从符号表征与运算视角探究小学生数学符号意识现状及改进策略 ——以低年级小学生为例

　摘要

数学的重要特点之一就是高度的符号化，符号作为数学活动得以进行的至关重要的工具，可以说整个数学体系的基础。所以要想提升我国的数学教育水平，使学生们真正掌握数学，就不能不关注学生数学符号意识培养的相关问题。这是基础教育发展的大势所趋，也导致了教育界中关于数学符号意识的研究蓬勃兴起。现有的研究已经取得了蔚为大观的成果，令人欣喜。

然而，不可否认的是目前针对符号意识的研究依然存在经验总结为主、缺乏系统性全面性等问题。所以对数学符号意识进行更深一步的研究是具有现实意义的。

本研究主要使用文献法、访谈调查等方法，并且将研究对象是低年级小学生的数学符号意识，为了使研究更具有针对性，结合查阅到的文献资料，又将数学符号意识细化为三个层次：符号感知与识记、符号表征与运算、符号抽象与推理。从符号表征与运算视角出发调查了小学生数学符号意识的现状，认为目前的学生符号意识培养中存在很多问题：容易混淆相似概念、符号迁移能力差、实际操作中错误频发。接着对问题背后的原因进简单归纳为：教师受传统教育理念影响、学生的原有知识基础作用和学生生理因素影响。最后对最具有实际操作性的两个相关主体即教师和家长分别提出了相应的建议。教师层面的建议有：重视解读符号内涵、注意与自然语言对比、指导学生感悟符号的美、加强变式训练、教学时结合生活情景，家长层面的建议为：引导学生在生活中亲近符号、充分发挥到作用。

　关键词：数学符号意识；符号表征与运算；改进策略；低年级小学生

　　引言

　　（一）研究背景

现如今，数学符号意识已经被公认为是数学教育研究中一个重要的概念，学校和教师也开始有意识地注意培养学生的符号意识。假如对数学符号意识在我国的发展过程进行梳理，就可以明显发现数学符号意识从开始被我国教育研究者所注意到成为一个不可忽视的教育热点，实际上是经历了相当漫长的过程。2001年的《义务教育数学课程标准（实验稿）》中就已经提出符号感这个称谓并要求“课程内容的学习要发展学生的符号感”。但是符号感不同于符号意识，数学符号意识这个名称实际上是在十年以后修订的《义务教育数学课程标准（2011年版）》确定下来的，而且该版本的“课程标准”直接将符号意识确定为新的数学十大核心素养之一。关于修订符号感这一称谓的原因，黄翔教授认为：“数学符号对于学习者来说主要的还不是潜意识、直觉或感觉，而是一种主动的使用符号的心理倾向。所以用‘意识’更准确些。”自此以后数学符号意识开始进入研究者的视野中，并且逐渐地成为备受研究者青睐的关键话题，相关研究的热度一直居高不下。已有的研究不管是从广度方面还是深度方面相较于过往的研究来说，都有令人欣喜的进步。这从侧面印证了我国数学教育研究水平的发展，也说明了数学符号意识这个研究领域不再是无人涉足的无人区而是有着丰硕研究成果的日渐成熟的研究领域。

但是，相关数学符号意识在取得骄人的成就同时，也暴露出来了部分的问题。在学术领域，随着研究的深度不断变大，却出现了这样的现象即令人耳目一新的课题和充满新意的研究视角逐渐变少。相关研究大多集中在了阐释数学符号意识的含义、探讨其培养手段等方面，新颖的思路逐渐减少，研究视角有渐趋狭窄的嫌疑，长此以往是不利于推陈出新，做出突破性研究成果的。

在实践领域，很多在一线从事教学的教师对数学符号意识认识不到位，理解不深刻，在头脑只对其有一种懵懵懂懂的感性体会，更有甚者完全没听说过数学“符号意识”。反映在一线的教学中则是出现强调机械记忆，忽略培养学生符号意识，导致学生不理解输血背后的深刻内涵。学生不能领悟数学背后的算理，数学难，厌恶数学的情况就出现了。正如数学家波利亚所写道“学生没有充分的机会亲身体验到数学符号语言有助于思维，那他讨厌数学是无可非议的，帮助学生获得这方面的经验体会是教师的重要职责。”这充分说明了培养学生的数学符号意识是教师责无旁贷的责任，研究者只有在深入研究的基础上帮助一线教师建立对于符号意识的正确认知，才能提高小学生数学符号学习兴趣。

（二）研究意义

1.理论意义

符号意识是为教育学界公认的数学学习当中最关键的核心素养之一，研究数学符号意识，首先能够起到完善相关理论的作用，其次在理论高度上深化了对于数学符号意识认知。最后有助于挖掘数学符号的隐含的价值，达到推广数学文化的理想。

2.实践意义

从学生的角度来看，能够帮助学生正确地看待数学符号的学习，理解数学符号所具有的深刻内涵，欣赏符号的简约美，从而激发其数学的学习动机。主动地改变原有的传统学习方式，发展自己的数学思维，提高自身的数学能力，成为一个具有良好数学素养的优秀学生。

