反例在中学数学中的应用

摘要

反例作为逆向思维的重要组成部分，在数学中扮演着不可缺少的角色。当我们要证明一些定义、定理时，教师应该适当地运用反例进行教学，培养学生们的逆向思维；让学生们在学习的过程中不仅可以对新知识更加地了解，提高做题效率，还能提高学生数学学习的兴趣，而且还有助于培养学生的逆向思维能力。

笔者通过在蕉城区第一实验学校实习的过程中发现教师在进行数学教学时基本上不会运用反例的思维进行教学，以至于学生运用反例来解决问题的能力很差。通过自己的实习经验，在本文中将从教师角度、学生角度、知识特点角度以及现行教育制度这四个角度进行总结，然后给出现阶段反例在中学数学中的应用情况；并从在实习中对学生的反馈情况进行整理，从而提出相应的教学建议。

关键词：反例；中学数学教学；反例应用

1 引言

在数学史发展的历程中，有很多命题如果是用正向思维去思考的话往往是得不到解决的；但是如果用另外一种思维（逆向思维）方式去思考的话则有可能就会使问题轻而易举地被解决掉；由此可知数学证明和反例在数学中拥有着同等重要的作用。在证明命题是否正确的过程中，有时候通过举一个反例有可能会收到意想不到的效果。反例在数学的应用中是指符合已知命题中的条件，但不符合这个命题中的结论的例子。也就是说，反例就是要去寻找出证明这个命题的对立面即构造出的例子可以用来说明该命题是错误的。数学讲究的是逻辑，证明则需要有根有据。我们在学习数学的过程中则需要判断各种各样的命题，对于某些命题如果我们能够给出系统的证明，则说明该命题为真命题，例如定理和推论都是要经过严格的证明的。如果我们无法用严格的证明方法去证明一个命题的正确性时，但是如果能够构造出一个或者几个例子来证明该命题是不成立的，那么我们就可以判断出原命题是假命题。其中，我们构造出的用来说明原命题不成立的例子，则就被称之为反例。

1.1 研究现状

在国际上，有很多研究者对反例在数学中的应用的研究上已经取得了很大的成就。例如：X著名的数学家B.R.盖尔鲍姆和J.M.H.奥姆斯特德指出：“如果能把数学弄成最简化的话，则可以把数学分成两大类–证明和反例，而数学发现与发展也是以这两大类为主，也主要以提出证明与构造反例为主要目标。”由此可见，举反例与证明在学习数学的过程中是具有同等意义的，它们都是数学学习中不可缺少的数学思维方式。

曾经“迷倒”了全世界数学家的猜想–“费马猜想”——n为非负整数时，一切形如的数是素数；在费马逝世了半个多世纪后，欧拉发表了一遍轰动全世界最短的数学论文，造就了数学史上上最经典的反例：反例在中学数学中的应用在全世界的数学家们都想着如何去证明该猜想时，欧拉不是把重点放在该如何证明猜想，而是可不可以找到一个例子来推翻这个猜想。当欧拉找出了能推翻“费马猜想”的例子之后，这个旷世难题就轻而易举地被解决了。所以说，反例在数学发展的历程中起到了不可小觑的作用。

不仅国外的数学家们对反例在人的数学学习中有研究，国内有很多的数学家同样在此方面有研究，并取得了很好的成绩。例如：石磊、姚大章等研究者主要从怎样构造数学反例上做出了相关的研究，找到了很多种构造反例的方法并说明了在用哪种构造方法构造反例时应该注意哪些问题；姚静、曾春燕等研究者主要是从反例在数学学习中所处的重要性作出了相关的研究并说明了反例在数学竞赛中和高考中的作用和重要性······总而言之，不管是国内的研究还是国外的研究都说明了反例在人的思维方式上或者在数学的学习过程中的重要性，并且还倡导在数学学习的过程中要注重学生逆向思维能力的培养。

在数学学习的过程中，正向思维主要表现为命题的证明，而命题的证明主要是靠逻辑去推理，但是它的每一步推理都需要完全正确的理论来支撑，所以它的逻辑是严谨的；而反例则是数学逆向思维中的一种经典体现，当在证明数学命题的过程中很难利用严格的证明方法去证明时或者很难达到我们想要的结果时，往往可以通过举反例来证明它，得到我们想要的结果；从而使命题得到解决。由此可见，反例在数学学习中占着无比重要的作用。

