摘要
随着数学十大核心素养的提出，运算能力一词渐渐走进人们的视野，如何提高初中生运算能力势在必行。本文通过测试例题二次根式的案例入手，对学生常见的错误进行分析和归因。除此之外，与5名农村初中数学任教教师进行访谈，结合教师所给建议和指出学生所存在的问题设计调查问卷，以贵阳市南明区某农村中学七年级的学生为研究对象，发放问卷并回收分析调查结果。结果显示：初中生的运算能力不高，还有很大的进步空间。综合以上三个方面的调查，针对学生的运算能力不高的原因，提出相应的培养教学策略和辅导策略。在学生的现有的运算能力的基础上，以最简二次根式的化简为例，将提高初中生的运算能力的策略运用到教学中。
关键词：运算能力；二次根式；培养策略；练习
第一章绪论
第一节研究背景
随着时代的发展，生活水平的提高，人们对于学生的要求不仅仅是分数上的提高，思维和综合素质的逐渐成为大家更加看重的品质。从双基到素质教育的提出，我国的教育已经走了太多的弯路。因此，自素质教育提出以来，就受到了社会各界的广泛关注，教育学家对于教育的研究也更加精进。就数学学科而言，新课标中的十大核心素养包括运算能力、数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、应用意识[1]，运算能力不仅仅是单一的能力，与其他的素养都是息息相关的。这为广大教育工作者指明了教育目标与方向，是培养德智体美劳全面发展的学生一大助力。数学运算能力是数学学科所要求的技能和能力中最为基础的一项，注重的不仅仅是运算的结果的准确性，强调在运算的过程中学生的数学思维得到提高。在数学的四大板块：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践中，无一不涉及到了对于学生运算能力的要求。此外，在九年义务教育期间，各个地区的各个阶段的测试中，数学运算所占的分值较大，对于千军万马过独木桥的选拔性考试，更是不可忽略的分数。运算能力、空间想象能力与逻辑推理能力成为数学能力的三大巨头，对于算理的理解和运算结果的正确性都提出了明确的要求。因此，如何培养学生的运算能力成为每一位数学教师职业生涯的重要课题。通过对历年中考题的分析，发现运算在中考中占的分值较大，其重要程度不言而喻。随着课程改革的推进，人们越来越看重学生各项能力的培养，但作为九年义务教育的结束，中考是一种相对性的选拔考试，分数依旧是重要的选拔依据。数学教师在教学的过程中应该要注重中考改革的方向，根据方向去调整教学内容和方法。
第二节运算能力的界定
“运算，亦称演算，数学的基本运算能力之一。”“运算能力是指运用有关知识进行运算、推理求出正确结果的能力。”《数学辞海》（第六卷）中提出了对于运算能力进行了概括[2]。《义务教育数学新课程标准（2011年版）》指出，运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题[3]。“运算能力为一种非单一的数学能力，是其他各项能力与运算能力的综合体现。”曹才翰《中国中学数学百科全书》中对运算能力如此描述[4]。
第三节研究意义
一、理论意义
运算能力是十大核心素养的重要组成之一，提高学生的运算能力对于提高学生的各项能力都有不可忽视的作用。理论上看，研究当代初中生的运算能力的现状，对于判断学生的数学思维能力发展程度有一定的指向，同时，也能够发展学生的运用知识和发展运算技能，为研究提高学生的运算能力等提供了方向和理论指导。
二、现实意义
初中数学对于学生的数学学习来说，是一个关键点又是一个转折期，学好初中数学不仅是对小学数学的进一步升华，也为后来学习高中的数学打下坚实的基础。对学生来说，运算能力初中数学中较为广泛，占较大的分值，同时发展运算能力也能够带动其他核心素养的培养，提高数学的综合能力。对于教师来说，了解学生的运算能力的现状，根据学生的现状制定对应的教法学法，帮助学生发展运算能力具有重大的意义，在研究教法学法的同时，教师的教研能力和综业务合能力都会得到相应的提高。
第四节研究方法
