数学期望在保险产品设计中的应用

　　为什么现在很多人都会考虑去买一份甚至多份保险？因为保险可以在一个特定的时期帮我们规避很多风险风险，我们往往只需要花很少量的钱去弥补一个很大的缺口。保险在某种程度上来说不单单是一种投资，往深层次来说，它更像是一份保障。每天有各种各样地风险徘徊在我们的周围，它们可能时不时地会让我们受到一些损失，有人说这样的话，我们每天小心做某些事情不就可以避免了吗。可我只想说，这些风险并不会因为我们地小心而消失，它还是会存在于我们周围，像一颗定时炸弹一样，时不时地会爆炸，比如说那些无法预见的天灾人祸等等一系列的事情。

　　所以，在这种情况下，一种切实有效的能够弥补损失的方法需要被发掘，它能够最大程度地减轻我们地压力。而这一点，在当前的社会情况下，只有保险才能做得最好。保险能在帮我们减轻负担的同时，也能为我们带来些许收益。

　　说到收益，我们就不得不提起今天我们要说的另外一个名词—数学期望。通过计算个别以外事件发生的概率，算出所需要赔付的价格，从而达到到保险投资双方的期望收益。数学期望作为概率论中不可缺少的一部分知识，反应的是随机变量总体取值的平均水平。随着近年来中国在产业方面的发展和创新，它在很多行业都能够起到一定程度的作用，取得了越来越广泛的应用。就拿我这篇文章来说吧，本课题主要是说明数学期望在保险产品设计中的应用，通过在保险产品设计过程中的添砖加瓦，我们可以实现收益的最大化，同时也可以覆盖广大人群，实现名利双收，对保险公司来说获得巨大收益，对投保人来说在出现危机时能获得一笔巨额的赔偿。

　　本次的课题主要目的是探讨数学期望在保险产品设计过程中的应用，通过对相关知识的了解，以及对具体实例的计算，得出联系。并且帮忙设计一到两款可以投入使用的产品，帮助保险公司实现一个收益最大化，同时帮助广大投保人也实现一个收益的最大化。

　　数学期望是指代在实验中某一种情况能够发生的概率乘以其已经发生后得到的结果的总和。它在数学中经常被使用到，算是一个比较基本和常见的数学特征。它的结果通常来说可以反映随机变量平均取值的大小。数学期望又可以分为连续型随机变量的数学期望和离散型随机变量的数学期望。

　　假设离散型随机变量X的分布律为

　　，

　　若级数绝对收敛，则称为X的数学期望，数学期望我们也称其为均值，通常用来表示，即离散型随机变量的数学期望期望表示为

　　若处理对象是一个离散型随机变量的函数，那么就会发生变化。设为一个随机变量的连续实函数，概率分布为

　　如果存在一个绝对收敛的级数，我们可以将它认定为我们所设的这个随机变

　　量函数的数学期望，记作：

　　。

　　假设X为连续型随机变量，其概率密度为，若绝对收敛，则称

　　为X的数学期望，记作，则可以得到连续型随机变量的数学期望为

　　与上面的离散型的相类似，我们也可以考虑当随机变量是连续型函数的情况。同样设随机变量，随机变量函数为，如果存在一个绝对收敛的积分，则可将这个随机变量级数的数学期望记作

　　2.2.1保险

　　保险是一种商业行为，指的是根据协议，投保人向有关保险人缴纳费用，保险人可在之后投保人出现某些不良的社会事故时，将事故相关的费用返还给投保人的一种属于商业范畴的一类行为。这种商业行为的两个最为重要的主体是投保人和保险人。

　　2.2.2保险产品

　　保险产品，与很多东西一样，是一种商品，它是保险公司推出的一种能够给绝大多数人带来便利的一种有形商品和无形商品的集合其与商品一样，使用价值以及价值都被包含在保险产品之中。

　　2.2.3保险产品的构成要素

　　1．保险责任

　　保险责任，说到底就是一个保险人应该负责任的相关事宜的集合。在集合内的这些事情，出了问题，保险人都会给投保人做一定的赔偿，集合外的事情则不是保险人该负责人的地方。

　　2．保险费率

　　保险费率，通过这个费率赚的钱是保险人盈利的方式，这个费用是投保人向保险人支付的，作为保险人替投保人承担风险所应该得到的报酬。

　　3．保费交付方式

　　保费交付方式，就是投保人向保险人付款的方式，一个是一次性交完所有的钱，另一种则是分期付款，这些方法在其他方面也有所涉及。

　　4．保险期限

　　保险期限，说到底就是保险人所必须承受的投保人所规定的承担责任的时间区间，在这个时间内，保险人需要向投保人负责。简单来说，这个时间就是保险产品开始产生作用到完全失去作用的时间的区间。

