前言
数理统计是广泛应用的一个数学分支，数理统计是研究随机现象的数据收集与处理。数理统计是以概率论为理论基础，而概率论是研究随机现象的模型，也就是概率分布。概率论与数理统计研究的对象是随机现象，随机现象是在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。而用来描述随机现象的基本工具是分布函数，分布函数也是数理统计的基础。不管是什么类型的分布，都是可以用分布函数来进行描述和处理。任何统计方法都离不开对分布函数的概念和各种具体分布的性质。所以，分布函数在现代数理统计中起到了非常重要的作用。因此，本文研究概率统计中常用分布函数及应用既具有理论意义，同时也有实际的应用价值。
第1章基本概念
1.1概率论的发展
在概率论发展的历史中，曾有过对概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率定义和概率的主观定义，这些定义适合一类随机现象。1900年数学家希尔伯特（Hilbert）提出要建立概率的公理化定义来解决这个问题，即用最少的几条本质特性去刻画概率的概念。1933年苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）首次提出了概率的公理化定义，这个定义既概括了历史上集中概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限性和含混指出，不管撒抹随机现象，只要满足该定义中的三条公里，就能说它是概率，这一公理化体系迅速发展，并获得了举世公认，是概率论发展史的一个重要里程碑。
1.2概率的公理化定义
概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的函数，若在事件域上给出一个函数，当函数满足下面三条公理，就被称为概率；反之，若不能满足下面三条公理中任何一条，就不能被认为是概率。
设为一个样本空间，为的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事件A，定义在上的一个实值函数P（A）满足：
（1）非负性公理:若A,则P（A）≥0，
（2）正则性公理：P（）=1，
（3）可列可加性公理：若互不相容,则
则，称P(A)为事件A的概率，称三元素（，，P）为概率空间。
公理化定义没有告诉我们应该如何去确定概率，而是有着各自确定概率的方法去确定。在有了概率的公理化定义以后，把它们看作确定概率的方法是十分正确的。
1.3概率的性质
通过上述对概率的公理化定义分析，可以将概率性质分为概率的可加性、概率的单调性、概率的加法公式、概率的连续性。
（1）概率的可加性
概率的可列可加性说明了对可列个互不相容的事件,其可列并的概率可以分别求之再相加，那么对有限个互不相容的事件，，其有限并的概率是可以分别求之再相加的。比如说，若有限个事件，互不相容，则有。通过证明：对应用可列可加性，得出：
（2）概率的单调性
概率的单调性可以想象为，如果B被A包含时，说明事件A比事件B更容易发生，那么B的概念不应该比A的概率大。比如说,则。
（3）概率的加法公式
当事件之间互不相容时，有限可加性或可列可加性给出了求事件并的概率的公式。那么对一般的事件，可以给出求任意n个事件并的概率加法公式。如果对任意两个事件A,B，则有对于任意n个事件，则有：
（4）概率的连续性
单调事件列的极限的概率，等于事件列中各事件概率的极限。若P为事件域上的概率，那么P既是下连续的，也是上连续的。
第2章随机变量的种类及其分布
2.1随机变量
在概率论领域里，我们应用集合的相关知识来定义随机变量。定义在样本空间上的实值函数X=X（e）称为随机变量，其中常用的大写字符X,Y,Z等表示随机变量，其取值用小写字母x，y，z来表示。假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值，可以称之为离散随机变量。假如一个随机变量的可能取值数轴上的一个区间（a，b），可以称之为连续随机变量。
2.2离散型随机变量及其分布
（一）设离散型随机变量X所有可能值为Xk(k=1,2,…),X取各个可能值的概率，即事件{X=Xk}的概率，为P{X=Xk}=Pk，k=1,2,…
由概率的定义，Pk满足如下两个条件：
（1）Pk≥0,k=1,2,…
（2）k=1
我们称（2.2）式为离散型随机变量X的分布律。分布律也可以用表格的形式来表示：
X X1 X2…Xn…
Pk P1 P2…Pn…
