引言
在概率统计的学术问题中，对于全概率公式的研究从未间断过，因为全概率公式非常具有研究价值，如果我们能够恰如其分的把全概率公式运用到生活生产中，以及军事国防领域，它所能够带来的价值绝对是不可估量的；根据实践调查，它对社会生产力的发展也起到了很大程度的推动作用。
全概率公式在零件次品率的概率问题上，很便捷的检测出了零件的次品率问题，为社会生产的质检行业所带来的益处可谓不言而喻；在摸彩公平性的概率问题上，让我们很清晰的认识到先摸后摸奖的机会是均等的，一定程度上可以解决争抢的矛盾；在对疾病判断的概率问题上，为疾病的预防和检查治疗提供了理论性的依据，为医疗工作带来了很大的便捷；以及在炮弹击毁坦克的概率问题上，为我国的军事国防提供了不可估量的作用。对于本文我采用了一种全新的摸球方式的模型，交互摸球的新方式，在摸完球之后先求出此次摸出球的概率，然后再把各自摸出的进行交换，然后再求概率，反复多次得到了一定的规律性，并且运用数学归纳法加以证明，最后把得到的结果加以推导延伸得出结论；此模型创新性的突破了以简单的常规摸球形式，这样求概率存在灵活的变通性，我觉得可以把它作为对全概率公式的研究的新方向。
1全概率公式概述
1.1中心思想及推导过程[1]p45
通过对概率统计这门学科的学习，相信大家对于全概率公式都不会觉得陌生，因为他是这门学科中一个重要的公式；至于它的组成是（事件概率条件概率+其逆事件的概率其逆事件的条件概率），它的运用不仅大幅能够度简化运算，而且也保证了其解决问题的准确性。
设为是一个完备事件组（如图1所示），即两两互斥，且，如果；
则对任意一个事件都有：
（1.1）
图1是样本空间的一个分割示例
因为
且互不相容，（表示：事件与事件同时发生）
所以由可加性得:
再将
（条件概率公式）（1.2）
代入上一个式子就能够得到公式
对于全概率公式我们需要注意以下两点内容：
（1）假如，就能够得到全概率公式的最简单形式如下：
（1.3）
如图2所示：
图2用和所分割的样本空间
（2）条件为样本空间的一个分割，即互不相容，且有，定理也依然是成立的。
2全概率公式在若干问题中的应用
2.1零件次品率的概率问题（在生产中的应用）
根据社会生产调研，查某手机芯片制造厂接到一笔大订单，现要加工一批华为手机芯片；现在把这个订单分配给车间的三个小组来做，生产比例为2:1:1，三个小组以往的次品率分别是0.02、0.03、0.03，完工之后把这批芯片集中到一起，质检部门要对这批芯片进行次品率检查；现从中随机抽取一枚芯片，则这枚芯片是次品的概率？
2.1.1问题的分析求解
已知三个小组的生产比例分别为，次品率分别为0.02、0.03、0.03，即找到了完备事件组的条件，此次品率可求。
则可设事件：
设{取出的芯片是次品}{取出的芯片是第1小组加工的}，{取出的芯片是第2小组加工的}，{取出的芯片是第3小组加工的}；
由全概率公式可得：
即这批芯片次品率为0.025.
问题延伸：
利用这个公式也可以求每台机器的次品率，这也为机器设备的选择提供了有力的依据，大幅度的提高生产效率。
2.1.2问题的总结
从这个实例可以看出解题的关键在于分析问题找到了完备事件组，所以说分析问题这一步就很关键。从而可以发现全概率公式为质检工作行业提供了很大的便利，对于社会生产问题的解决具有重大意义。
2.2摸彩问题公平性的概率问题（在生活中的应用）
假设在一个大的彩票箱子中，有1000张外表完全相同的彩票，其中只有3张奖券，采用常规的抽出奖券不再放回的摸奖形式，现在要求第二个人抽到这张奖券的概率是多少？
2.2.1问题的分析求解
我们显然可以把它理解为一个全概率公式的求解问题，这个问题有四种可能出现的情况：
1.第一种可能出现的情况是两个人都中奖了；
2.第二种可能出现的情况是两人都未中奖；
3.第三种可能出现的情况是第一个人中奖，第二个未中奖；
4.第四种可能出现的情况是第一个未中奖，第二个人中奖了；
根据本题要求的结果会出现以下两种情况，即构成了完备事件组。
两种情况分别是：1.第一种情况，两个人都中奖了；
2.第四种情况，第一个未中奖，第二个人中奖了；
设{第个人摸中奖券}，，现在的目的是求
因为事件是否发生会直接影响到事件发生的概率；
即有：
并且与是两个概率大于0的事件且对立，
即有：
于是由全概率公式可得：
即中奖的概率为.
