引言
多年来人们对线性动力系统的研究已经相当的成熟，但是伴随着科学的迅猛发展，人们越来越意识到许多实际生活中及时响应、反馈的系统等等都不能用单一的连续系统或离散系统模型来描述，而利用具有脉冲效应的微分方程来建模才比较符合当下的需求。一个实际的系统在不断变化的外部环境中，由于各种不确定的因素系统状态也会随着时间发生难以确定的变化，只有稳定性好的控制系统才能正常工作，因此脉冲系统的稳定性分析显得格外的重要。
1绪论
1.1脉冲效应系统研究现状
脉冲一般指的是电气工程领域中的电压(V)或电流(A)，它们的波形像人体脉搏一样的有短暂起伏。另外，计算机中的信号是数字信号，也称为脉冲信号[2]。脉冲信号的频率较低在大部分时间间隔内都没有信号，因此比连续信号更加的节约传输通道资源，抗干扰的能力较好以及拥有更好的保密性。此外，脉冲也是一种可以直接用来表达思想或者情绪上的波动。学术上把脉冲定义为：在短时间内突变，随后又迅速返回其初始量的变化过程称之为脉冲[1]p1。
脉冲效应就是短时间内事物快速起伏震荡而产生变化最后又趋于平稳的现象，例如生态系统中的种群增长波动，流行病毒的传播，飞行器的运动轨迹，银行调整存款利率等等。通俗的讲，所谓的脉冲现象就是系统的状态随时随地可能会发生断断续续的变化。脉冲动力系统既具有连续系统的特点又具有离散系统的特点，脉冲系统更实际的反映系统随时变化的特性，因此我们引入脉冲动力系统来更好的解决这个问题。
因为脉冲具有瞬时作用，所以使得脉冲动力系统的解都不是连续的。假若脉冲系统的所有解都在同一短时间间隔内不连续那么此系统为固定脉冲时刻系统，例如定期接种疫苗、湖泊定期投放鱼苗等都属于具有固定时刻脉冲的脉冲系统，而在维护人工生态系统平衡时，只有在捕食者的数量达到一定程度破坏被捕食者生存环境时就会实施对应的管控措施，以此来重新恢复两者之间的生态平衡从而使整个系统平衡可持续发展下去。我们根据脉冲系统的系数是常数还是时变的，可以划分为自治的脉冲系统与非自治的脉冲系统[4]。脉冲动力系统已经渗入到我们实际生活当中，并且已经取得了一些成果。例如，在农业生产的病虫害的防治中，农药的喷洒和天敌的的都是瞬间完成的，这使得害虫和天敌的数量瞬间发生变化。在生态环境的治理中，要考虑到污染对生态环境的影响、工厂环境污水的脉冲排放。疾病治疗过程中的脉冲用药。在微生物培养中，脉冲注射法是一种较常用的营养基培养方法，加入脉冲注射法是一种经济有效的微生物培养方法。
2线性时变系统状态方程
2.1线性时变系统模型
根据维向量时变系统状态方程，考虑如下的线性时变系统模型
（1）
其中是系统的状态量，是系统的输入量，是系统的输出量。
是系统矩阵，是输入矩阵,是输出矩阵，并且系数矩阵的元素是时间的连续函数。
下面给出本文中用到的有关线性时变系统的定义。
定义2.1.1[5]p2线性时变系统的能观测性
假设和分别为和阶连续可微的，则可以得到如下方程
（2）
其中进而定义线性时变系统能观测性矩阵
（3）
，，线性时变系统则为能观测的。
定义2.2.2[5]p2矩阵指数有界性
，。若在时间内，,其中与均为常数，则称该时变矩阵在内指数有界。
系统的能控和可观性是系统稳定的充分不必要条件，本文将按照定义2.1.1和定义2.2.2并考虑实际生活中的系统在绝大部分时间可以被观测，建立范围内一致可观察的线性时变系统。
2.2线性时变系统的特性
线性时变系统顾名思义就是时变系统又拥有线性系统的特性。我们先判断系统是否为线性的，方法为：如果输入量先经过线性运算后系统输出的值=系统输出量经过线性运算后的值
假设有系统，输入量为、和
(a)
(b)
