正弦稳态电路中网孔方程列写技巧研究-含受控电流源电路

摘要

当受控源出现在电路分析中的时候，经常使分析和求解变得复杂化。本文以网孔分析法为主要方法，介绍了正弦稳态电路、受控源以及网孔法列写技巧相关知识点，并着重研究了正弦稳态电路中含受控电流源的情况，总结了几种解决方法，同时还提出了转换受控源的方法来解决问题，通过理论知识与例题相结合，归纳并总结了分析方法。

关键词：正弦稳态；网孔方程；受控电流源

1引言

对电路进行分析是电专业中最为重要的基础步骤，而我们又常常在电路中碰见含受控源的情况，由于受控源和独立电源既有联系又有着本质的区别，受控源属于多端口元件，所以在求解含受控源电路的问题往往比不含受控源电路的问题更加复杂，这类问题时初步电路分析当中的难点，对于那些刚接触电路的人，能否正确的处理含有受控源的电路，是分析问题的关键所在，关系影响到整个结果。

正弦稳态电路在生活现实中应用非常的广泛，现实中正弦稳态可以组成很多电路系统，比方说电力电子当中的很多电路。正弦信号容易产生和传递，而复杂信号又可以被分解为频率倍数关系的正弦信号，所以研究正弦稳态电路具有非常重要的意义。

本文是分析正弦稳态电路在含受控电流源情况下，如何使用网孔分析法最简便地解出答案。

2正弦稳态电路的简介

2.1正弦稳态电路的定义

固有响应和强制响应两种响应一起构成了正弦激励下的动态电路的完全响应。在正弦信号的作用下，非静态电路的固有响应不是是随着时间的增长而持续增加的，反而是减弱的，过了一定的时间，固有响应会逐渐变为零，在这种状态下电路的完全响应是强制响应也就是稳态响应做主要成分的。在正弦信号的作用下，我们将维持在稳定响应时间的电路就叫做正弦稳态电路。

正弦信号是一种形式最简单、电路中最基础的信号，通过傅里叶级数和傅里叶变换的理论知识，电路中种类繁多的信号都能够被分解成为一系列不一样频率的正弦信号的和。由于正弦交流电不仅容易产生、方便人们所操控还有变换，最重要的是可以远距离输送，所以在工程技术和科研中，特别是在电力系统、通信系统以及广播系统中，很多的设备都将正弦信号作为电源或者是信号源，因此，正弦稳态电路分析就具有了重要的理论意义和更加广泛的实用性研究价值。

2.2正弦稳态电路的求解

正弦稳态电路中的电压和电流都是时间的函数，但由于电阻元件和动态元件的VAR分别是代数关系和微分、代数关系和积分，所以在求正弦稳态响应的时候，就不得不经常作三角函数的代数运算、微分运算和积分运算。大家都知道这些运算方法不仅繁琐而且容易出错，所以我在研究本课题时采用了相量法。相量法是分析研究正弦稳态电路最有效的手段之一，因为正弦量与其对应相量之间的转变非常的好求，复代数方程的计算对于微分方程计算更加的好求，而且还可以解决微分方程复杂地建立过程。用正弦稳态电路与之相对应的相量模型替代，就能够像研究直流电路那样，用直流电路当中常用的网孔分析法、叠加定理、等效电源等手段来研究正弦稳态电路。

相量法主要步骤：

（1）把电路图转换成相量模型图，像图（1）和图（2）之间的转换。

（2）用相量表示正弦量，u→，i→。

（3）元件参数用复阻抗表示，R→R，L→jωL，C→1/jωC。

（4）应用欧姆定律或者是基尔霍夫定律的相量形式求解出电路的相量代数方程并解除结果。

（5）将所得到的结果相量转换为正弦量。

2.3正弦稳态电路网孔方程列写

正弦稳态电路采用相量法列写网孔方程的步骤是：

（1） 把电路中的电容、电感、电阻等电子元件转换成复阻抗形式，R→R，L→jωL，C→。

（2） 将所求得原电路图转换成为相量图。

（3） 假设出网孔电流并标注其参考方向。

（4） 对每一个网孔都列写基尔霍夫电压定律方程，然后电路中的每个支路电流都用网孔电流来表示，最后用电流和电阻的乘积来表示网孔支路的电压。

网孔方程的一般形式如下：

其中，Rmm叫做自电阻，就是每个网孔内所有电阻的总和；Rnm叫做互电阻，就是两个相邻网孔的公共电阻，特别注意的是相邻网孔电流方向相反的时候，互电阻前面是负号。

例题：电路如图（3）所示，已知，,求i1和i2。

分析：从已知条件中能够知道电容等一些电子元件的数值，将这些数值转换成为相量的形式，再假设2个网孔的电流相量，之后写出网孔方程就能够求到之前所设2条支路的电流相量形式的值，最后再将求来的电流相量形式结果变换成电流的瞬时值式就行了。

