几何布朗运动在看涨期权方面的应用

　　股票市场在金融市场中充当着“指明灯”的角色，它反映着各个国家的经济发展的状况。而且近些年来，国际市场在全球的发展更是突飞猛进。于是，期权定价的研究在资本市场中便扮演着不可或缺的角色。因此，恰当对期权进行定价是确保整个期权操作稳定性的基石。所以使用期权可以看作为风险资产的安全性采购了一个“合同”作保护，可以理解为当实物的价格可能下降时，投资者可以卖出看跌期权从而在未来获得收益。因此，这也为投资者提供了一种坚实的保障。而且，对股票市场的完善中期权也起到了很大的作用，它使得金融市场可以在相当长的一段时间内不断的健康稳定的发展。甚至，期权的应用给投资者带来对风险管理概念的更全面的理解。

　　将整个金融市场切割开来分析，我们会发现它是由许多个小型的市场组成的。随之带来了金融市场的不同分类，可以依据经营场所、交易期限以及交易对象等等进行划分。通常按照融资交易期限，可以把金融市场划成货币和资本市场两大类。其区别关系如下：

　　金融数学是交叉学科，将数学中所学到的的理论知识推广应用到了实际的金融市场之中，为金融市场服务，使得金融市场不断完善与发展，同样地，在实际中的运用也反过来促进了数学的进步与实践性的证明。金融数学中在资本市场的运用，对资本市场股票期权的准确预测可以大大保护投资者的利益，并在国家层面上帮助相关XX部门形成相关的财政性经济政策。所以，我的这篇文章主要是将期权的定价及几何布朗运动在期权的应用进行梳理，最终得出B-S公式可以为股民提供借鉴与参考。

　　牟旷凝通过一系列准随机序列特征的研究，发现蒙特卡罗模拟法收敛速度慢且计算量大。于是进一步比较了拟蒙特卡罗和蒙特卡罗方法的有效性。探究结果表明，蒙特卡罗模拟法的拟合结果的有效性要低于准蒙特卡罗模拟法。

　　1877年，查尔斯·卡斯特里（Charles Castelli）在伦敦发表了《股票股份期权理论》，这是最早期的期权理论。该文章注重时效的说明，是对金融衍生品进行估价的首次研究。

　　1900年，法国数学家Louis Bachelier提出在给定的非常小瞬间，金融市场价格会保持于一个平衡体系。

　　1955年，X经济学家Samuelson于《股票市场中的布朗运动》里提及Bachelier的作品。

　　1956年，Samuelson公布的《认沽权证定价的的推论理论》这篇文章中说到，认股权证定价在理论上和期权定价是一样的。

　　1973年，B-S模型的问世。这个公式是不存在套利机会的欧式看涨期权的价格。在这一公式中，只有股票价格波动率这一个参数是不可直接从金融市场中观测到，其余参数均可直接从金融市场中获得，因此，许多交易者和做市商都以此模型作为期权定价的模型。

　　1979年，首次提出二项式模型，为期权定价数值法打下了基础。

　　本文分为三个部分：

　　第一部分导论，主要介绍选题的背景意义，文献综述以及论文结构与研究方法；

　　第二部分基本介绍，主要介绍几何布朗运动与期权；

　　第三部分几何布朗运动在期权方面的应用，主要实证分析了几何布朗运动在期权方面的应用。

　　1.文献研究法。通过查阅国内外相关的文献，来梳理几何布朗运动在看涨期权的应用，从而更好地为实证分析上证50ETF奠基。

　　2.实证分析法。定性与定量分析相结合进行分析上证50ETF，，进而分析B-S的可行性。

　　布朗运动是指悬浮的微粒不停地做无规则的运动的现象。而几何布朗运动是指不间断时间的随机过程。它的对数形式是服从布朗运动的。在金融数学中几何布朗运动起着很大的作用，尤其是在B-S定价模型中模仿股价。