从教师的角度来看，有利于帮助教师理解学生数学符号学习中存在的主要问题及问题出现的原因，教师可以在本研究的基础上联系自己的教学实际，对照现实，观察类似的问题是否出现于自己的学生之中，进而可以利用本文中提出的改进策略。改变传统落后的教学方式，积极应用进步的教学方式，做学生学习的帮助者和引导者，保护并激发学生对数学学习的积极性，从而达到培养学生的数学符号意识，完善学生的人格发展，最后实现自身的全面发展。

　（三）研究内容与研究方法

1.研究内容

通过前期的文献搜集与准备工作，再结合实习过程中的教学实际体会，笔者认为小学阶段数学符号意识培养中的薄弱环节是学生的数学符号表征与运算能力较差。数学符号感知与识记层次属于最低层次的学习，学生的日常生活经验和家庭教育足以能够帮助学生完成这部分的学习，所以该方面不容易出现困难。6-12岁的小学生正处于皮亚杰认知发展阶段论中的前运算阶段和具体运算阶段，受生理因素的限制，大部分的小学生抽象与推理能力都是一个相对低的水平，所以培养学生数学符号的抽象与推理能力不是小学阶段的教育目标。培养小学生的符号表征与运算能力，应该小学阶段的数学符号意识培养的重中之重。但是由于教师受传统应试教育思维的影响，不注重训练学生对数学符号的实际操作能力，导致学生在这个重要的方面出现的问题最多最严重。每次学生一出现操作困难的情况，教师的第一反应就是要求学生先记住背过，把具体操作暂时放一边。结果就是学生往往是只知其然而不知其所以然、一听就会一做就错。针对实际教学中出现的这种情况，所以笔者将研究内容确定为调查学生的符号表征与运算能力的实际情况，探究其中的问题，试着提出改进策略。

2.研究方法

本此研究使用的方法主要有以下三种，第一，文献研究法。不论是前期的选题还是后期的写作都离不开文献搜集与研究，在开始论文写作之前必须先了解其他研究者对小学数学符号意识进行研究的研究角度都是什么，相关的研究已经进行到了何种程度，当下的研究中还存在什么问题与不足，另外还有一点很重要的就是为研究的进行寻找理论依据，所以前期的工作应该需要借助文献法的帮助。

第二，文本分析法。因为此次研究的目的是探究小学生的数学符号意识，为更好地了解小学生数学符号意识培养中的现实状况，发现问题探究原因，需要使用文本分析法。具体做法是对小学生的习题、作业、试卷中的与数学符号比较大关系的题目进行分析，研究学生数学符号的表征与运算中出现的问题有哪些，其中哪个方面的问题最为重要，同时对问题出现的原因进行简单的分析。

第三，访谈调查法。访谈法为本次研究使用的主要方法，笔者会对在调查研究中遇到的具有典型意义的学生和担任小学数学教学任务的教师进行访谈，按照访谈提纲详细询问这些受访者，询问他们对数学符号意识的看法，调查学生的数学符号学习状况，并且分析学生数学符号意识培养中存在的主要问题，最后通过访谈深入挖掘他们深层次的心理，分析问题出现的深层次的原因，为改进策略的提出提供依据。

3.论文的技术路线

本次研究采用的方法是质性研究，主要是希望能够对教师和学生进行访谈调查了解现实情况，达到收集研究资料的目的，并运用归纳的方法整理资料，提炼主要问题。最后为相关各方提出进一步的优化策略。

　（四）创新点与不足

1.研究的创新点

本研究相较于过往的研究创新点有几个方面：一、研究目标明确。通过阅读文献和进行前期的调查，本次研究将研究目标确定为从表征与运算层次上探究小学生的数学符号意识，针对性非常强。二、研究实际价值高。小学生的数学学习困难的情况是有目共睹的，就笔者理解，其中的关键问题就是学生的表征与运算能力弱，本研究立足于实际，观照现实情况，对于一线的教师来说具有很强的借鉴价值。三、研究方法创新。以往研究方法偏重于问卷调查，目的是收集数据具有客观性，但是忽略了对教师和学生的关切，对其内心深层次思想的探究不足，分析往往是泛泛而谈缺乏深刻性。质性研究就可以很好的弥补这方面的问题，深入分析现象背后的原因。

2.研究的不足

本研究的不足之处在于笔者实习所在的学校规模较小，教师大多都来自于附近地区，他们的生活环境都是相对一致的，思维方式也都大同小异。所以在教师进行访谈的时候，出现这种情况，就是教师们的反应都比较一致，对问题和原因的看法都是大致相同的，缺乏头脑风暴和新奇的见解。

　一、相关概念界定

数学符号数学符号看似是一个很简单具体的概念，但如果仔细对其进行分析之后，就可以发现其内涵和外延都是非常丰富的。史宁中曾经从历史发展的角度上细致地对数和数学符号的产生进行过分析，他认为数与数学符号是两种完全不同的概念，提出“数学符号是对于数的抽象”这种观点，并且还补充道：“关于数的第一步抽象是计数，第二步抽象才是数学符号。”查永平认为“数学符号是用来记录数学命题、概念和演算的”，然后进一步把数学符号分为四类：研究对象的符号、运算符号、表示量与量之间的关系符号、表示辅助符号。有别于过往探究，李艳琴和宋乃庆对数学符号进行了更为精细对分类，他们二人将小学低段出现的数学符号分成了五类：元素符号、运算符号、计量单位符号、结合符号和约定符号。这种分类也很具有启发性，对于未来针对数学符号的研究进一步开展大有裨益。

