递推数列通项公式的教学设计

　　在数学必修5第二章中，文章明确的讲解和介绍了数列的基本概念，以及两种特殊数列（等差和等比数列）以及数列的简单表示法。在数列通项公式这一节课里，来自浙江省温州市温州中学李芳老师，阐述了如下的观点，首先数列是一种基本的数学模型，是对自然规律的客观反应。其次，递推公式只是数列的其中一种表示方法。再次，要着重培养学生总结思维、抽象思维、具体思维等能力。而在《递推数列通项公式求法》这一课的教学讲义里，黄毓贤老师的观点有着如下的亮点，一、知识讲解上的逐本舍末。二、整体上梳理和总结了对于求递推数列通项公式的各种方法技巧。三、系统的对学生了解问题、梳理问题和解决问题的能力进行了培养和锻炼。四、讲解了如类比思想，总结思想、由特殊到一般等思想方法，并对以上这些思想方法进行了着重的讲解。五、使学生可以熟练运用各种方法和技巧利用数列递推关系求解数列的通项公式。

　　从数学教育史的历史发展角度来看，一场关于数学教育的著名运动——“克莱茵—贝利运动”在十九世纪末二十世纪初的英国爆发。提倡在中学数学教育过程中增加微积分、分析几何等学科的德国著名数学家F。克莱茵在这次运动中出版了《高观点下的初等数学》一书。

　　从实际的教育课程角度来看，第一、新的课程标准将一些如、三角方程、正三角函数、反三角函数等过去初等数学中次要的，作用关联不大、或者学生学起起来有困难的章节进行了删减，并更新了内容，添加了微积分、算法初步等新的章节。第二、大量的采用了集合符号、标准计量单位和符号、逻辑符号等，并通过向量代数办法来验证余弦定理，处理空间点、线、面关系等，改变了传统数学教学里面的处理方式和数学语言。第三、更注重数学知识在实际生活当中的运用，不再是死记硬背，填鸭式的教育方式。

　　从老师自身的角度来看，一、现代数学中某些范畴的理论和原理是与中学教学里面的原型和事例相关联起来的，作为中学数学老师，只有加深自身对于现代数学的理解和学习，才能精确的掌握中学数学的本质和核心，才能更好地把握中学数学教材。有深入浅，玄虚渐进的处理中学教材内容，并结合现代数学的思维模式，提高教学的质量和能力。二、在日常教学过程中，很多例子和观念，往往能够用高等数学的思维、观点和方法去理解和阐述。用现代数学的知识能更好的辅导中学数学教学工作。作为一名中学数学教师，应该具备宏观意识和大局意识。

　　三、学习当代数学知识可以更好了解高考命题的当代数学背景，能够为学生平常的考试命题提供指导和帮助。高考是选择性的考试，是为高校选择具有学习潜力的新生。所以，最近几年的考试中，差不多年年都有以现代数学知识为背景的高考试题。

　　因而，作为中学数学老师，应当读更多的数学，用一泉活水去斟一杯水，才能表现得胸有成竹、游刃有余。只有“居高”才能“临下”，才能够更清楚、更深刻地看到中学数学的来龙去脉，因而进行更好的教学。

　　研究有关其数列类型要把教育及心理学的相关理论为根本。原理依据对我们研究确立了理论根本，它们互相紧密相连。

　　弗赖登塔尔的观点是：数学要是实际的，数学一定要出自实际、寄予实际之内、用于实际之中。所以，数学的教育要实际的数学教育，数学老师应该要做的是帮着找到实际的数学教育，且实行有成效的教学。

　　他认为，大家认为的数学化其实是在观察、了解与转换客观的世界的过程中，利用数学思维与方式去认识及研究它的不同现象且对其做归纳的过程。简而言之，使用数学语言去构造实际世界的过程。实际教育的数学化被他分成两种，一种是呈现现实问题里的数学部分，同时把此部分做数学化的管理，就是使现实问题变成数学问题，这也是教学中需给大家贯穿的数学建模思维，实际生活中物品堆放、生物的繁殖等许多问题里都能建立起数列模型；第二种是从标记到内容的数学化。前者而言，它的流程基本是：明确具体问题里所含有的数学部分；构建此数学部分同大家熟悉的数学模型的相互联系；用多种方式把此数学部分形象化、方程化与符号化；找出相应的联系；思考同样的数学部分在另一个领域里的表现形式；就后者而言，它的流程基本是：使用其数学公式去表达之间联系；去证明相关规则；试着去构建与运用多种数学模型；改善已获得的数学模型；结合多种数学模型的共同点，建立成更为完善的模型。