　　更为专业的数学性的定义如下：假设St为一个随机过程，其在满足以下随机微分方程(SDE)的情况下是可以被认为是遵循几何布朗运动：。这的里是维纳过程,（维纳过程也是布朗运动），而（被称为漂移百分比)和(被称为波动百分比)则是常量，其大小是固定的值。

　　在金融体系中，几何布朗运动主要的应用体现在B-S模型中。几何布朗运动是布朗运动的延伸，它完善了后者在运用时的缺点。因此，常用几何布朗运动来形容股票的价格。

　　利用几何布朗运动来描述股票价格有着其利弊，其优点具体如下:几何布朗运动的期望均值是固定的，不会随着股价的变化而变化和人们对市场的预期是一样的；股价在市场中是正值，恰好B-S公式在引用几何布朗运动时计算出的也是大于零的值这与现实是相符的；几何布朗运动运算得出的股价与实际股价是十分接近的，而且更重要的是几何布朗运动整体计算不是特别的复杂。上述就是几何布朗运动代替股价的原因。

　　但是，金无足赤，几何布朗运动也体现出了部分不足：在实际的金融市场中，随之时间的推移，股价的变动才会出现的，然而在几何布朗运动中，波动是一个固定的数值；而且，在真实股票价格中,收益通常不是完全服从于正态分布（真实的股票收益是具有更高的峰度和厚尾，即具有尖峰厚尾性，代表有可能会形成更大的价格波动）。

　　期权是一种可以交易的合约，它是一种未来可以选择执行或者不执行的权利。期权也是一种单向合约，期权买入方和卖出方的权利是不具有对称性的。期权买方有着是否执行期权的决定权，而卖方只能履行相对应的义务。这包括股票、国债、货币、股票指数（股指）、商品期货等。因为期权是这些主体的“派生”，所以被称作衍生金融工具。但是，一定要注意，期权卖方也可以没有实物而进行做空期权。当然，同理购买期权的人不需要购买真正的根本的资产。这种方式是做空（也被称为是卖空）其作用有：投机、融资和对冲。

　　期权是一种选择的权利。期权的交易方式、方向、标的物等有着很大的不同，因此会产生众多的期权品种。所以，合理的对期权进行分类，将有利于我们更了解期权这种产品。

　　期权按照不同的分类标准具有不同的分类情况，其具体分类见图2-1。其中股票期权是指标的为股票的期权；利率期权是指标的为市场利率的期权；商品期权是指标的为实物商品的期权。

　　在上述分类中，如果到期日标的物价格>执行价格，则该期权为实值期权，如果标的物的价格<执行价格，该期权为虚值期权，虚值期权是没有价值的。

　　欧式期权与美式期权是常见的划分种类。美式期权是指期权可以在任意时刻被执行，只要没有逾越到期日；相对应地，欧洲期权合约要求其持有者只在到期日当天履行，也就是仅仅在履行日之后的一至两天即期权仅可以在到期日当天被执行，不论之前标的物的价格是上涨还是下跌均不可以提前执行。形象地来做比，欧式期权就正如一张电影院的电影票，只有在电影放映的当天才可以消费娱乐，而美式期权则正如电影院售卖的爆米花的票，不论什么时候到达电影院均可以进行消费，只要电影院营业并且爆米花票在有效期之内。在国外汇期权交易目前普遍采用的是欧式期权合约。

　　期权与股权相比，这两者具有一定的共性，两者均是一种权利，股权与股份很相似，都是股东基于对公司的投资而具有一定的权利。拥有一家公司的股票，就是这个公司的“一份子”，可以行使对公司的一些权利。而“期权”则不相同，拥有一个公司的期权并不能马上控制该公司，但是可以选择在公司上市后亦或是上市前按照合约约定的价格购买该公司的股票。如果公司经营很好，现金流充足且稳定，则会带来这一公司的市值的抬升，从而使得股票价格上升，期权的拥有着可以按照原先约定的较低的价格来购入该上市公司的股票，再在二级市场卖出从而赚取差价亦或者是一直持有该股票以待更高的价格提升。也就是说，只要拿到了期权，就表明其是公司的股东的一种可能性。生动地讲，股权仅仅作为股东的代表，但是期权更大的意义是一种激励。

