1引言
概率作为新课标考查高中学生实际应用意识的重要内容和载体,已经发展成为近几年我国新课标和高考的一大研究亮点和重要研究热点,在新课标和高中数学的学习中一直占据着重要的作用和地位,它与其他数学知识的融合相互渗透,情境新颖,充分体现了高中数学概率的工具性和数学的交互性。
概率内容多,题型多变,难度中等,且常涉及数学的思想方法:如转化与化归思想、数学建模思想、合情推理思想、数形结合思想、随机思想等。概率考查在历年全国高考中为必考的内容,考查的要求上也已有所提高,并且概率考查的方式也不断改革推新。概率考察的形式主要有分为选择题、填空题、简答题等,高考对于排列组合以及二项式概率定理的综合考查,往往以选择填空题或者选择题的形式为主,题小而灵活;全国高考对二项式概率的综合考查,往往以实际应用题的形式出现,它既主要考查逻辑思维的能力,又主要考查二项式运算的能力,符合了高考概率研究发展的背景和方向;对有关的实际研究和应用的问题,主要是考查对一些的基本概念、基本计算方法的理解和掌握。
学生在求解一些概率问题时，常常感到无从下手，究其根源还是由于没有系统地掌握概率中一些常见的题型，在解答题目时不知道应该从何处入手，快速地解题，导致浪费许多宝贵时间。如果我们掌握了典型题型的解法和其体现的数学思想方法，我们就能更快更准确的解决有关概率问题，再留意解题过程中常见的典型错误，就能进一步提高准确率，以确保在高考中概率部分尽可能不失分。虽有许多的论文也深入的研究了有关概率的题型以及解法，但是，大多数只是针对其中的某一点进行了深入的研究，并没有从整体上系统论述，本文就基于此思想进行论述，对该部分知识点、常见题型以及常见典型错误进行归纳总结，并利用例题的形式加以说明。
2高考中概率与重、难点剖析
概率在高考中主要命题方向:等可能事件概率问题，互斥事件与相互独立事件相关概率问题，条件概率问题，独立重复试验概率计算问题。重点研究的是复杂事件的概率;难点研究的是如何在实际的问题中能够正确区分互斥的事件、对立的事件与相互独立的事件[1]。
2.1概率部分重点解读
在计算所求复杂事件的概率时通常所采用的有两种计算方法:一种就是将所求复杂事件概率化成互斥事件的和;二种方法是先求出此复杂事件的对立事件(这种方法适用于求使用"至少"来表达的事件的概率)的概率,这是典型的复杂事件概率计算途径，把一个复杂的事件概率分解成几个彼此独立基本事件时,要尽量做到不重复、不遗漏[1]。
2.2概率部分难点分析
难点是正确确定古典概型中，等可能出现结果的种数；理解在非等可能情况下概率只能作为概率的估计值。会把一个较为复杂的事件写成几个互不相容的较为简单的事件的和；认识两事件互相独立与互不相容的区别，并会将一个较复杂的事件写成几个互相独立的较为简单的事件积。
生活中我们常说的长度大小、面积大小以及温度的高低都能够直观感受到，然而，概率表示的却是生活中随机现象发生的可能性，既无法用眼睛观测到，也无法用身体感受到，因而概率具有高度抽象性。概率的本质是对于事件发生的可能性的一种量化，但是这种表述不能反映出概率这一概念的具体性质以及计算的方法，数学界对于这一概念还有一种定义即“概率表示的是频率的最终稳定值”，这一表述不仅向我们表达了具体的计算方法，同时还可以发现作为一种量化值，其应该具有非负的特点，同时还具有规范以及可加性的特点[11]。
3高考中概率常见命题点及题型
对于一个概率问题,我们首先必须要弄清它是属于哪一概率类型,因为不同类型概率需要我们采取不同的思路和概率计算公式及其求解的方法;其次,要仔细地审清思路和题意,注意问题中的关键思路和语句,因为这些问题中的关键语句往往都蕴含着我们解题的基本思路和概率方法[18]。下面举例说明我们求解概率得到问题常用的一些思路和方法。
3.1等可能事件概率计算
对于等可能实验中事件的识别和概率计算可能性问题,在一次实验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果事件A包含的结果数为个，那么．
求可能性事件的概率时，应注意下列步骤：
（1）求出基本事件的总个数;
（2）求包含于事件A中的基本事件数;
（3）求出事件A的概率，即。
例1.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,记这个六位数是偶数为事件A,则事件A发生的概率为()
A.B.C.D.
