中学数学解题教学研究

　　摘要

数学解题教学是中学数学教学中的一项重要内容，它是中学生学习数学所必需的一项基本能力，是培养学生数学思维能力的重要途径。它不仅是中学数学学习中最基本的一个环节，而且还是培养学生创造性思维能力、解决问题能力的有效途径。所以，中学数学教师要重视解题教学，让学生能在题目中发现问题，提出问题，分析问题，解决问题，从而实现对学生数学思维能力的培养。本文从四个方面论述了中学数学问题解决的方法。

　　关键词：初中；数学；教学研究

　　1数学思维能力的培养是解题的关键

数学解题的关键在于，要根据题目中给出的条件以及问题的具体情况，对题目进行认真地审阅，找出题目中隐藏的隐含条件，再用数学的语言将其表达出来，从而解决问题。在一定程度上，解题就是将已知条件与问题之间的关系用数学语言表述出来，并针对具体问题进行分析、研究和解决。问题求解的过程就是数学思考的过程。在解题过程中，要注重对题目的审读，理解题目给出的条件以及题目间的关系；对问题进行分析，研究，发现其中的隐含条件；找出解决问题的方法，选择解决问题的方法，最终得到正确的答案。因此，在解题过程中，教师应引导学生认真审阅问题，明确问题的含义，明确已知与所求的关系。在分析问题的时候，要搞清楚题目要求解决的是什么问题，以及题目中隐含的是什么条件。在寻求解题方法的时候，要注意题目中已知与所求之间的关系（是什么）、题目中隐含的条件（是什么）。只有这样，学生才能清楚地理解问题，找到解决问题的方法。在解题过程中，必须经过对问题的分析、对问题的研究和对问题的发现，才能使问题得到解决。因此，在解题过程中，教师应指导学生正确地审题，正确地分析问题，正确地解决问题。

　　2掌握“五步法”是有效解题的先决条件

“五步法”就是根据“五步法”所总结出来的解题思路。这就要求教师在备课过程中，要对教材进行深入研究，把握教材的重点与难点；在课堂教学中，要做到“精讲多练”，充分调动学生的学习积极性。在课堂教学中，教师是主导，学生是主体，学生是主动学习的主体。在课堂教学中，培养学生对数学基本知识和基本技能的掌握，并养成良好的数学思维品质。在课后辅导过程中，教师应加强对学生的学习方法的指导，帮助学生明确学习的目标、任务、掌握学习的基本方法；“五步教学法”指的是通过教师精心备课，课堂精讲多练，课后辅导答疑，问题反馈这五个环节来完成教学任务。“五步教学法”的核心在于“练”，即在课堂上采取“精讲多练”、“课后指导”、“答疑”等方法。数学知识是一个非常丰富、非常广泛的体系，所以教师在备课的时候，不应该只限于教材，还应该对教材之外的知识进行扩充和补充，这样才能让课堂变得更加丰富多彩。比如，在讲解一个新问题的时候，教师不仅要明确该题所涉及到的知识点和解题思路等相关知识内容，还要注意它与其它知识之间的联系。

　　2.1老师认真备课

备课是一堂好课的先决条件，它直接影响着课堂教学的效果。在备课过程中，教师要对教材进行认真研究，把握好重点、难点，合理设计课堂结构，充分发挥教师的主导作用，学生的主体作用。教师备课不仅仅是对教材内容的准备，更是对学生的准备。在课堂教学中，教师应根据教学的目的、要求、内容以及学生的实际情况，选择合适的教学方法和手段。例如，在教学《三角形内角和》时，教师可采取“小组学习”的方式。教师可先将班级分成若干组，再组织学生讨论，最后由每组选出一名代表来做题目。这样既能锻炼学生的语言表达能力，分析能力，思考能力，又能提高他们的学习兴趣。在课堂中，教师应注意发现学生的闪光点，对学习成绩好的学生给予表扬和鼓励；对学习有困难的同学要给予耐心的辅导；对那些态度不好，学习积极性不高的学生要加以教育。这样才能培养学生的主动性、参与性和竞争性。在教学过程中，教师还要注意因材施教，针对不同学生的不同情况，采用不同的教学方法和手段，这样才能让每一个学生都能得到充分发展。

