矩阵特征值与特征向量的应用

　　矩阵理论是数学乃至科学领域的主要定义，还是解决问题的关键方式，此外也是代数学的重要分析主题。矩阵的特征值和特征向量问题是此类主题的重要内容，还是高等代数学的关键构成方面，其在高等代数与其余部分都具备关键作用。此外特征值和特征向量也使用在高等代数的多个部分，对于此课题的分析可以持续深化我们对高等代数不同领域的全面了解，进而促使我们全面深入的掌握高等代数有关观点。对与之相关的求解方式分析，不只可以加深对高等代数和有关课程的理解程度，此外在理论层面也具备相应的现实价值，可全面用来处理现实问题。目前矩阵逐渐变成单独的数学分支，矩阵特征值和特征向量求解就变得更加关键，求解矩阵特征值和特征向量方式的分析和论述不只出现在数学部分，此外在力学、物理、科技部分都具备非常关键的现实价值。

　　因为矩阵特征值和特征向量的使用相对宽泛，比如特征值与特征向量的特指在矩阵运算内全面使用，比如能够使用特征值法求解二次型最值问题和矩阵高次幂与反求解问题的使用。在例题解答中使用部分特征值和特征向量的性质与方式，能够让问题更直接，运算更简洁，是简略相关繁杂问题的高效方式。因此分析矩阵特征值和特征向量的求解方式非常关键，具备关键的理论和现实价值。

　　当前逐渐有大量专家学者对矩阵特征值和特征向量开展全面完善的分析。作者吴江、孟世才、许耿等人在文章《浅谈<线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》中叙述了线性代数内特征值和特征向量的价值和功能.作者郭华、刘小明等人在文章《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》文章中叙述了矩阵特征值和特征向量的性质，此外提出相关案例表明矩阵特征值和特征向量在矩阵运算内具备的现实影响。此外矩阵特征值和特征向量在结构动力研究时期具备相应的关键影响。矩阵迭代法还是求矩阵特征值和特征向量的重要数值方式，然而选择多种初始向量促使结果也许收敛在各个阶的特征值和特征向量，但是并非全部收敛在第一阶特征值和特征向量，因此专家陈建兵在《矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论》文章中叙述了初始向量的选择情况，且根据案例表明迭代法在求矩阵特征值和特征向量内的关键影响。此外可知在矩阵阶数高的时候矩阵运算会更加复杂，乃至无法顺利进行，因此专家赵娜、吕剑峰等人在文章《特征值问题的MATLAB实践》内从现实案例着手，通过MATLAB程序展现求解特征值问题的具体过程。

　　在以上专家分析和论述的前提下，根据部分经典理论，本文叙述了特征值和特征向量相关定义和性质，矩阵特征值和特征向量的全面分析促使此关键工具的应用更为普及与宽泛，在处理问题的时候也具备相应的优势.在上述前提下，对矩阵的特征值和特征向量的求解方式开展全面的叙述。通过矩阵的特征方程求解矩阵特征值进而求解特征向量是目前最普遍的方式。此外也包含列行互逆变换法、矩阵的初等变换法和使用数学工具进行求解。最终，全面叙述矩阵特征值等在现实中的使用。

　　因此本文重点被划分成下面几个方面，首先是引言，叙述分析矩阵特征值和特征向量的现实价值，分析当前各个国家的分析现状和本文的分析重点；其次大致叙述矩阵特征值和特征向量的概念，和线性变换的特征值、特征向量之间的关系，且全面叙述特征值和特征向量的有关特点，对后续求解方式的分析具备相应的帮助。再次是全面叙述矩阵特征值和特征向量的求解方式，此处叙述了使用定义方式求解、使用行列互逆变换法求解、初等变换和用数学软件求解的主要方式。最后，举例部分矩阵特征值和特征向量在高等数学或现实中的使用，且提出在人口模型内的现实使用。

　　众所周知,在有限维线性空间内,选择一组基以后,线性变换就能使用矩阵代表.也就是：矩阵和线性变换属于等价。对线性变换和矩阵的分析都具备关键的现实功能全面了解特征值和特征向量的概念和性质，可以协助我们开展后续的分析，促使繁杂的问题简洁化。

