1绪论
1.1脉冲控制研究背景
在自然界中，有一类在运动状态下的系统会在某一时刻会经历瞬时突变，这类运动状态的突变现象称为脉冲效应。因为状态的特殊性，用常见的连续微分方程或者离散差分方程很难真实地反映受脉冲影响的动态特殊性。为了探讨这类问题，来反映系统状态的变化规律，一般借助于脉冲微分方程。脉冲系统便是由这种脉冲微分方程来描述。在众多领域中，有许多都应用了脉冲来解决相应的问题[1]P27。
在生态系统中，由于季节，环境，以及人类活动的影响，一些生物种群的数量在某些时刻会发生瞬时改变。例如，我们常常需要喷洒农药来防治有害生物，这就会导致有害生物种群数目突然发生变化，这类动态过程就可以采用脉冲系统来描述。
在经济系统中，由于环境变化，人为干预以及经济系统自身规律的影响，资金运动状态常发生显著的变动。如，国家调控政策的实施与市场的供求关系的变化会引起股票市场的价格突然的涨跌，这种现象也可以借助脉冲系统来描述。
在生物工程应用中，脉冲系统的运用也十分普遍。口服药物或者静脉注射会引起身体某些状态变量瞬时改变。例如，糖尿病患者注射胰岛素后，患者体内胰岛素含量会瞬间增加，这种现象就可以使用脉冲系统来刻画。脉冲系统的理论也常常应用于临床医学上。
因为数字计算机和网络技术的飞速发展，脉冲系统理论在控制领域中也获得了普遍的运用。所以，脉冲效应对网络有很大影响。在实际应用中，系统可能会由于瞬间的瞬时扰动而受到脉冲效应的影响。作为一种不连续的控制方式，脉冲控制通常被视为经济并且实用的网络控制方法。使用脉冲系统对网络控制构造数学模型，并且研究网络环境在受网络约束的控制脉冲中产生的问题。在许多领域中，脉冲控制成为一个高效建摸的工具。
1.2时变系统介绍
在现实中有许多因素影响着系统的稳定性，时变现象就是其中之一。时变系统的结构参数会随着时间的改变而改变，而时不变系统却不会改变。对于线性时不变系统在动力学方面的研究已经愈发成熟，但对于时变系统的研究难度却非常大。例如：导弹、飞机机翼的颤振问题、航天器中的太阳电池帆板和机器臂的展开问题、高速列车会引起桥梁激烈振动问题等。相似的时间结构问题还有许多，目前主要有两种研究工作：（1）将数据分成一小份一小份的时间段，还认为在时间段内的结构参数是时不变的，而后使用曲线拟合把时间段内的值变化成参数的时变曲线规律；（2）在线技术中，思考每一个随着时间改变而改变的数据，并且在每一个时刻都适时改正参数的估计值。
在文献[2]P14-23中，对系统进行分类，从现实状况出发分为参数时变，结构时变和扰动不确定；由于导致的原因不相同，能够分为内部时变和外部时变；时变系统的控制方向不同，也可分为线性时变与非线性时变。
时变系统的稳定性是指在时变因素的影响下，运动状态、输入输出和参数等变量最终能够达到某种目的。因此时变系统的结构往往是十分复杂的，要保持系统的稳定性也十分困难。所以必须附加假设前提，并且也要明白时变特点与性能等信息，使得时变系统保持稳定。
1.3鲁棒控制理论
系统具备不确定性的要素的控制理论是鲁棒控制理论。在文献[3]P111中，鲁棒性分析问题依靠的两个前提：不确定集合和已给的系统，再根据这两名个前提获得系统鲁棒性的条件。文献[4]P111中，鲁棒性综合问题依靠的两个前提：已给的模型和不确定集合。设计控制器来讨论鲁棒性分析得到的结论，并且让该系统满足功能要求。对于一个实际的控制系统，在建立系统模型与现实之间总会存在误差或差别，这些差别便是系统中的不确定。存在不确定的原因有许多，改变的参数、动态特征未建模、变化的平衡点、干扰输入的不能预测等。系统不确定性的原因有许多，其中最主要的因素就是参数不确定和动态不确定。李雅普诺夫方法在研究时域模型的鲁棒性分析的问题中得到了普遍的运用。该方法的基本思想是构造一个李雅普诺夫函数，从而获得系统的鲁棒稳定有界范围[5]P975。