　　2.2课堂上多讲多练

“精讲”指的是教师在讲授过程中，要把握重点、难点、重点，使学生对知识点的理解和掌握。在课堂教学中，教师应以讲授知识、指导学生解决问题为主。“多练”指的是教师应在课堂上做更多的习题，使学生能够通过解决习题来锻炼自己。通过练习，既能加深理解，又能发现学生在学习过程中出现的问题与缺陷。因此，教师在设计习题时，应注意每道习题的难度大小，以培养学生的思维能力。与此同时，练习题的难度要适中，既不要太难，也不要太简单，只有这样才能充分调动学生学习数学的积极性。

在精讲多练这一环节中，教师一定要明确重点和难点，做到有的放矢。对学生易混淆、难解的题目，给予详细的讲解；对新知识点或难度较大的题目，要及时给予指导。在课堂教学中，教师应充分调动每一位同学的积极性，给每一位同学发表意见的机会。在“精讲多练”的教学中，教师应注重培养学生的思维能力。例如，在讲解一个新概念时，教师可通过例题、习题等方式加强学生的理解；对于较难理解、较难记忆的知识点，可举出生活中与之相似的例证，以加深理解；对一些容易混淆、容易出错的题目，要通过举例，对比，分析，加深对知识点的理解。

　　2.3课外补习班

课后，教师还要布置课后作业，并及时反馈学生的作业情况。在解题过程中，学生可能会遇到各种各样的问题，而且一些学生的思维方法与老师所讲解的内容并不一致，这时候，老师就应该及时帮助他们进行分析和讲解，让他们能够更快地掌握解题思路。例如，在学习了一元二次方程之后，让学生对所学过的二元一次方程组进行分类，然后让学生讨论每一类方程组是否都有唯一的解？并给出反面例子。经过讨论和交流，学生可以更好地掌握二元一次方程组的分类标准，从而加深对新知识的理解和掌握。另外，在解题过程中，还可采取“一题多解”、“一题多变”的方法，以提高解题能力。例如，在学习完二元一次方程组之后，可以让学生讨论如何理解“二元一次方程组有唯一解”这个问题。对一些较复杂的题目，可采取“多题一解”的方法，使之得到较好的解决。比如，在学习完等比数列之后，可以让学生根据等比数列的定义，尝试去解决它的前n项和问题。这样可以使学生更好地理解并掌握知识，同时还可以培养学生自主学习、探索未知的能力。

　　2.4问题回馈

课堂教学的首要任务是使学生掌握知识、形成技能和发展能力，而“五步教学法”强调的是学生对已学过的知识进行内化和巩固，所以在课后还应注重学生解决问题的能力。首先要注重学生在课堂中的消化、吸收、领悟，做到“举一反三”，举一反三。其次，要注意学生在课堂练习中的正确率，并及时反馈问题，提高学生对数学学习的兴趣；第三，在解决问题之后，要注重学生的反思，总结，归纳。在“五步教学法”中的每一个环节，都要将培养学生的解题能力作为重点，在课堂上要给学生足够的时间去思考和讨论，而在课后，也要注重总结和归纳学生在解题过程中遇到的问题。同时，要加强对学生学习方法的指导，使其养成良好的学习习惯，明确学习的目标与任务；在这个过程中，教师还要注意把自己对知识和技能的掌握情况及时地反馈给学生，有效地分析并解决存在的问题。“五步教学法”具有较强的科学性、有效性和实用性。

