引言
研究的背景:
近年以来，世界金融经济发展的速度越来越快，金融市场的规模、速度、复杂性和动态性都有所增加。金融的兴起加剧了市场的波动性。之所以会对X的金融市场产生很大的影响，是因为X在2007年当中发生了一场次贷危机，它引发的金融海啸也彻底改变了X金融市场的格局。2008年的金融风暴开始动摇全球金融经济，出现了很多像巴林银行倒闭的相同案例，甚至还有更糟糕的金融现象，比如有些国家在此期间出现了国家经济濒临破产的情况，像一些新兴市场国家也没有逃掉此次的金融危机，他们的股市出现了前所未有的大幅度下降，这个世界的经济受到了沉重的打击和无法估计的损失。这所发生的一切的一切，促使了金融市场风险管理受到监管部门和金融机构的重视，其中风险管理的技术受到人们重点关注，也因此渐渐地成为了人们一起关注的焦点，然而焦点讨论的核心内容就是风险管理，风险度量理论的研究对于学者们来说具有着很重要的意义。
到目前为止，国内和国外的一些相关学者和专家己经提出了一些风险度量的方法，比如在线风险价值(VaR)方法、条件风险价值(CvaR)方法和熵风险度量方法等等，在风险管理方面，那些学者与专家们提供了非常可靠性的理论支持。
研究现状:
在高速发展的今天，金融风险管理的技术日益受到重视，也因此渐渐地成为了人们一起关注的焦点，然而焦点讨论的核心内容就是风险管理，因此在这种大环境之下，风险度量理论的研究对于学者们来说是具有很重要意义。因此，无论是内部研究还是外部研究都开展了大量的风险度量研究。风险度量的研究也都是处于一种非常活跃、非常积极的状态当中。在1993年中，摩根公司[]提出度量市场风险的在险价值方法，受到人们广泛的关注；在1996年中，Jorion[]系统的描述了在险价值方法，随之他提出了利用VaR方法来计算金融市场风险；同一年，我国的学者包括王春峰，马超群，万海辉等人对金融风险管理及在险价值方法也作了深入的总结和研究[][][]。
然而，伴随着风险度量理论研究的不断加深和对于风险度量理论认识的不断提高，国内和国外的一些学者们经过不停地讨论、不停地研究，发现了VaR方法有缺点，在很多方面的应用中具有一定的局限性。在二十世纪九十年代后期，一致风险度量定义第一次被Artzner[]所提出，VaR方法的缺陷在一定的程度上被弥补，同时他也提出了一个观点，有效的风险度量，需具备增减性、平移不变性、次可加性和正齐次性四个条件；二十一世纪初期，Follmer和Schied[]在一致风险度量的基础上加深了研究提出凸风险度量；随后，Rockafellar和Uryasev[][]在VaR方法的基础上进行研究拓展，并提出条件风险价值的概念。
1风险度量
1.1风险度量的概述
近年以来，在经济全球化和金融一体化的影响之下，各国的金融行业有了一个发展的黄金时期，但是发展的期间，也使各国的金融行业面临很多风险问题。因此在国内和国外的诸多学者的共同努力下，对金融风险度量的理论有了更好的研究。本章将对在险价值、条件风险价值、凸熵与一致熵风险四种常用风险度量进行简要的阐述。
定义1.1.1[]假设是实值随机变量的集合，若符合以下的三个条件：
（1）;
（2）增减性：当时，则有成立；
（3）平移不变性：取，则有成立；
则可以将满足这些条件的称为风险度量。
定义1.1.2[10]假设是实值随机变量的集合，若符合以下的三个条件：
（1）为风险度量；
（2）符合凸性：即,此凸性表达式还可以等价于时，;
则可以将满足这些条件的称为凸风险度量。
定义1.1.3[10]假设是实值随机变量的集合，若符合以下的三个条件：
（1）为风险度量；
（2）符合凸性：即条件；
（3）满足正齐次性：当时，有成立；
则将满足这些条件的可以称作为一致风险度量。
注释1.1.4在符合正齐次性的条件下，凸性和次可加性可以相互转换，即
.
令时，带入化简，有
,
即
.