1.2 研究意义

1.2.1 教学实际情况

当中学生刚接触到命题的证明时，他们总是会在证明的过程中缺少严谨的、专业的数学语言，同时在证明的过程中也总是靠着自己的猜测去证明的，而这主要是由于中学生的逻辑推理能力还未成熟所确定的。中学生们在证明数学命题的过程中往往都是以自己的所掌握的知识为理论基础，靠着自己的实践经验去证明；他们往往只会倾向于该命题中的具体形象思维，所以在证明的过程中总会出现这样或那样的错误；所以在学生学习的过程中，教师要引导学生该如何去证明、该怎样去构造一个合适的反例，从而使学生能认识自己的错误之处并且掌握构造反例的方法，从而可以使学生对自己已学过的知识更加地了解与掌握。

同时，学生在做练习或考试过程中不管是做简单的选择题、填空题还是证明题时，如果只会用正向思维去思考问题，那么他们的做题效率就会降低；但是如果教师在平时的教学中注重培养学生的逆向思维能力，多用反例教学，那么学生的做题效率有可能会得到大大地提升，思维能力也越来越灵活，而且对知识的掌握越来越准确、全面。

1.2.2 新课程标准下对反例的要求

在新课程标准颁布后，中学数学课程标准对反例在教学过程中提出了新要求。如《普通高中数学课程标准（实验稿）》中提到：“教师在教学过程中要注重利用具体的实例，注重培养学生的合情推理能力和演绎推理能力，不要过多地去解释概念的抽象表述”、《全日制义务教育教学课程标准（实验稿）》中提到：“在教学过程中，教师要注重的培养学生观察、实验、归纳、类比等能力；学会引导学生自己去探索数学定义、定理中的奥秘，并且能给出有理有据的证明过程；让他们在与别人交流过程中，能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论与质疑。”以及《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提到：“了解反例的作用，知道利用反例来判断一个命题是错误的。”由此可知：新课改对反例在教学上的应用越来越重视了。

然而，现在的中学教材都是围绕定理的证明而编排的，教材中的例题和习题也都主要是从正面去证明定理，基本不会用一个反例来推翻它，所以学生在证明的过程中都是去寻找系统的证明方法。因此，教师在教学过程中应当适当的利用反例进行教学，多注重培养学生的逆向思维能力。

2 反例在初中数学中的应用研究综述

2.1数学反例的相关研究综述

2.1.1 数学反例的定义

所谓数学反例，姚大章认为，数学反例一般是为了说明一个数学命题是假命题，即能找出可否定原命题的例子；周梅认为，反例就是能从某些迹象中找到符合原命题的条件但不满足原命题结论的例子；徐福祥认为，反例就是教师在教育实践中收集的典型例题中的典型误解、重要知识点的典型错误认识；而谭燕燕认为，反例是能使事物的本质属性发生变化的，在教学的过程中，教师要注重利用反例来事物的本质属性，即否定该事物的本质属性。虽然每个研究者对反例的定义的表述不尽相同，但是其中所蕴含的含义却相差不大：都是可以用一个例子来说明命题的条件是对的但它的结果是错误的。

2.1.2 数学反例的类型

数学中的反例是建立在已经被证明过的数学理论基础上的，它还具有一定的逻辑性，反例与我们所学的数学命题具有密不可分的关系。郝红宾等研究者认为可以将数学反例的类型大致分成以下三大类：简单命题的反例、充分条件与必要条件的反例以及条件变化型反例，并用例子分别对这三种类型进行了说明，还根据这三种类型举出了很多典型的反例。这也是我们在学习数学的过程中最常见的三种数学反例类型。

2.1.3 数学反例在教学中的功能与作用

曾春燕、姚静等研究者重点研究了反例在数学竞赛中和在高考中的作用。由于反例在数学学习中担任着不可或缺的角色，使得我们更容易掌握数学定理。研究表明：反例是数学学习中的重要内容，通过反例的辨析我们可以更加深刻地理解相关的数学概念，分析问题中所需要解决的问题，更好的掌握数学定理、公式，并灵活地应用于新情境中；同时也培养了学生的逆向思维能力。在论述的过程中，研究者主要利用了举例子的方法来说明反例在竞赛与高考中的作用。

彭光焰等研究者重点研究了反例的教学功能，由于一个正确的数学命题需要经过严密的证明，谬论则可以依靠反例来予以否定；由此可见，反例在数学教学中具有极其重要的作用；反例在探究和掌握数学真理的过程中，对学生对数学知识的理解和掌握具有重要意义，还对学生做题效率的提高、思维能力等方面的培养具有重要的意义。