常见的较重要的离散型随机变量有四种：（0-1）分布，几何分布，二项分布，泊松分布。
（二）设X是一个随机变量，X是任意实数，函数F（x）=P{X≤x},-∞＜x＜∞。称为X的分布函数。对任意实数x1,x2(x1<x2),有P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1)。如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F（x）在X处的函数值就表示X落在区间（-∞，x]上的概率。
分布函数F(x)具有以下的基本性质：
（1）F(x)是一个不减函数，事实上，易知对任意实数x1,x2(x1<x2)有F(x2)-F(x1)=P{x1<X≤x2}≥0
（2）0≤F(x)≤1,且F(-∞)==0
F(∞)==1
2.3连续型随机变量及其分布
（一）若X（w）是随机变量，F（x）是它的分布函数，如果存在函数P（x），使对任意的x有F（x）=dy
则称X（w）为连续型随机变量，相应的F(x)为连续型分布函数，同时称P(x)是F（x）的概率密度函数或简称密度。
由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数P（x）必具有下述性质：
（1）P（x）≥0;
（2）dx=1。
反过来，任意一个R上的函数P（x），如果具有以上两个性质，即可定义一个分布函数F(x)。
常见的连续型随机变量有三种：均匀分布，指数分布，正态分布。
第3章常见分布函数的应用
3.1常见离散型分布函数应用
3.1.1（0-1）分布函数应用
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是:P{X=k}=pk*(1-p)1-k,k=0,1(0<p<1)，则称X服从以p为参数的（0-1）分布或两点分布（two-point distribution）。
(0-1)分布的分布律也可以写成
X 0 1
Pk 1-p p
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即S={e1,e2},我们总能再S上定义一个服从（0-1）分布的随机变量
X=X(e)=
来描述这个随机试验的结果。
（0-1）分布的数学期望即为p,其方差为p*(1-p)。
（0-1）分布在生活中有广泛的应用。
在实际问题中，有时一个随机试验可能有多个结果。例如，在产品质量检查中，若检查结果有四种：一级品，二级品，三级品和不合格品。但是，如果把前三种统称为合格品，则实验结果就只有合格品和不合格品两种了。于是，也可以用两点分布来描述随机试验。又如，研究者记录了某城市每月交通事故发生的次数，则它可能取的值为0,1,2…，这是无穷多个结果，但是，如果我们现在关心的问题是每月发生交通事故的可能性，我们可以把观测的结果分成“发生交通事故”和“不发生交通事故”两种情况。于是就可用（0-1）分布来研究每月发生交通事故的可能性。所以对任何一个只有两种可能结果的随机试验E，其结果都可以用（0-1）分布来描述。
此外，更一般的应用如对新生婴儿的性别进行登记检查产品的质量是否合格，某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验等都可以用（0-1）分布的随机变量来描述。（0-1）分布是经常遇到的一种分布。
3.1.2几何分布函数应用
几何分布是离散型概率分布。其中一种定义为：在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。详细的说，是：n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的概率。
公式一般分两种情况：
(1)得到1次成功而进行，n次伯努利实验，n的概率分布，取值范围为『1，2，3，…』;
(2)m=n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，…』.
由两种不同情况而得出的期望和方差如下：
E(n)=1/p,var(n)=(1-p)/p^2;
E(m)=(1-p)/p,var(m)=(1-p)/p^2。
概率为p的事件A，以X记A首次发生所进行的试验次数，则X的分布列：
P(X=k)=p*(1-p)^(k-1)，k=1,2,3,……
具有这种分布列的随机变量，称为服从参数p的几何分布。
几何分布的数学期望为1/p，其方差为（1-p）/p2.