　　5.保险赔款或保险金给付方式

　　这个就回到第一条中我们所说到的那个问题，规定时间里投保人出现了问题，保险人则需要向投保人支付一定的补偿费用，这个费用就是保险赔款。

　　2.2.4保险产品的设计原则

　　1.最大需求满足原则。在保险这一行，顾客就是上帝，顾客对于保险行业经济占比很高，所以保险产品的方方面面都体现着顾客第一这个很重要的原则，离开这个原则，保险行业将会受到很大的损失。产品设计师在研发新的产品时，会进行广泛的市场调研，在很多方面都会详细的询问客户一些问题或者意见，然后在产品实际过程中会将顾客的意见融入到产品设计的理念中。产品设计完成后，并没有直接投入到市场中进行使用，而是先对设计出来的产品进行评估，如果满足要求，则会将其投入市场进行使用，反之则会将这个方案进行重新修改，在满足要求后对其进行再检测，最后上市。在满足了一定量顾客的需求的基础上，我们可以尝试着开发新的保险险种，以备不时之需。

　　2.科学计算原则。险种在保险市场中是一个非常重要的商品，它在某种程度上满足了部分客户所需要的那种需求，如果险种受到损害，那么在一定程度上会影响顾客的选择，从而影响参保双方的利益。所以保险人在进行险种开发时，必须要遵守科学计算原则。保险人做的生意肯定都是做的双方都能获利的买卖：投保人可以获得适当的赔偿金，保险人可以获得足够以至于不亏损的利润，通过计算，保证双方的收益差不多。

　　3.讲求实际原则。保险的风险程度并不是在任何情况下都是一致的，相反，它们的差异相当大，有的类型的风险相对来说较为集中，有的风险则在某种程度上来说比较怪异，性质比较特殊。保险人可能可以承担绝大多数投保人所说的要求，但是不可能面面俱到，每一个方面都能兼顾，所以保险人在进行产品设计的过程中，应当将自身所能承受的能力值与客户所提出的要求相适应，而不能强行承担所有责任，这样到头来造成重大损失的只会是保险人自身。

　　2.2.5保险产品设计的流程

　　1．市场调查

　　保险公司在设计产品前，需要先进行市场调查，了解客户对于保险方面的相关需求，了解公司原有产品的相关经营情况，保守估计它在市场中能够体现出来的价值，将这些收集到的相关信息加以整合，从这几方面来寻找保险产品设计的灵感。

　　2．可行性分析

　　可行性分析即从企业的能力角度出发，看新产品的设计与开发与企业的运作能力是否能够匹配，并且通过对新产品的销售额、成本和利润等因素进行预估计，判断设计出来的产品是否符合企业早期所制定的目标，是否能够实现利润的持续增长，是否能够完成企业的预定战略。

　　3．产品设计

　　产品设计流程主要包括下面三个层次。

　　(1)核心产品。核心产品即保险产品的最为基本的功能。

　　(2)产品形象。这个环节突出了企业形象这个关键词，我们设计产品时要最大程度的将企业形象与产品相结合，设计出符合企业形象的产品。

　　(3)附加产品。投保人给予保险人除了产品本身以外的服务外的其他服务就被成为附加产品。

　　4．产品鉴定

　　通常来说在保险产品设计被设计出来后，保险公司内部通常会有专业部门的人出来鉴定产品是否符合标准，检测的方向大体上包括以下几点内容：险种市场情况、险种能否给公司带来收益以及设计条款中有没有存在问题或者存在设计缺陷等。如果产品的鉴定没有被通过，说明这个产品中有部分指标没有达到预期的指标，产品设计部门则需要把这个保险产品回炉重做，直到鉴定通过。

　　5．产品报批

　　产品设计合理与否，将直接关系到投保人的收益情况。由此可知，产品报批是是一道不能缺少的步骤，它在保险法律中不可或缺。既然说到了产品，那么其中的一些条款相对来说就显得很重要，这些条款制定的是否符合规范，需要审核部门来认真审核才行，这个也是法律赋予审核部门的权力，对一些很重要的险种来说需要加大审核力度，以切实保护投保人的利益。

