关于微分中值定理的应用

　　在数学研究中，微分中值定理具备非常关键的作用。在近期的数学类硕士研究生考试中，与微分中值定理相关的命题层出不穷。所以分析此部分问题不只可以让我们深入了解与认知微分中值定理知识，此外对于后续的解题来说也非常关键。

　　微分中值定理一般涵盖罗尔（Roll）定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理和泰勒(Taylor)公式。上述部分彼此不断递进。分析某个函数整体和部分，和众多函数彼此间的关系。对了解函数的属性和根的存在性等部分具有关键的价值。学微分中值定理这部分的时候，我们需要了解为何要学习，以及与其他定理间的关系与使用。基于教材进行分析，我们逐渐了解到导数微分的关键性，然而并未讲解怎样使用，所以需要强化导数的使用，但是微分中值定理是导数使用的理论前提。因此此部分知识非常关键。其是此后分析函数极限，单调，凹凸性的前提。基于微分中值定理的形成进行分析，此处主要的基础是函数最值问题。而处理上述问题是使用微分中值定理。

　　学者对微分中值定理的分析，总共经历了二百多年的时间，其主要从费马定理开始，经过从特殊到一般、直观到抽象，强条件到弱条件的发展时期。学者也是在上述发展时期中，开始了解到其本身的内在关系与根本特点。微分中值定理是浓缩版本的普遍化，而上述普遍化和X数学家克拉默所说在对数学史上任何阶段中大众对数学做出贡献进行评估的，那些可以将之前统一起来而为此后发展寻找道路的概念，就应该被当做最深刻的定义。从广义层面进行分析，微分中值定理是这样的定义。

　　微分中值定理是微分学的主要定理，在数学研究中具备关键位置，是分析函数在某区间内的综合性质的重要方式。其主要包含众多定理。此处拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，柯西中值定理是罗尔中值定理的推广；反之，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊案例，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊案例。要想全面的分析中值定理，也需要掌握具体的推广方式和利用中值定理来处理函数的相关问题。文献1叙述微分中值定理的表达和典型证明，且延伸出具体的推广形式；文献2使用微分中值定理得出分段函数在分段点可导性的重要判定方式，之后得出分段函数的不同性质，且确定了分段函数的导数性质的使用案例；文献3叙述三个微分中值定理性质彼此间的关系，通过几何意义进行解题应用、分析函数零点的存在性和个数估计、明确证明函数恒是常数的多种方式；文献4使用微分中值定理表述反函数指数导数求导法则，在指数导数意义下创建知名的罗尔定理，拉格朗日中指与柯西中值定理；文献5叙述了微分中值定理的证明是利用创建辅助函数，在罗尔中值定理的前提上验证的，受到启迪，本文创建另类辅助函数，使用罗尔中值定理验证微分中值定理的全新方式，且叙述了微分中值定理在处理数学问题中的使用；文献6利用弱化微分中值定理的要求，得出减弱之后的结论，也就是中值定理的不等式形式，其在大部分中都有普通中值定理的效果，此外使用时期也弱化了少数条件；文献7叙述了罗尔定理逆命题的不成立性、拉格朗日定理结果内的点非任意性且寻找出充足的补充，研究论述了微分中值定理的使用；文献8根据案例研究了微分中值定理证明内的原函数法、积分法、K值法等众多方式；文献9和8也都分析了副主函数的众多方式且增加了使用函数增量构造辅助函数的方式；文献10使用实函数的微分中值定理检验向量函数对微分中值定理的不成立性，且确定出单纯的对微分中值定理成立的向量函数的类型；文献11全面叙述了微分中值定理的使用，包含解方程的根、证明不等式、证明等式，也确定出函数在特定环境中问题思路研究；文献12使用微分中值定理整理出部分解题方式。根据以上资料我们就可以分析对于多元函数来说的微分中值定理。

　　由于微分中值定理与连续函数紧密相关，因此有必要介绍一些连续函数的性质、定理．

　　性质2.1[1]（极限的保号性）若而，则存在，使当时，．

　　定理2.2[1]（最值定理）闭区间上的连续函数在上必有最大值和最小值，亦即在内，至少有两点和，使得对内的一切，有

　　这里和分别是在上的最大值与最小值．

　　定理2.3[1]（介值定理）闭区间上的连续函数可以取其最大值和最小值之间的一切值．

　　定理2.4[1]（零点存在定理）若在连续，和异号，那么在内至少有一点，使

　　定义2.5[1](导数的定义)设有函数在附近有定义，对应于自变量的任意改变量，函数的改变量为．此时，如果极限

　　存在，则称此极限值为函数在点的导数，记为．

　　罗尔定理的概念及证明

　　若函数满足下列条件：

　　①在闭区间[a,b]内连续；

　　②在开区间（a,b）内可导；

　　则在（a,b）内至少存在一点c，使证明：因为在[a,b]上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M=m,则在[a,b]上必为常数，从而结论显然成立。

　　(ii)若m<M，则因(a)=(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点c处取得，从而c是的极值点，由条件(ii)在点c处可导，故由费马定理推知=0。

　　设函数在区间上存在二阶导数，且.试证明在内至少存在一点，使．还至少存在一点,使

　　分析单纯从所要证明的结果来看，首先应想到用罗尔定理．由题设知，，且在上满足罗尔定理的前两个条件，故在内至少存在一点，使．至于后一问，首先得求出，然后再考虑问题．

　　本文全面叙述了重要的微分中值定理，在确定经典证明的前提下，汇总其构造辅助函数的理论，把其使用到其余定理证明中，尤其是函数的性态证明。本文也确定了微分中值定理的推广延伸形式，且进行证明，之后全面使用起来，全面叙述了微分中值定理彼此间的关系和差异。此外本文重点叙述了微分中值定理的使用，主要包含函数多的极值点，零点问题、函数凸凹点拐点问题和微分中值定理在个函数环境中的扩展应用。微分中值定理是微分学的重点，是联系函数和其导数彼此间的桥梁，我们需要深化对微分中值定理的了解，如此才可以充分使用微分中值定理。

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