　　2.5解决问题的思考

“反思”就是对自己的思维过程进行一次回顾、分析和检验，以便找出错误的观点、推理和结论，从而提高思维能力，提高学习效率。在课后辅导答疑的过程中，教师要指导学生及时反思自己的解题过程，对自己解题过程中出现的错误展开归纳总结，找出错误原因，以便今后避免再犯类似错误。在解决了这些问题之后，学生应该对这些问题进行反思，总结规律，提高学习效率。在问题反馈中，要着重说明学生普遍存在的问题，并分析和解释典型题目，帮助学生掌握正确的学习方法。

在课后辅导答疑环节，应着重对学生普遍存在的问题及具有代表性的问题进行解答。授课时，教师应着重讲解具有代表性的主题。

　　3“题不在书本，道理在书本”才能保证解题的顺利进行

“题在书外，理在书中”，就是说，解题教学的关键在于教师对学生解题思维过程的引导，在于学生对题目中蕴含的数学知识和数学方法的理解与掌握，所以，教师要通过讲解题目、指导学生学习等方式，向学生传授解题过程中所涉及到的数学知识与数学方法，使学生在理解与掌握知识的同时，学会解题方法。在指导学生解题的时候，教师要从数学知识和数学方法两个方面展开教学，既要使学生掌握解题所需要的必要的基础知识，又要使学生学会如何从题目中找出解决问题所需要的条件，再通过对题目中所蕴含的数学知识和数学方法的分析，利用已有的知识去解决问题。只有这样，学生才能真正体会到“理在书中”和“题在书外”的真谛。

　　4善于发问，为学生能力的培养奠定基础

问题是思维指向的方向，而思维则是以问题为出发点，经过分析，综合，抽象，概括，比较等思维过程，从而获得新的知识，形成新的观点。以问题为出发点展开解题教学，就是要通过对问题中的矛盾点进行分析，诱导学生展开各种思维活动，从而引导学生从数学角度去认识问题并解决问题。如果教师只注重传授知识，而忽视了培养学生的学习能力和解决问题的能力，那么学生对数学知识的理解和掌握将会非常浅薄；如果教师只注重培养学生对数学知识的记忆能力，而忽视了对学生解题能力的培养，那么对于一些比较复杂和困难的数学知识，学生是不可能掌握的。这就要求教师应注重解决问题的能力。教学过程是一种有目的性、计划性、组织性、导向性和整体性的活动过程。教师应充分利用各种手段与方法，调动学生的学习积极性，让学生在学习过程中始终处于积极主动的状态。在课堂上，教师要为学生创造一个良好的、宽松的学习环境，允许学生自由地表达自己的观点和观点，使学生感受到数学是一件有趣、有趣、有意义的事情。教师也可以在课堂上设置疑问和提问，鼓励学生积极思考和提出问题。例如，在教《三角形内角和定理》的时候，教师可以提问：三根角木条长4 cm,7 cm,11 cm，如果把它们拼成一个长方形，那么这个长方形与原来的长方形有什么关系呢？这个时候，大部分学生都会说：“正方形=矩形+4厘米。”这时，老师又要追问：“您能否将这个结论推广到任何一个三角形？”有的同学可能会说，我也可以用这个定理来证明其它的三角形也是这样的。在这种情况下，教师应该鼓励学生去探索新的知识。课堂教学中，教师应充分调动学生的学习兴趣，积极主动地为学生创设问题情境。例如，在教学“等差数列前n项和”时，教师可以设计这样的问题：如图所示，有一正方形ABCD与正方形CBG相邻，正方形ABCD的边长分别为4厘米与5厘米；把原来的ABCD分裂成两个小的ABG与ABC之间的关系是什么？在此基础上，通过创设情境，引导学生进行猜想，提问，分析，比较，抽象总结等一系列的思维活动，然后再向学生说明等差数列的第一个n项和“n=4+5”公式与正方形ABG中的“边长4 cm”之间的关系。这样的话，学生们就会觉得很亲切，很亲切，很容易接受。这样就可以利用问题情境，让学生展开思考与猜想，这样不仅激发了学生的学习兴趣和积极性，还促进了学生对知识的理解和掌握。