张鑫浩等研究者重点研究了数学反例的哲学功能。因为数学中的定义、定理都具有高度的抽象性，所以我们在学习的过程中要掌握它的抽象性，从中我们就会懂得反例对学好数学的重要性。从他们的研究可以看出：反例对于我们学习和理解数学概念有很大的帮助，是我们判断一个命题是否正确的重要方法，也是学生逆向思维能力发展的重要途径。在论述的过程中，研究者运用了大量的例子来进行说明，充分说明了反例在数学教学中的重要作用。

谢爱云等研究者就错误转化的环节，将反例方法列了以下几个方面的功能：

1、以反例作为理论依据，让学生知错、改错。

在定理的证明过程中，教师通常都是从正面去引导学生该如何解决和如何去证明这个问题的结论是否是正确的；往往不懂的该如何运用反例来引导学生去寻找问题的症结所在，从而是学生在证明的过程中一错再错；故教师在教学过程中要注重利用反例进行教学。反例教学不仅可以提高学生对问题错误解法的警惕，还可以让学生自主地发现错误并自觉地改正错误；从而可以提高学生刻苦钻研的精神和自觉知错、改错的能力。

2、以反例作为手段，让学生更容易掌握知识、自觉地纠正错误。

如果学生想要降低做题的错误率，则最根本的原因就是要让学生掌握好所学的知识。当在做相关的练习的过程中，由于对所学知识掌握不好，常常在做题的过程中对习题中的条件、解题步骤等存在诸多疑惑。对于这种现象，教师在教学中要适当的引入相匹配的反例，从而能使学生对这种类型题的印象更加深刻，并且使学生在解决类似题目时能严格推理、全面分析问题，这使得学生的预防错误的能力有所提升。

3、用反例方法来判断命题的正确性

如果一个命题能利用反例来判断它是否是正确的，那么在判断的过程中会使命题变得更加简洁、明了并且还具有说服力。往往对于一些较复杂的数学命题利用正向思维是很难解决的，这是需要利用反例的思想方法去思考该命题；在利用反例的思想方法的过程中有可能会得到意想不到的结果。

2.1.4 数学反例在教学中的施教时机

反例方法是数学认知活动中的“调节器”，在学生的数学认知活动中起着无比重要的作用。它能有效地使学生能自己认识自己的错误，所以教师在教学的过程中一定要注重反例的引用。在运用反例方法进行教学的过程中一定要遵循错误转化的原则，要根据数学知识中易错的特点和学生的认知特点来把握反例施教的最佳时机。

在研究者的研究中，将反例方法在中学数学教学中的施教时机概括为以下几点：

1、当学生对内容丰富的数学知识了解不透彻时。

在数学学习的过程中，我们知道有很多的数学知识具有多种本质属性；然而，学生们遇到本质属性较多的数学概念时，往往会觉得很难掌握该概念；以至于在做练习的过程中会很容易出现错误。所以此时，教师在教学的过程中要利用反例来突出遗漏的数学概念的本质属性，让学生知道自己及时地补充被遗漏的本质属性；则能使学生更加全面的认识和掌握该数学概念的本质属性。

2、在认知活动中遇到易使学生产生负迁移的知识时。

根据教育心理学的研究得知，如果新旧知识具有相近或相互有关系的特点，则在学生认知活动的过程中最容易让学生受到旧知识的影响而产生错误的认识。所以教师在教学的过程中需要运用反例的方法进行教学，通过运用反例的方法让学生自己意识到自己的错误认识，能自己区分新旧知识之间的联系与区别，以防止产生负迁移。

3、当在教学过程中学生的思维受消极定势影响时。

消极定势表现为在定势下的妨碍作用，即对学生思维的妨碍，让学生在学习中不易改变的思维方式；如果用“固定”的思维方式去解决已经被变化过的问题，从而导致解题错误；则此时在教学的过程中可通过反例来打破他们的思维定势，引导学生要从题目中的实质性质上去分析问题并解决问题，从而可提高学生思维的灵活性。

4、当学生在解题过程被问题的表面现象干扰时。

一般地，数学问题的解决往往是按照一定的思维方式去寻找解决对策的一个过程，并逐步达到目标。然而当学生在数学问题解决的过程中易被其表面现象所迷惑时，促使他们认识不到问题的本质属性时，在教学过程中利用反例则可以帮助看透问题的表面现象，理解与掌握问题的本质属性，从而使学生轻而易举地把问题解决了。

5、当学生对数学知识感到“困惑”时。

在数学知识的认知活动中，由于学生对自己所产生的错误认识不够深刻，常常不能认识自己错误的本质。所以，学生在做练习题的过程中总感觉有种“似错非错”的感觉，思维总处于混乱的状态而不能自拔。所以此时，教师可通过反例来让学生更全面的掌握数学知识、解除自己的“困惑”。