文献法：笔者通过对于国内外学者的研究成果的查阅，在前人的研究成果基础上，根据已有的成果和相关方面的欠缺确定研究主题，并结合其他学者的观点提出自己的观点与建议。
访谈法：根据要研究的初中生的运算能力的相关问题，笔者访问了在5位教学岗位具有多年初中数学教学经验的优秀教师，被访问的教师们也提出了客观和专业的看法和建议。根据访谈结果笔者大致了解到目前初中生运算能力的现状以及教师们在平时的教学工作中是如何培养学生的运算能力的。
问卷调查法：根据教师的访谈结果、初中生的特征结合所处的相关环境制定了调查问卷，在贵阳市南明区某农村中学内发放回收，并统计研究相关结果。
课堂观察法：通过平时的课堂教学，笔者了解到初中生在平时的练习中经常出错，有的学生甚至留白，少数学生能够根据题目灵活多变得出简洁又准确的答案，学生的运算能力差距过大。
经验总结法：笔者在教育实习期间，通过课堂的教学，课后作业以及相关练习的批改，观摩课堂并在有经验教师的指导反复调整教学方法，对于学生的问题有了大致了解，在平时的课堂教学和课后辅导中能够根据学生相对应的问题实施对应策略。
个案探究法：初中生的运算能力在各个教学过程中都有涉及，本文选择了具有代表性的二次根式作为研究例子，二次根式是初中数学的重要内容，考察范围较广，能够较好地反映出学生的运算能力。在教学过程中选择几个具有代表性的学生的答案，并对他们在日常的学习中的所反映出来的问题具体分析。
第二章某农村中学七年级运算能力现状调查与成因分析
第一节测试例题与结果分析
在初中的义务教育阶段，数学的运算不再是小学简简单单的四则运算，也不再是五大运算律的综合应用，乘方的加入，整式的出现，二次根式、不等式与方程等成为学生眼中的难题。在北师大版的数学课本中，二次根式运算不仅仅综合了四则运算与五大运算律，还涉及到了分数的性质与二次根式的运算法则，也可以与之前所学习的绝对值相反数等内容相结合一起考察学生的运算能力，对于初中生的运算能力提出了较高的要求，因此研究二次根式的运算是研究学生的运算能力较为适合的例子。
这是一道比较具有代表性的计算题，考察了学生的对二次根式的运算、绝对值、去括号等知识的掌握程度，学生的总体意识在这道题中也较好的体现出来。在教学时，要求学生在学习完二次根式的运算法则的基础上独立思考完成。在这道题中，学生的得分率并不是很高，平均分为4.05分，而超过平均分的人数只有11人，占班级总数的30%。可见，总体来说，学生的运算能力并不高，运算能力较好的学生人数较少。
在此选择学生比较常见的错误加以说明分析。
（1）不能正确完成二次根式的化简
在练习时发现，部分学生并不能正确的完成二次根式的化简，究其根本原因是，学生在学习二次根式的概念时并没有正确的理解，对于二次根式的化简并没有做到分类处理，在不同情况下不能灵活使用各种方法。显然学生在学习的时候并没有做到总结归纳，课堂掌握的知识在课后没有复习整理。
（2）缺乏整体思维，经常遗漏负号
学生在处理的时候忘记加上括号，得到的结果错误。究其原因是学生在进行运算的时候并没有注意到运算顺序：先乘再进行四则运算，在运算的时候，应该是将先看成整体计算，再在计算结果的基础上整体乘以-1，从而得到正确的结果。同理可得的正确的结果为。
（3）基本公式记忆错误
学生在计算的时候并不能很好的区分哪一个该使用完全平方公式还是平方差公式。除了经常混淆这两个公式之外，最常见的错误类型是使用完全平方差公式的时候会忘记中间的一项2ab。在北师大版的教材中，完全平方公式以及平方差公式都是在七年级上册所学的内容，在七年级的教学中学生并没有一开始掌握这两种公式的使用方式，结合八年级所学的二次根式，学生更加容易出现运算错误。
（4）未能在一开始合并同类项
在这道题目的完成的正确结果中，还有一种比较常见的类型。学生在一步步的化简和最后的运算结果中并没有出现错误，但步骤过于繁琐。学生在运算的过程中，得到了很多的单项式，但学生在合并的时候并没有一开始就找出同类项进行合并，而是在合并的过程中忽然发现有同类型之后再进行二次合并。这样做的结果并非不对，但如果再合并的过程中粗心大意，就会导致后面的结果错误。我们不提倡跳步，但精炼的书写过程能帮助减少错误的发生。