几何分布的应用也比较常见，在工程学，保险理财领域都有不少应用。比如，工程师在试图掌握在繁忙时刻电话交换器不能有效处理所有电话的情况。非常清楚的，在拨通一个电话前所做的尝试次数代表着成本。如果在拨通一个电话前要尝试多次的概率很高，这个电话交换系统应该被改进。再有简单的例子：在一次投篮练习中。无论投多少次篮，规定第一次投篮命中后练习结束。则投篮次数就符合几何分布。
再例如，中国人口众多、文化素质与经济发展很不平衡，从七十年代开始逐步实施计划生育，稍后又为更有效控制人口数量，采取了一对夫妇只生一个孩子的生育政策。而且，优生优育同时推广，这对控制人口数量、提高人口素质、促进经济发展，确实起到了效果。
但是，“一对夫妇只生一个孩子”的生育政策，并不是在全国范围的任何地方都能不折不扣的实施，例如，在农村尤其是偏远地区和经济落后地区，人们“传宗接代”、“多子多福”、“早生儿子早享福”等观念意识还很强，一对夫妇一定要生个儿子才肯罢休的现象并不少见；再如，出于“人道”的考虑，假如一对夫妇生了一个病孩，则也同意他们再生一个，而如果第二个仍是病孩，还有可能同意生育第三胎，……，是否会一直到生一个健康孩子为止。
前者是指要生儿子，后者是指要生健康的孩子，如果我们特别考虑这样的一种生育模式：即一对夫妇生育孩子，一直到生育一个儿子(或健康的孩子)才停止生育(简称这种生育方式为“无限生育模式”)，从概率统计的角度看，显然生儿子和生健康孩子是一个问题的两个方面，但都是几何分布的问题。
3.1.2二项分布函数应用
在每次试验中只有两种可能的结果，A和A，而且是互相对立的，是独立的，与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努力试验。
二项分就是重复n次的伯努利试验，用ξ表示随机试验的结果。如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是
P(ξ=K)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),其中C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)
那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p)。期望：Eξ=np。方差:Dξ=npq
假设
1．在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；
2．每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关;
3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努力试验。
在这试验中,事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布.二项分布可以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时,而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率。
若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为：P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k)，C(k,n)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数。
二项分布实验是一种很重要的数学模型，它有广泛的应用，是研究最多的模型之一。
例如在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（π）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验。如果进行n次贝努里试验，取得成功次数为X（X=0,1,…，n）的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：
P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)
式中的n为独立的伯努利试验次数，π为成功的概率，（1-π）为失败的概率，X为在n次贝努里试验中出现成功的次数，表示在n次试验中出现X的各种组合情况，在此称为二项系数（binomial coefficient）。
所以含义为：含量为n的样本中，恰好有例阳性数的概率。
类似的应用还有很多，二项分布即是n重伯努力试验，是从现实世界许多的随机现象中抽象出来的一种很基本的概率模型。例如，在产品质量检验中，若检查的结果分为合格和不合格两种，因为每件产品是否合格是相互没有影响的，于是，检查n件产品就是n重伯努力试验即二项分布。
3.1.3泊松分布及其应用
二项分布是离散型机率模型中最有名的一个，其次是泊松分布，它可以看成为二项分布的一种极限情形。
假定某机关的总机在一个短时间△t内会接到一次电话的机率p与△t成正比：P=α*△t，α为一常数。又假定在此短时间内接到多于一次电话的机率微乎其微,可以略去不计。那么在时间t内，会接到x次电话的机率分布为何？
我们可以把t分成n小段，每小段长为△t=t/n。整个问题可看成为：在每个△t时间内，我们做了一次试验，其成功（接到电话）的机率为p。如此做了n次，那么成功了x次的机率为何？所以我们要的机率分布正是二项分布
b(x;n,p)。令λ=n=np，则
b(x;n,p)=n!/x!(n-x)!*px(1-p)n-x
=n(n-1)(n-2)…(n-x+1)/x!*(λ/n)x(1-λ/n)n-x
=(1-1/n)(1-2/n)…(1-(x-1)/n)/x!*λx[(1-λ/n)-n/λ]-λ(1-λ/n)-x
当t保持不变（亦即λ不变），而让n→∞(4t→0)则
(1-1/n)(1-2/n)…(1-(x-1)/n)→1
(1-λ/n)-λ/n→e
(1-λ/n)-x→1
所以
B(x;n,p)→e-λ*λx/x!（以P(x;λ)表之，此处的p代表Poisson）
因为
p(x;λ)=e-λ*∑λx/x!=e-λeλ=1
所以
P(x;λ)的确是个机率分布（各种可能的机率之和等于1）。这就是说，在时间t内，接到x次电话的机率为P(x;λ)。这是以λ为参数的poisson分布，而λ(=аt)是在时间t内所期望接到的电话数。
poisson分布的公式为P{x;λ}=e-λ*λx/x!
