基于几何画板教学软件在初中数学的函数图形教学中突破教学难点的

　　在初中数学中，函数图像及性质一直是教学中的难点，而初中生的理性认识没有感性认识作基础，很难通过自己的想象来了解函数中各个变量的运动过程，如果利用传统的板书教学法来讲授函数知识，就很难让学生掌握函数方面的知识点，这就需要借助现代信息技术，来帮助学生来认清这些重难点知识。《几何画板》是一款优秀的多媒体课件制作软件，能在较短的时间内做出符合教学要求的数学课件，具有动态、直观、数形结合、易于演示的特点[1]。对于函数图像的变化，以及函数值随自变量的变化，这些变化都可以通过《几何画板》这一数学课件制作软件来实现，从而将抽象、静止的几何转化为直观、动态的图像，在这一软件的支持下，学生就可以更好地理解函数的概念、图形及性质了。为了帮助初中数学老师更好地应用《几何画板》这一教学软件，本文将结合案例进行具体分析，从而提出几点切实可行的应用方法，以便对教师的教学提供指导作用。

　　经过小学的学习，初中生基本上已经掌握了不介绍数学知识，并且具备较强的自学积极性，和自学能力，但是由于教学方法比较落后，使得部分学生还是不容易理解教学内容，但是很多教室在加强几何画板软件的应用后，数学课堂就显得轻松多了，因此，几何画板在助力数学函数教学时主要发挥着如下作用：

　　几何画板有较强的交互性，可以用来作图和运算等，可以通过动态演示几何对象之间的相互关系，来为函数教学创设一定的学习情境，激发学生的探索欲，帮助学生更好地构建学科知识间的联系，使学生能在老师的指导下，拥有更多的机会来观察分析、推理论证、归纳猜想和反思改进等，这些都有利于学生对数学学习兴趣的激发[2]。

　　用几何画板进行数学教学可以从两方面实现：一是教师运用几何画板平台来制作相关的教学软件，在教学过程中根据内容需要进行演示，可以引导学生独立思考，并发现数学规律；二是在课堂教学以前，教师指导学生学习几何画板软件的操作，运用几何画板对数学理论进行直观演示，可以激发学生的探索欲，形成猜想并进行实验验证。这相比传统的尺规教学模式，可以更好地将教学内容形象化、直观化，一旦坚持这样教学，学生可以逐步形成敢于发现问题和探索问题的精神，进一步促进其创造能力和创新思维的培养，教学中的种种问题也会迎刃而解。

　　几何画板应用于开放性尝试性学习，通过将5个左右具有相似学习兴趣的学生组成一个个小组，采取小组形式组织学生学习，教师在小组组建中根据具体情况做好协调工作，可以培养学生的团队协助理念[3]。在整个研究体系中，每个组都要制定特别有针对性的研究内容、研究方法、材料的整理收集等，采用多种形式对问题进行讨论和论证，可以使得实现预期的教学效果。

　　几何画板作为辅助数学课程整合的主要工具，在提高初中数学函数教学质量方面效果较为明显，目前，很多初中数学教师都开始加强对几何画板教学软件的应用，其应用主要分为如下几方面：一是使用几何画板的经验交流，主要谈及它的优点，各种功能和工具的作用，以及个人使用体会等等；二是研究几何画板在数学各分支中的应用；三是总结几何画板优特点及它在辅助数学教学中发挥的作用.如培养学生兴趣、培养数学直观和探究能力、利于突破难点、重点和揭示数学规律、有利于培养数学迁移能力、能帮助学生理解数学知识、培养空间想象力、能培养良好的学习数学的态度与习惯等等[4]。四是使用画板教学的典型课例、特色课例，和画板的一些高级功能开发课例；五是探讨画板在开展数学实验和数学探究中的优势和相应的教学设计方法等；六是分析几何画板辅助数学教学的误区，提出相应的对策等。

　　几何画板辅助数学函数图形教学时，还存在以下问题：

　　（1）大多数数学教师在应用几何画板时，过度关注其优点和作用，而忽视了其性能缺陷及风险，但是凡事都有两面性，这样的偏见认识容易影响几何画板的应用效率，因为要想充分发挥几何画板的作用，需要努力发挥其优势，同时避免其缺陷。