　　因为数列相关问题与实际生活中紧密相连，在教学过程中一定要强调对实际生活中的问题要“数学化”，利用数学化的方式去处理实际的问题。

　　布鲁纳的认知结构其学习原理的看法是：使学生进入最佳的状态，必须要提供相关信息；然而，熟悉相关信息不能作为学习宗旨，它要能够超过这些信息[10]。此观点出自于布鲁纳的归纳总结理论，他认为自我认知的过程其实是针对客体进行再归类的过程，因此，他的观点是直觉与归类是相同的。碰到新事物时，对它再分类，且依据对应的类别快速做出判断，此学习方法一定是非常适用的。

　　皮亚杰的建构主义基本理论中知识的出处、产生，和组成的心理机制是它重要的研究方向。他认为个体是熟悉生长过程中的作用，特别重视认知结构在学习与进步中的地位。就他不同方向的理论来说，他不是以往行为主义的学习理论的精髓是出于它里面的结构，即主体内部的逻辑构造。以此来说，建构主义的理论重心是主体在认识方面的组成。例如在数列递推关系里对于形式通项公式的解答，许多人仅让大家记住)，实际并没参加到其中的过程里，所以不明白等比数列的组成，导致很容易就忘记。

　　奥苏贝尔的著作《教育心理学》中奥苏贝尔对有意义的学习的刻画算是最重要的收获之一，他的全部原理体系的中心是：已掌握的事物是影响学习的最主要的原因。两个产生意义学习的前提条件是：(1)呈现出有意义学习的趋势，愿对新事物和已知的事物相结合；(2)事物所包含的实质性事物应有其内在的作用，即已掌握的事物应与已知的事物产生本质的关联。需达到综上两个要求，即能产生有意义的学习。

　　例：数列是特殊的函数，体现在必修五的书本中，但函数已在必修一中学习过，所以，在学习数列的时候，函数的作用就发挥出来了。与此同时利用函数的思想解答了众多的数列问题，如果深刻地掌握熟悉函数的内容，那多会很容易的理解掌握数列的内容。

　　使大家能够熟悉运用递推关系去解答递推数列通项公式，了解基本方法。利用解答递推数列的通项公式的方式去提高大家的多种思维能力，体现出许多数学类思维，好比类比、归纳总结、方程式等思维技巧。

　　解递推数列的通项公式即是重点又是难点，通常在考试中出现相关的题目去判断大家对其的掌握情况，解递推数列通项公式通常对递推公式换其他形式，如原来的数列或其项的某种的组合是特殊数列，将转化成等差及等比数列。有以下方法：

　　（1）方程法：运用知晓的公式解答通项公式，例：(n≥2)，等差的通项公式，等比的通项公式。

　　（2）归纳总结法：通过前面项利用部分归纳推断出数列通项公式，然后再通过数学的归纳方法去验证它的正确性。

　　（3）累加法：通过解通项公式的求解法叫做累加法。此方法属于求型像类公式的一些求法。

　　（4）累乘法：通过恒等式解通项公式的求解法叫作累乘法,此方法属于求型像:类公式的一些求发(g(n)能够得出n项积)。

　　（5）构建辅助数列法：就是把递推公式（q,d不等于0）通过和和原公式进行对比，进而得出的求解法。

　　（6）倒数变换法：就是把数列,以倒数方式表现的求解法。

　　要想可以在求解此通项这一问题上得心应手,就必须在日常的练习里勤于观察以及思考,并且不断的加以总结摸索。接下来我们就一些递推数列通项公式的推导方面加以阐述。

　　数列的通项求和属于比较普遍但是十分关键的题目，往往作为高考的压轴题，难题较大，考察学生是否具备更高的水平，于是要想解出这方面的试题，那么掌握好数列的通项公式十分关键。下面我们对一些关键求解方法加以归纳：

　　例1数列里，,，求解。

　　解：可以将其转化成：那么,,,…….,,所有项相加得出：。所以。

　　例2设为首项是1的正项数列，同时（n=1,2,3…），那么=▁▁▁

　　解：可以将其转化成：

　　,,,那么,所有项相乘得到：，即。

　　例3已知数列里，，同时在情况下，，那么=▁▁▁。

　　解：设，可以将其转化成：

　　属于等比数列，，公比是。所以。因此。通过逐差法计算得出：。

　　例4已知数列{}里，，而在情况下，，那么=▁▁▁。

　　解通过可知：，让，于是上式可以表示成，所以属于等差数列，，公差是1。所以。

　　因为

　　又

　　所以，即。

　　例5已知正数列,,,…,…里，同时，那么{}=▁▁▁。

　　解把式的两面各自除以可以得出：

　　设，那么，，因此

　　(1)

　　(2)

　　…………

　　(n-1)

