高等代数几个重要定理的证明

　　摘要

代数是学学的心础课程，是其它课程的要提.本文共分三大部分，第一大部分主要介绍了高等代数课程的七个重要定理的内容、证明.因高等代数中提出了许多新概念、新定义、新定理，譬如多项式、数域、线性空间、映射等，且都是较为抽象的内容，故此将其中各章节中的重要定理列举出来，并寻找多个定理证明来加深对其的理解及认识.

第二大部分主要介绍了在高等代数学习中遇到的问题及解决的方法.

第三大部分则主要讲了高等代数在实际问题中的应用中的两种应用方法，即矩阵密码与保密通讯和情报信息检索模型.

　　关键词：定理证明；矩阵；行列式；线性空间；高等代数应用

　　引言

高代数是范学校学业的学生所学习的一门主要，是学的继与高.它的内容由多项式理论、解理论、线性空间理论三大部分组成.这三大部分的特殊性在于其中的定理和概念较多，具体的模型稀少，，可引导用的例题较少，计算性弱，逻辑性强.在对高等代数几个重要定理的证明方法的探索中，能够改变我们的思维，增强大家都思维能力，辑思维能力和代数计算.

此外，高等代数已经是从事科学研究的科技人员必备的数学基础知识，因它是理论化学与理论物理的不可替代的代数基础知识，也已经渗透到了管理、经济、科学技术等多项领域，除此以外，矩阵又有了新的意，尤其是对矩阵的数值分析方面的贡献.由是对于本文探索高等代数的定理新证明又有了重大意义.

　　1定理阐述及证明

　　1.1因式分解及唯一性定理：

理容：数上有的多式都可一地解为域，一些可多项的积，所说的性是说，如有个分式，则，同在当排因的次后有，，且是些零数.

证法一：首先要证明的式分解式是否存在，我们对的次数作数学归纳法.

因为一次性多项式都是不可约的，所以当时结论成立.

先，同设此论对于数的多项式已成立.

如果，那么然论成，不是约的，，其的次数都.由归纳假和都可以分解成数上一些多式的积.把，的分式来就可以得到的一个式.

由归纳法原理，可知结论普遍成立.

下证它的一性.设可以解成约项式的积

.

如果还有另一个分解，其中

都可约多项式，

于是.（1）

我们对作归纳法.当，是不可约多项式，由定义一定有且

现在设可约式的时性已证.由（1）

因此，能尽中的一个，.因为也可多式，

，（2）

在（1）式两边消去，就有.

由归纳假设，有，即，（3）

并且适当排列次序之后有，，

（4）

即（2）,（3），（4)三式加起来就是我们所要证得，即证明了分解的唯一性.[1]

证法二：可以对因式的用数学归纳法.

对于可多式，也是对于的情来说，理成立.

假定对于能分解成个不可约因式的乘积的多项式来说，定理成立.

们明对于能可因的积的多项来说也立.

等(1)表明，积可以被可多式整.性，若项与的积能被可多式，则有一能被的，且某一能被.适当调整的次序，可以假定即.但不是可约多项式，而的次数是零，所以必须是一个多项式：（2）,把的表示式代入式（1）的右端，得:

，

等端除为的多项式，得出式

,

令那么是一个能分解成不约多项式乘积的多项式.于是由归纳假定得，亦即，并且可以假定（3）

其及都是次多式.令，由（2）及（3）得，这样得到明

　　1.2最大公因式存在定理：

如果中意个项在中存一个大因，且表示为的一个合，即中项式使.

证法一：数学归纳法证明：

将定理证明过程中会用到的引理列出：

引理[1]:如有式成，和有同的因式.下面用归纳证明大因式在定理.（种形证）

证明当或时，的最大公因式为或，显然有或

当且时，不妨设，令，下面对n实行归纳法：

.当时设，则（非零常数）或，

当时，，于是的最大公因式为，有.当（非零常数）时，由于，故的最大公因式为，

由引理，的最大公因式也为，且有定理成立.

.假对于的自然，定都成.

看n时情形设，则或，⑴时，，于是的最大公因式为，有

.

⑵时，设，则或

⑶时，的最大公因式为，由引理，的最大公因式也为，且有.

⑷当时，由归纳假设，存在最大公因式，且由引理，的最大公因式也为，进而的最大公因式也是.

所以，对于一切都存在最大公因式.

由于

所以

,

取,,

则有.[3]

　　1.3最小数原理：

负整数集合的任意一个非空子集一定含一个最小数，接下来通过构造的方法证明最大公因式存在定理.

证明：分成两种情况

当或时，的最大公因式为或，显然有或

当且时，

令,记,由于，所以，则是非负整数集的一个非空子集.

由最小数原理，中存在最小数，故存在，且，即是中最小次数多项式.