解:首先画出相量模型图如图(4)所示,其中感抗和容抗分别为

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.1)

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.2)

设网孔电流为I1和I2,写出网孔电流方程为：

网孔1 MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.3)

网孔2 MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.4)

化简整理解出:

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.5)

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.6)

所以

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.7)

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.8)

从上面的例题可以看出，网孔分析法十分简洁，它先假设一个或几个网孔电流值，在求解得到这些电流之后，就能够相当快速的找到各个网孔的电压量。只不过，如果独立电流源或者是受控电流源出现在某些线路时，就必须使用其他的方法，这样就可以正确地应用分析方法来进行电路分析。我们之所以不能直接按平常的方法去求带含电流源的支路，因为在使用网孔分析法写含电流的方程，在式子左边都是和电压有关系的量，归根到底还是在应用KVL。再加上能确定两头电压的只有只有电压源，电流源两头的电压是不可知的，由于这个缘故没办法列写那些电流源所在路线的网孔方程。所以，必须对这种情况作预先处理，也就是接下来的内容。

3含受控电流源的正弦稳态电路网孔方程列写研究

3.1受控源的定义

这个课题最重要的是“受控电流源”，受控源也属于电子器件，只不过它更加特别一些。按照控制量和被控制量的差别，受控源有四种形式，分别为：电流控制电流源（CCCS）、电压控制电流源（VCCS）、电流控制电压源（CCVS）和电压控制电压源（VCVS）。

分析含受控源电路最关键的是正确认识独立源和受控源。独立源和受控源从根本上就是不一样的。（1）独立源是单端口器件，其输出结果（电流源的电流或者是电压源的电压）受其自己结构影响；但是受控源属于多端器件，两端口受控源是通过两个线路连接的，一条叫做控制支路，一条叫做受控支路。如果控制量变了，那么输出量也会随之发生变化。（2）独立源正弦稳态中起电源的功能,它的电压或者电流是由非电能量提供的，是理想形式下的器件;而受控源是一种非独立的电源，它受到电路中某个电压或者是电流的控制，并且不能单独存在在电路中，受控源间接的可理解为“电源”。受控源可以作为电路演算的基础，像各种晶体管、IGBT、运算放大器、热电偶，再或者直流发电机、感应线圈等电磁耦合元件，都能够用受控源组成。鉴于受控源的多变性和特别性，并且受控源在电路中不直观的起到激励作用，所以归根到底受控源的性质主要是用来表示电路内部两种或者多种器件它们彼此的互相作用的联系；换句话说，受控源既由其所在的那条电路的影响，反过来也影响那条电路。控制支路的电流或电压影响着受控源的输出结果，常常控制因数都是未知的，所以有使其在实际电路显露出和独立源完全不一样的特质，所以在实际电路求解含有受控源需要额外列一个辅助方程，这就意味着难度上增加了。

3.2处理受控电流源的几种方法及网孔方程的列写

3.2.1受控电压源转换为受控电流源及网孔方程的列写

在某些情况下，受控电流源转换为受控电压源会使求解简单化。例如：在图（5）中，Is是受Rc电流I控制的电流源，在这里将Is等效变换为US，Us=Is×Ra=8I,等效变换后的Us受到电流I的影响,这里必须留下Rc所在的那条路，像图(6)所示。在等效转换过程中必须从始至终都保证Rc所在的那条电路一直不变,相反的不可以把Rc和Is2视成电流源而转换成电压源;也同样不可以把Rc与Ra和Rb当做成Is的内置电阻进行等效变换。

列写网孔方程：

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.9)

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.10)

3.2.2代换控制量处理受控电流源及网孔方程的列写

代换控制量法，简单来说是把假设的控制量来替换掉受控源的控制量，继而在解网孔方程的时候，把受控源当成独立源来对待的策略，这也是处理电路中存在受控源类题目最简便的手段。下面举例来说明代换控制量法。

例题：如图（7）所示电路中，,

，求UA和iB。

解：采取网孔法来考虑这道题目，这个电路中含有四个网孔，也就会有四个网孔电流，我们先标记这四个网孔电流分别为i1、i2、i3、i4。由于题目中同时存在独立电流源和受控电流源，所以列写网孔等式的时候，假设独立电流源的电压为U1，受控电流源的电压为U2，极性如图（8）。把U1和U2当做电压源，然后写出网孔方程：

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.11)

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.12)

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.13)

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.14)

用网孔电流来等效受控源的控制量UA和iB：

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.15)

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.16)

在一开始的时候，我们假设了U1和U2这两个未知数，所以还需要把与网孔电流的联系分别建立起来：

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.17)

