引言
如今，随着人口的持续增长，经济格局的发展，城市规模的不断扩大，人们不再是为了生活而生活，更主要的是追求精神生活，以致于服务业日趋繁多，发展服务业是满足人们幸福感的重要途径之一。在景点常常出现游客暴多，景点周边餐馆应接不暇，因周末和节假日的需求量变大，原有员工无法满足该需求量，此时，合理的工作人员规划方案是必要的,这一方案非常重视调动工作人员的工作积极性、提高工作效率，同样对于服务人民、社会也有十分重要的作用。
对于排班问题，国内国外以及各行各业无不为此所困扰，同样工作生活也是离不开排班，各类企业、餐馆、学校等随着规模的扩大，所需要的工作人员也会随之增加，若是员工数量可以满足工作岗位的需求，则需要合理安排好他们的上下班时间，避免陷入混乱；若是员工数量不及工作岗位的需求，则需要合理安排员工进行加班，企业想要长久发展，降本增效是必要的，而要实现降本增效，合理的排班则是最佳的方案。
在生产生活或者工作中，我们经常会遇到这些问题，如何安排好人员问题，在一系列的可实行方案中，挑选出最优、最好的方案，即我们在具体问题中要挑选出成本最低的方案，在数学中把这类问题定义为线性规划的最优化问题。
现如今，线性规划的理论和方法都已经较为成熟，广泛运用于运筹学中。线性规划配置人力模型是通过准确估计各个时间段所需人力资源数量，考虑其资源分配的实用性和花费情况，从而改变现行的人力计划的方法[2]。
1.问题重述
“美味农舍”是一家位于某旅游胜地里的农家乐餐厅。在远离市中心的该景点中，平时游客也不多，但到周六游客就会增多。该餐厅在很大程度上为游客提供了合理且较为低廉的农家菜服务。该农舍已经雇用了两名正式雇员，每天的工作时间为8个小时。临时工每班需要工作4小时。下表显示了周六每个营业小时所需的员工人数（包括正式工和临时工）：
表1
9
9
9
3
3
3
6
12
12
7
7
（3）在条件（1）下，临时工的工资在多大范围内发生变化，变化的结果会使班次的安排不受影响？
（4）有没有其他办法可以减少开支？[3]
2.研究背景
排班的重要原因
1.合理的时间安排可以保证餐厅的正常运营
a)正确执行安排好的时间表可以使餐厅正常运行，过多或过少的员工都会对餐厅产生不好的影响.
b）员工过多:首先，可能没有办法满足员工的运营需求。其次，将会有太多的员工来安排适当的培训和培训机会，导致低士气和高质量的员工.
c）员工过少:将会降低餐厅质量，降低服务水平，影响客户满意度，最终会降低餐厅的整体水平.
2.合理的班组安排可以有效提高员工的工作效率
新老员工的合理搭配，高峰与低谷的区别，既能保证员工在低谷期的培训，又能利用高峰期进行生产力的提高培训.
3.合理的计划可以降低餐馆的劳动力成本
根据每小时营业额的波动来安排工作人员以及工作时间，采用科学的规划方法，可以保证在餐厅运行的同时，最低限度的减少公共时间的浪费.