于是，有中多项式使

由带余除法或

或’

若则，

但,

即，于是，与是中最小次数多项式矛盾.

因此，从而.

同理可证：.于是是与的公因式.设是与的任一公因式，则，，由得：，

所以是与的最大公因式，且有.

　　1.4替换定理：设无关的量组（1）可由组（2）线表，则，且（2）中个量使得向组，（3）与量（2）.

证法1.由可知性无的向组由量

（2）表示，

则有:可由向量组线性表示.

从而，由可向量线性表示，得（3）

性关.那么根据前面所提供的定理，可知至少有一个向量能用其前个向量线性表示.在向量组（3）中将除去，剩下个向量为（4）

这时向量组（4）与（2）等价.

同理可得（6）

如果线性无关向量组的元素个数，则进行次可得向量组（7）

则这个组（7）不含向，但量组（7）与向组（2）价.

此又于可由，则可由性出.这与性关，故.

由以上的证明过程可以的知向量组同向量组（2）等价.[4]

证法2.

运极无组的性质证，之后过扩极大关组来证明向量的价.

设向组的极大无关组（8），然，因（1）可由线性表示，所也是的一个大无关，又因为性无关，因，又，故.

因为的秩为,然，当选，可以把（1）为的一个极无关.

因为，均是的极无关组，因此和等价，因此是极

　　1.5哈密尔顿-凯莱定理：设是数上一个阵，是的，则：

.

证法一：是

.

因为矩阵都是的多项式，次数

不超过，故此由矩阵的运算性质，可以写成

.

其中都是数字矩阵.

设（6）

而

（7）

比较（6）和（7）得（8）

以依次从右边乘以（8）的第一式，第二式，…，第式，第式，得

（9）

把的个式子一块儿起来，就成了，右边，故

.

证法二:幂级数证法

对于，由行列的拉普公式可得标准方程

其中表示的伴随矩阵，的系数取自于的形式幂级数.

因为

所以可逆且为其逆矩阵，

因此：

将写成的次数取自于的形式幂级数，可得

可以注意到中的元素都是的次数不超过的多项式，因此是零矩阵，等式两的系数，可得：

，

即.[5]

　　1.6带余除法：对于中两个多项，其中，中的项存在，使

（1）

成立，其中，并且这样是唯一决定的.

证法一：（1）中的存在性可以由高等代数北师大第四版课本上第八页所提及的除法直接得出，

如果.

下面设.令的次数分别为.对的次数作第二数学归纳法.

当时，显然取，（1）式成立

接下来讨论的情形，假设当次数时，的存在已证，现在看当次数等于时的情形.

令的项，然有同的，因多项的数或为0.7对于者，取

对于者，由归假，对在使

其中，于是，也就是说，有,使成立.

由归纳法原理，对的存在性就证明了.

下面明性，设另有项使，其中，于是，即

如果，又，那么,

且有,但,

所以不可能立，这就，因此

证法二：用限维性来证明的带除法理.

引理1：数上的任何线性关向量组构的一基；

引理2：上一元多项式中，小于的组成的是上的；

引理3：在中，一个互相同的项式组都是无关的.

叙述：设是一元多项式环中的任意两个多项式，并且，那么存在唯一一对多项式满足：

（1）

（2）

证明：设

先证存在性，如果，那么就是满足定理条件（1）和（2）的唯一,如果，那么由引理2可知，中的个多项式组成的集合是线性空间的一组基.

事实上，由引理3知，是一个线性无关集合，再由引理1和引理2的结论可知，它构成了的一组基.

因为，所以在数域中存在唯一的一组数

令，，于是

满足定理的条件.

再证唯一性：由于数域中的数是唯一的，所以也是唯一的

　　1.7行列式计算定理：

1.首先给出一个上三角行列式

行列其实于主对线上素乘积即行列式计算定理.

2.定义：数域上列式转化为三角行列式

i；

ii，；

iii换列式中的.

比如把行列式

的-2倍加到，得到

再把第一行加到第三行，得到

-2，

我们将形如，，其分为三行列式和.

　　1.8定理：在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵

对角矩阵：形式为

的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵.

对称矩阵：矩阵称为对称矩阵，如果

：数域上矩阵之，如果有上的矩阵，使.

合同是间的一个关系，具备下列三个特点：

1）自反性：；

2）对称性：由即得;

3)传递性：由和即得.

　　2高等代数的重要定理在相关的对应理论中的作用、地位与应用

　　2.1因式分解及唯一性定理

，我们前把它成几个能再，只是续分解这个是由于我们，并它不能，实际上这是相对于系数的数域而言的，并不是绝对的.因式分解及唯一性定理是对我们初中多项式分解知识有更深刻更宽广的认知，可是该并给出能够解多项式的

以上便是多项式理论中的地位与局限.