　　6．进入市场

　　经过了上述五个步骤的磨练，我们的产品渐渐地可以登上台面了。这个时候的保险产品便如同唐僧师徒一般，历经了八十一难，终于到达了西天，终于取得了正果。

　　7.试办

　　对新产品而言，其生命力是否旺盛往往还需被残酷的保险市场所检验。因此，试办成了保险公司推出新品的最后一个环节。这个环节非常重要，它决定着这款产品能否在市场上获得广泛认同。被试办这个环节证明其生命力旺盛后，就可以被推广到保险市场中竞争，并力争早日占领保险市场。

　　保险产品开发的具体流程图如下：

　　图1.保险产品开发流程

　　通常意义上，保险产品可以认为是保险公司为客户提供的综合服务体，其在一定程度上可以满足客户（或其相关方）在发生意外不幸时生活保障与相应补偿的需要。较为理想的保险产品对于保险公司以及客户双方而言是双赢的，既可以在一定程度上令保险公司盈利以保证其健康运转，又可在客户发生意外时保障其基本利益。众所周知，意外发生是具有一定的随机性，保险产品的产生就是建立在这种随机性上，一个意外可能发生，可能不发生。不发生最好，发生了就会有这个为其提供保障。我们假设这个意外的事情不经意间发生了，则客户可以从保险产品中获得远超其缴纳的保费，而如果在保险产品有效期内，没有发生保险事故，则客户将不会收到包括保费在内的任何补偿，所投入的费用均归保险公司收益。

　　从以上保险产品的特性可以看出，保险公司的收益与客户缴纳的保费，保险事故发生的几率等因素息息相关，也即保险产品的盈利能力其实是一个广义上的概率事件。而针对概率事件的研究，概率论与统计学中的数学期望无疑是一个有力的分析工具。

　　数学期望是在一次实验中每次可能得到的结果与发生的概率的乘积的总和。离散型随机变量的所有可能取值与其相应的概率乘积之和即为其数学期望，记为，可以通过下式进行表示

　　由上述离散型变量的数学数学期望的定义以及保险产品的特性可知，保险产品的盈利能力是随机变量，保险产品在设计之初应对其盈利能力的数学期望进行研究。

　　为了方便数学分析，本文以一个简化版的保险产品模型为例对其盈利能力数学期望的建模进行说明，保险产品的确定主要包含的变量有年度保费、交保时长（年）、领取时间以及年领取金额，分别设为元、年、元、年，此外，设银行的年利率为。同时考虑若用户在未交保的时间没有达到规定的交保时长时，需要支付给客户元，则对于保险公司，其每年的收入见下表

　　表1.保险人收入情况

　　年份年初收入年末收入

　　1

　　2

　　为了方便考虑，本文以年末收入作为保险公司最终收入进行计算，可见其第年的收入为，该式为等比数列，根据等比数列求和公式，可得保险公式第年的收入的表达式为

　　当时，客户不再每年给保险公式交保费，保险公司的年收入只依靠客户所交保费在银行中的利息，其表达式为

　　当时，客户不再每年给保险公式交保费，保险公司的年收入只依靠客户所交保费在银行中的利息并逐年减去需要支付给客户的领取金额，其表达式为

　　由上述分析可知，若客户在第年不幸发生意外，保险公司在第年末剩余的保险金及利息和可由下式进行表示

　　现假设客户在第年发生不幸的概率为，，且。

　　以为随机变量，出现的概率即为客户在第年发生不幸的概率。随机变量的概率分布如下表所示：

　　表2.随机变量X的概率分布表

　　/年1 2 3…i+1…n

　　……

　　……

　　根据以上分析，保险公司收益的数学期望可用下式进行表示

　　从保险公司的角度出发，在设计保险产品的时候，就需要其数学期望是大于0的，也即保险产品是可以盈利的.从上式可以看出，保险公司盈利的数学期望与年交保金、年领取金、一次性赔付金、交保金时长以及领取金时长、银行利率（此处为方便计算，将银行利率按照时间不变的固定值进行考虑）以及客户发生不幸的概率有关，因而，从数学期望的角度设计保险产品，需要主要考虑上述变量。而银行利率以及客户发生不幸的概率是保险公司不能改变的，所以，保险公司设计保险产品时需要参照当时的银行利率以及客户发生不行概率的理论值或者历史值对年交保金、年领取金、一次性赔付金、交保金时长以及领取金时长进行重点设计。