4.合理的规划班次可以保证餐厅员工的身心健康
与员工沟通，确保他们的上班时间以及能够满足《劳动法》要求下进行合理的排班，能够使员工拥有快乐舒适健康的上班体验。
5.合理的排次安排可以让餐厅的各个系统能够正常运行
适当的人员会在每个适当的时间段内安排、执行相应的功能，只有这样，才能有序地进行餐厅的秩序和管理等工作，因为人员是餐厅任何工作的基础，一家餐厅没有服务人员则无法运行。
软件介绍
Lingo本身是最优化问题的建模语言,其软件可以将模型建立语言与求解引擎结合起来，阐述和求解线性规划等最优化模型，在大多数情况下，它的“模型即程序”，所以它能够快速、简单和有效地构建和解决线性规划的模型[4]。
Lingo是一套解决最优化问题的综合工具.对于线性问题中求最优解的问题，运用Lingo求解时速度快，Lingo软件中含有与其他数据文件的接口，这是为了能够更快捷的输入以及解决一些事件，关于某种有着大规模的分析、处理和优化数据有着很广泛而深远的影响。对于建立和求解线性、非线性和整数最优化的模型，lingo软件处理起来可以更快更简单更有效率的得出结果[5]。
3.问题的基本假设与符号说明
模型的假设
（1）假设在餐馆人员排班过程中，餐馆中的两名正式员工在他们的工作时间内无特殊情况均可按时上班，不迟到早退，即员工1的工作时间为：11:00-15:00,16:00-20:00；员工2的工作时间为：13:00-17:00,18:00-22:00；
（2）假设临时工在可安排时间内在没有特殊情况下均能按时上班；
（3）假设在指定上班时间内不考虑员工迟到或早退；
（4）营业时间内所需人数稳定不变；
（5）兼职人员的工资稳定不变.
符号说明
符号说明
每位临时工工作一天所获工资
所有聘用的临时工的工资
以四个小时的时间分段中需要聘用临时工的人数，
以三个小时的时间分段中需要聘用临时工的人数，
餐馆升级后满足需求所需要的员工人员总数
餐馆升级后需要加班的员工人员总数
餐馆升级后各个时段需要的人数，
餐馆升级后第个时间段开始上班的人数，为自然数
餐馆升级后第个时间段开始正常上班的人数，为自然数
餐馆升级后第个时间段开始上班且需要加班的人数，为自然数
4.模型的建立与求解
问题设计
通过安排不同时间段的临时工人数来确保餐馆支付的报酬最少，在给定的约束条件和工作时长及报酬来设计.通过对每个临时工的时长以及对应的报酬的分析，从而可确定目标函数，再通过一系列不同的情况得出不同的约束条件来解答，从而获得最优的安排表.
问题一模型的建立与求解
模型的分析及建立
首先对于问题进行分析，本文以周六为考虑时间点，该农家乐餐馆所需要的雇佣兼职所费成本最少为目标函数，将工作时间从11点到22点划分成11段，由于每班临时工工作时长为四小时，将餐馆的营业时间11:00-22:00每四小时进行划分，分为八个部分，设其每部分雇佣临时工的人数分别为,得出表2.
表2时间分段
编号时间段
1 11:00-15:00
2 12:00-16:00
3 13:00-17:00
4 14:00-18:00
5 15:00-19:00
6 16:00-20:00
7 17:00-21:00
8 18:00-22:00
建立关于临时工与其所花费的工资的模型，目标函数为[6]：；
根据每小时的时间段所需职工数得出约束条件：
(1)
模型的求解及结果
由于每位临时工每班工作4小时，由于临时工的工资为每小时40元，此时的.