若那么该系统为线性系统。
如果线性系统中的参数值随时间变化[16]p1，从而整个系统特性也随之改变，那么这个线性系统具有时变性即是。的输入值决定了系统的输出值，而输入时刻与输出值同样有关，因此我们一定要弄清其特性然后再进行系统的分析。
2.3线性时变系统稳定性
一个稳定的控制系统的输出量出现剧烈变化时，系统会在最短的时间内使输出量恢复稳定状态，让此系统能再次平衡，因此稳定性研究是控制系统不可缺少的环节。判断线性时不变系统渐进稳定取决于系统矩阵的特征多项式的根有负实部（其中表示实数集，表示矩阵的特征根）即为条件能够判断线性时不变系统渐进稳定。但是对于线性时变系统，即使满足条件也不能判断其是否真正渐近稳定。于是利用Lyapunov第一方法求微分方程一致正定，一致有界且有界的矩阵解从而判定线性系统一直渐进稳定，然而求解矩阵微分方程比较困难，所以可以用更简单的方法解决这个问题。
3具有脉冲效应的线性时变系统
3.1脉冲系统的稳定性研究
早在上个世纪六十年代，米尔曼V D和迈什基斯就已经开始研究脉冲微分方程的理论了。到了上个世纪八十年代，X佛罗里达学院拉克斯米坎特姆与他的合作者极大的扩展了脉冲常微分系统基本理论。华裔学者杨涛的研究则是系统的介绍了脉冲控制理论。李雅普诺夫函数的提出和拉祖米欣技巧的应用解释了脉冲系统解的性质，极大的提高了脉冲控制理论的实用性。学界相继建立了脉冲常微分方程解的基本理论[7][8]。这些微分方程的理论得到了越来越系统详细的研究[10]。
虽然脉冲系统已经取得了丰富的研究成果但是想成功应用于实践，仍然有很多问题需要解决，一个实际的系统在不断变化的外部环境中，由于各种不确定的因素系统状态也会随着时间发生难以把握的变化，因此脉冲系统的稳定性分析显得十分重要。
3.1.1稳定性的概述
由上文我们知道良好的稳定性是一个系统能投入实际使用的必要条件。
稳定性的定义为：当系统收到外界干扰系统的平衡被破坏，但在干扰去掉后，它仍有能力自动地在平衡态下继续工作[16]p5。
即外界的干扰消失后，系统状态不断波动并逐渐趋于平衡态的变化量
式中，为系统输出量偏离其平衡位置的变化量；为任意小的规定量。
因为控制系统需要在现实生活中应用，实际系统会处在一个不断变化的环境中，其中大部分具有非线性或时变因子，甚至系统结构本身也会经常更新，不断的“添砖加瓦”，以适应实际变化的要求，保证系统的稳定运行。然而脉冲微分方程用来描述的物质运动的特解又与初值密切相关[3]。计算或确定系统初值难度相对较大因此出现干扰和偏差是难以避免的，这就导致用微分方程求解来确定系统稳定性是难以做到精确的而且非线性微分方程找到解的具体表达式是相当困难的。
为了解决这类复杂系统的稳定性问题时，较合适的方法是根据Lyapunov第二法而得到的一些稳定性理论，即Lyapunov稳定性定理[8]p3。
通过定义一个叫做Lyapunov函数的标量函数来分析判别稳定性[8]p6。
其中为维的关于状态变量向量和时间的非线性向量函数。表示系统受到干扰偏离平衡态的扰动运动。
定义1[11][Lyapunov意义下的稳定性]：设为系统的一个平衡状态，称在Lyapunov意义下是稳定的。如果对给定的任一实数，都对应地存在一个实数，使得由满足不等式的任一初态出发的受扰运动都满足不等式
定义2[11]p3[Lyapunov意义下的一致稳定性]：在Lyapunov的稳定性定义中，如果的选取只依赖于，而与初始时刻的选取无关，则进一步称平衡状态是一致稳定的。
定义3[11]p2[Lyapunov意义下的渐近稳定性]：平衡状态称为渐近稳定的，如果：
(1)首先要满足Lyapunov意义下是稳定的；