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.18)

联立求解以上八个方程，就可以求得UA和iB了。

3.2.3受控电流源的转移及网孔方程的列写

当我们遇到受控源而不好分析电路时，可以考虑将受控源转移到某个位置并且不改变电路的性质，这样做可以使问题复杂变简单化。

例题：如图（12）所示，该电路含有受控电流源，,β=4,R1、R2、R3、R4、R5和R6的阻值都等于1Ω,试用网孔法求I6。

解：在图（12）中的受控电流源在控制量不变的情况下，把受控电流源挪到ad和bd所在的路线，并且用线联合d与c两点，这样就形成了两个相同的受控电流源分别于R2和R3的并联，如图（13）所示。

对于结点d采用基尔霍夫电流定律，可以得到Idc=0，因此dc这条支路就可以看作是不通的，也就是断路，经过一系列的转变后a、b、c这三个接口处对外关系的等效转换成为受控电流的转移，在受控电流源转移之后，就可以把受控电流源改变为受控电压源。

列写网孔方程得：

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.19)

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.20)

MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMAT(1.21)

根据方程就可以求出1、2、3，从而就能求解出i6的值了。

3.2.4求含受控电流源一端口网络电阻

在学习中，时常会遇见，让你求解端口网络的端口电阻问题，难一点的再在电路中加入受控源。我们在遇到这类题目时，通常有两种处理思路：

（1）把电路中的独立电源消除，再在电路入口处加上外来电压源来求电流，或者是反过来加上电流源来求电压，然后再接着利用所求得的电压和电流之间的比值来得到题目中所求得电阻值。

（2）通过求得端口开路电压Uoc短路电流Isc，然后再利用公式，就可以求解出入端口处的电阻值了。

例题：求解图（9）中电路的入端口处的电阻值Ri.。

求解此题时，应该先让电流源开路，受控源必须保留，加电压US,如图（10）所示，由于,再接着将受控电流源转换为电压源，如图（11）所示，则根据KCL可以得到：

所以入端口的电阻值为。

当我们得到入端口处的电阻时，电路中的电流值也就可以得到，这样做的好处就是不用考虑受控源的情况，连网孔方程都不用列写，非常的方便而且也不容易出错。

4结论

在列写含正弦稳态电路网孔方程-含受控电流源电路时，我们首先分析电路，看能否直接列写出网孔方程，如果不能直接写出网孔电流方程，就考虑通过独立电流源和电阻并联端口能够看成为独立电压源和电阻的串联单口网络这个知识点，与之性质相似，受控电流源（这里单单指的是其受控支路）和电阻并联的单口，也可以转变为一个受控电压源和电阻的串联单口，这个等效也可以帮助分析某些复杂电路中受控电流源的情况，这就是受控源转换法。

还可以将受控电流源当做独立电流源来进行分析，随后把受控电流源的控制变量用网孔的电流量表达，再经由方程左右移项清理就可以得到网孔方程了，这就是代换控制量法。

将受控电流源转移到某个点而不影响该位置对外特性，然后利用受控源转换法简化电路列写网孔方程，这就是受控源转移法。

无论上述那种方法，都要结合实际电路作分析，以便用最有效简便的方法求解出答案。

参考文献

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谢辞

时光匆匆如流水，我知道我的大学生活也马上结束了。确定论文题目到完成整个论文的编写，心中感到非常的充实，感慨良多。

从确定文论的整体框架，到进行开题报告；从初稿二稿三稿，再到最终的定稿，我的导师任惠娟副教授给了我许多的指导和建议。可能其他同学的论文两三次就通过了，但我知道任老师是一位认真而且细心的老师，她对我的论文要求十分的严谨，小到一个符号，大到论文的格式、内容都容不得半点的马虎，这让我从小就大大咧咧的性格感觉有点吃不消，不过也正是因为这样，我才能真正的从这次毕业论文中学到了很多很多的东西，不管是理论知识方面的，还是做人做事方面的，我相信对我以后的工作和学习都会有很大的帮助。任老师对我的论文可以说是尽职尽责，不管她忙不忙，都会抽出试卷找我面对面的交谈，一起讨论论文的问题，一起想解决的办法，再加上我自己的努力，才使得论文能够如期、保质量的完成任惠娟副教授专业的知识，严谨的治学态度，尽心竭力的工作作风，诲人不倦的高尚品德，质朴无华的人格魅力都深深打动了我，很荣幸能够遇到这样的导师。

在这里，我要向导师表示最为崇高的敬意和发自内心的感激！还有就是本论文的顺利完成，也离不开各位老师的支持，他们是物电院辅导员赵星老师和班主任张小青老师，感谢对我的帮助和支持，没有他们的贡献，我是没有办法完成本科论文的。同样本文顺利的完成也离不开我的同学和朋友，尽管他们并没有直接参与到我的论文指导，但在论文选定以及出现问题时，都给我了我莫大的帮助和建议，他们的智慧给我了很多的启示，在此向他们表示深深的感谢！

我还要感谢我的爸爸和妈妈，他们是我探索知识路上坚强的后援，给予我精神和物质上的帮助，他们对我无私的亲情是我人生不断进步的动力，感谢爸爸妈妈对我的包容和支持。

最后，向评审论文的诸位专业老师表示衷心的谢谢，给了我一个检查四年来学习成果的机会，祝福你们工作顺利，身体健康!