　　定义1设是数域上的一个阶方阵,若存在一个数以及一个非零维列向量，使得

　　则称是矩阵的一个特征值，向量称为矩阵关于特征值的特征向量。

　　定义2设是数域上线性空间的一个线性变换,如果对于数域中一数，存在一个非零向量，使得

　　则称是矩阵的一个特征值,而称为的属于特征值的一个特征向量。

　　现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法,设是数域上维线性空间,是它们的一组基,线性变换在这组基下的矩阵是。设是特征值，它的一个特征向量在下的坐标是。则由,这说明特征向量的坐标满足齐次方程组

　　即

　　由于,所以它的坐标不全为零，即齐次线性方程组有非零解。从而，齐次线性方程组式,有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零，即

　　我们引入以下定义

　　定义3设是数域上一级矩阵，是一个文字。矩阵的行列式

　　称为的特征多项式,这是数域上的一个次多项式。

　　如果是线性变换的特征值，那么一定是矩阵的特征多项式的一个根;反过来，如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根，即,那么齐次线性方程组式就有非零解。这时，如果是方程组式的一个非零解,那么非零解向量

　　满足式,即是线性变换的一个特征值，就是属于特征值的一个特征向量。

　　因此，确定一个线性变换的特征值与特征向量的方法可以分成以下几步；

　　（1）在线性空间中取一组基，写出在这组基下的矩阵；

　　（2）求出的特征多项式在数域中全部的根，它们也就是线性变换矩阵A的全部特征值；

　　（3）把所有得的特征值逐个代入方程组式，对于每一个特征值,解方程组式，求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基

　　下的坐标，这样，我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量。

　　矩阵的特征多项式的根大部分时候被叫做的特征值，其中相关线性方程组式的解内叫做的属于此特征值的特征向量。

　　2.2矩阵特征值与特征向量的性质

　　为了研究矩阵特征值与特征向量的求解方法，我们有必要研究矩阵特征值与特征向量的相关性质：

　　

　　用作用之后得,又的特征值一定不为零，所以，是的特征值。又是正交矩阵，所以为的特征值，又与相似，与有相同的特征根，所以也是特征根。

　　利用定义确定矩阵的特征值和特征向量的方法可以分为以下几步：

　　（1）求出矩阵特征多项式的全部特征根；

　　（2）把所求得的特征根逐个代入线性方程组，

　　对于每一个特征值，解方程组，求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量。

　　引理1.为阶可对角化矩阵，并且，其中，

　　则为的全部特征值，为的属于的特征向量。

　　引理2.设是阶方阵,且,其中是规范矩阵.若,则令,那么方程的根，即为方程的特征根。

　　引理3.设齐次线性方程组，是阶方阵，且为标准上三角矩阵

　　若将的主对角线上的元素0改写为-1，那么这些改写成-1的元所在的列:(改写后的列)即为齐次线性方程组的基础解系。

　　利用以上两个定理我们可以求出矩阵的特征值和特征向量，其一般步骤为:

　　(1)对作初等行变换，化成规范矩阵；

　　(2)若则令那么求方程的根，即为方阵的特征根。设特征根

　　(3)求齐次线性方程组的基础解系，设为则它们是矩阵对应于特征值的特征向量。

　　矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具之一。

　　定理3.设齐次线性方程组的系数矩阵的秩数,的非奇异矩阵的后列便构成线性方程组的一个基础解系。

　　在运用矩阵特征值与特征向量求解矩阵的特征值时,我们求解特征方程的全部特征根时，是通过对矩阵做一系列的初等变换化成下三角矩阵.由定理3.3.1知,当矩阵经过一系列的初等列变换变换成时,求得的就是矩阵的特征值,然后将代入,中的0列所对应的列就是所对应的特征向量。