(2)接着对和任意给的实数,对应的存在实数（，，）
定义4[11]p5[Lyapunov意义下的一致渐近稳定性]：如果在上述定义3中，实数和的大小都不依赖于初始时刻，那么称平衡状态是一致渐近稳定的。
定义5[11][Lyapunov意义下的指数稳定性]：设为系统的一个平衡状态，如果以状态空间中的任一有限点为初始状态的受扰运动都是有界的，并且对于任意的有限实数>0，都存在相应的实数()和使得由满足不等式‖-‖≤()的任一初态出发的运动满足不等式
则称平衡状态为指数稳定的。
定义6[15]：称为是一个一致渐进稳定函数
是指下面的标量系统是全局一致渐进稳定
一个函数是一个一致渐进稳定函数当且仅当对
定义7[平均脉冲间隔]：假设表示中脉冲个数平均脉冲间隔不大于是指
3.2建模脉冲效应时变系统
考虑由下述方程组构建具有脉冲效应的线性时变系统：
（3.1）
从上式第二个方程知道，当时，此时系统的状态在时刻距离0点更近，所以脉冲效应是有利系统稳定的。当时，此时系统的状态距离原点更远，脉冲效应是不利于稳定的。我们先考虑时的情况。
定理1：假设存在一个连续函数，一个正定可导函数使
（3.2）
若，且平均脉冲间隔不大于时则系统（3.1）一致指数稳定且下面的式子成立
证明：
选取Lyapunov函数
当时
（3.3）
当时
（3.4）
由（3.3）可知，当使得
（3.5）
根据（3.4）和（3.5）可得
当时
（3.6）
又由（3.6）可知当时
系统（3.1）一致指数稳定
定理1考虑了脉冲效应不利于系统稳定的情况得知只有系统本身必须是稳定的才能抵消脉冲效应。接下来我们考虑更加一般的情况即系统本身是不稳定的但可以通过脉冲效应使系统达到稳定。
定理2：假设存在一个连续函数满足对于一个正定可导函数使
（3.7）
（3.8）
在下面式子成立时稳定
（3.9）
证明：
选取Lyapunov函数
当时
（3.10）
可知
从而
（3.11）
（3.12）
(3.13)
3.3为常数情况时分析
在不等式，其中为正定矩阵，为常数。现在仅考虑为常数，则
等价于
则
求解上式，存在正定矩阵，常数，使得负定。
3.4小结
第三节研究了脉冲效应时变系统的稳定性问题，根据李雅普诺夫标量函数的定义，构建具有脉冲效应的线性时变系统，接着在适当的约束条件下给出一个具有充要条件的定理，最后证明了此定理的准确性即构建的脉冲效应的线性时变系统是一致指数稳定的。
结论
本文分析了具有脉冲效应的线性时变系统的稳定性，首先建立起能观测的线性时变系统模型，紧接着建模具有脉冲效应的线性时变系统，我们想利用李雅普诺夫第一方法求微分方程的解来间接的判断系统稳定性，但是难以精确的找到系统初值并且方程求解有点困难，于是通过李雅普诺夫标量函数稳定性定理，构建具有脉冲效应的线性时变系统，根据李雅普诺夫第二方法的一致渐进稳定性定理的充要条件，最后证明了构建的具有脉冲效应的线性时变系统是一致指数稳定的即此系统是稳定的。
脉冲微分方程可以被非常广泛的应用于人工智能、智能医学等领域。任何的即时系统管理与优化控制都不是一个简单的连续的过程，都应该考虑到即时突发情况对系统状态的影响，而此脉冲效应线性时变系统相对更加准确、灵敏、深刻地反映了实际事物的变化规律，通过了解脉冲微分方程知识，我们可以深入研究环境可持续发展问题和人口的脉冲增长问题。我认为人们也将越来越认识到脉冲效应线性时变系统在实践应用中的价值、合理性以及重要性，为推动解决当今人类社会最至关重要的生存问题提供帮助。
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