1引言
本文主要阐述复初等函数性质与应用,我们之前对实初等函数的研究,了解实初等函数的性质.我们会发现实初等函数与复初等函数之间有许多相同点又有很大不同.同时会发现复初等函数与实初等函数的相同点是定义的形式,最大的不同点是它们的定义域,实初等函数定义域是为实数域,而复初等函数的定义域为复数域,相当于是在定义域的扩充.定义域的改变其性质也会变化,譬如复指数函数的值域为同时其具有周期性而复三角函数也不是有界函数等.
2初等解析函数
2.1常数函数
2.1.1常数函数的定义
定义1[1]:常数函数是值不发生改变的函数,即,有,其中是常数且.
2.1.2常数函数的性质
性质1[11]:若函数在区域内解析,且在区域内,则函数在区域内是常数函数.
性质2[11]:若函数在平面上解析且有界,则在平面上是常数.
2.1.3常函数的应用
证明函数为常数函数是我们经常遇到的问题,我们将进一步研究此类问题的解法.
例1[6]若在区域内解析且仅取实数值,则常数.
证明：若,则.
由条件：有,,则从而,为常数函数.
由此题我们发现可以应用条件证明解析函数为常数函数.
例2[6]若函数在平面上是解析的,且不取位于某一条简单弧上上之类的值,证明.
证明:单叶解析函数可作出曲线外部的单连通区域保形变换为单位圆.可知函数是绝对存在的,该函数也不是一个常数.复合函数,在平面上是解析的,它的值位于单位圆内.根据刘维尔定理,函数是常数,由非常数的解析函数的单叶性,函数.
此题应用刘维尔定理证明.
2.2指数函数
2.2.1指数函数的定义
定义2[4]：函数被称为的指数函数.
2.2.2指数函数的性质
性质1[7]:设,则,.
性质2[7]:解析性在平面上解析,且.
性质3[4]:加法定理，.
性质4[7]:周期性是以为周期的周期函数,其中为非零整数.
事实上,.
性质5[7]:不存在,即没有意义.
2.2.3指数函数的应用
例1[4]讨论是否存在.
(1)当沿从原点出发的直线趋向于时；
(2)当沿双曲线的支趋向于时；
(3)当沿趋向于时.
解(1)直线的辐角为,讨论不同的,
当时,,,所以.
当时,,,所以.
当时,在1和-1之间振动,所以的极限不存在.
（2）当沿双曲线的支趋向于时,若以正、负实轴为渐近线,极限分别为与0,故当时极限不存在.
（3）当沿趋向于时,在第一象限与第二象限的一支极限分别为与0,故当时极限不存在.
此题我们可以运用指数函数的性质来判断其极限是否存在.
总结
本文阐述了七类常用复初等函数的定义,性质及其应用.复初等函数性质与实初等性质函数大有不同.应用上本文主要说明复初等函数性质的应用,及其在数学解题时的应用.复初等函数应用广泛，其美妙之处需要我们多研究学习.
参考文献
[1]钟玉泉,复变函数论(第三版)[M],北京:高等教育出版社,1995.
[2]陈宗煊、孙道椿、刘名生、复变函数[M],北京:科学出版社,2010.
[3]余家荣,复变函数(第三版)[M],北京:高等教育出版社,2000.
[4]孙清华,孙昊,复变函数内容、方法与技巧[M],武汉华中科技出版社,2003.
[5]韩惠丽,多值函数在复变函数中的应用[J],宁夏:宁夏大学,2007,第23卷第4期,1-2.
[6]崔萍,复变函数中证明解析函数为常数的方法[J],曲靖师专学报1995年第14卷第6期,2-3.
[7]冯志新,沈永祥.复变函数论[M],北京:北京大学出版社,2012.8.
[8]李霞,复变函数中幂的性质的研究[J],安庆师范学院学报(自然科学版),2013,第19卷第一期,24-26.
[9]刘长义,复数的辐角在反三角函数中的应用[J].数学通报,1987,第10期,21-25.
[10]Li-jiang ZENG.Some Notes about Basic Elementary Complex Function[A].Advanced Science and Industry Research Center.Proceedings of 2017 International on Advanced Education and Management Science(AEMS 2017)[C].Advanced Science and Industry Research Center:2017:4,60-61.
[11]赵强,关于复变函数中解析函数的常数定理[J],玉林师范学院学报,2006,第27卷第5期,22-24.
[12]李劲,欧拉公式的几种证明及其在高等数学中的应用[J],河西学院学报,2008,第12卷第1期,2-3.
下载提示：
1、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等，请点击“文章版权申述”（推荐），也可以打举报电话：18735597641(电话支持时间：9:00-18:30)。
2、网站文档一经付费（服务费），不意味着购买了该文档的版权，仅供个人/单位学习、研究之用，不得用于商业用途，未经授权，严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等，侵权必究。
3、本站所有内容均由合作方或网友投稿，本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺！文档内容仅供研究参考，付费前请自行鉴别。如您付费，意味着您自己接受本站规则且自行承担风险，本站不退款、不进行额外附加服务。
原创文章，作者：写文章小能手，如若转载，请注明出处：https://www.447766.cn/chachong/13407.html,
