式二：（公式法）：
函数为单调递增函数，函数的值域为，反函数为，且，根据公式法得
（1 28）
1.8分段区间求概率密度法
此方法是基于经典公式法，在公式法基础上进行改进。
首先根据反函数可以得出
（1 29）
然后将为端点将分割成互不重合的子区间
确定每个区间上的，并求出该区间上的概率密度函数
（1 30）
确定概率密度函数：
（1 31）
1.9分段区间求解例题
设随机变量的概率密度函数为
（1 32）
求的概率密度函数。
解：由得到
（1 33）
（1 34）
利用分割区间可得：
图5
当时，代入得：
（1 35）
整理得：
（1 36）
当时，代入公式整理得：
（1 37）
综上：
（1 38）
整理得：
（1 39）
2.二维连续性随机变量的函数的概率密度及其求法
2.1二维连续性随机变量的函数的概率密度
2.1.1随机变量的联合分布的概率密度
它类似于一维连续性随机变量，对于二维随机变量，如果定义域是整个平面上的非负函数，则的分布函数可以表示为：
（2 1）
则成为二维连续性随机变量，其中为二维连续性随机变量的随机联合概率密度或概率密度
边缘密度函数、，条件密度函数、，都是围绕联合密度函数。一般来说，都会包括“由F求p法”——由分布函数求密度函数的方法。
根据定义所具有的性质：
（2 2）
若O是某个平面上的区域，点O落在内的概率为：
（2 3）
若在点连续，则有：
（2 4）
2.1.2随机变量的边缘分布概率密度
与二维离散性随机变量类似，在等式中，
（2 5）
令得到连续性随机变量的边缘分布函数
（2 6）
由此得随机变量的边缘概率密度函数
（2 7）
同理可得随机变量的边缘概率密度函数
（2 8）
的边缘概率密度函数：
（2 9）
2.1.3二维均匀分布的概率密度
定义：设二维随机变量的概率密度为
（2 10）
其中D是平面上的有界区域，其面积为A，则称在D中是均匀分布的。
2.1.4二维正态分布的概率密度
如果的概率密度为
（2 11）
其中，则称服从参数为的二维正态分布，记为。
二维随机变量的条件分布用来表示，在发生是前提下，的分布，即。有
（2 12）
由于，很难计算。因此我们一般使用条件密度函数。也就是：
（2 13）
二维随机变量的分布函数和边缘分布函数分别是，，。如果对于所有的，都有
=（2 14）
则说明随机变量相互独立。
从密度函数角度看，二维随机变量的密度函数和边缘密度函数分别是，，，如果=几乎处处成立。则说明随机变量两个变量之间相互独立。（注：几乎处处成立代表着对于任意都有
=（2 15）
而这里的D表示连续的点，即
（2 16）
在处连续，在）处连续，在处连续。
利用公式法求解已知联合密度求条件概率密度事实上，条件概率密度在条件下是仅关于变量的一元函数，于是条件下，求与随机变量Y相关的概率可利用一维随机变量求概率方法求解，对条件概率密度也是如此。
2.2卷积公式法
如下：
，则
（2 17）
，则
（2 18）
，则
（2 19）
，则
（2 20）
2.3分布函数法
设，则
（2 21）
（2 22）
2.4利用卷积，分布求解例题
设二维随机变量在矩形区域上服从均匀分布，求边长为和的矩形面积的概率密度。
解：方式一：用分布函数法，正概率区域与所求概率的积分区域的公共部分有三种不同的组合形式，于是：
当时，
；（2 23）
当时，
（2 24）
；
当时，
（2 25）
因此的概率密度为
（2 26）
方式二：公式法：用卷积公式
当或时，
（2 27）
当时，
（2 28）
因此的概率密度为
（2 29）
2.5变量变换法
设二维随机变量的联合概率密度函数为，如果函数
（2 30）
有连续的偏导数和存在唯一的逆函数
（2 31）
其变换的雅克比行列式
（2 32）
（2 33）
若
（2 34）
则的联合概率密度函数为
（2 35）
2.6利用变量变换
设随机变量与独立同分布，都服从正态分布。记
（2 36）
试求的联合密度函数。
解：因为
（2 37）
的反函数为
（2 38）
则
（2 39）
所以得的联合密度函数为：
（2 40）
2.7增补变量法
增补变量法从本质上来看，是变换法中的应用的一种：为了求出二维连续随机变量的函数的密度函数，增补一个新的随机变量，一般令或，先用变换法求出的联合密度函数，在对关于积分，从而得出关于的边际密度函数。
1.积的公式：
设随机变量和相互独立，其密度函数分别为和，则的密度函数为
（2 41）
2.商的公式：
设随机变量和相互独立，其密度函数分别为和，则的密度函数为
（2 42）
2.8对形式的概率密度求解
推论：对于的概率密度的求解以上（2 43）也说过，然而，对于一般二维随机变量的线性函数之和的概率密度是不涉及的.对于形如的形式，并没有涉及，但考试当中又经常会考到，一般思路是先求分布函数，在对其求导，但是这种方法往往需要讨论，比较复杂，所以我们可以根据（2 44）这么实现：
设连续型二维随机变量的联合概率密度函数为，则二维随机变量线性函数的概率密度为：
（2 45）
设连续型二维随机变量的联合概率密度函数为，且相互独立，则二维随机变量线性函数的概率密度为：
（2 46）
同理可得的概率密度为：
（2 47）
2.9常见例题
设二维随机变量的联合概率密度函数为
（2 48）
求的概率密度。