此外，初阶的因式分解定理常应用于初中考试题中.

　　2.2最大公因式存在定理

我们在维纳的经典控制论等学科里常常会用到最大公因式，这说明最大公因式不仅是数学中的重要概念，而且在多个学科里都占据着不可替代的地位，因此在求解两个多项式之间的最大公因式时所用的辗转相除法是最大公因式定理的核心内容，它又被称为欧几里得算法，历史源远流长，是现代人们已得知的最古老的算法，这就是最大公因式存在定理的地位.

辗转相除法是证明与计算最大公因式的核心，并且应用范围十分广泛.当需要寻找剩余定理的数时，它会被用来解丢翻图方程；在现代密码学里，RSA的主要构成部分就是它……这些都是辗转相除法应用里的沧海一粟.

　　2.3最小数定理

，它等故此在解决许多存在性问题时常会用到最小数定理，证法与之结合解题常有

　　2.4替换定理

替换定理是高等代数量空间理论的又.它应用广泛，可以被，也可被用于比较大无关量组向量的；亦；也可被用于证明基的扩充性，替换定理可以使这些问题可以得到更好的解决.

　　2.5哈密尔顿-凯莱定理

哈密尔顿-凯莱定理是线性代数中的，是式所具备的一个，它揭示了和它式之间的关系，并且在解决.

哈密尔顿-凯莱定理的应用可谓十分广泛，在计算方面可以辅助证明方阵的幂与方阵的逆阵，在证明方面即矩阵多项式等于零的有关问题中，可以使问难快速的得到解决.

　　2.6带余除法

高等代数课程中占有重要地位的多项式的整除理论的基础就是带余除法，它是初等代数中最最基础，最最重要也是最直白的定理及工具.

带余除法在初等代数中常被用到，常在小学初中的试卷中以应用题的形式出现，而在做这一类题的时候，就需要把题目外面包裹的各种各样的情境忽略掉而直接注意题目的本质.

　　2.7行列式计算定理

，计算理，学习行列式的计算是学好高等代数的重要基石.，也很要，学会行列式的，我们可以应用它，还可以应用它求.

　　2.8对称矩阵合同于对角矩阵

矩阵概念在高等代数课程的应用与内容中占据了非常广泛且重要的地位.首先，线性方程组的重要性质里就包含了矩阵的知识，例如它的系数矩阵和增广矩阵，除了线性方程组之外，许多问题的研究也常常会用到矩阵，甚至会研究有关于矩阵的方面.此外，对称矩阵、对角矩阵也是矩阵理论的重要研究对象.

矩阵的应用方面包括，保密通讯技术时常会用到矩阵，信息的解码和编码也是需要用到矩阵密码这个技巧的.

　　3高等代数的学习

《等代数》与相同，是学习的大学生要学习的核心课程之，是数学在，通过对高等代数的学习，我们可以加强自身的数学素养.在对高等代数的学习过程中，我们应该注意以下几点要求，可以让我们对这门课程的学习领悟更加深刻，更加透彻.

高等代数里的抽象概念非常多，学生理解起来就有困难，譬如数域，映射，线性空间等概念，这些概念的特点就在于它们从很多具体的例子中被抽象出来的，总的来说学习高等代数时首要的是注意解相关.

一方面，等代数这门课程的理与概念基本属于学专业的，由此，学生首先应注重对课程义的领会和运用，在充分理解定义定理后，我们对这门课的理解也就更深刻，在面对一些复杂的题目时更容易领会解答，从而使学生解高等代数象的内容，也会使学生对这门课程产生，唯有这样，才能对数学学习有正的度.

另一方面，寻求正确的学习策略是在以培养学习的兴趣，端正学习的态度的条件下所进行的十足紧要的学习步骤.有些同学学习刻苦努力，但是成绩不算太好，就把原因归结为自己太笨，自暴自弃，其实这不是计算能力的问题，而是因为概念理解能力不行，即习对大家来说，要从、象的高等代数思维蛮困难的，故此我们在学习过程中，不应只是一味努力，也要注重学习方法，课前预习，课后复习，借力于具体的例子来理解抽象的定义定理，加深对定理的理解和掌握，寻找正确的途径学习高等代数.

总而言之，学习高等代数，基本上就是在熟练掌握代数方法的同时尝试深入理解几何意义.

　　结束语

在完成这篇论文的近一百天的过程中，我再次复习了OFFICE的使用方法，对此更加熟练；阅读了许多关于高等代数重要定理的书本与论文，使我对高等代数的理解变得深刻，兴趣愈发浓厚，这也是我在大学真真正正用心去做，独立思考的稚嫩的成果，希望写论文的这段人生体验能让我在以后的学习生活中乘风破浪，积极进取.

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