　　（2）在几何画板的应用中，部分教师关注教学经验，却忽视了科学数据的应用，从而导致论述缺乏实践性，教师大谈体会，但是却没有对应用的经验进行总结，也缺乏对实践案例的结合，从而使得结论的做出过于空洞，对实际的指导作用不强。

　　（3）在对画板的应用和研究上，教师个体缺乏反思研究的意识和行动，而国内数学教育权威机构也没能及时的反思总结，使得应用和研究所做的还是表面、浅层次的工作多，深层次的，系统的工作和研究比较少[5]。

　　（4）教师们对几何画板应以怎样的方式辅助数学教学及怎么有效的辅助数学教学缺乏共识，还属于各抒己见的认识阶段，缺乏统一的研究和认识.

　　1、反比例函数图象的教学

　　课前的课件准备：在《几何画板》中绘制函数y=的图象，分别在一、三象限的分支上取点P、Q，追踪点P、Q并生成动画，隐藏函数y=的图像。部分学生在初次接触反比例函数图象描点时，因为有正比例函数的图象是一条直线的定势影响，在描点后发现描出的点不在同一直线上而怀疑自己的做法是否正确，还有一部分学生会想是不是和原点连线呢?基础差的学生就可能和原点连接起来画成放射状的图象，也有些学生会对这一做法提出异议：反比例函数y=（k）中，x、y的值不为0，图象应该没有(0,0)这一点；那么反比例函数的图象到底是什么样的呢?不同层次的学生都急于想知道答案。这时，教师打开课前制作的《几何画板》课件，先后生成点P,Q的动画，用光滑的曲线绘制出反比例函数的图象，排除学生的错误认知，引导学生直观认识反比例函数的图象是一条“双曲线”[6]。为了让学生更清楚的观察双曲线无限靠近坐标轴的趋势，可以进一步把图形局部放大。

　　2、二次函数图象的教学

　　学习“二次函数y=ax2的图象”时，教师先引导学生结合平方的含义得出“二次函数y=x2中，当x=0时，y有最小值。”的结论，接着提出问题：二次函数y=x2的图象是不是有最低点（0，0）呢?此时学生普遍用怀疑的眼光看着老师，想进一步探究的兴趣也因此调动以来。老师趁热打铁，在让学生通过列表、描点、连线画出二次函数y=x2的大致图象的基础上，用《几何画板》展示二次函数y=x2的图象，解除学生的疑惑，增强学生对二次函数图象的感性认识。教师重点引导学生观察图象的“最低点”、向两边延伸的走势，要让学生知道图象是一条光滑的曲线，要提醒学生注意画二次函数时容易出现的错误，如“最低点”没有画对位置，图象向两边延伸不规范，用直的折线连接描出的点等。

　　1、动态演示反比例函数的增减性

　　反比例函数的增减性是难倒很多学生的一大知识点，很多学生误认为“y=”的图像中，y随x的增大而减小，这是不完全正确的。

　　（1）先用《几何画板》画出函数y=的图象，在第一象限的分支上取一点P，度量点P的横、纵坐标，然后从左到右移动点P，让学生观察点P的坐标的变化，得出“在第一象限内，y随x的增大而减小”的结论，然后再在第三象限的分支上取点Q，用同样的方法得出类似的结论；（2）然后让学生分析P，Q的横、纵坐标，并思考“在y=中，y随x的增大而减小”这一结论是否正确，然后通过演示来验证这一结论的正确性，加深学生对反比例函数增减性的认识[7]。

　　2、探究二次函数y=ax2中，a与抛物线的开口方向、开口大小的关系

　　在传统的板书教学中，教师为了让学生认识a与抛物线的开口方向、开口大小的关系，会选择在黑板上画出不同的抛物线，教师这样做极大地占用了课堂的时间，降低了课堂的教学效率，同时在这一过程中，学生也会丧失对函数的兴趣。但是将几何画板应用于教学中，教师就可以在很短的时间内向学生演示不同a值时抛物线的变化情况。首先，教师以a为参数用《几何画板》画二次函数y=ax2的图象，课堂上，用拖动或生成动画的方式从大到小改变a值，从而会出现不同形状的抛物线，可以方便学生思考以下问题：一是抛物线的开口方向与a值有什么关系?二是当a=0时，二次函数y=ax2的图象还是抛物线吗?三是抛物线的开口大小与a值的关系呢[8]?