将上述语句转化成LINGO语句代入编程，此时，此时的有47种不同的取值：
表3对应每时段需要临时工数
方式临时工数
方式一8 1 0 1 0 0 4 6 20
方式二8 1 0 0 1 0 4 6 20
方式三8 0 1 1 0 0 4 6 20
方式四8 0 1 0 1 0 4 6 20
方式五8 0 0 1 1 0 4 6 20
方式六8 0 0 2 0 0 4 6 20
方式七8 0 0 0 2 0 4 6 20
方式八8 1 0 1 0 1 3 6 20
方式九8 1 0 0 1 1 3 6 20
方式十8 0 1 1 0 1 3 6 20
方式十一8 0 1 0 1 1 3 6 20
方式十二8 0 0 1 1 1 3 6 20
方式十三8 0 0 2 0 1 3 6 20
方式十四8 0 0 0 2 1 3 6 20
方式十五8 1 0 1 0 2 2 6 20
方式十六8 1 0 0 1 2 2 6 20
方式十七8 0 1 1 0 2 2 6 20
方式十八8 0 1 0 1 2 2 6 20
方式十九8 0 0 1 1 2 2 6 20
方式二十8 0 0 2 0 2 2 6 20
方式二十一8 0 0 0 2 2 2 6 20
方式二十二8 1 0 1 0 3 1 6 20
方式二十三8 1 0 0 1 3 1 6 20
方式二十四8 0 1 1 0 3 1 6 20
方式二十五8 0 1 0 1 3 1 6 20
方式二十六8 0 0 1 1 3 1 6 20
方式二十七8 0 0 2 0 3 1 6 20
方式二十八8 0 0 0 2 3 1 6 20
方式二十九8 1 0 1 0 4 0 6 20
方式三十8 1 0 0 1 4 0 6 20
方式三十一8 0 1 1 0 4 0 6 20
方式三十二8 0 1 0 1 4 0 6 20
方式三十三8 0 0 1 1 4 0 6 20
方式三十四8 0 0 2 0 4 0 6 20
方式三十五8 0 0 0 2 4 0 6 20
方式三十六8 0 0 1 1 0 3 7 20
方式三十七8 0 0 2 0 0 3 7 20
方式三十八8 0 0 0 2 0 3 7 20
方式三十九8 0 0 1 1 1 2 7 20
方式四十8 0 0 2 0 1 2 7 20
方式四十一8 0 0 0 2 1 2 7 20
方式四十二8 0 0 1 1 2 1 7 20
方式四十三8 0 0 2 0 2 1 7 20
方式四十四8 0 0 0 2 2 1 7 20
方式四十五8 0 0 1 1 3 0 7 20
方式四十六8 0 0 2 0 3 0 7 20
方式四十七8 0 0 0 2 3 0 7 20
以上四十七种方式中所雇佣的临时工数均为20人，故此四十七种方式均为最优方案.
问题二模型的建立与求解
模型的分析及建立
对于每班4小时的临时工，使用其最低成本为3200，若将临时工每班工作时间弹性的改为三小时或四小时，可以节约成本，在题一的基础上再将餐馆的营业时间11:00-22:00每三小时进行划分为得下表4，分别为.
表4时间分段
编号时间段
9 11:00-14:00
10 12:00-15:00
11 13:00-16:00
12 14:00-17:00
13 15:00-18:00
14 16:00-19:00
15 17:00-20:00
16 18:00-21:00
17 19:00-22:00
建立关于临时工与其所花费的工资的模型，目标函数[7]为：
此时为雇佣每班四小时员工每日的工资，即；为雇佣每班三小时临时工每日的工资，即.
根据每小时的时间段所需职工数得出约束条件：
（2）
模型的求解及结果
应用LINGO软件得出此时.，，，，，，，，，，，，，，，，.即在四小时间需要雇佣6名临时工，三小时间需要雇佣8名临时工，三小时间需要雇佣1名临时工，三小时间需要雇佣1名临时工，三小时间需要雇佣4名临时工，共计需雇佣20名临时工，相较于只雇佣每班仅4小时的临时工每日需3200元，改进后每日仅需2640元，这样每日可节省560元.