问题延伸：
将问题推展到张彩券，把彩券的数量增加到张（进行进一步探讨，运用全概率公式来计算，得出的结果依然符合上面的结论；由此可以证明先摸奖后摸奖概率均等。
2.2.2问题的总结
从这个示例可以看出：摸到奖券的概率与摸奖的先后顺序是没有关系的，因为后摸奖的人有可能处于不利情况，但是也可能处于有利情况；前者摸到的概率是，如果前者没摸到反而增加了后者摸到的概率，两种情况用全概率公式可以得出结论两者的中奖率都是，所以说对于摸彩券时，无论是先摸后摸奖所中彩的机会都是均等的。
2.3对疾病判断的概率问题（在医疗救治方面的应用）
据医疗调查发现，新型传染病来临，假设在某一城市有0.03的人出现有发热、咳嗽的状况,假设有这类状况的人有0.96的概率患有此类传染病，无此类状况的人有0.04的概率患有此类传染病，现在随机抽取一人，则此人是患有传染病的概率是多少？
2.3.1问题的分析求解
根据已知条件推出，，从而就能够求出此人患有传染病的概率。
设：{抽查的人发热、咳嗽的状况}，
{此人患有传染病}，
则有，且事件、就构成了样本空间的一个“划分”，又有
因而由全概率公式得：
即此人患有传染病的概率为0.0676.
问题延伸：
如果将条件改变为此人患有此类传染病，则他有发热、咳嗽状况的概率是多少？我们也只需引入条件概率公式，先求出，接着利用乘法公式可以得到：
（2..1）
再利用条件概率公式：
（2.2）
即可求出病人患病且有发热、咳嗽状况的概率为0.426。
2.3.2问题的总结
由这个问题我们可以发现，全概率公式在传染病的判断方面，也提供了有力的理论依据，同时也可以将其运用到其它类似疾病的检测方面，使医疗工作大幅度减少工作量，为医疗救治的这个领域的进步也起到了推动作用。
2.4炮弹击毁坦克的概率问题（在军事国防中的应用）
军事国防问题一直都是世界各国所密切关注的重大问题，军事实力便是综合国力的一种有力的表现形式，正常的军事对抗训练都要凭借军事演习来实现。
假设在一次军事演习中，现有一辆敌方装甲坦克攻了过来，我方派出一名炮兵守卫我方阵营，根据以往的训练，已知该炮兵的首次命中率为0.5，由于紧张其后的命中率会依次递减0.1；假使坦克被炮弹命中1次，则有0.3的概率被击炮弹毁，如果坦克被炮弹命中2次，则有0.7的概率被击炮弹毁，如果坦克被炮弹命中3次则表示此装甲坦克已被炮弹击毁，求此装甲坦克被击毁的概率是多少？
2.4.1问题的分析求解
我们发现此问题的关键在于分清敌方坦克被击毁的条件，很显然也就是炮弹命中几次的问题；现由题意可知三次命中的概率分别为0.5，0.4，0.3；要想解决此题关键问题还是要找到完备事件组，是命中几次的问题，进而可以用全概率公式来求解。
设{敌方坦克被击毁}，{敌方坦克被命中次}其中
则就有了公式：
从而也就有了全概率公：
根据题意可知：
接下来要求的是:
设{敌方坦克被第次所击中}，；
于是就有：
将数据代入上式计算可得：
于是可求：
即此敌方坦克被击毁的概率就为0.395.