在解题过程中，应注意培养学生的分析与解决问题的能力。系统、全面地掌握各种数学知识间的关系；在数学解题教学中，能使学生掌握完整、系统的数学知识，并能提高他们运用数学知识进行分析和解决问题的能力。

　　5重视变题教学，提高解题水平

变式教学法是数学教学中常用的一种教学方法。在数学教学中，变式教学指的是教师利用一定的条件，通过改变问题中已有的条件和结论，从而使问题发生变化。它是一种改变题目条件和结论，以达到一定的教学目标的方法。变式教学在数学教学中具有重要意义。在实施变式教学中，教师应注意下列问题：

1.要以不同的视角看待问题，以不同的方式解决问题，如此才能促进学生的全面、多角度、深层次的发展。例如，在证明平面内一点P(x+y)=2 x+3上一点M(x+y）与M(y+1）平行时，可以通过数形结合的思想、转化与化归的思想和分类讨论的方法来解决。

2.要换个角度看问题。在数学学习过程中，常常会遇到一些新的、有代表性的问题.例如：“一次函数”，“反比函数”，“二次函数”，“幂函数”，等等，等等，等等。在遇到此类问题的时候，要留心自己能否运用所学知识和所用的方法来解决。若能运用分析方法，便能找到解决此类问题的办法；如果不能采用解析法，则可以列出有关函数表达式，最值等公式来求解。

3.要从多个角度去挖掘题中隐含的问题，特别是题中隐含的条件，从多个角度去挖掘题中隐含的条件。如在证明平面上的P（x+y）平行于M（y+1）时，如果将M视为一条直线，则可以写出：

如果把M看作一个球体，则可以写成：

①以学生对基础知识、基本技能的掌握为前提，实施变式教学；要根据教材内容、学生的实际情况来确定教学目标、教学方法与方法。例如：初中数学中的一个问题：已知函数f(x)=0，在（1,0）点上单调地增、减；y=kx+b；给出了k<0,b>0,k=1的条件。

如果将这一问题分解为两部分：①求函数f（x）在（1,0）点处单调递增和递减；②研究（2,1）点上函数f（x）单调递增和递减问题。这样既可以让学生既掌握了基础知识和基本技能，又可以培养学生的思维能力和综合运用知识解决问题的能力。

②在教学中注重知识、技能和思维方法的迁移。变式教学能拓宽学生的知识面，拓宽他们的思维空间，为他们今后的学习打下良好的基础。

　　5.1通过对问题的分析，引导学生寻找解决问题的方法。

对问题的分析是解决问题的重要手段之一。它使学生能够深入地、仔细地分析问题，找出解决问题的方法。举例来说，在解决应用题的时候，如果能够将题目中包含的条件看得清清楚楚，就可以让学生对问题有一个清楚的认识，从而得出正确的结论。例如：在解答应用题时，若能看出题目中蕴含的条件：求函数f（x）在点（1,0）上单调增、减；在（2,1）点上求函数f（x）的单调减和增加；在（2,1）点上求函数f（x）的单调减和增加；它可以让学生感受到成功的喜悦，增强他们的自信心。这样的话，在解决问题的时候，就会有更多的思路和更多的灵活性。因此，在解题过程中，教师要引导学生注意分析、挖掘问题背后隐藏的条件。使学生能够找出正确的、快速的、简单的解题方法。

5.2在变式教学中，学生能更好地理解并掌握概念、定理和公式。

概念、定理、公式是构成数学知识的基本要素，它们是形成数学知识的基础，也是学生学习数学的关键，只有掌握了这些概念、公式，才能解决数学问题。要使学生在认识概念、定理、公式的基础上，更好地理解并掌握这些概念，应加强变式教学。在教学过程中，教师要以教学内容为依据，以学生的实际情况为依据，进行巧妙的设计，引导学生对所学知识进行变式训练，从而加深对概念、定理、公式的理解和掌握。例如，对于“平面几何”中两条直线相交为直角的判定定理，我们可以设计这样一个变数：已知：P（x+1）与F（x+1）之间的线与P（x+2）与F（x+2）之间的线相交为E（2,0）与G（0,0）之间的线。由定理可知：