（5）书写较乱，造成结果错误
部分学生在答题时书写混乱，化简的过程是正确的，但到最后的结果却与正确答案不一致。究其原因是学生的书写较为混乱，在合并同类项的时候就出现了错误。所以在教学书写的过程中，教师也应培养学生养成良好的书写习惯，尽量提高草稿纸与试卷等书面材料的整洁度，这对于学生和批阅的老师来说非常方便。
第二节教师访谈与结果分析
针对学生对于上述例题所反映出来的问题，将问题记录并对贵阳市南明区某农村中学的数学老师进行访谈。为了解七年级的教师对于初中生运算能力最详细、最贴合实际的情况，笔者选择了5位现在正在任教七年级数学教师进行简单的访谈。
下面笔者总结一下访谈结果。在近几年的教学中，学生的运算能力呈现出下降的趋势，越来越多的学生在考试和练习中计算题的失分比较多，这也导致学生在总体成绩不太理想。
从年级上看，七年级的教师认为，八年级的内容比较多，部分学生在七年级的时候基础较为扎实，所以在学习二次根式的时候较为轻松，运算能力和运算正确率也有保证。七年级上册是初中数学与小学数学接轨的节点，学生在一开始接触有理数的时候，部分学生往往需要花长时间去理解新的事物，这部分学生的运算能力不是很突出。所以，在有理数的教学时，要注重算理的理解，这会为学生学习数学打好基础。新课标将运算能力作为十大核心素养之一，是注重学生运算能力的体现，教师在指导学生中考备考中应注意到中考的命题趋势，根据命题趋势去调整练习重点。从原因生成上看，可分为内部原因和外部原因。导致学生运算能力不高的内部原因是学生自生的学习态度、能力和努力程度，而外部因素是学生的学习习惯和课堂掌握情况。在平时的课堂练习与课后作业中，部分学生对于计算题也不太重视，粗心大意地应付作业，做错的题目在课下也没有得到及时纠正，面对自己不会的题目，学生也没有主动向同学老师求助，学习较为被动，而这部分学生在平时的测试中的成绩也有较大的提高空间。
第三节问卷调查与结果分析
一、问卷调查设计
根据七年级学生的年龄心理特征，调查对象所处的学校，结合教师访谈的结果以及学生在平时有关二次根式的运算过程所暴露出来的问题，设计调查问卷，并在贵阳市南明区某农村中学中发放回收。
二、问卷回收结果分析
在北师大版教材中，二次根式是七年级上册第二章的重点内容，本问卷在任课教师允许下在贵阳市南明区某农村中学的七年级学生中发放。其中回收368份，下面对回收结果做出分析。本问卷采用的分析方法是利用spss分析，其中利用到的表格会进行标注。
（1）信度分析
采用spssau软件进行分析，利用标准化Cronbachα系数进行衡量问卷信度。
从上表可知：信度系数值为0.706，大于0.7，因而说明研究数据信度质量良好，具有研究价值，该项问卷调查结果可继续分析[10]。
（2）效度分析
该问卷的信度采用spssau软件进行分析。
使用KMO和Bartlett检验进行效度验证，从上表可以看出：KMO值为0.848，KMO值大于0.8，研究数据效度非常好[11]。
（3）学生的运算能力与对数学的感兴趣程度相关
从上表可知，利用相关分析去研究运算能力和数学感兴趣相关关系，使用Pearson相关系数去表示相关关系的强弱情况。具体分析可知：运算能力对初中数学感兴趣之间的相关系数值为0.442，并且呈现出0.01水平的显著性，因而说明运算能力对初中数学感兴趣之间有着显著的正相关关系[12]。
（4）学生缺乏良好的数学运算习惯
如表2.6，通过调查发现，完成题目后认真检查的学生仅有23.91%，而超过1/4的学生在完成计算题之后没有检查的习惯，在日常的教学中，教师应注意培养学生检查的习惯。
在对于数学不感兴趣的同学调查了解，其中52.63%的学生表示自己对于数学不敢兴趣的原因是觉得数学太难了，这就要求教师在日常教学的过程中针对教学生的实际情况布置相应的学习任务，让学生在自己的最近发展区内得到相应的提高。
由图2.1可知，学生在平时的练习中经常会因为粗心大意或运算错误而造成扣分的占到37%，而没有这种情况出现或者很少出现这种情况的只有不到25%，可见学生粗心的大意是非常常见的现象。如何帮助学生改掉自己初心大意的问题，仍是一线教育工作者面对的棘手问题。