　　通过得出那么。

　　将所有项相乘得出：，由于已知，

　　所以。

　　例6已知数列{}里，，同时在n≥2情况下，，求=▁▁▁。

　　解把分别取倒数有：，那么体现出属于等差数列，第一项是，公差是2，因此，于是。

　　例7在数列{}里，同时（n为正整数），那么其则通项公式=▁▁▁（2002年上海高考题）。

　　解通过题意可以得出，把分别取对数有，那么，因此数列{}属于以作为第一项，公比是2的等比数列，，那么。

　　例8在数列{}里，同时（n≥2）情况下，求其=▁▁▁。

　　解把分别进行平方可以得出。数列{}属于以作第一项，公差是3的等差数列。。由于＞0，因此。

　　利用这一方法解题主要在于在策略方面设立一个递推式能够转化成一个等比数列，避免了不必要的步骤。对应的变换主要方式为：

　　1、（A、B是常数）型，能够转化成。

　　例9如果数列{}里，，为数列{}的前项总和，同时，那么=▁▁▁。

　　解递推式能够转变成（1）

　　同时（1）式能够转化成（2）

　　对比（1）式和（2）式中系数能够得出，于是。所以数列为以作第一项，公比是3的等比数列。。因此。

　　在情况下，。

　　那么。

　　2、（A、B、C属于常数）型，能够转化成来表示。

　　例10数列{}里，情况下求=▁▁▁。

　　解：可以将其转化成：

　　①

　　对比系数发现，①式转化成：。

　　那么数列属于等比数列，第一项，公比是2。

　　那么。

　　3、型，能够转化成来表示。

　　例11数列{}里，，在情况下，①那么=▁▁▁。

　　解：①能够转化成：

　　对比系数发现或，我们试着将。带入①式得出：

　　那么属于等比数列，第一项，公比是3。

　　因此。通过以上推理得出：

　　。

　　4、型，能够转化成来表示。

　　例12数列{}里，在①情况下

　　求=▁▁▁。

　　解①能够转化成：

　　②对比系数发现：

　　，，那么②式转化成

　　属于等比数列，第一项，公比是。

　　因此

　　于是

　　那么。

　　通过猜想法进行解题通常是：第一通过已知的递推式求解，第二假设一个符合递推式形式的通项公式，第三通过数学归纳求解法表明所假设的完全成立。

　　例13已知所有项都是正数的数列里,是的n项总和，，求对应的通项公式。

　　在必修五第二章中，主要学习了数列的内容，而本章的设计具体关注的是数列函数的背景。数列的内容安排在函数的后面来进行学习，主要目的是立足于函数的基础上，更加深刻的认识数列的本质，提高对于本章内容的学习效率，加深对于函数的理解，同时，采用更加丰富多彩的数学思想方法进行学习。新教材体现出浓厚的改革精神，需要面向全体学生，培养学生观察问题以及解决问题的各种能力，立足于辩证唯物主义思想观，总结各种学习规律。

　　在上阶段的复习中，主要是复习了数列的概念以及各种公式。在平时的练习过程中，主要是立足于数列的定义来进行相关研究，特别是来求出其通项公式，通过一系列的探索研究，学生们就可以对数列通项公式加深理解。

　　教法：运用问题教学法以及讲练结合法。在教学过程中创设一定的问题情境，对学生们进行启发诱导，增强学生的学习自主性，以学生为主体老师发挥的是引导的作用，立足于多角度，让学生们自主探索，采用多种方式，让学生能够积极主动的回答问题，营造出一个和谐的学习氛围，激发学生的学习兴趣，让学生能够在学习过程中得到成就感。我们要根据学生的不同特点采取不同的学习教学方法，在课堂上更多的是采用启发诱导法，根据课堂的实际情况，灵活采用多种教学方式。在多年的探索实践过程中，我也总结出了一系列的教学方式方法，我认为，在教学过程中，必须要面向全体学生，采取灵活多样的方法，锻炼学生的思维，让学生们能够真正的领会到学习的要领。

　　学法：教法与学法存在一定的矛盾，在这个过程中，我们应该以学生的学习为主，激发学生的学习兴趣，通过提问，激发出学生的求知欲，让学生们能够自主的学习。我们还应该提高学生的联想力，让学生们能够把数列和函数紧密地联系起来，让他们能够学会观察，大胆的尝试学习，在课后过程中能够强化训练，真正的学会迁移应用，并进一步总结归纳。

　　（1）知识与技能目标：第一，理解数列的概念，掌握具体的公式求法。特别是递推数列求通项的常规方法。

　　第二，培养学生的多种能力，具体包括观察分析、猜想归纳以及应用公式的具体能力等等.