答案：B
解析：记“该六位数是偶数”为事件A
①基本事件的总个数
②事件A包含的基本事件数可分两类:
第一类:0在个位,则有个;
第二类:0不放在个位,则0只能放在中间的4个位置中的一个,有种不同的放法,要使这个数是偶数，则个位从2、4中选：种，其余4个全排列：种，所以有种。
故共有种不同排法。
③所以事件A发生的概率
例2.（2018年高考数学全国卷2理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）[19]。
A．B．C．D．
答案：C.
解：不超过30的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，
从中选2个不同的数有种，
和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，
则对应的概率，
故选：C．
3.1.2随机问题相关概率
例3.某大型商业中心大楼电梯共有10层,7人共同上楼乘坐一部自动电梯从一楼上楼,电梯从一楼上升到顶楼的途中坐电梯的人只下不上，求最高一层恰有两人下电梯的概率为
答案：0.144
解析：根据分步乘法计数原理知基本事件数；
根据题意考虑最高层恰有两人下，则有种,另外八层下电梯情况有种，即可能事件数为,故所求事件的概率为．
例4.一辆公共汽车途径10站，一共要停靠9站,甲、乙两名互不相识的乘客在始发站上车,如果他们在每站下车的可能性相同,计算：
（1）甲在第二站下车,乙在第三站下车的概率；
（2）甲、乙都在第三站下车的概率；
（3）甲、乙同时在第三站下车或第四站下车的概率；
（4）甲、乙在同一站下车的概率。
解:甲、乙两人下车可能情况总数;
（1）记“甲在第二站下车,乙在第三站下车”为事件A，
事件A仅包含1种情况，所以。
（2）记“甲乙都在第三站下车”为事件B，
事件B仅包含1种情况，所以。
（3）记“甲乙同时在第三站或第四站下车”为事件C,
事件C中包含2中情况，所以。
（4）记“甲乙在同一站下车”为事件D
事件D包含9种情况，所以。
3.1.3分组、分配相关概率问题
一些分组、分配相关的概率问题,往往看起来很复杂,让很多的学生甚至感到无从下手,但如果我们的考生已经能够准确地理清了分组与分配之间的基本关系,就说明我们可以有效地运用先确定分组再分配的方法和策略将分组分配难题化繁为简。解决这些分组、分配相关的概率问题的方法和关键是熟练掌握这些分组、分配问题基本事件数的计算求法。
分组问题与分配问题是有很大区别的，但考生常常把它们搞混，前者组与组之间只要元素个数相同，组与组就是相同的，后者则即使元素个数相同，但因元素分配对象不同，仍然是不同的，对于这类问题必须遵循先分组后分配（排列）;要点：分组与顺序无关，分配与顺序有关。
例5.将7个人（包含甲、乙）分成3组，一组3个人，另外两组各2个人，不同的分数为，甲、乙分在同一组的概率为,则的值分别为（）。
A.B.
B.D.
答案：A.