6、当学生在学习过程中不知如何防止错误和改正错误时。

在数学认知活动中，由于学生已认识到自己出现的某些错误，但却不知道它到底是哪出现了错误；所以此时，教师可以通过反例来让学生认识自己错误的最有力的方法，是学生能进一步地掌握这种解决数学问题的思想方法；并且能使学生从反例中找到防错和改错的方法。

2.1.5 数学反例的构造方法

教师在利用反例教学时，首先要学会反例的构造方法，才能构造出适合该命题的反例；所以反例的构造方法在反例研究中有很重要的地位。研究者在这方面上也花费了大量的精力去研究。

姚大章认为构造反例，要从所学的知识、技能出发，反例例题的设计也要为知识的深化理解服务的。在学习过程中，不管是学生还是教师都应该掌握构造反例的基本方法。常用的构造反例的方法有：

利用命题的特殊性或极端性来构造反例在数学学习的过程中，我们总会遇到命题中的一般情况和特殊情况。如果我们在做练习的过程中遇到的命题感到无从下手时，往往我们可以从命题的特殊情况入手；即利用命题的特殊性去构造一个反例来否定命题，从而使命题得到解决。例如，我们要证明一个三角形是什么样的三角形，则可以从特殊的三角形（直角三角形、等边三角形、等腰三角形）入手；要证明一个平行四边形是怎样的平行四边形，我们也可以从平行四边形的特殊情况（矩形、菱形）入手；再比如，我们要判断一个函数的奇偶性，则可以从判断函数的非奇非偶性入手。在判断或证明命题的过程中，我们要灵活地运用命题中的特殊情况来构造反例。所以，我们在证明命题的过程中一定要去寻找命题中的特殊的情况或者极端的情况从而构造出适合本命题的反例，达到事半功倍的效果。

2 、从已知命题的结论入手

有时候在证明命题的过程中单单从命题的条件入手是很难找到突破口的，但如果从命题的结论入手，认真地分析结论中隐藏的条件，则有可能就可以把命题证明的出来。所以，我们在证明命题的过程中不能只从命题的条件入手，必要时也可以从命题中的结论入手。

3从命题中的数量关系入手

任何命题中的条件和结论都存在有一定的联系。所以，我们在证明命题的过程中要弄清楚命题中的条件与结论的关系，深入的挖掘出其包含的某些定理、公式和法则，避免忽略其约束的条件。通过对命题与它所隐含的定理进行对照分析，从而找出约束命题的条件来构造反例。

马丽英认为，在数学的学习中可通过举反例来发现错误、纠正错误和探索真理。下面是研究者对中学数学学习中就反例的构造提出的几种构造方式：

1、分类法

对数学命题中的条件进行分类，分析条件中所隐含的共同点，从而可缩小寻找反例的范围，同时也可避免构造反例的盲目性。

2、特殊化法

分析命题，寻找命题中的特殊性，利用命题的特殊性去检查是否满足该命题中的结论。

3、穷举法

把命题中的题设分成不同的情况，针对不同的题设可以得到不同的结论，又要针对不同的结论逐一验证。

4、推理分析法

从命题题设出发，在分析命题题设过程中得出能否定原命题的例子。

2.2 研究综述评论

研究者们在数学反例的研究上已经取得很大的成就，尽管他们的研究方向不尽相同，但是在以下几个问题上基本达成共识，这为运用数学反例进行教学奠定了良好的基础。

1、反例教学中学数学教学过程中的一种重要方法。

2、数学反例能在教学过程中起到积极作用。

3、应用教学范例的过程中应当把握教育时机。

4、构造数学反例要讲究一定的构造方法。

虽然在研究反例在中学数学中应用的文章很多，但是这大多数都是停留在理论的知识上，没有赋予实践操作，缺乏说服力。

3 以在蕉城区第一实验学校为例

3.1 研究方法

本调查的调查对象是蕉城区第一实验中学初中部初二和初三的学生，主要调查方法主要是亲身参与到他们的课堂中、查看他们的作业、试卷。在此过程中发现初二的学生基本不会用反例的方法来解决问题，初三的学生利用反例的方法来解决问题的情况也较少。