　　履行期权大致可以分为如下三种：1.对冲履约，即买卖双方均可以通过对冲这一方式来履约；2.期货履约，也就是说期权的买方将之转化为一份期货合约在践行约定；3.所有的期权都是具有时间性的，一旦过了时效，该期权就被视为无效，在期权是虚值的情况下，期权买方便不行使该虚值期权，直至期权到期，自动失效。该种做法对于期权的买方来说是最大的亏损，尽管如此，也仅仅损失了期权费。

　　B-S模型的5个假设如下：

　　1.在期权到期日前，标的物的收益变量和无风险利率r是定值；

　　2.股票的价格服从对数正态分布的；

　　3.市场是没有摩擦的，也就是市场不存在交易成本与税收，市场上所有的证券可以视为可完全分隔的；

　　4.证券市场上有关的交易是持续的；

　　5.投资者需要资金时可以按照无风险利率筹到

　　3.1.2 Black-Scholes公式的介绍

　　公式表示为：

　　其中：

　　；

　　C——期权初始价格；

　　L——期权交割价格；

　　S——金融资产其现价；

　　T——期权的有效期限；

　　r——无风险利率（按照复利来计算）；

　　σ2——方差(波动率)；

　　N()——服从正态分布的分布函数

　　其中要注意两点：一是r是连续复利。r与的关系式为：。

　　比如，假设，则带入公式可求得r=ln(1+0.06)=0.0583，即假设市场无风险利率为6.0%，100的资产以连续复利的方式进行投资，那么第二年将会获得资产106，该结果与直接用带入计算得到的结果是具有一致性的；

　　二是用相对数来表示期权的有效期，也就是用期权的有效期与365作比。假设一种期权的有效期为100天，则带入可求得。

　　在股票市场中，假如一个投资者想要购入一定数量的股票，那么他必须支付购买股票的所有费用，才可以实现对一个公司的部分所有权。通过对股票的实际买卖来取得盈利甚至带来亏损，风险是暴露在外的。如果手中持有的股票之后出现了价格的上涨，那么，该投资者就可以卖出股票赚取差价以此来获得盈利。但是，股价在未来处于上升状态还是下跌状态均是未知数，股价如果上升可以将股票卖掉从而立马盈利，也可以继续持有股票来期待它的再次升值。通过上述举例我们不难发现，股票买卖的特点便是有实物的交割与费用的转移，而盈利与亏损是通过交易之后，不再持有股票时才可体现的。但是，在期权市场上，股票期权的结算方式与此是类似的。

　　股票的交易结算基本要求是：必须立刻以现金方式来支付股票期权的期权费用，只要没有发生对冲，就无法实现盈利与亏损。

　　B-S模型在发展初期解决的问题中不包含红利效应。但随着B-S模型的发展，该模型逐渐可以运用于对红利效应所产的影响的问题中。

　　布莱克-斯科尔斯模型特点如下：

　　(1)受红利影响的期权定价是通过已经知道的红利所得到的。假设某已知股票在期权的有效期内，支付红利Dt已知的不连续红利，则仅仅需要在股票现价（假设为S）中将该红利的现值减掉，然后把调整后的股票价值记为S′，最后代入上述的B-S模型中便可求得调整后的股价：S'=S–Dt·e-rT。当然，假如在股票的有效期内仍然存在着其它的所得，都应该将其扣除。基于上述分析，得出有关布莱克-斯科尔斯模型的一个新公式：