近年来，许多学者对不确定系统的鲁棒稳定性进行了深入研究，并且获得了很大进展。学者对不确定线性时滞系统的鲁棒镇定问题进行研究，获得了系统稳定性的条件，并且结果具有保守性[6]P1763。在文献[7]P466中，探讨具有时变时滞的线性系统的相关问题，构造Lyapunov泛函并且包含三重积分泛函项，获得了稳定性的判定条件并且使保守性降低。在此基础之上，在文献[8]P725中，建立了新Lyapunov泛函并且包含时变时滞的信息，通过应用积分不等式方法获得了相关的结论。
1.4不确定性
在供应链网络中常常出现许多的不确定性，如不确定供应、不确定生产、不确定环境以及不确定需求等等。这些不确定性的影响也很大，其中需求不确定性从顾客传递需求影响了生产量和生产时间，因此成本大幅度增加等影响。这些不确定性因素，往往导致了网络结构更加复杂，也加剧供应链的复杂性，但是当前有关不确定性对网络影响的研究资料相对较少。通过建立数学模型，设置各类不确定因素作为变量，能够较好的研究在各种条件下的供应链网络。
1.5相关定义及方法
考虑如下所示的控制系统
(1-2)
其中，为时间的维向量。
定义1.1[9]：（李雅普诺夫意义下的稳定）：设为系统的一个平衡状态，称在李雅普诺夫意义下是稳定的。若对给定任意的实数和任意时刻，总对应地存在一个实数，使得满足以下不等式
(1-2)
的任一状态开始的受扰运动都应该满足以下不等式
(1-3)
定义1.2[9]：（一致稳定性）：在定义1.1中，如果选中的与开始时刻无关，而且依靠于，则称该平衡状态是一致稳定的。
定义1.3[9]：（渐近稳定性）：平衡状态在时刻为渐近稳定的，如果满足以下两个条件：
(1)在时刻为李雅普诺夫意义下的稳定；
(2)对实数和任意给定实数，对应存在实数，使得由满足不等式(1-2)的任意初始状态出发的受扰运动都同时满足不等式
(1-4)
定义1.4[9]：（一致渐近稳定性）：在上一个定义中，如果在给定时间范围中取任意初始时刻，存在任意给定实数与时刻无关的实数，而且存在由实数和任意实数与初始时刻无关的实数，使得应受扰运动相对于平衡状态有界并且使得条件（1-4）成立，那么称平衡状态是一致渐进稳定。
定义1.5[9]：（指数稳定性）：若为系统的一个平衡状态，如果对于任意的实数，都存在相应的实数和使得满足不等式的任意初始状态出发的运动满足不等式
(1-5)
那么称平衡状态为指数稳定的。
黎卡提方程：设A、Q和R是矩阵且Q和R为对称阵，则称矩阵方程
为一个代数Riccati方程。
2问题阐述
2.1方法描述
影响着系统的稳定性有时变时滞现象，脉冲现象等。具有微分方程的一种控制形式便是脉冲控制。脉冲控制运用的领域非常广泛，其中生态、经济、混沌等系统都存在，往往脉冲控制的效果比连续性控制的效果更加明显。在文献[10]P405中，对一类线性时不变脉冲切换系统的有关问题进行研究，运用李雅普诺夫函数，创建了这类系统的指数稳定性与渐进稳定性的判定依据，利用数例证明了结果的正确性。在文献[11]P59中，针对具有时滞和时变脉冲效应的一类神经网络的指数稳定性分析进行了研究，也是利用李雅普诺夫方法，为时变脉冲的时滞时滞神经网络推导了几个稳定性条件。在文献[12]P16中，探讨了脉冲效应对系统镇定的实现有关的问题，获得了关于脉冲的具体的表达式，之后把获得结果进一步应用到一般方程中。在文献[13]P321中，突出了脉冲对方程稳定性具有强有力的效果，并且对已有的结论进行推广与改进。