发现poisson分布的Bortkiewicz先生举了一个至今仍是脍炙人口的例子，说明数据契合Poisson分布的情形。从1875到1894年的20年间，德国的十四个军团部有士兵被马踢伤因而致死的人数纪录。这20×l4=280个（团年）纪录，按死亡人数来分，则如表一的左二栏所示。
x=每年死亡人数团年数280p(x;0.7)
0 144 139.0
1 91 97.3
2 32 34.1
3 11 8.0
4 2 1.4
0 0.2
在280个纪录中，死亡的人数共有196，因此致死率为=196/280=0.7（人/团年）。我们就以此为Poisson分布中的常数，t=1年，则。理想中每团每年死亡人数x要遵行Poisson分布p(x;0.7)。表一中右栏就是根据这样的Poisson分布，把280团年该有x人死亡的团年数列出。它和表一的中间一栏的数据的确相当吻合。
Poisson分布既然是二项分布的极限情形，反过来Poisson分布也可以做为二项分布的近似值。譬如p=0.04,n=49，则λ=1.96。我们把b(x;49,0.04)与p(x;1.96)之值相对照就得表二
x b(x;49,0.04)p(x;1.96)
0 0.135 0.141
1 0.276 0.276
2 0.276 0.270
3 0.180 0.176
4 0.086 0.086
5 0.032 0.034
6 0.010 0.011
7 0.003 0.003
8 0.001 0.001
我们发现对应的值相当接近。一般，若用列表方式，则二项分布b(x;n,p)要兼顾三个变数x,n,p，而Poisson只要两个：x,λ，所以较为方便。若直接计算，则因
b(x;49,0.04)=Cx49(0.04)x(0.96)49-x
所以二项分布算起来相当费事。另一方面P{x;λ}之值可用递归方法迅速求得：P(x+1;λ)/P(x;λ)=λ/x+1或P(x+1;λ)=P(x;λ)*λ/x+1；而P(0;λ)=1/e可由指数表中查得。因此只要情况适合，我们当然就舍二项分布而就Poisson分布了。
通常只要n很大，p很小，λ=np不大不小而且是个已知定数，Poisson分布就可以代替二项分布了，譬如某商店每星期进进出出的客人很多（=n），但每个客人买鱼子酱的机率很小（=p），只知道平均一星期卖出两罐：λ=np=2。那么这家商店每星期开始时应有几罐鱼子酱的库存？当然不能只有两罐，因为平均归平均，售量超过平均数的机率很大。当然库存太多也会影响整个商店的运作。根据Poisson分布p(x;2)，我们算得下表：
λ0 1 2 3 4 5
p(x;2).135.271.271.180.090.036.017
由表三可知售量达到5罐以上的机率只有5.3%，而达到6罐以上则只有1.7%。所以合理的库存量为4罐（平均19星期才会有一次缺货），如果怕万一，那么5罐就非常保险（平均59星期才会有一次缺货）。
3.2常见连续型分布函数应用
3.2.1均匀分布及其应用
若连续型随机变量X具有概率密度
f(x)=
则称X在区间（a,b）上服从均匀分布(uniform distribution)。记为X～U（a,b）。
易知f(x)≥0，且。
均匀分布的数学期望为（a+b）/2，其方差为（b-a）2/12。
在区间（a,b）上服从均匀分布的随机变量X，具有以下意义的等可能性，即它落在区间（a,b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在（a,b）的子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。事实上，对于任一长度l的子区间（c,c+l）,a≤c﹤c+l≤b，有
P{C＜X≤c+l}===l/(b-a)。
故可得X的分布函数为
F（x）=
均匀分布无论在理论上，还是在应用中都是非常有用的一种分布。例如，计算机在进行计算时，对末位数字要进行“四舍五入”，譬如对小数点后面第一位进行四舍五入时，那么一般认为舍入误差服从区间（-0.5,0.5）上的均匀分布；又如，当我们对取值在某一区间[a,b]上的随机变量X的分布一无所知时，我们通常先假设它服从U[a,b]等等。
3.2.2指数分布及其应用
若连续型随机变量X的概率密度为
f(x)=
其中﹥0,为常数，则称X服从参数为的指数分布（Exponential distribution）。
易知f(x)≥0，且=1。且其分布函数为
F（x）=
指数分布的数学期望为1/，其方差为1/2。