问题三模型的建立与求解
灵敏度分析
[8]
目标函数系数灵敏度分析
为了研究临时工的工资在什么范围内变化，不会影响班次的安排，对函数（1）进行灵敏度分析，得到下解：
表5目标函数的允许变动范围
活动目标系数可减上限可增上限可变范围
11:00-15:00间工资160 160无穷大
12:00-16:00间工资160 160 0
13:00-17:00间工资160 0无穷大
14:00-18:00间工资160 0 0 160
15:00-19:00间工资160 0无穷大
16:00-20:00间工资160 160 0
17:00-21:00间工资160 0无穷大
18:00-22:00间工资160 0无穷大
当且有一种目标函数在允许范围内发生改变时，最优解不会变，但最优目标值会相应引起变化。[1]
因为模型（1）的约束条件并没有随着目标函数中费用系数的变化而变化，此时最优基未改变以至于最优解也不变，但最优值发生了改变[9]。
由于的系数为每位临时工在对应时间段四小时的工资，通过计算得到临时工的工资范围分别为：在11:00-15:00时工资范围；在12:00-16:00时工资范围；在13:00-17:00时工资范围；在14:00-18:00时工资为40；在15:00-19:00时工资范围；在16:00-20:00时工资范围；在17:00-21:00时工资范围；在18:00-22:00时工资范围，其中在任意一个时间段工资的允许范围需要其他时间段保持工资为40，在其范围内不会影响班次的安排。
右边值灵敏度分析
将函数（1）化解
(2)
约束条件右端系数分别代表各个时间段最少还需雇佣的临时工数量，对于最优解，，，，，，，通过灵敏度分析可得在12:00-13:00时比预计多雇佣1个临时工；在13:00-14:00时比预计多雇佣2个临时工；在14:00-15:00时比预计多雇佣9个临时工；在16:00-17:00时比预计多雇佣4个临时工。
问题四模型的建立与求解
由于“好吃农家乐”的景点扩张，该餐馆的生意逐渐火爆，故进行升级，增添了早餐，夜宵和住宿等各项全面的餐饮服务.对于仅有两名正式员工已是远远不够了，对于各个时间段的职工人数要求不同.例如，在夜间只要求很少几名员工就足够了，但在中午为了给顾客提供午餐，需要很多名员工.表6列出了每个时间段的人员需求量.
表6各时间段所需职工数
编号时间所需职工数
1 0:00–2:00 4
2 2:00-4:00 4
3 4:00-6:00 8
4 6:00-8:00 11
5 8:00-10:00 6
6 10:00-12:00 11
7 12:00-14:00 13
8 14:00-16:00 7
9 16:00-18:00 13
10 18:00-20:00 12
11 20:00-22:00 8
12 22:00-24:00 5
问题1：（1）倘若每名员工每天需要工作8小时，且在工作4小时后必定有1小时的休息时间，则为了满足每个时段的人员需求最少需要多少名员工？（2）若是满足条件的排班方案有很多，那么给出最优的排班方案，并说明选择的理由。
问题四第一问的建模与求解
本题提供了该餐馆升级后每两个小时的时间段内对于员工的最低的需求量，假定要求每位员工需要工作八个小时，在工作四小时之后有一个小时的休息时间，然后再继续工作四小时，要求我们找出最少的员工数量来满足需求。
因为升级后的餐馆是将两个小时为一个时段进行划分，所以如果员工休息1小时后立刻开始工作，就会出现某员工在两小时时间段中开始工作或休息，在这种情况下，对于问题一的求解必须要求将题目中的2小时时段的划分进行分割，分为两个1小时的时间段，再重新确定每小时人员需求量和求解。这样不仅加入过多主观因素导致模型的准确度下降，而且增加了模型的复杂程度。
为此，我们假设不重新拆分时段，员工只能在时段初开始工作，时段内不能开始工作，即允许0点开始工作但是不允许1点开始工作。
根据这个假设条件，员工休息1个小时即作休息2小时记录，以确保每个员工在时段初开始工作，
因此每位员工每天需要工作连续的5个时段，即为4时段的工作时间和1时段的休息时间。本问中在不同时段开始上班的员工数为自变量，需要的员工数则为因变量，每个时段的人员需求数目为约束条件，依此可以建立线性模型，采用lingo求得其解。
我们假设在每个时间段内开始工作的人数是一个独立的变量，需要的员工总数是一个依赖变量，每个时间段内需要的员工数量是一个限制条件。整个模型是由软件建立和解决的。
在不同时间段开始上班的员工数量的总和即为在满足需求条件下所要的员工人数之和，即：
；
以0:00—2:00这一时间段为例，此时间内正在工作的人员分别是在第9、10、12和1这四个时间段开始上班的员工。为了满足此时段的最少人员需求量，需要符合以下的条件：
；
其他时间段同理于第一个时间段.故可建立数学规划模型如下：
（3）
上述式子中为时，为.
