引言
在数学学习时期，不等式证明是十分关键的知识点。上述内容在初等以及高等数学中都有关键的位置。在数量关系上，即便不等关系和相等关系更为普遍的出现在现实生活中，然而大众对于不等式的认知却比方程更少，一直到17世纪之后，不等式理论才开始被寻找和发下，变成数学主要理论的关键构成方面。
在分析数学不等式的时候，大部分内容都具备一定的价值，比如，不等式性质、证明方式以及解法。在本文中，就不详细表述，而重点叙述部分证明不等式的普遍方式、使用函数证明不等式的方式。利用上述方式的学习，能够全面了解数学的相关特征。进而拓展数学视野，加深对不等式证明方式的认知，进而站在合理的角度来分析数学不等式。和等式的可确定性相比，不等式就是明确界限，确定条件来规范以及划分相应的范围，因此不等式的证明具备一定的乐趣以及价值。
1基本概念
1.1概念
不等式：表示使用符号＞或＜联结两个解析式所成的式子，也就是呆逼不相等关系的式子。
不等式种类：一元一次不等式，一元二次不等式，高次不等式，分式不等式，绝对值不等式，无理不等式
导数：导数表现函数的自变量在变动的时候，对应函数值变化的快慢情况——变化率（瞬时变化率）。函数在某一点的导数表达式为：假如函数在某区间内每点都可导，那么在此区间内可导，记是在此区间内的可导函数（也就是导数）
函数在某一点的导数表达式为：
若函数在某区间内每一点都可导，则称在该区间内可导，记为在该区间内的可导函数（简称导数），表达式如下：
积分：是微积分学和数学研究的主要定义。一般被划分成定积分以及不定积分两类。直接进行分析，对于给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分
可被诠释成在oxy坐标平面上，根据曲线、直线,和轴围成的曲边梯形的面积值（一种明确的实数值）。
的不定积分（或叫做原函数）是所有函数F，其导函数是函数；不定积分并非唯一：只要F是的不定积分，因此F+C是（C是常数），然而除此之外，也缺少其他的不定积分。所以的不定积分在相差常数的时候是唯一。
1.2不等式的基本性质
实数集内的所有两个数一直能对比大小，假如是正数，那么;假如是零，那么；假如是负数，那么。反之也是如此。也就是
a≧b此处符号代表等价于。
此概念即便简单，但是事实上其表示不等式的性质。大部分不等式的证明，主要从此概念着手。第一，依照不等式概念，容易证明以下不等式的单纯性质，上述性质是证明其余不等式的主要方式。
2证明方法
因为不等式的方式不同。因此证明缺少稳定的程序，类型众多，方式灵活。通常证明的主要步骤是创建辅助函数，之后使用高等数学知识来进行证明。通过高等数学证明不等式的一般方式是：构造函数，使用条件极值方式，使用定积分知识，使用函数单调性，使用微分中值定理，使用最值判别法，使用泰勒展开式等方式进行证明。
2.1构造函数证明不等式
证明不等式中构造辅助函数方方式相对普遍，其主要理论是把不等式利用等价变形，寻找出辅助函数，主要方式是直接把不等号右端项移到不等号左端，此时右端是零，左端就是需要寻求的辅助函数。
2.2利用条件极值方法证明不等式
用求函数条件极值的拉格朗日乘数法来证明部分不等式相对直接与浅显，为叙述此方式，需要提前回顾将求一个函数在约束条件下的条件极值的拉格朗日乘数法：
求元函数在约束条件下的极值，寻求辅助函数：
得出辅助函数对的一阶偏导数，让其等于零，得出个方程构成的方程组，解此方程组：
得出函数的稳定，假设点是方程组的解，（在此处，要求函数和在以点为内点的区域上的偏导数出现且连续）。此时，可依照问题的实际或深入研究来判定函数在点是否取极大值或极小值。
接下来将证明几个不等式当做案例进行详细解释：
例3已知，，都是正数，且，求证。
分析：这道题明显地表示出一个条件极值问题，当我们肯定函数在约束条件下的最小值是9的时候，就证明了这个不等式。
证明：先作辅助函数
求出辅助函数对的一阶偏导数，令它们等于零，得出4个方程组成的方程组，解这个方程组：
因为，，都是正数，方程组有唯一解取。
考虑到在中，当为很小的正数时，的值可以充分大，从这道题的实际就能判断当时，函数取最小值9，所以有。
例4证明不等式，其中，，。
分析：为证明这个不等式，我们先考虑，在曲线（，，为常数）上取值，从求函数在约束条件下的最大值来证明上述不等式在指定曲线上成立。因为对于第一象限（，）这个闭区域上的任意一点，可以通过变动的值使它落在某一条曲线上，因而当，时上述不等式也成立。
证明：设，，（当或或时，不等式显然成立。）
先作辅助函数：
求出辅助函数对的一阶偏导数，令它们等于零，得出3个方程组成的方程组，解这个方程组：
得
考虑到在中，当很小时，不等式的左边的值比右边的值小（）很多，可以判断当时，函数取最大值，于是有。
2.3用定积分知识证明不等式
定积分知识是证明不等式的全新方式，对于特殊和式
不等式的证明有明显的优点。依照不等式的特点直接构造函数，
使用函数的定积分处理不等式问题具备非常重要的现实影响。在解题的工程中假如可以了解定积分理论，就可以把大部分问题“化难为易”。
例5证明
证明：此题利用定积分来证明，首先引入函数，则可得
因此。
在区间上函数连续且恒有，因此定积分的几何价值是：代表由连续曲线和三条直线，，轴所围成的曲边梯形的面积。根据上述几何价值可知：
定积分的性质：若函数，在区间上可积，且，
则。
用上面的性质可以证明一些不等式
例6当时，证明
证明：因为，，
对积分变量，时，有，
由性质得，
即当时，有。
2.4利用函数的单调性证明不等式
函数单调性是其主要属性和特点，在不等式证明中具备非常关键现实价值。使用函数单调性证明不等式，重点就是科学使用题设条件，寻找对应的函数，且把原问题实施等价转换，利用函数增减性分析，进而促使问题被全面处理。
例7设，且，求证。
证明：令：，则由，得，，
于是
因为，则，而，
所以单调递增。
当时，则单调递减。
于是，即。
当时，则单调递增，
于是，即。
例8当时，求证:.
证明：设，。
因为，所以，故在上递减，因此时，，即成立
得证。
2.5利用微分中值定理证明不等式
微分中值定理把函数和导数全面关联起来，假如所求证不等式通过单纯变形之后，和微分中值公式的结构具备相同点，此时可思考使用微分中值定理来验证，其重点是构造辅助函数，之后使用公式证明。
罗尔中值定理若函数满足如下条件：
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间内可导；
则在内至少存在一点，使得。
拉格朗日中值定理
若函数满足如下条件：
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得。
显然，特别当时，本定理的结论即为罗尔定理的结论，这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形。
结论
不等式在高等数学中具备关键位置。因为不等式类型不同，因此证明并不存在稳定的程序，技巧众多，方式灵活。和等式的可确定性相比，不等式如同明确界限，修订某个条件来规范，以及确定相应的范围，因此不等式证明具备一定的趣味性以及挑战性。其最主要的方式是使用定义和主要性质，且利用代数变换进行证明。本文主要使用高等数学知识来证明不等式的重要方式，上述方式为证明不等式的过程准备了高效的理论工具。显然，证明方式不仅本文叙述的几类，由于证明不等式缺少相应的程序，证法根据问题变化而变化，具有众多证明方式。然而上述方式包含大多数不等式证明。
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