常微分方程在数学建模中的应用

　　常微分方程的产生和普及与大部分学科逐渐有紧密关系，比如力学、天文学、物理学等。数学其余分支的高速发展，催生出众多全新学科，上述全新学科的出现对常微分方程的后续普及和使用具有深远的影响，此外目前计算机高效发展也为常微分方程的使用和理论分析准备强大且高效的工具。

　　数学处理现实问题需要创建模型，但是数学建模是使用数学语言描述现实现象的过程.通过数学去处理多种现实问题的时候，创建数学模型是非常关键的步骤，然而也是相对艰难的步骤。创建数学模型的过程，主要是将繁杂的现实问题简单化、抽象成科学的数学结构的过程。主要利用充分调查、筹集有关信息，查看与分析现实主体的固有特点与本质规律，关注问题的主要矛盾，创建其表现真实问题的数量关系，之后使用数学理论与方式去研究与处理问题。

　　所以本文最先大致叙述了怎样创建微分方程模型，且利用详细案例来大致叙述微分方程在数学建模内的使用。

　　如果记，即可化为一阶方程组的形式。一般解法如下：

　　例1.求方程组

　　解将变量分离得

　　两边积分，即得

　　因而，通解为

　　这里c是任意正常数.或者解出y，写出显函数形式的解

　　正规方程组（2.3）的解在什么条件下存在，且惟一呢？有下面的定理.

　　定理2.1（Cauchy—peano）如果函数在上连续，则方程组（2.3）在上有解满足初值条件，此处

　　定理3.2如果函数在上连续，且满足利普希茨（Lipschitz）条件（即存在正常数L使得，，其中，则方程组（2.3）满足初值条件的解是惟一的。

　　2.3微分方程的稳定性问题

　　在现实问题中，微分方程叙述物质系统的运动规律，在使用微分方程来分析此物理过程的时候，民众必须思考作用于此过程的关键要素，而必须轻视部分人为次要因素，上述次要因素一般被叫做干扰因素，上述干扰因素在现实中能够瞬时发挥影响，也可连续的发挥影响.从数学上进行分析，前者会造成初值条件的变动，而后者会作用于微分方程自身的改变，在现实问题中，干扰因素是真实出现的，因此我们就可以知道，对于其的影响程度的分析是关键的，也就是初值条件或微分方程的细微变动是否也只能造成对应解的细微变动？主要是微分方程的稳定性难题，此处依旧将方程组（2.3）当做案例开展分析。

　　(1)有限区间的稳定性

　　如果在某个有限的区域内连续，且对满足礼普希茨条件，是方程组（2.3）的一个特解，则当充分接近于时，方程组（2.3）在上满足初值条件的解有

　　即对，总存在相应的，当时，对一切有

　　此时称方程组（2.3）的解在有限区间上是稳定的。

　　(3)渐进稳定性

　　如果方程组（2.3）？解在无限区间上是稳定的，且存在，当时，有

　　那么叫是渐进稳定的，或称局部渐进稳定性。

　　假如以上（或给定一个有限常数），那么对应的渐进稳定性被叫做全局稳定性（或大范围稳定性）.

　　(4)经常扰动下的稳定性

　　对于方程组（2.3），考虑相应的方程组

　　这里的称为扰动函数。

　　如果对任意给定的，总存在和，使得当时有

　　则方程组（2.4）有满足初值条件的解。且当时有

　　就说方程组（2.3）的特解在经常扰动下是稳定的。

　　(5)研究稳定性的方法

　　实际中，要研究方程组(2.3)的解的稳定性问题，可以转化为研究方程零解的稳定性问题，事实上：

　　对于方程组（2.3）的任一特解，只要令，则

　　显然有，故方程组（2.3）变为

　　因此我们就可以知道方程组（2.3）的解对照于方程组（2.5）为。所以，要分析方程组（2.3）的的稳定性问题可转变成分析方程组（2.5）的平凡解的稳定性问题。

　　假如微分方程组的全部解都可以简单寻求，一个特解的稳定性问题也不会很难处理。但是，现实中此类情况并不多，因此，一般性的稳定性问题分析相对繁杂，一般状况下全部是基于现实问题进行严谨分析，接下来利用案例开展解释说明.

