线性时变系统的事件触发采样控制

　　目前,事件的触发和资源控制已经逐渐成为当前一种流行的电子技术研究方向和主题。随着现代电子工业由于生产过程的日益复杂化所可能引起的有限和无线网络资源控制系统的日益流行,不可避免地就会出现对能源、通信和电子计算资源的浪费和限制。将嵌入式事件的触发和控制思想广泛应用于传统的嵌入式事件控制系统,可以有效地彻底解决这些资源限制问题。

　　它的特点是输出和响应的时间缩放波形不仅与信号和输入响应波形的均匀性有关,还与输入响应信号加入的响应时刻缩放系数有关。[12]

　　当一个系统的特性满足了系统中具有叠加性、齐次性的两个特点,且当全部系统中某一参变量值的特性根据连续时间的改变而发生改变时,系统的特性也就会跟着连续时间发生改变,即同时存在满足线性系统与时变的系统两个特征的线性系统,那么我们可以称这个线性系统为满足线性时变的系统。

　　事件控制触发机制的任务执行方法是在充分保证闭环系统控制性能和系统运行稳定性的关键技术前提下,当闭环系统事件控制发生器试验系统接收到事件触发控制任务的信号并且切合事先发生器设置好的事件触发任务实施条件时,事件即刻被触发,控制的任务立刻被成功执行。事件控制触发任务的是否成功执行由事先发生器给定的闭环系统事件控制触发任务条件进行决定,而不是根据其实践的情况。一些研究结果表明闭环系统事件触发任务控制处理方法的应用可以有效地减少事件控制触发任务的执行时间和数量,节省了网络的带宽和资源,从而在充分保证了闭环系统控制性能的基础上,显著地有效节约了通信网络资源。[4]

　　事件触发功率分配控制在线性系统和多智能体系统的一致性研究中已经陆续出现许多突出的研究结果和重要贡献,比如在发表的文献《基于采样的多智能体事件触发控制》[6]中，对于多智能体系统，先重新采样一次,将连续的时间事件转变为一个离散的时间,考虑到其采样连续周期和其渐近采样稳定性之间的相互联系,得到了采样连续周期的长度和取样阈值的范围。文献《分布式发电机基于采样的事件触发控制》[8]中，研究了一种具有分层事件触发控制结构的分布式性能发电机组件中事件协调控制的问题，基于二级事件触发控制的技术层面,提出了一种基于采样机遇多智能体系统一致性触发控制概念的分布式事件触发控制功率评估和共享触发控制策略。其中的分布式性能触发功率评估分析结果表明了分布式算法触发控制能够有效地实现精确的事件触发功率的分配。连续时间事件触发的控制技术相比于离散时间事件触发的控制可以大幅程度地减少分布式控制器事件更新的次数。

　　首先我们给出了线性时变系统的一个理论模型。与线性时不变系统不同，线性时变系统的理论分析更加复杂，它的向量系数和矩阵中的元素都是基于线性时变的。考虑以下的线性时变系统模型

　　(2-1)

　　其中是系统的状态量，是系统的输入量。是系统矩阵，是输入矩阵，并且系数矩阵的元是时间的连续函数。

　　令为时变系统的转移矩阵，且具有初始值。则系统(2-1)的Gramian矩阵定义为
       .

　　然后，我们考虑基于Gramian矩阵的完全分布式事件触发控制。以下假设建立在Gramian矩阵上。

　　假设1存在三个正常数和，使得对于所有，以下条件成立：

　　(2-2)

　　注1这种系统可控性的假设我们有时称之为称为一致可控性，如果假设1成立，那么线性时变系统(2-1)是一致全局指数稳定的。

　　在介绍主要结果之前，下面的矩阵函数用于构造Lyapunov函数：

　　,

　　其中。根据假设1，可以得出

　　从而

　　.

　　定义时变矩阵，。如果在时间内，，其中与均为常数，则称时变矩阵是指数有界的。

　　在实际的应用中，控制系统正常运行其实就是指这个系统处于一个相对稳定的正常运行状态。这种控制装置最基本的功能和作用之一就是当系统与被控对象的中心点出现了偏离后能够仅依赖于控制系统里面的一些构造运动要素而使系统还原至均匀状态,或者被限制在限定的邻域中,具有这种结构运动特性的控制系统则被人们称为系统是稳定的,所以系统稳定性的物理意义很明显,因为其实系统的微分方程初值总是很难规避一些会使系统出现扰动和偏差的情况。如果一个微分方程的初值总是有微小的变化,而初值其解却可能有较大的变化,从而可能导致了严重后果,那么这种不稳定的特解显然没有什么大的实际意义。相反,如果解的初值变化有细致的稳定性变化,并且一个微分方程解的初值变化也很小,这样的特解稳定性才可能认为是有实际意义的。这事实表明,对特解的稳定性的深入研究在非线性微分方程中仍然有着历史性的重大意义,多数非线性微分方程的解是不可能或很难准确地找到它们特解的具体表达式,因此,有必要在不具体地求解微分方程的特殊情况下重新判断微分方程解的稳定性。[16]

　　定义1[Lyapunov意义下的稳定性]：假设为系统的一个平衡意义下的状态，如图2.1，称在Lyapunov意义下是稳定的。如果对于给定的任一实数，都可以相对应地存在一个实数，使得由任何一个满足不等式的初态出发的一个受扰运动都可以满足不等式
       图2.1

　　定义2[Lyapunov意义下的一致渐近稳定性]：如果在上述Lyapunov意义下的渐近稳定性定义中，实数和的大小都不依赖于初始时刻，那么称平衡状态是一致渐近稳定的。