问题延伸：
假如把问题的人数增加到三人，同样可以用上面的全概率公式来解决，只需要改变一下每个人的命中率问题方可解决。
2.4.2问题的总结
国防问题一直都是世界各国所密切关注的重大问题，对于武器命中率的问题，全概率公式具有较强的理论依据，此全概率公式同样也可以用于空防，对于防空导弹的命中率问题，也可提供参考依据；恰如其分的运用好全概率公式，对我国的军事国防问题做出的贡献将是不可估量。
3构建摸球模型
在一次物理实验课上，物理老师在每位同学的桌子上都放了两个不透明的、除标号外都完全相同的盒子，同时也为每位同学准备了4个黑球和4个白球，在开始的时候标号为1、2的盒子里各有4个球。然后每一次从标号为1的盒子里抽出一个球和标号为2的盒子里的4个球中的一个进行交换。
起初，标号为1的盒子里只有黑球，求第5次交换后从标号为1的盒子里抽出的球是黑球的概率是多少？
问题分析：首先我们要明白解决这个问题的关键所在，本题要求的是第5次在1号盒子中摸出黑球的概率，所以也就找到了问题的重点是黑球，且1号盒子中黑球概率的变化恰与2号盒子中黑球概率的变化成了对立事件，即；即找到了完备事件组，因而此题可解。
设{第次从1号盒子中摸出的球是黑球}，
{第次从2号盒子中摸出的球是黑球}，
{第次从1号盒子中摸球所得概率}，
{第次从2号盒子中摸球所得概率}，
即有全概率公式：
下面计算摸球概率：
第1次交换前摸球：
第1次交换后摸球：
第2次交换后摸球：
第3次交换后摸球：
第4次交换后摸球：
第5次交换后摸球：
对问题的探讨：
以上6次摸球实验的结果分别为从几次结果来找出其中的规律性，，后一项减去前一项的差即为公比为的等比数列则有：
，（3.1）
下面用数学归纳法对公式加以证明：
化简：
当时：
当时：
所以就有：
（即前项减后项）
其差的比：
（为常数，即为公比）
可以看出其为等比数列后一项比前一项；综上：由数学归纳法对其概率总结得出结论，其概率就等于1减去等比数列前项和的运算。
问题延伸：
公式（3.1）的推广：当趋近于无穷大时有：
（3.2）
即摸球的概率极限趋近于。
4概率问题与摸球模型的评价探讨
本文详细的介绍了全概率公式以及它在各个领域中的应用。但是本研究的在还存在着许多的不足之处，本文只是做了全概率公式在若干问题中的应用探讨。通过在生活摸奖的中奖率问题、生产中的手机芯片次品率问题、医疗救治中对传染病判断的概率问题、以及在军事国防中的炮弹击毁坦克问题，从几个领域的实例来证明它的应用，事实上他们的应用还远不止这些，本文的研究层面还不够深入，因为学习概率统计这门学科的时间还未足够长，研究的深入也只能到此，很多问题都还是靠导师点拨；另外本文对于问题的延伸可能还不够充分，还有待学习。对于本文所构建的摸球模型我觉得应该是我对全概率公式研究最为深入的地方，它改变了以往常规的摸球方式，采用了交换式摸球的新思路，这也许可以作为全概率公式的一个新的研究点。我认为全概率公式的优势在于，它有效的使原本复杂的概率问摸球问题演变成了简单的数学计算问题，作用性还是很大的；另外本文对于什么样的问题可以用全概率公式来解决还未详细说明，以及具体到哪一步，本文也是没有明确指出方法和分类，这都是今后有待进一步深入研究的问题。同时对传染病预防以及传播速度的预测都有重要意义，所以我认为对与构建的交互式摸球模型很有进行深入研究的必要性，也许可以为概率统计这门学科开发出一个新的研究领域。
结论
运用全概率公式可以用来解决投资理财、检验、体育、军事、科技、经济、市场等一系列领域，可以说生活中处处存在概率问题，时时存在着概率问题。
在概率统计学习的过程中，以我自身的感受来说，开始学习的时候觉得挺简单、挺有趣的的，可是学着学着，想要深入了解就会发现事实并非如此，其实概率统计是一门很严谨的学科，表面简单其内涵却极为深奥；想要学精学通并非是件简单的事情，所以学习这门学科态度很重要，对于解决概率问题的关键在于能够分析问题理清思路，找到完备事件组，从而解决问题。我觉得在概率统计的教学中，因多以实例为主，得先让学生入门，喜欢上这门学科，如果学生没兴趣再优秀的老师也教不出优秀的学生，应该从学生的兴趣入手，引导教学，让学生能够自主学习，打破应试教育的弊端，才能更好的培养出新一代的人才。
平日里，我们在解决概率性问题基本上都避免不了样本空间数据量过大过复杂等缺点，出错的可能性就会很高，甚至于问题得不到解决。而全概率公式则是开拓了一种崭新的思考问题的模式。全概率公式的思想就是要在解决问题之前，先把样本空间分割成多个小的样本，然后再逐个运算这些小样本的值，最后再把这些小样本的值加起来就是样本空间的值，它实现了把原本复杂的概率问题变成了简单的概率加法的运算，既快速便捷又省时省事，而且还能保证正确率；所以只要恰如其分的使用全概率公式，就能将其变成我们解决复杂问题的有效工具。
参考文献
[1]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程第二版[M].北京:高等教育出版社,2011.2:45～48.
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[10]张尧庭.工程数学[M].北京:中央广播电视大学出版社,1993.10.