　　下面我们通过实际案例来论证上述的模型：

　　国寿安享一生两全险（分红型）

　　这款产品是中国人寿推出的一款产品，主要是应对一些突发的事件，比如说地震、海啸重大疾病等等，都可以获得赔付，下表是这款产品的具体信息

　　表3.产品属性

　　产品名称保险类别投保年龄购买途径缴费方式年缴期限保长

　　国寿安享一生两全险分红险1月-55周岁银行期缴5年20年

　　相关的保险责任，简言之就是：

　　（1）投保人交完五年的钱后并且生存了15年，保险人按所交保费（不计利息）的60%给付生存保险金。

　　（2）投保人因疾病身故，合同终止，保险人根据下列规定赔偿保险人疾病身故保险金：

　　疾病身故保险金=年交保险费×身故时的交费年数×1.05。

　　（3）投保人因意外伤害身故，合同终止，保险人根据下列规定赔偿保险人意外身故保险金：

　　意外身故保险金=年交保险费×身故时的交费年数×2。

　　（4）被投保人因合同所列明的六种重大自然灾害而遭受意外伤害身故，合同终止，保险人除根据本条第三款规定给付意外身故保险金外，还需要额外根据下列规定赔偿重大自然灾害意外身故保险金：

　　重大自然灾害意外身故保险金=年交保险费×身故时的交费年数×1。

　　我们假设年缴保额为10000元，银行的年利率为，对应的存活年限为年,四种情况的概率我们分别用，，，来表示，则对应的情况为：

　　表4.保险人获益的分布列

　　该种情况的数学期望表达式为：

　　本文根据2020年新冠病毒疫情在世界范围内肆虐的背景出发，拟设计一款面向健康意外的保险产品，初步思路如下：

　　1）每人在从出生1岁起到60岁，每年向保险公司缴纳保金1000元，若在缴纳保金期间客户死亡，则保险公司向客户一次性赔付80000元，否则直到60岁后每年方可以领取2500元，直到客户死亡（最高不超过101岁）。

　　2）假设银行年利率在保险产品有效期内保持平均值不变，为0.02，则根据上一章节中建立的数学模型，将1）中数据代入到上文当中的公式中，得到该保险产品盈利的数学期望为

　　本文获取了浙江省在2010年统计的不同年龄人口死亡人数所占比例数据，如下表所示：

　　表5.2010年浙江省不同年龄端人口死亡概率表

　　年龄段/岁1 2-30 31-60 61-70 71-80 81-90 91-100 100以上

　　死亡占比/%0.66 2.36 19.47 12.97 32.11 24.78 7.4 0.25

　　根据上表的数据统计，本文将以其相应的死亡占比代表个人在其各个年龄段死亡的可能性，即客户在各个年龄段的死亡概率。此处为了计算研究方便，本文认为客户在2岁到100岁之间的各个年龄段内死亡概率服从均匀分布。则2-30岁之间每一年的死亡概率为2.36%/(30-2+1),31-60岁之间每一年的死亡概率为19.47%/(60-31+1),61-70岁之间每一年的死亡的概率为12.97%/（70-61+1），71-80岁之间每一年死亡的概率为32.11%/(80-71+1),81-90岁之间每一年的死亡概率为24.78%/(90-81+1),91-100岁之间每一年的死亡概率为7.4%/(100-91+1),通过matlab绘制其分布示意图如下所示

　　图2.客户在每个年龄的死亡概率分布示意图

　　根据上文的分析，可以将相应的概率值代入的表达式中，通过matlab仿真软件对

　　其进行求解。

　　主要代码见下：

　　clear

　　clc

　　p=[0.0066,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.0025];

　　sum=0;

　　n=101;

　　m=60;

　　x=1000;

　　y=2500;

　　z=80000;

　　a=0.02;

　　for i=1:n

　　if i<m+1

　　sum=sum+(x*(1+a)/a*((1+a)^i-1)-z)*p(i);

　　else sum=sum+((x*(1+a)/a*((1+a)^(i-m))*((1+a)^m-1))-y/a*((1+a)^(i-m)-1))*p(i);

　　end

　　end

　　e=sum;

　　最后，求得84297,

　　得到了期望利润后，我们在设计产品时不能仅仅考虑保险人的单方面收益，投保人的收益也需要被考虑，所以我们下一步计算收缴保费的值为60000，这个值就是比较理想化的保费。则可得到两者的比例大于1，说明保险人此时是盈利的。