　　定义3[Lyapunov意义下的指数稳定性]：设为系统的一个平衡状态，如果对于任意的有限实数，都存在相应的实数和使得由任意一个满足不等式的初态出发的运动满足不等式

　　我们定义为控制系统的采样时刻。如果

　　(2-3)

　　成立的话，则控制系统存在Zeno现象。所以在一个具有事件触发控制的系统中，避免Zeno现象无疑是非常重要的，当然实际系统中也是不大可能让Zeno现象出现的。

　　系统稳定性判别是研究控制领域的一个必然环节，稳定性是设计控制系统最基本的要求。我们知道，线性定常系统渐近稳定的充要条件是系统矩阵的特征多项式的根具有负实部。即条件可以判断线性定常系统是否渐近稳定(任意特征根均属于复数集)。然而，对于线性时变系统(2-1)，即便是满足条件，也无法判断其渐近稳定与否。下面给出一个例证。

　　(3-1)

　　其中对于，均为正常数并且

　　(3-2)

　　通过上述条件可以得到当，时

　　(3-3)

　　当，时(3-4)

　　易验证此系统特征值为(3-5)

　　(3-6)

　　(3-7)

　　考虑到初值是系统的矩阵解，设作。那么

　　(3-8)

　　(3-9)

　　(3-10)

　　(3-11)

　　所以如何判断其稳定性是一个非常复杂但又不可避免的问题。本文在研究设计状态观测器时，也充分考虑了这个问题，尝试通过给出一种较简单的设计方法来解决这个问题，让设计的状态观测器真正的在实际工程中更好地发挥作用。

　　考虑下述线性时变系统：

　　(3-12)

　　采用如下的事件触发控制器

　　(3-13)

　　为采样时刻，来模拟网络控制系统。

　　由(3-12)和(3-13)可得

　　(3-14)

　　定理：当设计如下的事件触发控制器时，系统(3-12)是一致指数稳定的。其中。

　　其中。

　　证明：考虑Lyapunov函数

　　(3-15)

　　导数为

　　(3-16)

　　又

　　(3-17)

　　由(3-16)和(3-17)可知

　　(3-18)

　　另一方面

　　(3-19)

　　由(3-18)和(3-19)可知

　　又

　　令知

　　因此系统是一致指数稳定的。

　　接下来我们证明触发器不会发生Zeno现象

　　假设,则由于和,的连续性可知

　　又

　　这说明

　　与假设矛盾。

　　因此系统不会出现Zeno现象。

　　再次考虑系统(3-12)，其中

　　令，可得

　　从而

　　本章探讨了线性时变系统以及具有事件触发控制的线性时变系统的稳定性。首先阐述了线性时变系统在进行设计时，其稳定性问题相比于线性定常系统，有着较大不同，比较难以解决。然后设计并在线性时变系统中加入事件触发控制器，构造Lyapunov函数，证明了其指数稳定，并且证明了触发器不会出现Zeno现象。

　　本文主要研究了线性时变系统的事件触发采样控制，将事件触发控制器引入线性时变系统，模拟了传统的网络控制系统，证明了该系统是一致指数稳定的。由此可见，事件触发控制是能够促进网络的稳定的，它能够大大提高数据传输的稳定性和精确度，防止数据包的损坏与丢失，同时又能极大的减少资源的使用，节省带宽资源，使数据传输过程变得高效快捷。

　　[1]陈志华，解永春.线性时变系统有限时间稳定性分析[J].控制理论与应用，2018，35(4):485-496.

　　[2]王仁明，关治洪，王燕舞，刘新芝.关于一类线性时不变切换系统的脉冲控制[J].系统工程学报，2006，21(4).

　　[3]王志文，赵莹.基于事件触发机制的NCS控制与通信协同设计[J].控制工程，2019，26(2).

　　[4]杨飞生，汪璟，潘泉.基于事件触发机制的网络控制研究综述[J].控制与决策，2018,33(6).

　　[5]邓学辉，崔宝同．一类变系数时滞线性系统的脉冲控制[J]，南京航空航天大学学报(增刊)，2006，38．

　　[6]Y.Fan,Y.Yang,Y.Zhang.Sampling-based event-triggered consensus for multi-agent systems[J],Neurocomputing,2016,191:141-147.

　　[7]H.Lin,P.J.Antsaklis.Stability and Stabilizability of Switched Linear Systems:A Survey of Recent Results[J].IEEE Transformations of Automatic Control,2009,54(2).

　　[8]Y.Fan,M.W.Sheng,C.B.Dong,Y.Zhang.Sampling-based event-triggered control for distributed generators[C],Proceedings of the 2017 Chinese Control and Decision Conference,Chongqin:IEEE,2017:5556-5560.

　　[9]G.R.Duan．Linear system theory(Third Edition)[M]．Beijing：Science press，2016．

　　[10]王高雄.常微分方程[M].高等教育出版社，1978.

　　[11]段广仁.线性系统理论[J].哈尔滨工业大学出版社，1996.

　　[12]郑大钟.线性系统理论[M].北京：清华大学出版社，2002.

　　[13]岳晓宁，张秀华.李雅普诺夫广义系统稳定性分析[J].辽宁教育学院学报，1998，15(5)：42-44.

　　[14]喻学刚，黄琳.一类非线性反馈系统的稳定性分析[J].北京大学学报：自然科学版，2001，37(1)：34-43.

　　[15]张建，辛晓帅，徐红兵.一类线性时变系统的输出反馈控制[J].自动化学报，2014,40(2):373-378

　　[16]李红艳，吴忠，曹红苹.线性时不变系统稳定性控制研究及应用[J].上海工程技术大学学报，2008,22(1):88-91