　　（2）过程与方法目标：激发学生的学习兴趣，让学生们能够在学习过程中大胆地探索，在实践过程中总结各种规律，由此探索知识的新领域，培养科学的学习态度，掌握正确的运算方法。

　　（3）情感态度与价值观目标：培养学生严谨的科学态度，锻炼自身的思维品质以及逻辑能力，培养出更多符合时代要求的“创新型”的人才。

　　（1）重点内容：对递推数列通项进行求解教学

　　（2）难点内容：求解例如=+、=、=+、=+这种形式的通项公式。

　　等差数列就是某个数列从第二项开始，任意一项和前者之间的差值为相同常数；假设第一项设为，公差用表示，所以其通项公式为。

　　等比数列就是某个数列从第二项开始，任意一项和前者之间的比值为相同常数；假设第一项设为，公比用，所以其通项公式为。

　　（1）已知，且，求解？

　　（2）数列可以满足，且，求的通项公式。

　　下面我们来分析以下问题是否可以解决呢？

　　例1、已知数列，，，求的通项公式。

　　为可变的数，如何对其通项公式进行求解呢？

　　（黑板演示），

　　把上面个等式加起来得

　　（板演）定律一，在数列中，第一项为

　　（1）假如即常数，那么数列则属于等差数列，且。

　　（2）假如“变数”，利用累加法对通项公式进行求解。

　　怎样求：

　　（1）在等比数列中，，求？

　　（2）假设的第一项为1，且属于正项数列，当（n=1,2,3…），求解？

　　假如（1）中为等比数列然而（2）中运用累加法对进行求解可以吗？

　　如何求？

　　例2、在数列中，已知，求？

　　（板演）

　　将上述个等式进行乘积，得

　　（板演）定律二，在这一数列中，第一项为

　　（1）假如（即为常数），那么数列属于等比数列，并且。

　　（2）假如“变数”，运用累乘法对通项公式进行求解。

　　接下来我们要介绍一个新的问题：

　　例3、在数列中，可以满足，求解（1）

　　从上述问题中我们可以发现怎样的特征？

　　定律三，无论在怎样数列中，均存在以下关系：

　　类似=+形式。

　　例4、数列里，，情况下，求。

　　解法1（待定系数法）设，那么，

　　。

　　所以属于以作第一项，公比是2的等比数列。

　　，那么。

　　解法2（配凑法）（构建新数列），还能够转化成。

　　相减发现属于第一项，公比是2的等比数列。

　　。把带进式中，得出-=2,因此

　　例5、已知数列｛｝里，在同时（），情况下，求=？解：∵∴，如果，那么

　　所以｛｝属于以作第一项，公差是1的等差数列

　　∴

　　∴

　　点评：此类解题方法就好像换元法,重点应用在已知递推关系式求解通项公式。

　　这节课始终以学生动口，动脑，动手去探索，归纳，总结。最终寻找一个普遍的规律，因而激发了学生学习的念头，鼓励学生去获得成功，适应合理的逻辑结构和认知结构，在问题中重复比较，归纳，总结，适合学生的认识规律和心理特点，调整了学生自主探索知识，重视数学思维方法的规律与总结，培养了学生的科研习惯和方法，这节课的教学设计比较合理，具备创新特点，板书也可以达到画龙点睛的作用。求递推数列的通项公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、换元法等。只有认真辨析递推关系式的特点，确凿无误选择适合的方法，才是迅速求出通项公式的关键。

　　求数列的通项公式是数列知识的一种基本题型,是高考数列知识核心考查的内容之一。按照递推关系求通项,除了计算—猜想—证明的思路外,往往是对某些递推关系进行变换,改变成熟悉的等差、等比数列,所以转化的普遍方法:一种是经过变形把问题转化，一种是经过构造把问题转化，这些都是求递推数列通项公式经常使用方法。鉴于自己水平有限，缺少教育经验，在文章编写过程中另有许多欠缺和不周密的地方。不足之处，恳求各位批评指正。

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　　大学三年的时光转眼即逝，在这里我要感谢大学期间传授我知识的所有老师，让我明白了很多道理，学到了很多知识，同时我还要感谢我的导师，是他在论文写作期间给予了我莫大的帮助，从论文选题到最后定稿，老师始终耐心的为我指导，另外导师严谨的教学作风深深的感染着我。我非常感谢老师在生活和学习中给予我的关心与照顾。

　　同时谢谢我们同学们在大学期间给予我的照顾和帮助，我们在一起开心的疯闹、倾诉，非常温暖。此外我还要谢谢父母这些年对我的包容与照顾。

　　最后，真诚感谢此次评阅论文和答辩时的所有专家老师！