运用lingo编好程序进行求解，求解结果为若要满足所有要求，最少需要29名餐馆员工，且在不同时段开始上班的排班安排如下表：
表7各时间段开始上班的员工人数
编号时间该时段开始上班的员工人数
1 0:00–2:00 3
2 2:00-4:00 0
3 4:00-6:00 8
4 6:00-8:00 0
5 8:00-10:00 3
6 10:00-12:00 5
7 12:00-14:00 1
8 14:00-16:00 3
9 16:00-18:00 2
10 18:00-20:00 4
11 20:00-22:00 0
12 22:00-24:00 0
问题四第二问的建模与求解
对于问题二，与问题一相比，有一些附加条件：目前餐馆现有员工25名，加班则需要另外工作两个小时，且紧跟在4小时的工作时段后，其中并未存在休息时段。因此问题一的结果对于问题二讨论的是否加班至关重要，如果问题一的结果大于25人，那就需要有人加班，如若所得结果小于等于25人，则并不要求有人加班。根据分析，我们可以建立线性规划模型：
在不同时间段开始上班且需要加班的员工人数总计与需要加班的员工之和相同，即：
；
根据题目所述，因为题中未直接说明加班时间具体紧跟在哪个工作时段后，因此在问题一的基础上，我们需要分类讨论，分别根据两种情况进行分析、建模和求解。两种情况分别为加班时间紧跟在前一个4小时工作时段之后以及加班时间紧跟在后一个4小时工作时段之后。下面根据所分析的两种情况分别进行讨论：
1.加班时间紧随在前一个4小时工作时段之后
以0:00-2:00的时间段为例，此时间内正在工作的人员分别是在第9、10、12和1这四个时间段开始上班的员工和在第1、12、11、10、9时段开始工作且需要加班的员工。为满足该时段对于人员的需求，则应满足以下的条件：
；
其他时段与第一个时间段同理.故可建立数学规划模型如下：
（4）
根据lingo软件的求解可得需要加班的员工总数最少为8人，即有上述结果可知各个时间段最优的人员排班方案为[10]：
表8各时间段开始上班的员工人数
编号时间该时段开始正常上班的员工数该时段开始上班且需要加班的员工人数
1 0:00–2:00 0 0
2 2:00-4:00 0 0
3 4:00-6:00 5 0
4 6:00-8:00 4 2
5 8:00-10:00 0 0
6 10:00-12:00 4 0
7 12:00-14:00 0 0
8 14:00-16:00 2 0
9 16:00-18:00 2 3
10 18:00-20:00 0 3
11 20:00-22:00 0 0
12 22:00-24:00 0 0
2.加班时间紧随在后一个4小时工作时段之后
以第一个时段即0:00-2:00为例，由于每位员工工作时长为五个时段，因此此时是由第9、10、12和1时段开始正常上班的员工和在第1、12、10、9及8时段开始工作且需要加班的员工所构成的。为了能够满足该时段对于人员的需求量，则应满足以下的条件：
；
其他时段与第一个时间段同理.故可建立数学规划模型如下：
（5）
根据lingo软件的求解可得需要加班的员工总数最少为8人，即有上述结果可知各个时间段最优的人员排班方案为：
表9各时间段开始上班的员工人数
编号时间该时段开始正常上班的员工数该时段开始上班且需要加班的员工人数
1 0:00–2:00 0 0
2 2:00-4:00 0 0
3 4:00-6:00 6 0
4 6:00-8:00 0 4
5 8:00-10:00 0 1
6 10:00-12:00 3 1
7 12:00-14:00 0 0
8 14:00-16:00 2 0
9 16:00-18:00 2 0
10 18:00-20:00 4 1
11 20:00-22:00 0 0
12 22:00-24:00 0 1
5.模型的评价与推广
模型的优缺点
1.模型的优点
（1）本文对于lingo软件求解出来的解，采用excel表格分析处理数据，使得结果一目了然、分析逻辑清楚；
（2）建立该模型所采用的数学方法具有实用性和灵活性；
（3）本文通过分析每个条件将其都用线性语句表现，以致用lingo求解时能够快速且准确的得到最优的排班；
（4）本模型处于一个不断升级优化的过程，不仅分析了拥有足够员工如何安排排班，也分析了在人员不足时通过加班以满足需求。
2.模型的缺点
（1）该模型完全假设员工在可排班期间能够全勤且不迟到的一系列理想条件下，有一些客观原因未能完全考虑周到；
（2）本文涉及的模型均为线性的，若修改条件使其变为非线性，则将无法运用到其中，有一定的局限性；
模型的推广