解析：本题属于部分平均分组，不同分组数;
甲、乙两人在同一组有以下两种情形:
①甲、两人在3个人的那一组中，则只需将其余5人分成1个人、2个人、2个人的3组，是部分平均分组，有种。
②甲、乙两人组成一个2人组，则只需将其余5人分成2组：3个人一组和2个人一组，属于非平均分组，有种。
因此甲、乙两人在同一组的分法有25+10=35种，
故。
3.1.4特殊元素、位置问题相关概率
解决特殊的元素、特殊的位置相关的概率问题的关键是我们能够熟练地利用排列组合方法求解基本事件数。对于一个存在特殊的元素或者特殊位置的排列组合的问题,我们可以首先从这些特殊的东西当中入手,先考虑解决特殊的元素或特殊的位置。
例6.从编号为a、b、c、d、e的5个小球中随机取4个，放在编号为1、2、3、4的盒子里，每个盒子只能并且必须放一个球，则编号为b的小球不放在编号为2的盒子里的概率是多少？
解：随机从5个小球中取4个放入4和盒子中共有
编号为b的小球是特殊元素，从而应分为从5个小球中任取4个小球，取到的4个小球中含有编号为b的小球与不含编号为b的小球两类。
第一类：取到的小球中b小球，由于b不放2号，故从特殊元素出发，先将编号为b的小球放入盒子里，球b除2号盒外有=3种放法，再从其它4个球中任取3个放剩余位置共有=24种放法，所以第一类共有
=3×24=72种不同放法；
第二类：5个小球中任取4个小球中不含有编号为b的小球，则这4个小球可以随机地放入4个盒子里，共有=24种放法。
共有=96种不同的放法。
所以编号为b的小球不放在编号为2的盒子里的概率
3.1.5至少、至多问题相关概率
解决至少、至多相关概率问题的关键是解决至多性问题和至少性问题。解决至少性问题和至多性问题的根本思路是分类讨论，但当类别较多时，也可以采用正难则反来考虑，即当问题的正面情况比较复杂而反面较为简单时，我们可以先求出其反面也就是其对立事件的概率，进而求原事件概率。
例7.（2019年江苏卷6题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是[3]。
答案：
解析：记事件A：至少1名女同学，则：两名男同学,
则
例8.某爱猫人士收养有6只流浪猫，有2只是黑猫，4只是白猫，现由于一些原因，他要将其中三只赠予他人收养，他从6只猫中随机选3只，则他至少选到一只黑猫的概率是多少？
解:方法一（分类讨论）
至少有一只黑猫可以分为两类:恰好有一只黑猫和恰好有两只黑猫。
恰有一只黑猫有种，恰有两只白猫有种，
任选3只猫有种选法，则所求事件的概率
方法二（考虑反面）
任选3只猫有种选法，没有选黑猫的有种，没有黑猫的概率为则至少有一只黑猫的概率。
3.1.6相邻、不相邻问题相关概率
相邻的问题与不相邻的问题相关概率是排列组合运用中的两个典型解决问题,捆绑填空法和相邻插空法,它是问题在排列组合运用中的重要解决方法,在研究解决问题与相邻、不对相邻两类问题的相关概率时,其研究的核心还是对相邻的问题用相邻捆绑法,不相邻的问题用插空法的运用。
例9.（2019年全国卷3,文数3题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）[3]。
A.B.C.D.
答案：D.
解析:两名女同学“捆绑”在一起看成一个整体有种，再与剩下的全排列有=6种，四名同学随机排列有=24种，故.
3.2互斥事件与相互独立事件相关概率计算
互斥事件与相互独立事件是高中概率中的两个重要概念，他们既有区别也存在一定联系，学生在学习过程中容易拿“互斥”与“独立”。
3.2.1互斥事件
对于互斥事件的概率问题，通常按下列步骤进行：
（1）确定众事件彼此互斥；
（2）先求出众事件分别发生的概率，
（3）然后再根据概率加法公式求出和事件的概率。
例10.如果事件A与B互斥，并且它们的和事件发生的概率是0.6，事件A发生的概率是事件B发生的概率的2倍，则事件A的概率为
答案:0.4.
解析：由题意知,
解方程组得.