数学符号意识对于符号意识具体含义的阐释，最新修订的《义务教育数学课程标准》中是这样呈现的：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式，”这个叙述并没有给符号意识一个明确的定义，实际上只是笼统地描述了符号意识的内涵、说明了其价值。这从一个侧面证明了准确界定符号意识这个概念是较困难的。张号、童莉、黄翔三人在他们的文章中提出了这样一种看法：符号意识强调对数的理解和表示，学生能够借助符号进行运算推理，并且得到的结果具有一般性，最后还要能够把握数学符号背后暗含的数学思想。张号等三人的看法是通过与以前的“符号感”这个概念进行对比的基础之上，从而提出了他们的对于数学符号意识内涵的理解。还有一种与以上看法都不相同的另一种视角，就是从主体对象学生的视角出发，陶红强基本上就是从学生的视角出发，然后对数学符号意识进行解释，他强调学生的能动性和运用、交流、理解数学符号的主体自觉性。以上就是笔者对国内的关于符号意识内涵解读的相关研究进行整理之后得到的一些概况。

相较于起步较晚的国内研究，国外的研究起步很早，取得的成果也是比较丰硕的，具有很强的借鉴意义。Macintosh, A.等专家提出在代数领域，相较于算术中的数感，符号意识可以看作是数感的一个逻辑延伸。Picciotto和Wah认为符号意识是超越数感的一种数学文化水平，是是对在正确时间使用数学符号的一种理解能力，是数学结构的一种感知能力。整理过往的研究，笔者发现对于数学符号意识实际上目前为止还没有一个为大家所公认的明确定义。但是另一方面无论是《义务教育数学课程标准》中的叙述，还是数学教育领域的专家的解读，都是共同表达了这样的观念即要将数学符号意识作为一项重要的学习内容和学习目标纳入到数学教学工作当中。因为符号是数学学科中最基本的构成单位，是以后更高层次数学学习的基础。如果用简化观点看数学符号，其实其本质就是一种人类为减轻思维负担而发明的特殊工具，借助这一工具能够解决数学问题。符号意识体现了对数学符号的重视。

数学符号意识层次划分鉴于数学符号意识是一种心理层面上的意识活动，具有内隐性，直接对其进行研究有不小的困难。所以专家学者希望能够将这种意识分解成不同的要素或者划分成不同的层次，这样就能够使研究简化且更具有针对性。通过收集研究已有的文献，笔者发现国内外符号意识层次的研究主要集中在三个方面：心理，能力和行为。下面笔者尝试对搜集到的资料进行简单的总结概括。王成营从问题解决教学角度探究学生的数学符号意义获得能力，他认为：“学生的数学符号意义获得能力一般包括符号的识别与切分、符号意义的联想与发现、符号意义的整合与优化、符号的操作与表征四个阶段。”在国内的研究中，从实证角度探究符号意识的有关问题的并且具有很强代表性的观点还有以下两种。朱立明、马云鹏经过研究利用SOLO分类法，建立了数学符号意识PORE评价框架，在该评价框架中将符号意识划分为四个维度即数学符号的感知、数学符号的运算、数学符号的推理、数学符号的表征。李艳琴、宋乃庆通过实证检验构建了包含三个一级指标，七个二级指标的小学低段数学符号意识评测指标体系，其中三个一级指标为：数学符号的抽象、数学符号的识记、数学符号的应用。结合以往研究者的成果，笔者为了研究的方便，将数学符号意识简单划分为以下三个层次。

1.符号感知与识记层次

学生对数学符号初步感性地认识也能够体现出其中的符号意识，不过就是比较简单罢了，这种意识是以后一系列高难度学习能够发生的基础。能够感知和识记数学符号，换句话来理解，就是学生知道数学符号，并在一定程度上了解其含义。具体的学习过程还可以细化为三个阶段：第一阶段对符号理解非常混乱，这意味着学生甚至连基本数学符号无法清楚地区分。第二阶段是独立认识与记忆，此阶段学生已经掌握并理解了每种数学符号的含义，但是这些符号是孤立的不系统的，学生缺乏理解多个符号的能力。第三阶段是对数学符号的完整理解。此级别应基于大量学生的积累和实践。在老师的指导下，学生明白理解知识背景，并了解各种情况下符号的含义和作用。

2.符号表征与运算层次

符号表征即学生可以使用符号来表示一些复杂的数学问题、概念、数量关系。此过程具有以下几种特点。首先，学生不能使用符号来正确表示字母，也无法理解符号本身。其次，学生的表征具有独特性不具有普适性，因此它就只可以表达一些简单而不是复杂的问题。学生能够熟练的使用数学符号但同时不完全理解它们，学生的思维方式也是单一的。