（1）在现实生活中，人员排班问题普遍存在，而本模型准确性较高，可以应用到学校、商场等其他人员排班问题上；
（2）根据现实状况，进一步加强约束条件的严谨性，使得得出的模型和结果更加的准确，进一步得出优化的结果。
参考文献
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致谢
学术论文的完成，也意味着我即将离开我曾经学习和生活过的美丽环境。在这将近四年中，我收获了很多也得到了成长，借此机会，向所有帮助过我的老师、同学和亲人，表达我最诚挚的谢意。
首先，我非常的感谢我的导师。本次论文的选题、研究内容和研究方法都离不开季老师的关照和指点。导师为我的论文的完成倾注了大量的心血，他在写作过程中不仅给了我很多指导和引领，而且在审阅初稿时也非常谨慎，不厌其烦的对我进行指导和帮助，还耐心的指出我的很多细节的偏误和如何改进的方法，也提出很多中肯的指导意见。导师不仅仅传授了我们知识，更多的是教会的我们思考和解决问题的方法，使我们在以后独自面对问题时，也可以像他一样解决。师者，所以传道受业解惑者，他这种对待工作一丝不苟的态度也是我们这些即将毕业面临工作所要学习的。
其次，我要感谢文理学院的全体领导和老师，由于他们的悉心教导，我学到了专业的计算机和数学知识，掌握了扎实的专业技能。
此外，我还要感谢我的同学和室友们对我无私的帮助，他们在我写论文的过程中给予我了很多有用的素材，也在论文的排版和书写的过程中提供了热情的帮助，使我的论文得以顺利的完成。虽然相聚在一起的时间不到四年，但我们永远是好朋友。
最后，感谢我的家人在此期间给予我的包容、关爱和鼓励，正是由于他们的支持，我才能安心学习，并顺利完成我的学业。
附录
(1)模型（1）的lingo程序
min=(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8)*4*40;
1+x1>=9;
1+x1+x2>=9;
2+x1+x2+x3>=9;
2+x1+x2+x3+x4>=3;
1+x2+x3+x4+x5>=3;
2+x3+x4+x5+x6>=3;
1+x4+x5+x6+x7>=6;
2+x5+x6+x7+x8>=12;
2+x6+x7+x8>=12;
1+x7+x8>=7;
1+x8>=7;
gin(x1);
gin(x2);
gin(x3);
gin(x4);
gin(x5);
gin(x6);
gin(x7);
gin(x8);
(2)模型（2）的lingo程序
min=(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8)*4*40+(x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17)*3*40;
1+x1+x9>=9;
1+x1+x2+x9+x10>=9;
2+x1+x2+x3+x9+x10+x11>=9;
2+x1+x2+x3+x4+x10+x11+x12>=3;
1+x2+x3+x4+x5+x11+x12+x13>=3;
2+x3+x4+x5+x6+x12+x13+x14>=3;
1+x4+x5+x6+x7+x13+x14+x15>=6;
2+x5+x6+x7+x8+x14+x15+x16>=12;
2+x6+x7+x8+x15+x16+x17>=12;
1+x7+x8+x16+x17>=7;
1+x8+x17>=7;
gin(x1);
gin(x2);
gin(x3);
gin(x4);
gin(x5);
gin(x6);
gin(x7);
gin(x8);
gin(x9);
gin(x10);
gin(x11);
gin(x12);
gin(x13);
gin(x14);
gin(x15);
gin(x16);
gin(x17);
3.模型（3）的lingo程序
min=d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7+d8+d9+d10+d11+d12;
d1+d12+d9+d10>=4;
d2+d1+d10+d11>=4;
d3+d2+d11+d12>=8;
d4+d3+d12+d1>=11;
d5+d4+d1+d2>=6;
d6+d5+d2+d3>=11;
d7+d6+d3+d4>=13;
d8+d7+d4+d5>=7;
d9+d8+d5+d6>=13;
d10+d9+d6+d7>=12;
d11+d10+d7+d8>=8;
d12+d11+d8+d9>=5;
gin(d1);
gin(d2);
gin(d3);