　　3、探究二次函数的性质

　　学生认识到基本的二次函数后，并不意味着深刻掌握了二次函数的性质。这就需要进行实例分析。对此，我们以人教新课标26.1.4节的y=x2-6x+21这一二次函数为例进行分析。首先将函数化为y=（x-6）2+3，然后用几何画板画出这一函数的图像，并在图像上取一点P，并度量点P的横、纵坐标，通过从左到右拖动点P，让学生观察点P的坐标变化，从而学生们会发现：（1）图象的最低点是(6，3)，即当x=6时，y有最小值3；（2）在对称轴左侧，即x<6时，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，即x>6时，y随x的增大而增大[9]。因此，学生就通过几何画板可以深入了解二次函数的性质了。

　　在教学《5.3一次函数的图像》时，教科书的编者设计了一个很好的情境：一枝长为16cm的香点燃后，香的长度随点燃时间的增加而缩短，每隔5min观察记录一次它的长度，直到燃尽为出。但在具体的教学中，很多数学教师没有足够的时间来具体实践，学生虽然可以凭借自己已有的知识和经验来得出[10]：香的长度y（cm）是点燃时间x（min）的一次函数，并列出一次函数的解析式：y=16-，但无法感受香的长度随着燃烧时间的变化而变化的过程。为了帮助教师达到教材编者的“观察全程记录点燃过程的示意图，发现香的顶端在一条直线上”的目标，有必要将几何画板教学软件应用于这一知识点的解析中。老师可以带领学生在学校的计算机房一起完成“观察全程记录点燃过程’，让学生自己去发现、研究、探寻：“一次函数的图像是一条直线”，享受发现的乐趣。

　　先放一段视频，观察点燃一枝香，全程燃烧的过程，列出一次函数的解析式：y=16-，然后打开几何画板(5.01最强中文版)，点“绘图—定义坐标系”，在几何画板中建立平而直角坐标系，用“选择工具”向左下方拖动坐标原点，在画板上显示出轴的单位20，y轴的单位16即可。在的正半轴上从原点开始画一条20个单位长度的线段，然后在这条线段上任取一点A，隐藏单位点和线段，度量点A的横坐标，接着点“数据—计算”依次输入，16-，再依次选中几何画板上的，16-，点“绘图—绘制点P(x，y)”，几何画板上出现一个点P，选中它，点“显示—追踪绘制点”，选中“点A”，点“编辑—操作类按钮—动画”出现如图1所示的对话框：方向“向前，只播放一次；速度选择慢速或中速，然后点击确定，几何画板上出现一个“动画点A”的动画按钮[11]。点“动画点A”的动画按钮，并提醒学生注意观察画面，可以看到：点A从原点开始，向x轴的正方向缓慢地运动(告诉学生这是时间的变化)，伴随着点A的运动(时间的变化)，点P在第一象限内斜向右下方运动，并留下了它的痕迹线段(如图2所示)。这样课本上的交流[12]：“图中找出的5个点在同一条直线上吗?”不言自明了，学生看到的“不是5个点在同一条直线”，而是无数个点都在一条直线上。接着对课本提出的新问题：在直角坐标系中画一次函数y=2x+1的图像，画一次函数y=2x+2的图像，引导学生在几何画板中用“绘图—绘制新函数”的作法：点“文件—新建文件”，新打开一幅几何画板，点“绘图—绘制新函数”，在出现的对话框中依次输入“2、*、x、+、1”，如图3，然后点“确定”，画板中并自动生成一次函数y=2x+1的图像：一条直线。用同样的方法画出一次函数y=2x+1的图像，然后让学生思考是不是所有的一次函数的图像都是一条直线。通过这软件的使用，让学生明白这一科学事实。

　　图1

　　图2

　　图3

　　函数是研究运动变化的重要数学模型，函数概念的实质就是运动变化.几何画板在这一方而具有独到的优势，它可以动态地表现图像的变化过程，满足数学教学中化抽象为形象直观的要求.我们利用几何画板不但可以研究一次函数，而且可以研究反比例图像和二次函数图像，甚至于我们没有学习过的函数图像如[13]:

　　问题情境：（2011年南京市中考题已知矩形的而积为(a(a为常数，a>0)，当该矩形的长为多少时，它的周长最小?最小值是多少?