符号运算的起始点就是学生在一年级阶段的学习的最简单的数字1-5，在此过程中教师引导他们从具体的数字中提取符号阿拉伯数字。在以后的学习中特别是学生到达了小学四年级或者小学五年级，学生开始第二次转变，在这个阶段学生要学着使用更多具有很高抽象性的字母来对数字进行表征。这是思维发展和学生成长的转折点。学生抽象思维从此开始萌芽。在此过程中，一些学生已经学会使用符号来代替问题的未知量，然后建立数量关系来解决该类问题。与此同时有些学生思维方式改变较慢，他们仅根据某些特殊符号来解决问题，如果形态略有变化，则不能理解其背后的原因。这两类学生的之间轻微差别在不同程度上反映了学生的表征与运算能力发展参差不齐。前文中的研究内容中，笔者已经分析了小学阶段的实际情况，认为小学生数学符号意识培养中出现问题的主要原因就是符号表征与运算能力差，所以本次研究的主要研究对象就是数学符号的表征与运算层次，探究学生在这个层次中的发展状况。

3.符号抽象与推理层次

抽象与推理是符号意识发展种最高的层次。生活中常见的推理方式包括两大类：合情推理和演绎推理。在小学阶段学生接触和学习的几乎都是合理推理，但是即使是合情推理也并不是在整个小学阶段都有出现。实际情况中符号推理在小学高年级比较常见，在中学阶段就变得非常普遍了。符号的抽象能力与符号抽象能力类似，按照笔者的理解，这些都不是小学阶段的培养重点。通过在日常生活中感知数学符号和在学校中对数学符号进行系统学习与识记，然后在习题和练习中学习对数学符号的表征和借助符号进行运算，这样循序渐进的进行下来，学生的抽象推理能力才会开始出现得到发展。这也说明了前两个阶段的重要性。

二、小学生数学符号意识现状的调查

调查研究设计在经过了长时间的思考和比较之后，笔者决定分别对教师和学生这两个群体分别进行访谈调查，以收集相关的资料作为研究的参考。本次研究的主题是数学符号意识，符号意识的特点就是具有内隐性，无法直接对其进行研究的。所以只能通过研究学生的外显性的一些学习行为，来间接地研究学生数学符号意识的现实状况和发展水平。于是笔者将教师团体中的访谈对象确定为在小学低年级在一线有教学任务的数学教师6名，他们有长年的教学经验熟悉教学内容和学生情况，具体内容可以参见下表。

表1受访教师的基本情况

序号	访谈对象	性别	教授年级	教龄	学历	代号
1	刘老师	男	一年级	21年	专科	A
2	赵老师	女	一年级	4年	本科	B
3	刘老师	男	一年级	6年	本科	C
4	王老师	女	二年级	7年	本科	D
5	周老师	男	二年级	23年	专科	E
6	殷老师	男	二年级	11年	本科	F

学生的数学符号意识是研究的关注点，学生本人是学习的主体是符号意识的培养对象。他们的从个人角度出发对数学符号的理解，是其他任何人都无法代替和体会的。所以直接对他们进行访谈调查是很重要的，调查学生们对于数学符号学习的态度以及他们在实际的数学符号相关内容学习过程中出现的疑惑、困难以及在表征和运算环节具体的障碍。这样访谈一定程度上也能够帮助学生了解自己在这一块内容学习的实际水平，有益于他们以后的学习。本次调查所使用的抽样方法为分层随机抽样，具体步骤是这样的：1.界定总体，本次调查的总体为临沂市河东区x小学低年级（即一年级和二年级）学生的数学符号意识。2.因为一年级和二年级的学生的符号意识之间存在较大差异，为了能够真实地反映出实际情况，笔者最终将抽样方法确定为分层抽样。一年级选择4人，二年级选择4人。3.以2019年下学期期中考试的成绩为参照标准，分别在一年级和二年级中选择了选择了成绩占前50%的学生2人，后50%的学生2人。下表就是笔者按照上述思路最后敲定的访谈的名单，共包括8名学生，其中女生3名，男生5名。

序号	访谈对象	性别	所在年级	期中考试数学成绩	代号
1	高同学	女	一	A（90分及以上）	a
2	丁同学	男	一	B（90至60分）	b
3	高同学	女	一	A	c
4	何同学	男	一	A	d
5	高同学	男	二	A	e
6	孙同学	男	二	B	f
7	王同学	男	二	A	g
8	何同学	女	二	B	h

表2 受访学生基本情况

对学生进行调查能够获取第一手的资料，这是最为难能可贵的地方。但是直接调查也存在问题，例如：出于畏惧心理，学生可能会隐瞒一部分自己的真实想法。为了克服这种问题，笔者又搜集了一部分受访学生的作业本、练习册、习题集和试卷，作为参考，以期能够获得更为全面的信息。

　（二）数学表征与运算层次中出现的问题

　1、　在数学符号学习过程中混淆有关概念

调查过程中笔者发现，学生们对于数学符号的名称都是十分熟悉的，识认起来几乎没有任何困难，同时对于用符号表示的数学公式也是能够倒背如流。但是一遇到用数学符号来对具体情境进行表征的时候就完全是束手无策了。面对各种的实际问题，大部分同学都没有主动使用简约的数学符号来表示有用信息的意识，他们喜欢用自然语言来对问题描述，这往往就出现表述过程笼统、繁琐、缺乏逻辑性诸如此类的问题。学生只有经过教师的提点才有使用数学符号的意识，自己在平时训练当中基本上没有养成运用数学符号的习惯。这就相当于一个恶性循环，从而使学生在以后的数学学习中愈加吃力和无助，学习数学的积极性越来越低，这样容易导致数学学习的困难。