　　换个角度，从投保人来看，情况如下：

　　clear

　　close

　　p=[0.0066,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.0025];

　　sum=0;

　　n=101;

　　y=2500;

　　z=80000;

　　a=0.02;

　　for i=1:n

　　if i<61

　　sum=sum+z*p(i);

　　else

　　sum=sum+(y/a*((1+a)^(i-60)-1))*p(i);

　　end

　　end

　　e=sum

　　sum=

　　6.4681e+004

　　得出的结果是E(x)=64681,与缴纳的保金的比例大于1，说明此时投保人也是获得了收益

　　上述保险产品的盈利能力的数学期望大于0，且其值较大，从保险公司单纯从数学角度来讲，该保险产品具有一定的可行性。

　　但是，上文中在客户年满60岁后领取的金额较小，所以导致了保险产品盈利的数学期望结果较好，如果将领取金额以一定的比例增大，可以对相应的保险产品的数学期望进行计算，本文以每次领取金额从2500增加到13500为例，通过matlab对其进行了仿真，结果如下图所示.

　　图3.保险产品盈利的数学期望随客户60岁后每年领取的金额变化曲线图

　　相应代码见下：

　　p=[0.0066,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.0025];

　　sum=0;

　　n=101;

　　m=60;

　　x=1000;

　　y=2500:1000:13500;

　　e=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];

　　z=80000;

　　a=0.02;

　　for j=1:12

　　for i=1:n

　　if i<m+1

　　sum=sum+(x*(1+a)/a*((1+a)^i-1)-z)*p(i);

　　else

　　sum=sum+((x*(1+a)/a*((1+a)^(i-m))*((1+a)^m-1))-y(j)/a*((1+a)^(i-m)-1))*p(i);

　　end

　　end

　　e(j)=sum;

　　end

　　plot(y,e)

　　由上图可以看出，随着客户60岁后每年领取的金额的逐渐递增，保险产品的盈利的数学期望呈现了先增加后减少的趋势，可见，在保险产品的设计中，在确保保险产品盈利数学期望为正的情况下，可以根据用户需要合理调整客户60岁后每年领取的金额，以这种方式可以吸引用户，从而扩大用户群体。但不能为了吸引客户数量，盲目调整客户60岁后每年领取的金额，上图中当客户60岁后每年领取的金额超过9000时，该保险产品盈利能力的数学期望变成了负值，这样将导致保险公司在卖出该保险产品后会亏损，而且卖的越多，亏得越大。

　　众所周知，银行的年利率会根据市场以及社会环境进行相应的调整，本文将在上述研究中选择了银行利率为0.02的固定值，这是一个适中的值，一下将对其值的变化对保险产品盈利能力数学期望的影响进行分析，同样以银行利率从0变化到0.04为例进行仿真研究，仿真图如下所示：

　　图4.保险产品盈利的数学期望随银行利率变化曲线图

　　根据上图可以看出，保险产品盈利的数学期望随着银行利率的增加而逐渐增大，所以，在对保险产品进行设计时，需要综合考虑银行利率对其盈利能力的影响，且应结合利率变化及时对保险产品进行适当调整。

　　当然，本文上述设计的保险产品仅从保险公司的角度出发，并且为了方便理论研究对部分情况进行了简化，如实际中的银行利率不可能是一个固定值，会随着市场情况的变化进行一定程度的调整，且在对保险产品进行设计时，并未考虑投保客户的相关因素，也未建立保险产品的相关因素的变化与其潜在的客户群体数量之间的关系，因而对整个保险产品的全生命周期的盈利能力的评估是不充分的，这将是本文后续努力研究的重点方向。此外，保险产品的可行性除其盈利能力是一个重要的参考指标之外，还有其他如社会、文化、经济的相关指标进行综合评估，这些已经超出本文的研究范围，后续可根据实际情况建立更合适的模型予以进一步深入研究。

　　本篇文章中表面上研究地是关于保险产品地数学期望问题，实际上研究的就是随机变量地数学期望问题。通过求解保险产品收入利润地数学期望，我们可以知道保险人或者投保人是盈利还是亏损。若求得地期望值大于0，说明本产品是做到盈利的，反之则是亏损。

　　首先我们建立了收益值的数学期望的模型，了解了保险人的收益期望是如何计算的，保险人的相对来说难计算一点，而投保人的相对来说好计算一点。得出模型后，我们就可以找实际案例来计算一下。本次选的是中国人寿的某一款分红险，根据其条款，我得出了它的具体计算公式。