　　C=（S-Dte-rT)·N(d1)-Le-rTN(d2)；

　　(2)支付连续红利的股票期权的价值是指：假设某股票按照某个分红率（已知）连续不间断的支付，假设某一上市公司股票的年分红率=0.04，且该股票的现值为164，因此该公司的股票每年可分红164×004=6.56。尽管红利数据波动较小、较为稳定，但它仍随着股价的波动而波动。所以，该股票的红利并不是一年四个季度等额支付的，它是随着红利的每一小部分进行再投资而自然地增长的。在一年的时间中不断积累，最终达到6.56的数值。所以，支付连续红利的股票期权模型并非是红利固定的或者已知的，它仅仅要求所支付的红利是按照该股票的价格的固定比例来支付的。在这种情况下，股票的价值为：S(1-e-δT)，因此S′=S•e-T，将S代替为S′，便可得到在支付连续红利的情况下的期权定的价公式：。

　　B-S模型于上世纪七十年代诞生，该模型创建之初就给金融市场带来巨大的轰动。一时之间，各种商人、投资者纷纷用该模型结合计算机程序进行广泛应用。伴随着计算机与通讯技术的发展，此公式的应用领域也得到了延伸。直至今日，期权的交易者、银行的投资人以及金融管理者和与保险有关的人员都将这一模型做了变动转化，该使之可以运用于更加广泛的领域。技术与金融工具的不断创新，使得市场的参与者彼此关系更加密切，相互依赖，由原来的本国交易转化为多国交易。这样带来的影响是当一国或者某一市场经济波动或出现金融危机时，都有可能就像多米诺骨牌八百年地很快地传染给其它国家甚至于整个世界。尽管我国资本市场发展较晚、相对落后，但是随着我国逐渐像诸多国家学习、取长补短。因此，我国的金融市场将会有质的飞跃。不仅如此，有关金融市场的管理体系和制度也将得到更好的完善，使得金融市场能够稳定高效的运作。随着世界金融市场的多样化，风险也随之产生。因此，不断发展金融衍生工具市场对规避风险有很大的作用。伴随着B-S模型的出现，该模型迎来了极大的好评与关注，甚至有的学者还深入检验了它的准确性。但是，仍然有部分学者对该模型中存在的一些问题阐述了自己的见解，而且从发展与完善B-S模型的方向思考，对B-S模型进行了延展。

　　伽莱曾用布莱克—斯科尔斯模型对芝加哥期权交易所上市的股票数据进行了检验。这是B-S模型诞生以来第一次被检验。在次之后，很多学者在这个领域进行了艰苦而有意的探索。一些影响深远的学者有特里皮、奇拉斯、曼纳斯特、麦克贝斯以及默维勒等。综合各位学者的探索与检验，以下看法得到了大家的普遍认同：

　　(1)该模型对于平值期权进行估计得出的结果偏离度小，非常接近真实价格。

　　(2)但是，对高度减值或增值的期权估计所得到得结果，偏离度大，容易出现高估和低估的情况。

　　(3)对于离到期日很近的期权估价还是存在着很大差别。

　　(4)当离散度很高或者很低的情况出现时，该模型会得出高估和低估得结果。这意味着当离散度较为适中时，该模型所得出的结果更具有参考性。

　　一些学者对于布莱克—斯科尔斯模型的研究基于数据分析。相反，有的学者基于模型的理论分析，然后对模型进行一系列的假设，从而得出结果。这些学者觉得，如果对于模型所假设的过于严格苛刻，可能会使其结果受到影响。具体表现在如下几个方面：

　　(1)对股票价格的分布进行假设。由于股价的变动满足维纳过程，因此在他们看来股票价格服从对数正态分布。麦顿、马克·鲁宾斯坦、斯蒂芬·罗斯、约翰·考克斯等人发现，股票价格的变动既包含了对数正态分布，也包含了因为重大事件而引发的跳跃情形，将每种情况省略均是不准确的。他们接着使用二项分布来取代对数正态分布，因此构建了新的期权定价模型。