此外数学符号表征过程中另一个比较突出的问题就是：混淆相似概念。学生们由于不了解数学符号的本质与意义，在学习过程中就只好采取机械记忆的方式识记数学符号。这样不仅给学生造成了极大的负担，而且使得各种数学符号杂乱无章地储存于头脑中，等到需要用数学符号进行表征时特别容易混淆相似概念。例如教师A就描述了这样一种情形：

“在二年级上学期学习长度单位厘米cm和米m的时候，一部分学生这方面经常出错，在练习过程中总是分不清楚这两个相似单位。我感觉可能就是这两个符号太过于相似了，所以学生区分起来很困难。”

　2、迁移所学知识时出现困难

所有教育者的共同理想就是能够让被教育者达到迁移所学知识的目标。学会迁移所学知识通俗来讲就是学会举一反三，将有助于学习者在短时间快速高效地掌握大量的知识，同时能够帮助其提升自己的素养与能力。但是实际情况中学会迁移对于大多数的小学生来说都是一种很大的挑战，学生们包括高年级的学生能够真正掌握这种迁移能力的则是少之又少的。在访谈调查中，教师D如此说到：

“现在的小学生一般都有很强的对具体数字的计算能力，学生们对数字敏感度很高。但是对数学符号敏感度就低很多了，他们的符号运算能力普遍较差。”这就说明了从简单的具体数字的计算到抽象的数学符号的运算之间的差别是非常大的，学生要想实现从数字计算阶段跨越到符号运算阶段是需要克服很多困难的。”

对于数学符号运算这一类问题，能够正确理解符号含义并且完成运算过程的学生只占总人数的很小一部分。最常出现的情形是学生在解答过程中错误百出、五花八门。学生的运算能力是受很多因素的影响的，其中数感和数学符号意识在众多的影响因素当中应该有很关键的地位，换句话来说，学生的迁移运算能力不强和数学符号意识薄弱是一个问题的两个方面，二者是有很大联系的。

　3、实际操作过程中错误频发

学生理解符号的意思，并且背的滚瓜烂熟，可是一到动手去实际操作时就感觉很难。还有一部分学生在表征时都觉得很难，因为在他们认知结构中，他们的符号积累有限，他们想去表征，但是不知道选择什么符号，只能去选择最常见、最简单的符号。在二年级上学期学习《表内乘法》这课时，在教材上呈现的是3+3+3+3+3=15可以用更简单的方法写成3×5=15，这样的目的就是让学生明白乘号的来源和简化运算的巨大作用，学完这部分内容后，有一道习题：4+4+4+4+4怎么用乘法表示，学生们就一筹莫展了。学生 a说：

“这个我们没有学过啊？课本上是3的连加，4的连加，还没学过啊？”

学生只孤立地看到了4这个符号没想到只要进行一下转化就可以变成学过的知识了，这就说明了其实际操作能力太差。

（三）问题出现的原因分析

1.传统教育理念的影响

课程改革已经进行了多年，素质教育的口号也已经宣传了多年，但是在教学一线的实际情况并不如人意，传统的教育理念，特别是应试教育的观念还是占据在不少教师的头脑当中。笔者在对教师E进行访谈的时候，教师E是这样说的：

“其实咱们这个地区，实际情况还是在搞应试教育，主要还是看学生的分数。你如果问我该怎么进行数学教学，我我觉得最主要的还是抓学习成绩。”

教师E身份比较特殊，他不仅是二年级的数学教师，还是笔者所在的实习学校分管教学的副校长，二年级的数学教学任务实际上只是他的兼职。教师E所说的这番话很能代表一部分基层教师的观点，反映了这样一个事实就是只注重应试教育的这样一个传统教育观念时至今日还是具有广泛的市场的。从具体情况来分析，这位副校长这样的想法应用于实践，将会使其格外关注学生的成绩，是会影响他所管理学校很大一部分教师的观念的。当然素质教育并非完全排斥应试的成分，但是素质教育的内涵一定是大于应试教育的。素质教育关注的是学生的德智体美等方面的全面发展，学习成绩是其中的一个重要目标，但是不是其全部的目标。社会上的应试教育问题就出在了这个角度，变成了只关注学生的成绩忽视其创新力、道德品质、审美能力等其他方面的发展。

2.教师急功近利心态的作用

其实学校中的受过专业训练的教师都知道培养学生数学符号意识的重要性，他们对于数学符号意识这个概念都是比较熟悉的，不管是在大学的学习中还是在就职后的培训中，都提出在数学教学中要培养学生的符号意识，所以在笔者对教师们进行访谈时，询问其他们对于“符号意识”这一概念的理解时，教师们都能够说出来其含义，明白其重要意义。在访谈中教师们还普遍表达了符号意识应该是教学的重点类似的想法。但在实际的课堂教学中，教师们没有做到真正重视符号教学，对于学生符号学习中出现困难关心也是不足的。之所以出现这种问题原因就是急功近利的心态，学生e这样说道：

“我们老师经常说计算的题最重要，因为考试中计算题的分是最多的。平时上课，老师讲的很快，有时候还没弄明白，就学新课了，老师经常说不明白先记住，考试会就行，以后慢慢就明白了。”