通过变式训练，使学生认识到：两直线相交成直角，其交点不见得就是直角顶点。直角仅在两条直线相交成一个锐角的情况下。使学生更好地理解和掌握概念、定理和公式。由此可见，在数学教学中，变式教学具有极其重要的作用。通过变式教学，学生可以加深对所学知识的理解和掌握，从而起到事半功倍的效果。

　　5.3培养发散性思维

发散思维是指在已有知识经验的基础上，从多个角度、多个方面对问题进行思考，并提出不同的答案和解决方案的一种思维模式。要培养学生的发散性思维，首先要有宽广的知识面、深厚的知识积累；通常情况下，教师在教学过程中应该注意引导学生广泛阅读教材，不断拓宽他们的知识面，为他们提供尽可能多的、生动活泼的思维活动空间。在解题过程中，教师要善于引导学生从多个角度和多个方面进行思考，从而找到最适合的答案。例如，在学习三角形的三边关系时，教师可以这样引导学生：两个边相等的三角形叫等腰三角形。另一种常见的情形是：一个三角形的两个边都相等，并且没有一个边等于零，这个三角形叫做尖角三角形。尖角三角形有两种，一种是直角三角形，另一种是钝角三角形。在解题的过程中，要注意引导学生进行全方位的观察，这样可以让他们的思维方向多样化，从而拓宽他们的解题思路，提高他们的解题效率。

其次，培养学生敢于发问的习惯；许多学生在遇到问题的时候，不敢提出自己的观点和看法，往往会受到老师或同学的影响，从而放弃自己的观点和看法。久而久之，学生就会失去自己的思考能力，失去自己的提问能力。因此，在教学过程中，要鼓励学生大胆地提出自己的观点和观点，让他们自己发现问题，自己解决问题。例如，在学习“椭圆”的时候，可以提出这样的问题：椭圆的中心有多少个？。通过这种方法，学生不仅可以学习到新知识和新方法，而且还可以锻炼学生敢于质疑，敢于发表自己观点的能力。

四是培养学生大胆想像的习惯。想像力是一种智力活动。在数学教学过程中，要注重培养学生敢于想像的能力，充分调动他们学习数学的积极性和主动性，让他们获得丰富而又生动的知识经验。在解决问题的过程中，要培养学生敢于思考，敢于说，敢于做，敢于发问的品质。。

　　6加强对学生的审题能力的培养

所谓审题，就是要对题目进行仔细的阅读，对题目的意义有一个全面的了解，对题目的条件和要求有一个清晰的认识，这样才能以正确而灵活的思路来解决问题。审题的基本要求是：一是认真，二是细致。所谓“认真”，就是在解题过程中要仔细地审阅题目，也就是要仔细地阅读题目，对题目提供的各种信息、条件进行分析，找出问题所在；仔细是指在审题过程中要仔细观察、分析题目所提供的条件和信息之间的内在联系，找出问题中的重点和难点。只有这样，才能保证解题思路的明晰，准确，快速。当然，在审题的过程中也要注意阅读，提问，思考，计算等“四多”。唯有如此，才能提高学生的审题水平。如果不能准确地判断出题目的性质，就无法解决问题。因此，教师应在解题教学中加强对学生的审题能力的训练。

　　6.1仔细阅读题目

首先，要求学生清楚地理解题目的要求。教师应认真仔细地阅读题目，不要漏掉任何一个单词，不要添加任何一个单词，不要重复阅读或重复阅读。其次，培养学生正确阅读题目的能力。主要包括：（1）正确运用“四个字”法，即在阅读题目的时候，要慢慢地，准确地，透彻地，逐字逐句地读出来。