　　数学模型：设该矩形的长为、，周长为)，则y与x的函数关系式为y=2(x+)(x>0)。

　　探索研究：借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+(x>0)的图像性质。

　　①写下表，画出函数的图像；

　　x…1 2 3 4…

　　y……

　　②观察图像，写出该函数两条不同类型的性质；

　　③在求二次函数y=ax2+bx+c（）的最大（小）值时，除了通过观察图像，还可以通过配方得到.请你通过配方求出函数y=x+(x>0)的最小值。

　　解决问题：用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案。

　　作函数的图像采用描点法，能锻炼学生的动手能力，但学生在亲历实践的过程中，由于刚刚接触函数时，头脑中没有函数图像的概念，练习时往往会取点过少，描点不准确，描出的图像不光滑，对无数的点、无限延伸难以理解.我们借助于几何画板绘制函数图像，通过追踪点得到函数图像的踪迹动画{（如图4）函数y=x+(x>0)}的图像下通过运动可以让学生清楚地看到点动成线的动态过程[14][15]。

　　图4

　　利用《几何画板》来进行初中数学函数图形教学，可以让学生更好地看到各个变量之间的变动关系，从而能更好地构造函数图象，探究函数的性质，在这一过程中，学生对数学的学习兴趣被激发出来，函数教学也就更加容易了，教学的效率也得到了显著的提升。本文在分析几何画板教学软件在初中函数教学中应用的意义的基础上，提出了具体的应用方法，可以为更多的初中数学教师提供应用参考指导作用，从而帮助学生了解函数性质。

　　[1]张剑平.几何画板软件在初中二次函数教学中的应用[J].中学数学,2017(22):60-61.

　　[2]黄孝玲.借得春风好行雨——浅谈几何画板在初中数学函数教学中的应用[J].课程教育研究,2017(19):118-119.

　　[3]陈卫星.几何画板在初中数学函数部分教学中的应用研究[J].数理化学习(教研版),2017(03):8-9.

　　[4]陈维超.几何画板在初中二次函数教学中的应用研究[J].课程教育研究,2017(02):130.

　　[5]曾平.也谈几何画板在初中函数教学中的应用[J].中学课程辅导(教师教育),2016(22):29.

　　[6]朱庆生.浅谈几何画板在初中数学教学中的应用[J].亚太教育,2016(32):100.

　　[7]林钦章.初中函数教学中几何画板的应用[J].数理化学习(教育理论版),2016(11):6-7.

　　[8]陶芬.几何画板在初中数学几何图形教学中的应用研究[D].南昌大学,2016.

　　[9]姜红.几何画板在初中二次函数教学中的应用[J].数学学习与研究,2016(02):4.

　　[10]刘军.几何画板在初中二次函数教学中的应用研究[J].新课程(中学),2015(12):208.

　　[11]常家洁.“几何画板”在初中数学教学中的应用研究[D].宁夏大学,2015.

　　[12]蔡清怀.几何画板在初中函数教学中的应用[J].教育信息技术,2013(10):35-37.

　　[13]李娟.论几何画板在初中数学教学中的有效应用[J].新课程(中学),2013(09):22-23.

　　[14]孙云飞.浅谈几何画板在函数教学中的应用[J].中国教育信息化,2012(08):59-60.

　　[15]应茜.利用几何画板辅助初中函数教学的实践与研究[D].苏州大学,2010.

　　时光荏苒，转眼间我们即将大学毕业，在这毕业前夕，我们所做过的最用心的一次作业大概就是写作论文了。它对于我而言不单单是一项必须完成的学业任务，同时在写作期间也倾注了自己的心血与精力，还有最珍贵的大学回忆。而论文的完成则少不了老师和室友同学们的帮助。

　　首先我要感谢的便是我的导师XXX老师，在写作中遇到困难时，他总是能像知心朋友一样鼓励我。从论文的选题、修改、措辞、定稿等方面，老师始终认真负责地对进行精心细致的指导，帮助我开拓写作思路，对任何提出的问题都给予耐心的解答。

　　最后感谢母校的栽培，学校为我们提供了应有的学习环境与各种学习生活设施。最重要的是大学四年中给我们传授知识的教师们，他们为我们付出了很多心血，指导着我们不断学习新的技能与知识，教会我们成长。相信多年后我还会记忆犹新，对这里的人和物，都心怀感恩。