1.2 VaR方法
在险价值模型是作为新风险管理方法当中的一种，在20世纪90年代以后出现，并且受到人们广泛的关注。经过了近十年的发展时间，风险价值模型在国外风险管理上的应用已经变得相当普遍。因此，由于风险值模型在市场风险管理中的重要性，我国也逐步认识了VaR模型所扮演角色在风险管理中具有怎样的地位。
定义1.2.1[]在险价值指正常市场的条件下，在一定时间内一定置信水平下潜在的最大损失，置信水平为,用数学表示为：
其为持有期内资产组合的损失，换个角度，比如从分位数看，那还可以换种方式表示：
.
性质1.2.2 VaR在险价值可以满足下面的一些性质：
（1）当时，则会有成立；
（2）单调性(Monotonicity)：当时，则对于任意的概率水平下，都会有
成立；
（3）正齐次性(Positive Homogeneity)：对于任意的,都会有
成立，此性质表明了在随着投资规模的增加的情况下，其投资风险也会按着一定的比例有所增加；
（4）平移不变性：随机给定一个损失,都会有
成立。
（5）协同单调可加性:存在任意非降函数和,如果两个复合的函数和都具有意义，则会有以下的公式：
成立。
1.3 CVaR方法
伴随着VaR模型方法被各种各样的金融机构所广泛地应用，每一样事物都具有着好与坏的两个方面，而VaR模型方法也并不例外，其具有本身无法解决的缺陷，随着时间的发展，VaR模型拥有的缺点也随之出现：其一，VaR模型方法不满足一致性定理；其二，在一定置信度的情况下，VaR模型方法不具备充分性的尾部损失测量，在分位点下方所有的风险信息是考察不到的；其三，股票的收益率必须服从正态分布是在险价值方法应用的前提，而很多研究发现，在中国目前的股票收益率不符合正态分布。
在在险风险评估的基础上，为弥补在险风险价值上的缺陷，洛克菲勒和乌尔里希提出了一种基于在险风险价值的风险模型。CVaR具有增减性、正齐次性、次可加性和不变性四个特点，因此条件风险价值属于一致风险度量。
定义1.3.1[]CVaR一般解释为条件风险价值，它反映了损失超过VaR值时所有可能值得平均值，设是置信水平,则CVaR可用公式表示为：
.
性质1.3.2 CVaR条件风险价值可以满足下面的一些性质：
（1）对称性：在某种程度上具有关于零的对称性，
.
（2）单调性：当时，则对于任意的概率水平下，都会有
成立；
（3）平移不变性：随机给定一个损失,都会有
成立。
（4）正齐次性：对于任意的,都会有
成立。
（5）协同单调可加性：对于存在任意的非递增函数和,如果两个复合的函数和都具有意义，则有以下公式：
成立；
（6）次可加性：若,对于任意两个损失变量和,都有
成立。
1.4凸熵风险度量和一致熵风险度量
熵风险度量可用数学公式表示为：
定义1.4.1[]在参数之下的投资资产的凸熵风险度量，用数学公式可以表示为：
.
有变分公式：
其为概率测度集合，为的期望，是相对熵，定义：
由于
不符合正齐次性，它是凸熵，并不属于一致熵风险度量。
定义1.4.2[13]正数参数c,一致熵风险度量可用数学公式将其表示为：
它是一致风险度量，因为满足正齐次性，它的稳健形式表示为：
性质1.4.3凸熵风险度量和一致熵风险度量都有以下几个重要性质：
（1）
（2）对.
（3）
（4）
2常用非参数估计方法
2.1经验分布函数
在统计学中，经验分布函数又称为样本分布函数，是抽样分布函数的一部分，它是关于测量样本的。
令为实随机变量服从独立同分布，累积分布函数为.于是，经验分布函数定义为:
其中为事件A的指示函数。对给定的,是时的伯努利随机变量。因而则是期望为,方差为的二项随机变量。这意味着是的无偏估计。有时经验分布函数还可以用其他公式表示：
这里，
定理2.1.1令,并令为经验累计分布函数(CDF)，那么
（1）在每个的固定值，则有
及
于是，
并因此.