(2)注意题干中的关键字，如：“此题只问两个条件”等。

(3)注意题中单位的正确性。例如，有一道应用题，要求“正交两个平面”，学生往往会忽略这一条件而犯错误。因此，在阅读题的时候，必须认真仔细，争取把题目看清楚，看明白。特别是一些条件比较多的问题。在教学过程中，我们经常会遇到这样的问题：有些学生看完题目后，仍然不明白题目的意思，而要花费大量的时间去解决这个问题；有些学生由于对题中某些关键点的把握不到位，造成了解题失败等情况。

　　6.2细察数量关系分析

在解题过程中，教师要站在学生的立场上考虑问题，避免由题设向问题过渡，以免造成学生对问题产生误解或误解。例如，在解答应用题的时候，有的学生看到题目上写着“用五只粉笔画一张画”，就认为是用五只粉笔画一张画。其实不然，这道题给我们的讯息是：要用5支粉笔作画，要用5支粉笔作画。通过对问题的观察和分析，可以看出：题中给出了“5只粉笔”和“用5只粉笔”两个条件。“5只粉笔”就是题中给出的条件之一，也就是“5只粉笔”。又如：“甲班五十人，乙班四十人，甲班两百五十人。”“5只粉笔”并不在这道题的范围之内。

　　6.3对数学语言的灵活运用

数学语言指的是数学思维活动中使用到的数学语言，如概念、符号、公式、定理等。在解决问题的过程中，需要把文字语言转化成数学语言。例如，把条件转换成结论时，要用到“如果”和“那么”这样的词语；把一个公式转换成相应的数学表达式时，要用到“若”“则”等字眼；把一条定理和一条定律转换成另一条定理和一条定律时，要使用诸如“是”和“否”的词语；把一个抽象的数学概念和符号变成具体的数学对象，把一个复杂的运算过程变成一个简单明了的表达过程，用一个“是”来表示，用“+、-”；把复杂的算术过程变成简单明了的算术过程，要用到“加，减，乘，除”；把一道数学题转化成另一道数学题，应采用“由特到特”、“由特到特”的方法。

　　7要提高学生的解题能力，必须养成良好的解题习惯

良好的解题习惯不仅能提高学生的解题能力，而且能使学生有良好的心理素质。因此，在解决问题时，应注意培养学生解决问题的习惯，使其形成良好的解决问题的方法。

一是培养好的审题习惯；在选择题目的时候，要仔细，要看清楚条件和问题的关系；二是要养成一种严谨的计算习惯。在计算过程中，必须认真、仔细，不可草率，不可图省事而忽略必要步骤；三是要养成书写规范，整洁，美观的习惯；题目给出的数学符号必须正确写法，格式要规范；四是养成不轻言放弃，多思索，多想一步的好习惯。尤其是在解题过程中，学生不要轻易“放过”一些“陷阱”问题，要反复思索，多问几个为什么，争取一次性成功；五是要形成自觉检视的习惯。在解题过程中，要有意识地检查、纠正错误；六是要养成仔细阅读题目的良好习惯，对题目进行必要的分析，回答问题，归纳总结。例如，解一个方程的时候，要把已知条件与要求的结论看得清楚；解三角形时，应认真阅读题目，认真分析题目的含义；在解答统计题时，要认真阅读每一张统计表，以及它们代表的意义等等。唯有如此，才能真正做到不偏不倚，不偏不倚，不遗忘，从而提高了解题的能力。

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　　致谢

首先，我要感谢的是我的论文指导老师，老师为人随和热情，治学严谨细心，从选题到定稿，老师都给了我很多帮助和指导意见，让我能够顺利的完成本篇论文的写作。谢谢您！感谢我的学校，为我们提供了良好的学习条件和优秀的师资，真正的让我学到了有用的知识，不仅是专业知识，更有许多人生的道理，谢谢您们对我们的教导！