在上述文献中，构造李雅普诺夫函数方法是理论研究的主要方法，在创建函数时也要找寻脉冲的控制条件。系统在一定合理的条件下能够有效的构造李雅普诺夫函数。这一做法一般会得到更好的效果。
2.2模型建立
考虑下面线性脉冲动态系统：
(2-1)
当系统(2-1)存在不确定的因素时，得到下列一类不确定的系统：
(2-2)
其中：是系统状态量，是适当实数的系统矩阵，为一常数，是控制输入，是扰动输入，，假定系统(2-2)的解是左连续的，。为脉冲跳跃时间点，当、时，设计一个反馈控制律
(2-3)
这里：是常数矩阵，使得所得稳定的系统(2-2),把这个反馈控制律代入(2-2)式中可以得到如下的系统：
(2-4)
2.3主要结果
引理1[14]P40：给定矩阵使得，那么对于所有的和有如下的不等式：
(2-5)
其中：为单位矩阵，当时，不等式(2-5)变成了如下的不等式：
(2-6)
引理2[14]P40:给定正定矩阵和对称阵，那么对于所有的，有不等式如下：
(2-7)
这里为矩阵的最小特征值。
定理1：当时，给定,如果存在矩阵,,使得以下不等式成立：
(2-8)
则系统(2-4)指数稳定。
证明：当时，在定理1条件下取,可以得到系统(2-4)。
取李雅普洛夫函数：
(2-9)
那么可以推导出：
根据引理1，可知
可以得到不等式：
由不等式(2-8)，得以下的不等式：
(2-10)
根据引理2有如下：
那么，从(2-10)式和中可得
其中：
根据(2-4)式和(2-8)式，可得到等式如下：
因此，
由数学归纳法可得出如下的推导过程，当时，推导公式如下：
当时，有如下的推导公式：
那么，当时，
由此可知，
所以得到如下不等式：
即
所以系统(2-4)是指数稳定的。
对于时，即系统存在扰动项。假设此扰动项满足：
则根据(2-8)以及上述证明过程可知系统(2-4)是鲁棒稳定的。
定理2：当时，给定，若存在整数和正定对称矩阵，设一个反馈控制律为
使得
(2-11)
成立，系统(2-4)指数稳定。
证明：
由定理1，当时，如果满足定理条件，那么存在实数和正定对称矩阵，假设。
根据不等式(2-8)，可得
其余证明与定理1类似，因此，定理得证。
推论：当时，给定，如果存在正定对称矩阵P,Q并且设计一个反馈控制律为
使得
成立，系统(2-4)指数稳定。
2.4数值示例
数值例子如下：
考虑系统(2-2)的参数如下：
显而易见，则把参数带入到系统(2-2)中，得到如下：
如果，带入参数到公式(2-11)中，利用MATLAB软件对不等式进行求解，可得满足不定式的正定矩阵
，
所以反馈控制律为
所得的结果，说明了系统的可行性。
结论
本文探讨了一类具有时变脉冲的不确定系统的鲁棒稳定性分析的相关题目。运用Riccati不等式和李雅普诺夫泛函等方法与技巧，给出了系统稳定的判距，从而使结果的保守性降低。最后利用一个数值例子来证明了所取得结果的可行性以及正确性。
由于脉冲效应在人类社会和自然界中普遍存在，脉冲系统领域研究的生命力还在不断增强。在网络环境下，脉冲对网络的影响也很大，对在网络环境下的脉冲控制问题进行研究十分有意义。充分考虑脉冲频率和脉冲时间间隔，便能够更加准确的创建有关脉冲效应的时间神经网络模型。这类脉冲神经网络不仅能够得到越多的信息，还能获得越强的计算功能。
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