（2）格里汶科(Glivenko-Cantelli)定理
（3）Dvoretzky-Kiefer-Wolfwitz(DKW)不等式。对任何的,
2.2直方图
遍观所有非参数估计方法，直方图方法是当中最简单的一种方法。
直方图又称作柱状图或质量分布图，它是拥有几何形的一种图案。它也是数据范围内的一个重要工具。直方图不仅能分析数据的规律性，还能直观地传播产品的质量特征。因此，数据分析、分配过程中收集到的数据都是清晰的，这将有助于评估分配数据的整体质量。如下图的3.2.1所示，就是关于期末考试成绩的直方图。
图3.2.1
定义2.2.2假设在某个区间有其支撑，不失一般性，把该区间取为.令为一个整数，定义箱(bin)为
带宽令为在中的观测数目，令及则直方图估计可以用数学公式表示为：
而对于及其当很小时，则有
定理2.2.3考虑固定的和固定的并令为包含的箱。那么
定理2.2.4假设为绝对连续的，而且那么
定理2.2.5有恒等式成立：
定理2.2.6令为在直方图中的箱数。假设当时，及定义
这里，
那么，为的一个近似的置信带。
直方图方法是最简单的一种方法，因为该种方法简单，容易计算，但是它也存在着一些弊端，举个简单的例子：在根据数据绘制直方图的时候，就一定要先确定bins,如果直方图中的bins不同，那么最后的直方图会产生很大的差别。
除了需要确定bins之外，直方图还有另外一个缺点，通过直方图所显示出来的分布拟合曲线是不光滑的。在一个箱相同的样本当中，其样本都拥有着相同的概率密度，而这个相等的概率并不是我们想要的。增加bins的数量就是解决可以这个问题的办法，当bins的数量增加到样本所容忍的的最大值时，就可以对样本中每一个点进行研究计算，做到每一点都有一个属于自己的概率，但是如果这样做，就会带来其他的一些问题。
2.3核密度估计
核密度估计是由罗森布拉特和帕尔通过共同研究，并提出的一种根据抽样本身研究了估计数据分布特征的非参数方法。
定义2.3.1给定一个核以及一个带宽的正数，假设概率密度函数为,则核密度可用数学公式表示为：
式中，概率密度函数估计，样式数量,窗宽,核函数。
定理2.3.2假定在处连续，而且当时，及.那么有
定理2.3.3令为在点的风险，并令表示积分的风险。假定为绝对连续，并且,还假定满足.那么就有
及
这里的.
在核函数估计当中有一些比较常用的核函数：
（1）均匀核函数：.
（2）三角核函数：.
（3）二次核函数：.
（4）高斯核函数：.
3熵风险度量的估计及渐近行为
3.1熵风险度量的经验分布函数的估计及其渐近行为
X的熵风险度量为：
其中和分别为X的分布函数和密度函数。一般地，和是未知的。设为X的一个样本，设和分别为经验分布函数和核密度估计函数，则可以用来估计,可以用来估计,则
可以看成是的估计量。
下面来讨论经验分布函数的渐近行为：
定理3.1.1即
证明：设是相互独立且服从同一分布的随机变量序列，所以也相互独立，则数学期望：
方差为：
,
因为
独立性：
由切比雪夫不等式：对于任意的有得：
当趋近于时，有极限
所以
又因为函数的连续性，所以有
即
证明完毕。
定理3.1.2设是相互独立且服从同一分布的随机变量序列，有
证明：设是相互独立且服从同一分布的随机变量序列，所以相互独立，数学期望：
其方差为：
则的标准化变量为：
的极限分布是标准正态分布。在当趋近于时，近似服从标准正态分布。所以当趋近于时，就近似服从标准正态分布,所以
满足中心极限定理，即
因为函数可导，所以由Delta方法得
证明完毕。
结论
本文在总结前人研究成果的基础上，介绍一些常用风险评估方法，包括风险评估概念、在线风险价值、条件风险评估方法以及凸熵与一致熵概念，虽然在线风险价值方法是世界上最重要的也是应用最广泛的风险评估方法。但是由于其自身的缺陷，其研究就存在一定的局限性。随后列举了一些常用的非参数估计方法，包括了经验分布函数方法、直方图方法以及核函数估计方法。最后主要是对熵风险度量的经验分布函数的渐近行为进行了详细的阐述，作为本文的主要内容，主要结果以定理的形式及其证明给了出来。
参考文献
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