（6）缺乏自信心，一遇到不会就想放弃
在所收到的问卷中，20%左右的学生表示，在遇到问题时会直接跳过，这对于学生的运算能力的培养是非常不利的。在初中生所能遇到的题目中，计算题的难度相对较小，即使是有非常难的题目，其中的某一项的难度也是我们普通的学生可以去完成的，题目的得分标准也是按照步骤给分。所以在日常的练习中，教师要多多鼓励学生尝试题目，让学生尽可能地书写多些步骤。
第三章影响初中生运算能力的因素分析
通过案例分析，教师访谈的结果，以及结合学生所填的问卷综合分析，初中生运算能力不强有以下几点原因。
（1）粗心大意，容易出现错误
学生在计算中出现开方、正负号错误，去括号符号错误，缺乏整体思想的应用，这些错误中常见的。粗心大意的完成题目，在未看完题目之前就开始计算，完成之后也不注意检查，就匆匆结束。把题目抄错，数字交换顺序，更加关注同类项或者相同数字之间的运算，从而忽视运算顺序，学生因为粗心出现的错误不胜枚举。粗心大意不是一件小事，这也不是一句简简单单的“下次注意”就能解决的，“粗心大意”也是学生运算能力差的一种体现。
（2）缺乏技巧，不能快速解题
在结果计算正确的答案中，不缺乏这样一种答案，学生在计算的过程中，会按照前后顺序进行计算，而不会使用加法交换律将前后的放在一起计算。这样不仅会造成计算步骤繁琐，如果在之后的运算过程中出现错误，计算结果也会相应发生错误。
（3）徒有其表，理解不会书写
学生在听教师讲解的过程中，表示对于计算法则能够理解，但在自己动手的过程中却无从下手，书写出来一部分却无法完整得分，这类学生在学习的过程中往往会因为觉得自己之前的基础知识学会了而忽略解题技巧的学习，以为自己完全掌握却在解答问题时暴露出眼高手低的问题。
（4）公式错误，化简难以得分
完全平方公式以及平方差的公式的记忆错误，也是学生比较常见的现象。“首平方，尾平方，积的两倍在中央”，这句完全平方公式的助记在学生的口中早已滚瓜烂熟，但在实际的应用中，学生却忘记一次项的积的两倍2ab，这样化简自然会发生错误。还有的学生根本分不清平方差是哪一项的平方减去哪一项的平方。
（5）基础薄弱，不知如何下笔
有一部分同学思前想后、绞尽脑汁，但在其他同学完成时选择交了白卷。在询问所有学生后，有些学生甚至表示对于二次根式是什么都不理解，对于二次根式的化简更加无从谈起。这就要求教师在教学二次根式的意义时做到全员过关，打好学生基础，才能在以后更难的题目中得分。
第四章提高学生运算能力策略
第一节课堂教学策略
针对以上造成学生运算能力不强原因，笔者结合自己经验，给出以下几点建议。
一、利用学生的好奇心，激发学生学习兴趣
兴趣是最好的老师，知之者不如好知者，好之者不如乐之者。一个好的教师，不仅要让学生学会学习，更要让学生喜欢上学习。数学不单单是枯燥无味的数字，也包含了很多有趣的方法。在平时的生活中，我们要善于发现学生的乐趣所在，选择学生感兴趣的问题入手，激发学生的学习兴趣，教师在备课的过程中，可以把数的化简转变为小游戏等，让学生在游戏中学会知识，在竞争合作中提高自己的运算能力。
二、重视基础概念教学，掌握正确运用算理
学习就像建房子，搭好地基才能建起高楼大厦。在日常地教学中，教师应注意学生基础地培养，对于基础概念一定要讲清楚。在北师大版的教材中，对于新内容的讲解顺序一般是：概念讲解、应用，再到拓展，所以在概念教学的基础环节中，要保证学生理解到位。除此之外，在新课标中，更注重学生对于算理的理解和应用，在练习中不必特意挑较难算的数字去训练学生的运算能力。
三、把握好最近发展区，培养学生解题信心
学生在日常的学习中经常会遇到不同难度大的题目，自身能力和逻辑思维的差异注定每个学生的最近发展区是不一样的。教师应该帮助学生不断突破“最近发展区”,使每位学生得到应有的发展。维果茨基的最近发展区理论给教学实践提供了积极指导，它强调了教师在教学设计、教学原则和教学模式上都要顾及学生的现有能力和潜在发展水平,使教学发挥其最大功能。在现有能力的基础上正确解答问题，树立起解题信心，更加愿意去挑战自己的最近发展区，通过在不断地“跳一跳”中提高运算能力。