解：由于满足的条件，所以我们直接用公式：
（2 49）
有条件可以得出：
（2 50）
即
（2 51）
可加性：一些随机变量相互独立，服从同一类型的分布，其和的分布是同一类型的，他们是二项分布，泊松分布，正态分布与分布，设随机变量与相互独立，则：
若，，则
（注意p相同）；（2 52）
若，，则
；（2 53）
若，，则
；（2 54）
若，则
。（2 55）
上述结果对个相互独立的随机变量也成立
2.10边缘和条件概率密度求法
根据性质定义，我们可以得到边缘：
（2 56）
（2 57）
同理可以得到条件分布：
（2 58）
（2 59）
2.11边缘例题
例：设二维随机变量的概率密度为
（2 60）
求边缘概率密度。
解析：记和分别为随机变量和的概率密度，且概率密度非零的区域为，如图5的阴影部分区域。
图6
随机变量的概率密度为
（2 61）
区域可以表示为
，（2 62）
所以随机变量的概率密度为
（2 63）
3.n维随机变量函数的概率密度
3.1分布函数求导法
从多维随机变量函数概率密度法的求解经验出发，再根据概率密度的性质，可以得到维随机变量函数的概率密度的普遍解法。
设已知维随机变量的联合概率密度为，又
为元连续函数，则随机变量函数的概率密度：我们可以这样和二维一样：
（1）先求出的分布函数
（3 1）
（2）再对其进行求导：得到：
（3 2）
3.2定点算法求多维概率密度
设为维连续型随机变量，其密度函数为。，其中存在，且不全为0，则的密度函数为：
（3 3）
其中曲面的方程为。
3.3三维随机变量函数的概率密度例题
例：设三维随机变量的联合概率密度为
（3 4）
求随机变量的密度函数。
分析：分布函数法：
先求随机变量的分布函数
（3 5）
当时，
当时，
（3 6）
（3 7）
得到的密度函数为：
（3 8）
定点算法：
由于，故有定点算法知：
（3 9）
其中曲面的方程为。
3.4最值问题下的概率密度求法
由二维向多维过渡：
a)分布。
设，则的分布函数为：
（3 10）
当与独立时，
（3 11）
b)分布。
设，则的分布函数为
（3 12）
当与独立时，
（3 13）
c)推广到个相互独立的随机变量的情况，即
（3 14）
（3 15）
特别的，当相互独立且具有相同的分布函数与概率密度时，
（3 16）
（3 17）
（3 18）
（3 19）
这些结果在数理统计部分极为重要。
结论
经过了几个月的毕业设计实践，我从最开始拿到课题的懵懂茫然，到慢慢地开始摸索通过搜索一些资料，学习心得来实现，历经几番奋战，时至今日，我的毕业设计已经初步完成。一路走来，回想起当初开始着手毕业设计时都得点点滴滴，我感慨良多，如今想来我所克服的挫折，解决的问题，一切的点点滴滴，都成为了我今天成长的动力。过程很曲折，但最终还是要勇敢无畏的走下去。
通过一系列的工作最终得出：连续型随机变量函数从一维到多维的概率密度函数的解法，以及通过各自的常见例题，来使我们对每一种方法有进一步的理解和掌握。一维随机变量的概率密度可以用分布函数求导法、经典公式法和分段区间法求解，其中分布函数求导法应用广泛，因其所受的条件影响较少，也便于学生接受和理解。这种方法因其可以通过将实题几何化来求解，比较其他方法来说更直观，不那么抽象。在求解二维随机变量的概率密度过程中，大多数是通过分布函数求导，卷积公式以及变量变换，且在变量变换基础上进一步引入增补变量的方法，还有在卷积公式的基础上推导得到了连续型二维随机变量的线性函数的概率密度计算公式,简单形式,求解简单,公式具有普遍性,该结论便于我们解决问题。对于维随机变量函数首先给出了一般方法，但因其计算量大所以不推荐使用，从而我们可以用定点算法帮助我们解决多维函数的概率密度问题，通过一个三维函数概率密度的求解例题，使我们更能深刻理解。
参考文献
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[10]费荣昌.概率统计解题分析[M].南京:江苏科学技术出版社,1984年.
致谢
行文至此，已经到了论文的最后一步，四年的学生生涯即将结束，时间就是这么的仓促还没有等到你慢慢品尝味道就已经消失了，眼前突然呈现了父母和我一起踏上他乡大巴的画面，还是恍如昨日，历历在目，而今日的我却要忙于做好毕业的最后一件大事，回望四年大学生涯，只能用百感交集来形容，目之所及，皆是回忆。感谢在整个大学四年里面给过我温暖和帮助的人，感谢你们丰富了我的光阴。
毕业设计的完成不仅仅是我一个人努力结果，其中还包括来自各方面的帮助和支持给予了我继续前进的动力。
在此，感谢我的母校为我创造了良好的学习环境，四年来的大学学习让我对概率论知识体系有了深刻的了解，学习到的各科专业知识为我的课题研究提供了扎实的只是基础。桃李不言，下自成蹊。首先，我要感谢我的指导老师，即便我们并不是很熟，更甚者我们还不是一个学校的，但通过这次的交流与接触，可以感受到他对我的悉心教诲，在疫情期间，老师一直帮我们修改论文，给我们建议，依然做到严谨求实，对待工作一丝不苟，饮其流时思其源，学其成时念吾师。衷心感谢老师们，希望他们身体健康，工作顺利。家庭美满。
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