3.2.2相互独立事件同时发生的概率
求解相互独立事件同时发生的概率：
（1）确定众事件是相互独立的，并且会同时发生；
（2）求每个事件发生的概率
（3）用公式求出积事件的概率。
例11.由于受到2020年全球新冠肺炎疫情的影响，某学校复学要对每个学生进行3次体检，必须3次体检都达标才能返校，第一次体检的达标率为0.95、第二次体检的达标率为0.98、第三次体检的达标率为0.99，假设这三次体检相互之间不影响，则该学校的复学率是多少？（结果精确到0.01）
解：记第一次体检达标为事件A，第二次体检达标为事件B
第三次体检达标为事件C，
则P（A）=0.95，P（B）=0.98，P（C）=0.99，且事件A、B、C相互独立。
因此，
3.2.3互斥事件有一个发生与相互独立事件同时发生的概率综合
例12.（2003•全国新课程•文）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，现从三种产品中各抽取一件进行检验[5].求下列事件概率：
⑴恰有一件不合格；⑵至少有两件不合格.（精确到0.001）
解：(1)记三种产品抽到合格产品的事件分别为A、B和C．
P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95，,．
因为三次抽取相互独立，所以恰有一件不合格的概率为
==0.176
（2）解法一（考虑正面）
至少有两件不合格的概率为
=0.012．
解法二（考虑反面）
三件产品都合格的概率为:=0.812．
由前一问可知，恰有一件不合格的概率为0.176，
所以至少有两件不合格的概率为:
3.3条件概率
条件概率是新课标教材的新增内容，对学生的思维能力要求较高，是学习的难点，高考常以选、填题的形式考查，在解答题中也偶有考查。在实际题目中，学生常常混淆条件概率与积事件的概率。
3.3.1利用定义求条件概率
定义法求条件概率P(B|A)：
(1)确定条件概率模型；
(2)计算P(A)，P(AB)；
(3)代入公式求P(B|A)=.
例13.新冠肺炎疫情期间，某社区服务站有2名男志愿者和3名志愿者，现需选派两人参加某市“战疫人”公益活动，现从5人中依次随机抽取2人，已知第一次抽到男志愿者，求第二次抽到男志愿者的概率。
解:记事件“第一次抽到男志愿者”为A；事件“第二次抽到男志愿”为B.
由古典概型的概率公式可知：
P(A)＝，P(B)＝＝＝，P(AB)＝＝.
P(B|A)＝＝＝.
3.3.2缩小基本事件范围求条件概率
条件概率由于是在一定的条件限制之下求概率，我们可以先加上条件限制，剔除不符合条件的基本事件，再在剩余的基本事件中用古典概型公式计算条件概率。
例14.集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
解：将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个.在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率
3.3.3条件概率的性质及应用
例15.全球新冠肺炎疫情期间，某工厂复工需要工人的健康证明存档，现需从编号为1～100的共100位工人的健康证明中抽取一个，已知取出的健康证明的编号小于或等于50，该健康证明的编号是2的倍数或者3的倍数的概率.
解：设事件C是“该编号不大于50”，事件A是“该编号是2的倍数”，
事件B是“该编号是3的倍数”.则P(C)＝
所求概率为P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)＝.
3.4独立重复试验概率计算
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是教材的重点内容之一，其中n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率是高考常考查的点。
3.4.1独立重复试验的概率问题
例16.某地区国家气象站天气预报的准确率为80%,求下列天气事件的发生概率(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
解：(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8，
恰有2次准确的概率为
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.其概率为
所以所求概率为1－p＝1－0.01＝0.99，
3.4.2二项分布
当随机变量X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.解决二项分布问题时还应关注以下两点：
(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2…n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布：在一次试验中，事件要么发生要么不发生，必有其一；并且试验是独立重复地进行了n次.
例17.由于受到2020年全球新冠肺炎疫情的影响，某企业复工要对每个工作人员进行2次体检，若两次都通过体检，则可以正常复工；若两次都未通过体检，则不可复工；当两次体检结果不一致，则需进行复检，若能通过复检则可以复工，否则不能复工。设工作人员通过第一次和第二次体检的概率均为，复检能通过的概率为.
(1)求某工作人员能复工概率.
(2)若4名工作人员去体检复工，设X为能够复工的人数，试求随机变量X的分布列.
解：设“第一次和第二次体检都通过”为事件A，“两次体检中只有一次通过”为事件B，“通过复检”为事件C.