教师在实际教学中的重点还是在“计算”层面上，因为实际考试过程中计算所占的分值是最大的。不重视数学符号的讲解，不愿意用长远的眼光看待数学符号的作用，急功近利，学生们在学习中出现各种疑问，还没有得到解决，就开始学习新的内容了，这些没有得到妥善处理的小问题就会累积起来，变成大问题，就像滚雪球效应，久而久之学生就会出现数学学习困难。

3.学生受原有或者类似知识的干扰

教育心理学家奥苏贝尔认为，“有意义学习是指在学习知识的过程当中，符号代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当概念建立实质性和非人为性的联系的过程。”这种观点尤其重视学习者头脑中必须有适当的旧知识，这样才能与新知识进行联系。但是在实际情况中学生头脑中的已有的知识很容易对学习新知识造成障碍，学生本来还能够勉强掌握学习过的知识，但是一旦学习了新知识，就乱套了，新旧知识混杂在一起，完全不能够分辨清楚。这样的两种学习之间相互干扰、阻碍，就变成了负迁移。这种问题在各个学科中都会出现。比如，在小学一年级时先学习了拼音，那么在三年级学习英文字母时就容易将其认错。数学学科中也有类似问题，举例来说：大于号和小于号分不清、数字“6”和数字“9”分不清楚、学习方位的时候，“左”和“右”两者分不清楚等等。这些问题之所以出现的原因就是头脑中原有的知识或者说学习过程中遇到的知识太过于类似，如果学生学习数学符号时就只是机械记忆相应的符号，而实际上根本不理解其本质。这样的话就会放大负迁移的消极作用，更加不利于锻炼学生区别相似的知识的能力，导致在学习过程中思维定势的出现，给符号学习造成消极的影响，以后学习数学只会越来越困难，数学学习兴趣也会越来越低。

4.学生受生理因素的影响

小学低年级的学生正是处在思维发展的第一个个转折点，在这个阶段学生开始发展出具体形象思维，相较于幼儿园阶段，学生思维发展的第一个转折点—由感知运动阶段到前运算阶段的过渡相比，第二转折点的变化更加激烈，影响也更为巨大，所以在这一个特殊时期，学生的数学符号的学习出现问题是在所难免的。访谈中教师C说：

“数学符号本来就有很大抽象性，利用符号进行计算难度就更大了，特别是对于刚刚接触此类问题的学生来说，这种困难实在是不小的。学生们普遍存在的问题就是不理解符号的真正含义。”

不过即使是这样也不能否认生理因素的影响不是不可以克服的，如果首先要清楚它的基本含义和算理，通过不断的练习，结合学生的思维发展水平，是能够解决身上出现的问题的。

5.学生课业负担过重

在对学生进行访谈的时候，学生b还向笔者说了这样一现象：

“回到家就是做作业、写试卷，根本没有时间看电视，试卷都是我妈妈给我买的。一回到家，我妈妈就看着我做试卷。”

如果实话来说，学生在学校当中的课业负担比较轻松，因为教育行政部门和学校都会给教师规定不同年级的每日的作业量大致应该是多少，特别是一年级和二年级原则上是不布置家庭作业的，如果教师布置的家庭作业过多，家长们都会向学校和市XX反映，所以教师们都是战战兢兢，尽可能的少留置作业。但是学生的课业负担重的原因主要是家长们给学生布置的作业太多了，受诸如“不能让孩子输在起跑线上”这样的广告宣传的影响，再加上社会阶层逐渐固化，社会不同阶层之间流动的可能性越来越小，学业这一途径为家长们所看重。家长对孩子学业的关心程度是逐年升高的，为了使自己的学生不掉队甚至超过别人，家长们就在家中给学生买很多习题、试卷，让学生进行大量的练习，以提高学生的学习成绩。家长的初衷很好，可是方法往往不合适，在家给学生组织练习的时候只重视量不重视质，只重视计算不重视算理，造成学生学习数学符号出现困难。总结起来就是大量的练习妨碍了进一步的思考，过重的课业负担阻止了学生深入理解数学符号的本质。

　三、小学生数学符号意识培养中存在问题的改进策略

　　（一）教师层面

1.重视解读数学符号的内涵与意义

著名教育家杜威认为学生不仅要学习知识，更重要的是了解知识内容背后深刻的社会意义，如果忽视意义的解读就会出现“在最坏的情况下，学生的问题不是如何符合学校生活的要求，而是如何看来好像符合这些要求。”正因如此，教师们要重视数学符号象征意义的解释。在新的数学符号教学过程中，老师不能为学生做肤浅的讲解或者干脆不做解读。教师在备课阶段后应该做足功课。第一步必须对符号有清楚的了解，然后教师再向学生强调数学符号的重要性与深刻意义，明确符号的内涵和相关知识点，并告诉学生正确的用法。有意义学习只有在学生真正了解符号的内涵的情况下才能够发生，也只有这样他们才能拥有自由学习的力量，并对继续学习保持高度兴趣。否则，在学习开始阶段，学生只是懵懵懂懂地对所学习的内容了解个大概，随着学习的深入进行，小的问题就会逐渐积累变成大的麻烦，学生数学学习的效率将会愈来愈低，他们将无法区分容易混淆的数学符号，甚至可能失去学习数学的信心。