服从指数分布的随机变量X具有以下有趣的性质：
对于任何s,t>0,有P{X>s+t∣X>s}=P{X>t}。
事实上，P{X>s+t∣X>s}=P{(X>s+t)∩(X>s)}/P{X>s}
=P{X>s+t}/P{X>s}={1-F(s+t)}/{1-F(s)}=/
==P{X>t}。
这个性质被称为无记忆性。如果X是某一元件的寿命，那么无记忆性表明：已知元件已使用了了s小时，它总共能使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能使用t小时的概率相等。这即是说，元件对它已使用过s小时没有记忆。具有这一性质是指数分布有广泛应用的重要原因。
指数分布常用来描述“寿命”类随机变量的分布，例如家电使用寿命，动植物寿命，电话问题里的通话时间等等。
“寿命”类分布的方差非常大，以致于已经使用的时间是可以忽略不计的。
例如有一种电池标称可以充放电500次（平均寿命），但实际上，很多充放电次数数倍于500次的电池仍然在正常使用，也用很多电池没有使用几次就坏了——这是正常的，不是厂方欺骗你，是因为方差太大的缘故。随机取一节电池，求它还能继续使用300次的概率，我们认为与这节电池是否使用过与曾经使用过多少次是没有关系的。
有人戏称服从指数分布的随机变量是“永远年轻的”，一个60岁的老人与一个刚出生的婴儿，他们能够再活十年的概率是相等的，你相信吗？——如果人的寿命确实是服从指数分布的话，回答是肯定的。
指数分布在可靠性理论与排队论中有广泛的应用。如单位时间内接到电话的呼唤次数、来到公共汽车站的乘客数、来到机场降落的飞机数等在数学（排队论）中称它们是“泊松流”。以机场跑道为例，在到了一架飞机以后，这条跑道就空闲着等待下一架飞机的到来，这段空闲着的时间称为“等待时间”，它的长短是随机的。在公共事业（公共汽车、飞机场等）的设计与规划中，这个“等待时间”太长或太短都是不合理的，因而有必要研究这个“等待时间”的统计规律。下面来说明这个“等待时间”服从指数分布。
假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数X服从参数为的泊松分布，求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布。
解：当t﹤0时由于T是非负随机变量，故
F（t）=P{T≤0}=0
当t≥0时，由于事件{T＜t}(t长度的时间间隔内没有发生故障)与事件{X=0}等价，故
F（t）=P{T≤t}=1-P{T＞t}=1-P{X=0}=1-
即F(t)=P{T＜t}=
于是T服从参数为的指数分布E（）。
即“等待时间”服从指数分布。
3.2.3正态分布及其应用
（1）若连续型随机变量X的概率密度为f(x)=/-，其中为常数，则称X服从参数为的正态分布或高斯分布，记为X～N（2）
（2）正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。
（3）标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率。
由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
（4）正态分布的数学期望为2。其图像特征为在均数处最高以均数为中心，两端对称永远不与x轴相交的钟型曲线有两个参数：均数——位置参数，标准差——形状（变异度）参数。正态曲线下的面积分布有一定规律正态分布具有可加性
（5）正态分布是具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ^2)。服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ=0，σ^2=1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
（6）由中心极限定理我们可知：正态分布是二项分布，poisson分布的极限。
例如列维-林德伯格中心极限定理指出：设随机变量X1，X2，…Xn…相互独立同分布，且数学期望和方差存在：E（Xk）=，D（Xk）=2>0(k=1,2,…),则对任意实数x，恒有：
=
其中是标准正态分布函数。
（7）正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等
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