(1)设“某工作人员能复工”为事件D，则D＝A∪BC，
因为P(A)＝×＝，P(B)＝2××＝，P(C)＝，
所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝.
(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，且X～B.
Ai表示“4名工作人员中恰有i人能够复工”(i＝0,1,2，3,4)，
因为，
，
.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
3.4.3二项分布的综合应用
4概率计算中常见典
型错误
同学们在学习与概率问题相关知识的同时和过程中普遍都会感到概率公式和问题抽象、不易理解.因而在进行求解与公式相关的概率问题时,由于对公式和概念的理解不深、审题不严、考虑不周或者是忽视了有关公式的概念成立基本条件,常常都会导致错误的同时发生[13]。为了有限度地减少生活中的同学们在进行求解此类概率问题时少出现的错误,提高同学们解题的技能与解题技巧,下面将生活中的同学们易解题中出现的错误和情形一一归类出来并举例进行分析.
4.1等可能概率公式误用
例19.有两颗四个面上分别标有数字1，2，3，4，的正四面体，依次投掷这两颗正四面体，回答下列问题
（1）写出试验的基本事件；
（2）计算“出现点数之和大于3”的概率；
（3）计算“出现点数相等”的概率.
解：用a表示第1颗正四面体出现的点数，b表示第2颗正四面体出现的点数，用（a，b）表示结果。
（1）这个试验的基本事件为：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）
（2）有13个基本事件包含在事件“出现点数之和大于3”中，所以
（3）事件“出现点数相等”包含4个基本事件，所以概率
4.2有序与无序判断不准
例20.某商店在售的10袋大米，有3袋特优大米混入其中，3个人前往购买大米，每人购买一袋，问恰好有一人买到特优大米的概率。
解：3个人购买大米，每人购买一袋，其中一个人买到特优大米而另两个人买到普通大米的可能有种，因此，购买大米的3人中恰好有1人买到特优大米的概率为.
4.3将“互斥”与“独立”混同
例21.某县进行森林火险情况排查，每天全县无火险情况的概率为0.8，连续排查3天，求下列事件的概率：
（1）3天都无火险；（2）恰有一天无火险。
解：记第一、二、三天无火险别为事件A、B、C,则，
（1）;
（2）
4.4混淆条件概率与积事件的概率
例22.受到2020年全球新冠肺炎疫情影响，某校高三年级要安排错峰返校，该校高三年级共有7个班（包含甲班和乙班），要对7个班的返校时间进行排序，求下列事件的概率：
（1）已知甲班排在中间，则乙班排在最后的概率是；
（2）甲班排在中间且班排在最后的概率。
解：记“甲班排在中间”为事件A，“乙班排在最后”为事件B，
（1）条件概率，n(A)＝A，n(AB)＝A，P(B|A)＝＝.
（2）积事件概率，n(AB)＝A，基本事件总数为,所以.
结论
本文主要是总结了历年常考高中数学中涉及到概率的常见题型及考点分析解题的方法,并对高考中概率问题计算中常犯的典型错误问题进行了分析和总结,其中所涉及到的选例题大多数多都是中档的选例题,有少部分很基础的概率计算题型,还有极少数是综合性较强的选例型题目,高考对于概率的计算问题考查大多数也是中档题,其考查的核心还是对于基础知识的牢固理解和掌握,再加以综合运用,有时候还会与其它高中数学知识相对应的题结合在一起来进行考查,而这类的题型就需要我们在能够从总体上把握其它高中数学知识的基本前提下拓展我们的概率计算思维,在高考中常常与其它概率计算题结合在一起考查的主要题型有:统计、程序框图、向量、线性运算和规划。高考中概率计算题作为我国历年高考数学中必考的题型之一,虽然其题目的内涵丰富,形式新颖、灵活,富有挑战性和创意,其实也就是对那几个题型和考点的理解和综合运用,本文就对常考几个考点的常见问题进行了理解和分析,并总结了常见的选例题和典型概率计算错误,较为系统地对高考中涉及到的概率计算问题的进行了理解和分析,并同时借助于选例题对考点加以了说明。
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