　　例.2思考一阶非线性方程组

　　这里线性近似方程组的特征方程为

　　由此得赫尔维茨行列式

　　依照定理，特征方程全部根都有负实部，根据定理知零解为渐进稳定的.

　　一般我们将实际问题的模拟叫做模型．比如交通图、地质图、航空以及建筑模型等．使用字母、数学和其余数学符号创建完成的等式或不等式和图表、图象、框图等来模拟实际模型被叫做数学模型．此类模型在现实生活中时常遇到，比如寻求不规则图形的面积，可创建定积分的数学模型，求变化率的问题可创建导数模型，统计学中抽样审查，买彩票中奖的概率等．学会创建数学模型对处理现实问题有一定的积极影响。

　　创建数学模型是目前现实问题和数学工具之间紧密关联的桥梁[4,5]．伴随科技的持续发展，尤其是电子计算机科技的持续进步，数学逐渐进入到从自然科学科技以及工农业生产创建活动中，不仅存在在经济生活中，此外也出现在日常生活的多个部分。通常来说，在现实中需要我们对所分析的实际对象进行研究、预估、决策、控制等部门操作的时候，此时一般都需要数学的使用，其中创建数学模型就是此过程的重要部分。

　　3.2人口预测模型

　　因为资源的有限性,目前全球各个国家都开始重视有计划地管控人口数目,为了设计人口预测模型,需要了解作用于人口增长的现实条件,但是此类条件众多,比如人口自然出生率、自然死亡率、迁移、自然灾害、战争等众多原因,假如最初将全部因素都思考进去，那么就会增加研究的任务量。所以,提前简化问题,创建模型的大致结构,之后进行修改,就可以得到比较健全的模型[6].

　　例1（马尔萨斯（Malthus）模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担当牧师时期,查找教堂一百多年人口出生统计数据,得知人口出生率是常数。1789年在《人口原理》书籍中指出流传到现在的尔萨斯人口模型,其主要假定是：在人口自然增长时期,净相对增长（出生率和死亡率之差）是常数,也就是单位时间内人口增长量和人口为正比,比例系数是,在上述假定下,推导且求解人口伴随时间变动的数学模型.

　　解设时刻的人口为,将看做连续、可微函数处理（由于人口总数多,可近似处理,这就是离散变量连续化处理）,根据马尔萨斯的假定,在到时间段内,人口增长量是并设时刻的人口为,于是这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为

　　其中代表人口以指数规律伴随时间无限增加。

　　模型检验：根据预估1961年地球上的人口总数是,其中在此后7年内,人口总数凭借每年2%的速度增加,如此,,,因此

　　此公式相对精准的表现出在1700—1961年时间内世界人口总数.所以,此时期内地球上的人口大概是每35年翻一番,其中根据以上公式可知34.6年增加一倍。

　　然而,此后专家将X人口当做案例,使用马尔萨斯模型统计结果和人口资料对比,得知明显不同,特别是在使用此模型预估相对遥远的时间地球人口总数时,寻找出让人无法相信的问题,比如按照此模型统计,在2670年,地球上会出现36 000亿人口.假如地球表面全部是陆地（实际上,地球表面依旧有80%非陆地）,我们也必须彼此踩着肩膀站成两层,因此这是不可能的，所以,此模型需要改正.

　　例2（逻辑Logistic模型）马尔萨斯模型为何无法预估此后的人口呢？关键因素是地球上多种资源只能供相应数目的人居住,伴随人口的增多,自然资源环境因素对人口增长的约束影响开始更加明显,假如在人口不多的时候,人口自然增长率可被当做常数,因此在人口增加到相应数目之后,此增长率会伴随人口增多而减少.所以,处理马尔萨斯模型内有关净增长率是常数的假设问题.