　　最后，需要设计一款新的，可以被采纳的产品，我是设计的一款生存险，因为今年疫情，我有感而发，设计了一款这样的产品。这款产品需要被保险双发所接受，也就是不单单需要满足期望大于0。过高的话投保人不会选择这款产品，过低的话保险人的收益就不能被保证。所以需要采取措施使得双方都能接受。这个时候我是这样算的：通过比较双方预期收入，也就是收益值的数学期望与缴纳的比值，若大于1，就说明是可行的，反之则不可行。我的这款产品得出的结论与我的预期一致，是可以的。接着我从保险人的角度来考虑，如何能够获得给更高的收益呢，就在返还的钱和银行利率上下了功夫，结果发现，这两个变量对收益值还是有影响的。

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　　大学四年的生活如同白驹过隙一般，过得十分快，从刚走进校园时，那一脸对大学生活的期盼与向往，到如今即将离开校园的那种种不舍，有欢声，有笑语，也有眼泪。写完论文的那一刻，我知道，那属于我的大学四年时光已经结束了，这让我感到很难过；同时在写完论文的那一刻，我也很高兴，大学最后的任务已经完成了，有一种如释重负，任务完成的那种喜悦感。

　　完成论文的这条道路上，光靠自己的努力可能不足以完成这项艰难的任务，毕竟知识的局限性，使得我不得不向他人求助，课题导师在这时就成为了我在完成论文道路上的一盏明灯。在选完题目后，学校组织了选题学生与被选题老师的第一次见面，导师在见到我们后，为每个人如何写、怎么写论文都提供了宝贵的意见以及思路，让我们在初写论文时少走弯路，这样会少浪费很多时间；因为今年的疫情，学校迟迟不开学，为防止我们在写论文时出现一些问题，老师每天都在群里叮嘱我们要好好写论文，我们遇到不会的地方，他也会在群里发信息为我们排忧解难；怕我们出现不写论文或迟交论文的情况出现，他每天都在群里发消息，监督我们每天的论文书写的情况，毕竟毕业是我们的一个阶段很重要的事。这个阶段的我没少为工作的事情操心，记得有一段时间我因为找工作的事情失眠了很多天，是赵老师的一番话让我不再这么迷茫，总之很感谢导师这段时间对我们的照顾。

　　当然，在这个漫长的道路上，也少不了我的专业老师对我的帮助，没有他们，我或许连一下比较基本的概念都不会理解，他们成为了大学获得知识的主要来源，大学四年，我从他们这里学到了很多做事以及做人的道理和知识，这些知识在现阶段以及将来对我们都能起到很大的作用。总之，非常感谢专业老师的教诲，没有你们的付出，就没有现在的我，就没有以后的我，谢谢你们。

　　最后我要感谢的是我敬爱的老师，亲爱的同学们以及朋友们，谢谢你们的帮助以及包容，才有了今天的我，大学四年很短，来不及和你们好好聚聚，对你们用心说一句感谢。

　　大学四年的生活随着这一篇论文的完成而结束了，回顾四年的学习生活，那一幕幕画面映入眼帘。可是我们不能总是回首过去，这样只会沉浸在过去的美好之中，我们需要向前看，每天奋斗一点点，为自己的未来而全力以赴。

　　附录

　　主要代码：

　　第一段代码：

　　clear

　　clc

　　p=[0.0066,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.0025];

　　sum=0;

　　n=101;

　　m=60;

　　x=1000;

　　y=2500;

　　z=80000;

　　a=0.02;

　　for i=1:n

　　if i<m+1

　　sum=sum+(x*(1+a)/a*((1+a)^i-1)-z)*p(i);

　　else sum=sum+((x*(1+a)/a*((1+a)^(i-m))*((1+a)^m-1))-y/a*((1+a)^(i-m)-1))*p(i);

　　end

　　end

　　e=sum;

　　第二段代码：

　　clear

　　close

　　p=[0.0066,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.0025];

　　sum=0;

　　n=101;

　　y=2500;

　　z=80000;

　　a=0.02;

　　for i=1:n

　　if i<61

　　sum=sum+z*p(i);

　　else

　　sum=sum+(y/a*((1+a)^(i-60)-1))*p(i);

　　end

　　end

　　e=sum

　　sum=

　　6.4681e+004

　　第三段代码：

　　p=[0.0066,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.0236/29,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1947/30,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.1297/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.3211/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.2478/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.074/10,0.0025];

　　sum=0;

　　n=101;

　　m=60;

　　x=1000;

　　y=2500:1000:13500;

　　e=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];

　　z=80000;

　　a=0.02;

　　for j=1:12

　　for i=1:n