致谢
光阴似箭，大学四年的校园生活说过去就过去了，大一时的入学情景仍历历在目，殊不知已走过了四个春秋，对母校的感情无以言表，我怀着对母校的爱来构写毕业论文，但完搞的那一刻内心充满着的是不舍，母校给予我的真是太多太多。
首先，我要感谢我们宿迁学院，感谢母校为我提供了这样一个学习的平台和良好的学习环境。也要感谢院系的所有老师们，感谢他们对我这四年大学生活的悉心教导，他们严谨细致、一丝不苟的教学作风是我工作、学习、做人的榜样；他们的言传身教对我今后的人生受益匪浅。
其次，我要感谢的人是我的毕业论文指导老师。我的论文写作工程中他倾注了很多的时间和精力，从开始的选题到开题报告再到论文框架再到最后的细节修改，导师都给予了我细致的指导，而且提出了很多宝贵的意见与推荐，提醒了我写论文许多需要注意的地方。我还记得在寒假实习以及在家线上实习期间，导师也曾发了许多邮件给我，对我进行学术指导，在来到学校之后也是一遍一遍的帮我修改和知识点的指导，他的每一次指导都恰到好处的帮我解决了论文中所遇到的问题，可谓是一语中的。正是他对我的严格把关才使我经过四个多月的努力得以将论文完成，在此我要对他表达深深的谢意之情。同时我要感谢一下一起完成毕业论文的小组同学们，如果没有你们的支持和帮助，我是无法解决写论文时遇到的一些小问题。
最后，我想说：“金无足赤，人无完人”。由于我的学术水平有限，所写出来的论文还有许多的不足之处，恳请各位老师和同学们的批评指正！
附录
概率问题模型函数的代码及图解：
1.对于零件次率问题的求解
?clear;
?a1=(1/2)*0.02;
?a2=(1/4)*0.03;
?a3=(1/4)*0.03;
?a=a1+a2+a3
a=
0.0250
?
图A1对零件次品率问题的求解
2.对摸彩问题公平性的求解
?clear;
?b1=3/1000;
?b2=(3-1)/(1000-1);
?b3=(1000-3)/1000;
?b4=3/(1000-1);
?b=b1*b2+b3*b4
b=
0.0030
图A2对摸彩问题的求解
3.对疾病判断方面的问题的求解
?clear;
?c1=0.03;
?c2=0.96;
?c3=0.97;
?c4=0.04;
?c5=c1*c2+c3*c4
c5=
0.0676
?c6=0.03*0.96;
?c=c6/c5
c=
0.4260
图A3对医疗救治疾病方面的问题的求解
4.在炮弹击毁坦克问题的求解
?clear;
?d1=0.5*0.6*0.7+0.5*0.4*0.7+0.5*0.6*0.3
d1=
0.4400
?d2=0.5*0.4*0.7+0.5*0.6*0.3+0.5*0.4*0.3
d2=
0.2900
?d3=0.5*0.4*0.3
d3=
0.0600
?d4=0*0;
?d5=0.44*0.3;
?d6=0.29*0.7;
?d7=0.06*1;
?d=d4+d5+d6+d7
d=
0.3950
图A4在军事国防方面问题的求解
5.构建摸球模型时问题的求解
第1次交换前摸到黑球概率：
?clear;
?1+0
ans=
1
?1-1
ans=
0
第1次交换后摸到黑球概率：
?1*(3/4)+0*(1/4)
ans=
0.7500
?1-0.75
ans=
0.2500
第2次交换后摸到黑球概率：
?(3/4)*(3/4)+(1/4)*(1/4)
ans=
0.6250
?1-0.625
ans=
0.3750
第3次交换后摸到黑球概率：
?(10/16)*(3/4)+(6/16)*(1/4)
ans=
0.5625
?1-0.5625
ans=
0.4375
第4次交换后摸到黑球概率：
?(36/64)*(3/4)+(28/64)*(1/4)
ans=
0.5313
?1-0.5313
ans=
0.4687
第5次交换后摸到黑球概率：
?(3/4)*(136/256)+(1/4)*(120/256)
ans=
0.5156
?1-0.5156
ans=
0.4844
?
对结果的规律探讨：
?1-3/4
ans=
0.2500
?3/4-5/8
ans=
0.1250
?5/8-9/16
ans=
0.0625
?9/16-17/32
ans=
0.0313
?17/32-33/64
ans=
0.0156
图A5构建摸球模型时问题的求解（a）
图A6构建摸球模型时问题的求解（b）
图A7对摸球规律探讨时问题的求解
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