　　1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)借鉴常数,以便表示自然环境条件所可以包容的最大人口数（通常说来,某个国家工业化水平高,其生活空间就随之增加,食物就增加,因此就越高）,且假定增长率等于,也就是净增长率伴随的增加而减少,在时,净增长率接近零,按照此假定创建人口预测模型.

　　解根据韦尔侯斯特假设,马尔萨斯模型需要被修改成上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,下面,我们对模型作一简要分析.

　　（1）当,,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值；

　　（2）当时,,这说明是时间的单调递增函数；

　　（3）因为,因此在时,,单增；在时,,单减,也就是人口增长率从增变减,在处最大,换句话说在人口总数达到极限值一半之前是加速生长期,过此点后,生长速率开始降低，此外最终会变成零,这就是减速生长期；

　　（4）使用此模型检验X从1790年到1950年的人口,得知模型统计结果和真实人口在1930年之前全部符合，在1930年之后,误差开始变大,比较突出的因素是在二十世纪六十年代该国真实人口数逐超过二十世纪初所设定的极限人口.因此可知此模型的主要问题是不容易明确,实际上,伴随国家经济的发展,其所具备的食物就更加充足,的值就更高；

　　(5）使用逻辑模型来预估全球未来人口总数.某生物学家预估,,且在人口总数是时,人口每年通过2%的速率增加,根据逻辑模型可知

　

　　对比可知，要确保最高效益，捕捞强度与持续产量都会出现降低，其中渔场需要维持的稳定鱼量也会增多，此外减少或增多的部分伴随成本的增多而增多，伴随销售价格的增多而缩减，满足现实需求。

　　本文利用以上几章对常微分方程、数学模型和常微分方程模型在数学建模内使用的叙述，就可以了解到所有数学理论的出现全部是为了处理现实应用过程内的问题.而所有数学模型的创建，全部是为了引导数学理论在现实生活内的使用.常微分方程的出现和常微分方程在数学建模内的使用，主要是为了全面让一般人了解数学知识，且全面的处理现实问题.

　　当前，数学模型逐渐普遍使用在社会的多个行业，民众寻求定量研究与优化决策，全部需要依靠数学模型．此类模型是为了处理实际问题而创建的，其可以表现出现实情况，也可以呈现实际活动的内在规律与数目关系．数学模型是重要的模型，在特定时期也需要对现象进行相应的简化与假定，最先要轻视实际问题内大量和数量没有关系的因素．之后也需要轻视部分次要的数量条件，进而从本质上全面集中表现实际问题的数目规律．因为创建数学模型需要使用数学工具，现实问题类型众多，因此导致数学模型类型众多，本文重点使用常微分方程的数学工具来开展建模．伴随科技和社会经济的发展，常微分方程的使用持续扩大与加深．其中的所有进展都在向数学的其余分支提出需求，需要其准备对应的定理；此外也需要向其余数学分支指出问题加快其健全，最后加快两者的全面发展．本文一般利用多个现实问题的数学建模，通过一阶常微分方程、二阶常微分方程的求解方式来寻求模型结果，此外利用研究此结果来诠释现象或设计最佳预案．本文所进行的研究只是大量应用内的某个部分，伴随当代科学科技的持续发展，我们可以相信基于微分方程的数学建模具备宽广的发展空间．

　　丁同仁《常微分方程》高等教育出版社2010.4.1

　　周之铭《常微分方程（第三版）》高等教育出版社2007.4

　　姜启源、谢金星等《数学建模》高等教育出版社2003

　　贾晓峰《微积分与数学模型》高等教育出版社1999

　　欧阳瑞、孙要伟《常微分方程在数学建模中的应用》宿州教育学院学报2008年2第11卷第2期

　　吉蕴、朱向东《常微分方程在数学建模中的应用》潍坊高等职业教育2006年6第2卷第2期