数学源于生活，每一个数学符号都拥有深刻的社会背景，因此教师在教授符号只要清楚明白地将这些社会背景解释出来，学生是应该能够理解这些内容的。教师应认真准备课程，但不一定要完全遵循教师的参考书，而应将课程与学生的生活经验相结合并体现出数学符号的意义。一般来说在阐释清楚学习内容的意义之后，学生的学习动机就会变得比较高，而高学习动机又会反作用于学生的学习。理解数学符号的起源还有一个非常重要的好处就是这样会激发学生的认知冲突，在一定程度上能够增强学生的记忆力，这对于促进深层次学习的发生也是有相当大的好处的。

2.教授数学符号时注意与自然语言对比

数学符号也是一种语言，但是它们不同于人类日常生活中使用的自然语言，数学符号有高度抽象化的特点，相较而言自然语言的特点就是生动形象易于理解。这种生动明白的自然语言可以很好的辅助教师的教学。例如，当我们在教学中使用自然语言来对大于号做一个比喻性的解释时，可以这样说“大于号就像是天空中的小鸟的尖尖的鸟嘴一样。”这种表达方式很容易理解，同时能够引起学生学习兴趣。与此之后教师再展示数学符号“>”，学生们就不会感到枯燥了，这样就有利于学好这个数学符号。

另外教师在教学过程中还可以通过与自然语言的对比，从而体现出数学符号简单明了的特点服务于自己的教学。数学符号是从自然语言中抽象出来的，并且可以和自然语言相互转换。一名优秀的数学教师，应该善于总结自然语言和数学语言的共同之处，具有很强在这两种语言之中转化的能力。实际上，这些转换能力就是我们通常所说的数学方法。掌握了这种数学方法后，学生将发现自然语言与数学语言之间的不同和联系，并在遇到问题时用数学符号准确、快速地表示出这个问题。在教授数学语言和自然语言对比转换的过程中，教师应遵循启发式原理缓慢渐进地指导他们。培养学生的数学语言能力和符号表达能力，不是让学生机械记忆各种各样的数学符号，而是要锻炼学生的抽象概括能力，使其可以从具体数字或数量关系中独立抽象出数学表达式，这是会进一步影响到学生的符号操作和符号推理。因此，在符号教学中，教师可以选择一些有代表性的练习，使[引注格式不对]学生在自然语言和数学符号语言的对比训练中平稳过渡，提高数学符号的表示能力，为符号的运算和推理打下良好的基础。

3.指导学生在学习中感悟数学符号的美

教师作为学生学习的引导者，应该能够充分发挥自己的作用，启发学生学会欣赏数学的美。在数学符号教学过程中，教师不仅要让学生具有简单地学习使用这种符号的能力，笔者认为更为关键的是还应从专业的角度，培养学生欣赏数学符号的能力。让学生在潜移默化中不断发现数学符号的简单，直观及和谐之美，提升学生的专业数学素养和审美水平。从而激发学生对数学学习的兴趣，使其在数学王国的探究当中，能够始终保持积极的探究态度和学习热情。在“图形和几何”这一知识模块当中，“轴对称图形”是一个非常重要的知识点。同时这个知识点可以帮助学生更好地理解数学符号的直观美感。可以让学生通过寻找等边三角形、正方形、圆形等几何图形的对称轴，来更好地促进他们理解轴对称图形，并提高他们的审美意识。

4.加强变式训练提升符号表征能力

在学习理论当中，最简单的一种分类方法就是可以把学习行为划分成知识的学习和能力的学习。如果从这种观点出发来看待数学符号意识，符号意识的学习应该是一种基于外部的特殊能力的学习。因为数学符号意识包含着一种直观的洞察力，对符号的洞察力。提到能力的学习立马就可以联想到一个词——练习，练习是能力的形成过程中一个不可缺少的环节，数学符号意识的培养也是这样的。要想培养学生的符号意识就必须在平时的过程中进行大量的练习，练习在缓慢的过程中锻炼出一种能力，从而使学生可以在实际生活情景中抽象出符号和数量关系，在这个基础上学生就可以进行数学运算，接着进行推理等活动，最后达到解决问题的目的。练习是小学生数学符号意识发展过程中的起始点，所以教师在组织练习时应该要突出重点，强调好数学符号的内涵和意义。

在对一线的教师进行访谈的时候，有教师说在教学过程中经常会出现这样中情形，新课进行完成之后，大多数学生都能够记住所学的公式，背诵起来也是非常的轻松熟练。但是在做课外作业或者是考试时就变得慌乱起来，对待习题就一筹莫展了。例如在进行《1-5的认识和加减法》这一部分内容的学习时，其中最重要的知识点就在认识1-5这五个数字的基础上，学会相应的加减法。针对这一个重点内容教师应当设计相关的计算题，从而使学生先准确的记住这几个数字然后进行计算的练习。这就是典型的一个过程学生依次经历符号理解、符号表征最后到符号运算。在进行变式训练时有两点是需要教师注意的。一、关注重难点。小学生在初次接触用字母这种数学符号表示计算公式的时候，不管是理解还是运用对于学生来说都是有很大的挑战的。例如在学习加法结合律、加法交换律等数学公式时，学生最容易出现这种情况，大部分学生都能明白是什么，就是在独立计算时不会运用。二、关注易错点。相似的数学符号是最容易给学生造成混淆，例如数字6和数字9、“+”和“×”等等。低年级的学生在初次学习这些内容时出错的几率是很大的，所以教师在教学过程中要注意教授一些区别易混符号的技巧。教授完区分技巧后，再辅加上相关的变式练习，就能达到培养学生数学符号意识的目标。最后在向学生提供适合学习水平的练习，就能让学生学会在具体情况灵活使用数学符号，提升其应用能力。