　　下面阐述利用列初等变换法计算特征值与特征向量的步骤：

　　（1）将经过一系列初等变化变成，其中为含的下三角矩阵，为经过初等变换得到的矩阵；

　　（2）令主对角线元素之积为零，求出根即为特征值；

　　（3）将求出的代入中为，在进行列初等变换，当化为列阶梯形，且当非零列向量个数为时，中后的个列向量即为对应的特征向量。

　　根据此式可知，在初始情况下，通过相当长的时间之后，此动物种群内雌性动物的年龄分布会更加平稳，也就是三个年龄组内雌性动物的数目比值是此外时刻此动物种群的不同年龄组内雌性动物数量是

　　且其总和为

　　矩阵的特征值与特征向量观念在经济研究、生命科学与环保等部分具备宽泛且高效的使用。在经济进步和环境污染的增长模型，莱斯利（Leslie）种群模型等模型内，其也具备非常关键的现实影响。

　　本文主要包含三方面，主要是定义性质、特征值与特征向量的相关求法和使用。

　　矩阵特征值和特征向量的分析一般被当做矩阵理论分析的关键对象与目标。具备良好的积极影响，也就是分析怎样求解矩阵对照的特征值和特征向量具备一定的关键性，也具备明显的现实价值。首先，本文大致叙述了矩阵特征值与特征向量的概念和性质，之后，在此后的叙述中，全面求解矩阵特征值和特征向量的多种求解方方式，主要是定义法、列行互逆变换法等。且利用部分例题使用特征值和特征向量的性质与方式，促使问题更直接，运算更便利，是简化相关繁杂问题的高效方式。最终，本文着重叙述了对特征值和特征向量的使用分析，叙述了特征值与特征向量在矩阵运算内的功能。此时重点使用矩阵、特征值与特征向量当做案例，全面叙述应用实例在高等代数教学内的应用。第一，叙述部分现实案例，比如矩阵特征值在一阶常系数线性微分方程组内的使用和在马尔可夫链内的使用，尽可能利用具体使用来寻找抽象的数学定义。第二，分析矩阵和特征值在人口模型内和建模内的相关应用案例。

　　[1]向以华.矩阵特征值与特征向量的研究[J].重庆三峡学院报，2009（02）：1-2.

　　[2]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.

　　[3]黄金伟.矩阵的特征值与特征向量的简易求法[J].福建信息技术教育，2006（05）：34.

　　[4]王英瑛.矩阵特征值和特征向量求法的探讨[J].山东理工大学学报（自然科学版），2008（01）：5.

　　[5]赵院娥，李顺琴.矩阵的特征值与特征向量[J].江西科学，2009（05）：2.

　　[6]何翼.求矩阵特征值与特征向量的新方法[J].铜仁学院报，2009（03）：1.

　　[7]汤正华.关于矩阵的特征值与特征向量的探究[J].山东行政学院山东省经济管理干部学院学报，2008.（91）:46—48.

　　[8]宋利梅.求矩阵的特征值与特征向量的一种简捷方法[J].嘉应学院学报，2005,23：16—18.

　　[9]刘深泉，洪毅，马东魁，等，译．David C．Lay．线性代数及其应用[M]．3版．北京：机械工业出版社，200.

　　[10]周义仓，赫孝良．数学建模试验[M]．2版．西安：西安交通大学出版社，2003．

　　时光匆匆，白驹过隙，我的学习就要结束了，虽然心里纵有千万的不舍和遗憾，但是结束的钟声已敲响，重新起航的号角又响起了。回忆这两年的研究生美好生活，其中酸甜苦辣只有自己可以体会，但是所有的经历都是我人生的财富，假如让我用一个词来叙述我的学习生涯，那就是“感谢”。

　　感谢我的学院，在稳定和谐的环境中度过两年是我的幸运。学校的所有老师都具备精益求精的工作理念，因人施教的崇高师德，所有授课老师的授课都为我此后工作奠定了良好的基础，老师严谨的教育理念和宽广的胸怀，也是值得我们学习的。

　　感恩无条件为我付出的家人，多次在百忙中帮我修改论文，感谢一直以来你们的默默付出，感恩你们的鼓励和容忍，正是因为你们的爱和无私奉献，我才可以无忧无虑的学习和生活，才能顺利完成学业！