四、培养学生做题细心，及时检查的好习惯
面对由于粗心大意造成的运算能力低下，教师要帮助培养学生的细心。在遇到学生粗心大意而犯错误的情况下，可以先让学生观察自己的答题，鼓励学生用自己的语言指出自己的错误，在给时间慢慢检查，在反复的训练下，学生就能慢慢地改掉坏毛病，培养出好习惯。此外，可以给学生多做一些易错地题目，并对其提出自己地期望和要求。
五、注重运算规律推导，提倡自主归纳总结
很多学生在运用数学公式运算地过程中，都会出现一种现象：对于基础地公式记忆错误。在初等数学地教学中，所涉及到地公式法则，都是能够通过推导得到的。在教学中，可以引导学生完成基础公式的推导，尽可能让学生做到知其然也知其所以然，学生自己归纳总结，自然就更加印象深刻。新课改提出，教师应当凸显学生的主体地位，将自己看成是学生的引导者，所以在日常的练习中，鼓励学生自己归纳做题方法，并用自己语言去表达出来，更有利于提高运算能力。
第二节课下辅导策略
要提高初中生的运算能力，光是靠课堂的教学是不够的，还离不开课下对学生的辅导。
一、课时练习
课时的练习顾名思义，就是在课堂上用来训练学生对于本堂课的掌握程度，在课堂上应注意巡堂，尽可能地去辅导每一位学生。学生的能力不同，做题的时后出现的错误类型不一样，在课堂上的讲练结合也只是能照顾到大多数学生，学生在课堂上没有掌握的知识，在课后的作业必定会出现困难，久而久之，学生可能会厌恶作业，出现不交作业的现象。因此，在课堂教学时就要打牢基础。
二、阶段练习
阶段练习是指在学习了一段时间后，对这一阶段所学习的内容的一次练习。相对于课时练习，阶段练习所涉及到的内容会更加丰富，方式会更加多样，但所涉及到的知识点都是一类的。这就要求教师在出题时注意题目的挑选，既要有针对性还要在学生的最近发展区内。阶段练习以限时训练为佳，学生在有限的时间内模拟考试，学生的运算能力会得到较好的训练和提高。
三、综合练习
综合训练相对于前面两种练习，综合性较强，不同于一类知识点，综合一整章的知识，还要与之前的知识点有机结合，即能对章节知识点总结回顾，又能将之前所学知识点联系在一起，这与中考的运算题考察类型一致，学生的运算能力更能体现出来。综合练习时学生很可能对于部分学生来说是困难的，学生对于之前的知识点印象不深，在独立思考后可以让学生讨论交流，交换检查，出现的问题再利用班集体的力量帮忙解决。
第五章应用案例-最简二次根式
通过以上分析，将提高学生的运算能力的方法应用于课堂教学中，选用最简二次根式的化简作为例子，下面是有关教案。
第六章研究结论与展望
第一节研究结论
在地域选择上，笔者的调查和研究对象只是在贵阳市南明区农村的一所初级中学的八年级学生中进行，具有较强的地域性，学生的运算能力在整体上会与学校的教学培养重点有关。在教师访谈方面，笔者在采访的过程中，提出的问题还有待改进，选择的访问对象的教学年级大多在八年级，七年级和九年级的带教教师采访较少。在问卷的制作方面，笔者只是通过查阅资料和在学校的实习经验去总结问题，问卷的合理性，只是使用spssua进行分析，得出的分析结果只是问卷设计的合理性良好，并没有达到优秀。对于问题的总结以及给出的建议，笔者教学经验较少，思考的不够全面。案例分析所使用的例子较少，对于学生的运算能力的现状分析，只是结合一个例子和问卷调查就得出结论，具有较强的主观性。
第二节研究展望
冰冻三尺，非一日之寒，要培养学生的运算能力，不是也不是一蹴而就的，作为教育工作者，将会继续收集一手资料，通过不断的练习与实践，反思反馈中继续研究有关学生的运算能力的培养策略。鉴于目前是学生到教师的过渡阶段，教学经验与时间限制，本文还有很多问题需要完善，所研究以及思考的层面都停留在比较浅的层面，今后将以此文为基础，继续完善本课题，切实不断的提高学生的运算能力和自身的教学教研能力。
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