5.在实际生活情景中解决问题

数学的出现根本上是为了解决人类在实际的生产生活中出现的种种问题，这是为大众所熟知的数学的起源。数学与生活的结合可以有效地调动学生们学习兴趣，增强学生的学习动机，这也就是生活化教学，就是教育家杜威所倡导的“从做中学”。正是在各种不同的生活问题中，学生们一直不断的经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的这样一种过程，在这个过程中总结方法和策略，向着更高的层次发展。数学符号是数学学习过程中最重要的一种工具，使用数学符号，能够精确地表征实际问题，可以帮助学生理清自己的思路，使自己的思维具有逻辑性、严谨性。最后万宗归一，再落脚于实际情境，解决实际情境中的问题。由此可见数学、数学符号与实际问题是密不可分的。学生们就是使用数字、特殊字母、数学公式、统计图等数学符号作为工具解决问题。

（二）家长层面

1.引导学生在生活中亲近数学符号

现如今的世界就是符号的世界，仔细观察日常生活环境，就可以发现生活中处处都有形式各异的符号。例如：在商品或者是电子产品的商标附近，经常会出现这样一个符号®，这个符号就表示该商标已经被注册。在道路两侧如果看到这个符号℗，懂得交通规则的人就知道，该符号说明此处可以停车。类似的例子还有很多在此就不在赘述。数学符号就更常见了，购买物品时使用的货币上一定会有表示面额的数字，汽车的仪表盘上会有表明时速的数字，固定电话或者个人电脑上都会有数字。数字为代表的数学符号可以说是无处不在无时不有，数学符号已经深刻的融入到人类的生活中去了。所以小学生在未进入学校学习数学之前，就已经了解到大量的数学符号。家长要注意在生活中引导学生，充分发挥作为孩子“第一任教师”的作用，有意识的对这方面的内容进行初步讲解，达到“让儿童亲近符号，接受、理解符号，感悟符号表达的优势与作用。”

2.发挥辅导作用帮助学生理解符号

在校学习期间，学生通过数学课堂中的学习认识了很多的数学符号，一般情况下教师都要布置部分练习题，让学生在课下练习，以巩固学习效果。学生们通常会出现的一个问题就是眼高手低，出现一听就会一做就错这种情况。之所以会出现这种情况根本原因可能还是学生没有真正掌握所学内容，教师教授的数学知识还是游离于学生的知识结构之外，知识的内化过程没有完成。因而这就凸显了练习的重要性。学生在家中做教师布置的练习内容时，家长最好是能够在一旁对其进行辅导，看一看学生在数学符号学习当中容不容易出现问题，问题多出现在哪些方面，并且在能力范围之内充分发挥自己的辅导作用，试着帮助学生理解这些问题，克服其中困难。如果学生的问题的确很严重，家长无法使学生明白其中的数学道理，家长还可以将问题和出错原因记录下来，并及时与数学教师进行沟通，在家校双方的共同努力下帮助学生解决问题。

最不希望出现的一种情况就是家长完全不理解“家校合育”的重要性，意识不到自己在培养学生的数学符号意识中过程的关键作用，在日常生活中没有主动辅导学生作业的觉悟。长此以往就不利于培养学生的数学符号意识，不利于学生的全面发展。所以家长更应该积极主动地行动起来，发挥自己的辅导作用，促进学生符号意识水平的提高。

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　谢辞

时光飞逝，日月如梭，看似漫长的四年大学生活马上就要接近尾声了。回顾过往，一切仿佛就在昨天，自己在大学生活中学习到很多东西，也走过不少弯路，但是这一切都无法改变我对大学的怀恋。

在这里我最应该感谢的就是自己的指导老师，您是一个具有深厚学术素养的优秀教师，您眼光独到、学贯中西，对教育类专业的知识都是了如指掌驾轻就熟。不管是前期的选题、中期的研究，还是最后的论文撰写，您都给予我了巨大的帮助，让我能够坚持将研究做下去。尤其是你严谨的一丝不苟的学术精神给了我极大的精神鼓舞。感谢您的指导和教诲。

其次，我应该感谢实习学校的教师，你们在我研究课题、搜集资料的过程中给了我很大的帮助，积极配合我的调查，在很多方面尽可能地给予为我的研究提供便利，谢谢你们的帮助与支持。

最后，我还要感谢临沂大学教育学院，学院一直对我们的研究非常关心，总是督导我们及时跟上进度，同时从物质方面提供帮助，借给我们很多的研究资料，包括纸质资料和电子资料，有利于开阔我们的研究视野。