　　(2)对交易情况作出假设。根据理论能够认为，投资者能够对期权和股票之间的头寸进行调整变动，然后得到一种资产组合。但是在实际的检验中这种组合会受到不同因素的制约：1.每位投资者是很难按照同样一个市场无风险利率来贷出或者借入一笔资金的；2.股票在实际中并不是可以无限分割的，会受到一些因素的影响；3.不断地调整会带来交易成本的增加。根据上述分析能够看到现实股票市场中交易可能是非连续的，投资者的风险偏好会对非连续交易产生一定的影响，但是在布莱克—斯科尔斯模型中没有提及到。

　　再次，对股票价格的离散度不变的假定也与市场实际情况不相符。基于此，布莱克后来的研究证明，伴随着股价的不断上升，股价的方差反而会下降，而并不是与股票价格水平相独立的。

　　此外，保证金与交易成本的存在，也与现实是不符的。假设股票期权的标的股票不派发股息会限制该模型的广泛运用。还有的学者认为，期权的价格会受到数额与股息派发的时间的实质性影响，必须加以考虑。他们中的一些人对该模型进行恰当的调整，使它可以反映股息的影响。详细来说，如果持有的是欧式期权，原来股票的价格可以用股价除去股息的现值进行替代，而保持其他的变量不变，代入到B-S模型即可求得结果。如果是美式期权，情况略微复杂一些。首先，按照上面的方式调整后得到一种价格，该价格是未提早执行时的。接着，估计在到期日之前履约时的期权价格，然后对股价进行调整，并用调整后的股价代替实际股票价格，有效期限用距除息日时的时间代替､实际执行价格代替股息调整后的执行价格(即X-d)，再将股价离散度与无风险利率一些变量代入模型。最后，把上面两种情况的结果比较，选其数值较大的一种。另外，调整价格的难度随着股息情况的复杂程度增加而有所加大。

　　50ETF是国内50只流动性强股票组成的。这样便可以非常全面地体现出上海证券交易所中那些影响力很大的企业基本状况。并且50ETF有许多的优点，比如，其成分股的流动性非常强、可以很好地将市场的状况反映、与上证A股作比具有很高的稳定性，并且上证50指数的道德风险是相对较低的，这些正是我国第一只ETF为上证50的理由。

　　这次分析挑选了2019年9月2日到2019年12月31日共81个交易日的上证50ETF的收盘价。设上证50的日收盘价为St。

　　设Rt为对数收益率，计算所需公式为：Rt=lnSt-lnSt-1

　　由假设可得，Rt是服从标准差为的正态分布，其中，除去一年当中的节假日和休息日，我们可以得到工作日约为252天，因此=252。又由Rt的标准差估计公式：

　　其中是平均收益率，我们计算的S=0.011556.

　　由于波动率近似于日收益的方差，由已知的732个数据就算出年化的历史波动率。

　　接下来将通过历史波动率并且结合B-S模型算出来的期权价格与实际价格进行比较，部分结果如表4-2所示：

　　

　　用Excel绘制出折线图如下：

　　观察上图可以得出：根据布莱克—斯科尔斯模型计算出的期权价格近似于真实价格。大体来看，在几何布朗运动下建立的期权定价模型是具有很强的拟合效果。并且，还能十分方便地判断出投资者在什么时候买入或者卖出这种看涨期权最为合适。对于看涨期权来讲，当期权理论价格高于期权市场实际价格时，这个看涨期权是被低估的。假设无交易成本的情况下，如果买入这一看涨期权便可能获利。相反，假如这种看涨期权理论价格低于期权市场实际价格时，这个看涨期权就是被低估的。假设无交易成本的情况下，如果卖出这一看涨期权便可能获利。这样就可以为期权的交易者或者投资者带来一定的有利信息。譬如：投资者可以根据期权价格的变动情况对将来的期权价格进行估计，其结果有一定指导作用，方便投资者更好地进行投资融资活动。

　　按照B-S，分析了几何布朗运动在看涨期权方面的应用，最后得到的结论也和实际结论是相近的，这可以说明几何布朗运动在看涨期权中的应用可为投资者带来一定的指导作用，以便来估计出期权的实际价格。在期权的定价之外，几何布朗运动还运用于其他的金融衍生工具的定价。

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