TM133

学校代码

学号

分类号

密级

正弦稳态电路中网孔方程列写技巧研究-含受控电流源电路ResearchontheWritingTechniquesofMeshEquationinSineSteadyStateCircuit-Containsacontrolledcurrentsourcecircuit

Phtotelectricsensoranditsapplication

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程子男

作者姓名

电气工程及其自动化

专业名称

工学

学科门类

任惠娟

成绩评定

提交论文日期

指导教师

二○一七年五月

＋

－

uS(t)

＋

－

uL

＋

－

uR

＋

－

uC

L

R

C

i(t)

图1电路时域模型

＋

－

＋

－

＋

－

＋

－

图2相量模型

＋

－

0.4mH

2Ω

L

图3

U1

50uF

U2

EQ\*jc2\*”Font:Calibri”\*hps28\o\ad(\s\up9(·),U)1

-j2Ω

＋

－

j4Ω

2Ω

L

图4

EQ\*jc2\*”Font:Calibri”\*hps28\o\ad(\s\up9(·),U)2

v

v

Us2

Ω

Rc

6Ω

Ω

Rb2Ω

Ra

2Ω

Ω

Is=4I

Ω

图5

I

Ω

Rc

6Ω

Ω

+

_

图6

Ra

2Ω

Ω

Rb2Ω

Us2

Ω

Us

+

–

6Ω

Ω

UA

Ω

–

+

2Ω

Ω

6iB

2UA

3Ω

iB

4Ω

Ω

u

+-

Ω

i

图7

5mH

2Ω

Ω

+

–

EQ\*jc2\*”Font:宋体”\*hps12\o\ad(\s\up11(·),I)2

3Ω

6EQ\*jc2\*”Font:TimesNewRoman”\*hps12\o\ad(\s\up11(·),I)B

EQ\*jc2\*”Font:宋体”\*hps12\o\ad(\s\up11(·),I)4

EQ\*jc2\*”Font:Calibri”\*hps10\o\ad(\s\up9(·),U)1

Ω

EQ\*jc2\*”Font:TimesNewRoman”\*hps10\o\ad(\s\up9(·),U)

4Ω

Ω

EQ\*jc2\*”Font:宋体”\*hps12\o\ad(\s\up11(·),I)B

6Ω

Ω

+—

Ω

EQ\*jc2\*”Font:TimesNewRoman”\*hps12\o\ad(\s\up11(·),I)1

EQ\*jc2\*”Font:Calibri”\*hps10\o\ad(\s\up9(·),U)2

Ω

EQ\*jc2\*”Font:宋体”\*hps12\o\ad(\s\up11(·),I)3

–

+

图8

5mH

图12

R5

R4

R2

E1

R1

U

βI1

R3

R6

+

–

+-

E2

5mH

i6

5mH

a

b

R5

R6

图13

R1

+

–

d

βI1

R3

R4

R2

E2

c

βI1

+-

E1

i6

R6

c

βR2EQ\*jc2\*”Font:TimesNewRoman”\*hps10\o\ad(\s\up9(·),I)1

βR3EQ\*jc2\*”Font:TimesNewRoman”\*hps10\o\ad(\s\up9(·),I)1

EQ\*jc2\*”Font:TimesNewRoman”\*hps10\o\ad(\s\up9(·),I)2

R4

d

a

R2

EQ\*jc2\*”Font:TimesNewRoman”\*hps10\o\ad(\s\up9(·),I)3

b

图14

+

–

R1

EQ\*jc2\*”Font:TimesNewRoman”\*hps10\o\ad(\s\up9(·),I)1

R5

EQ\*jc2\*”Font:Calibri”\*hps10\o\ad(\s\up9(·),U)2

R3

+-

5mH

EQ\*jc2\*”Font:Calibri”\*hps10\o\ad(\s\up9(·),U)1

16Ω

4.8kΩ

0.98Ie

5kΩ

iS

图9

5mH

图10

16Ω

5kΩ

0.98Ie

4.8kΩ

US

Ie

5mH

图11

+

_

5kΩ

4.8kΩ

I’

16Ω

US

i

5mH

1

1