gin(d4);
gin(d5);
gin(d6);
gin(d7);
gin(d8);
gin(d9);
gin(d10);
gin(d11);
gin(d12);
4.模型（4）的lingo程序
min=d21+d22+d23+d24+d25+d26+d27+d28+d29+d210+d211+d212;
d11+d112+d19+d110+d21+d212+d211+d29+d28>=4;
d12+d11+d110+d111+d22+d21+d212+d210+d29>=4;
d13+d12+d111+d112+d23+d22+d21+d211+d210>=8;
d14+d13+d112+d11+d24+d23+d22+d212+d211>=11;
d15+d14+d11+d12+d25+d24+d23+d21+d212>=6;
d16+d15+d12+d13+d26+d25+d24+d22+d21>=11;
d17+d16+d13+d14+d27+d26+d25+d23+d22>=13;
d18+d17+d14+d15+d28+d27+d26+d24+d23>=7;
d19+d18+d15+d16+d29+d28+d27+d25+d24>=13;
d110+d19+d16+d17+d210+d29+d28+d26+d25>=12;
d111+d110+d17+d18+d211+d210+d29+d27+d26>=8;
d112+d111+d18+d19+d212+d211+d210+d28+d27>=5;
d11+d12+d13+d14+d15+d16+d17+d18+d19+d110+d111+d112+d21+d22+d23+d24+d25+d26+d27+d28+d29+d210+d211+d212<=25;
gin(d11);
gin(d12);
gin(d13);
gin(d14);
gin(d15);
gin(d16);
gin(d17);
gin(d18);
gin(d19);
gin(d110);
gin(d111);
gin(d112);
gin(d21);
gin(d22);
gin(d23);
gin(d24);
gin(d25);
gin(d26);
gin(d27);
gin(d28);
gin(d29);
gin(d210);
gin(d211);
gin(d212);
5.模型（5）的lingo程序
min=d21+d22+d23+d24+d25+d26+d27+d28+d29+d210+d211+d212;
d11+d112+d19+d110+d21+d212+d210+d29+d28>=4;
d12+d11+d110+d111+d22+d21+d211+d210+d29>=4;
d13+d12+d111+d112+d23+d22+d212+d211+d210>=8;
d14+d13+d112+d11+d24+d23+d21+d212+d211>=11;
d15+d14+d11+d12+d25+d24+d22+d21+d212>=6;
d16+d15+d12+d13+d26+d25+d23+d22+d21>=11;
d17+d16+d13+d14+d27+d26+d24+d23+d22>=13;
d18+d17+d14+d15+d28+d27+d25+d24+d23>=7;
d19+d18+d15+d16+d29+d28+d26+d25+d24>=13;
d110+d19+d16+d17+d210+d29+d27+d26+d25>=12;
d111+d110+d17+d18+d211+d210+d28+d27+d26>=8;
d112+d111+d18+d19+d212+d211+d29+d28+d27>=5;
d11+d12+d13+d14+d15+d16+d17+d18+d19+d110+d111+d112
+d21+d22+d23+d24+d25+d26+d27+d28+d29+d210+d211+d212<=25;
gin(d11);
gin(d12);
gin(d13);
gin(d14);
gin(d15);
gin(d16);
gin(d17);
gin(d18);
gin(d19);
gin(d110);
gin(d111);
gin(d112);
gin(d21);
gin(d22);
gin(d23);
gin(d24);
gin(d25);
gin(d26);
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