3.2 研究结果及分析

根据在实习过程中收集到的数据，并分别对这些数据分析。根据对这两个年级的数据分析所得的结果，适当的给出了造成这种结果的可能原因。

3.2.1 教师在数学教学中渗透反例的思想情况

在实习的过程中，对于初二的学生在数学学习的过程中只有在讲命题时才模糊引入反例的概念；否则再讲其它内容时都没有体现出反例的思想。对于初三的同学，他们要系统地学习几何图形的证明，在其学习过程中会出现让学生判断两个图形之间边或角的关系，这时如果不能从正面证明它们的关系时，老师在教学过程中会提醒同学们利用反例的思想来证明此类题目。

3.2.2 学生在自主学习中运用反例的情况

在他们的作业中，我发现不管是初二还是初三的学生对什么是假命题的概念理解的还不是很透彻，以至于他们在正在学习的过程中由于不理解概念而容易做错题目的情况很多。在他们自主学习的过程中，基本上不会利用反例的思想去解决题目，而是通过正面证明的方法来思考题目。所以学生在自主学习的过程中基本上不会运用反例来解决问题。

3.2.3 学生角度下运用反例的重要性

姚大章认为，反例不仅能加强学生对定理正确的理解及应用，培养学生的逆向思维；还可以培养学生思维的发散性、灵活性、缜密性和创造性。如果在我们做练习的过程中多运用反例的思想来解决问题，不仅可以节省做题的时间，还可以发散我们的思维，使得我们在解决问题时可以从多方面来思考解决。在学生刚初学的阶段，为了加强对该概念的理解，学生在做习题的过程中更应该多运用反例的思想来解决问题。

3.3研究结论

根据我实习的经验得出，反例在数学教学中的应用情况不是很理想，不管是教师还是学生对运用反例方面还是都不够重视。下面，笔者根据以上结果的分析总结出现阶段存在的几个方面的问题：

从教师角度来说，教师对于利用反例方法进行教学的重视度不够。在教学过程中，他们更倾向于利用正面例子的教学和系统的证明方法进行教学，以至于反例教学法在教学中得不到重视，也阻碍了学生运用反例的能力；故学生基本上不会构造反例，更不会运用反例进行命题的证明。

从学生角度来说，由于教师对反例教学方法的重视度不够，学生缺乏运用反例的能力锻炼；所以，学生在做练习的过程中都只会从正面去思考问题，绝不会从另一方面去思考；从而也导致了学生对反例的定义、构造原理、构造方法、使用时机等都不了解，使得学生的逆向思维能力得不到培养，也使之成为了短板。

从知识特点角度来说，中学生对几何和代数的内容的接触不是很多，即使接触了在解决该问题时都是利用正面或系统的方法进行解决，基本不会运用反例。所以学生在判断几何命题或代数命题的真假性时，往往都会出现一定的偏差。故在教学过程中，教师应该加强数学概念的理解，多运用反例教学法教学。

从现行教育角度来说，一般地，学校教师和学生家长只重视学生的学习成绩，而不注重其过程能力的培养，这使得学生的学习只是为了最终的成绩而缺乏能力的培养；从而使学生各方面能力的发展不均衡。

4 结束语

反例教学是数学教学法中的一种特殊的教学方法，在中学数学教学中有着不可小觑的作用。从自己的实习经历中发现在中学数学的教学中，教师们在课堂上基本上不会利用反例进行教学，这导致了学生在做习题的过程中也不会利用反例来进行解题，从而导致了学生的逆向思维得不到锻炼。针对此类情况，我认为教师们在中学数学的教学中应该多运用反例教学法进行教学，倡导学生在自主学习的过程中多运用反例的思想方法。由于我的实习时间有限，参与到学生课堂中的时间也有限，所以了解学生在反例运用的方面也不是很透彻；希望在今后的教学实践中，更加透彻地了解老师在教学过程中对反例思想的渗透和学生运用反例的情况。

谢辞

本学位论文是在导师刘鑫讲师的细心指导下完成的。感谢刘老师在我写论文过程中的耐心指导，对学生认真负责；在老师身上我感受到了一个学者严肃、严谨、精益求精的精神；这些都让我受益匪浅，并终身受用。希望借此机会向刘老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意！

感谢周先耕副教授在我大学四年对我的关心和帮助，周老师对科研的探索精神深深地感染了我，他为我今后的学习树立了榜样。

感谢颜因子老师在生活上对我无微不至的关怀。

感谢四年以来数理学院帮助和教育过我的各位领导、老师；感谢你们在学习上对我的帮助，给予我更多的数学知识；你们对我的付出，我却无以回报，谨此表达我的谢意。感谢四年陪伴的舍友，你们的开怀大笑、学习、生活上的鼓励给予了我快乐和家的感觉，给我留下了无法忘怀的大学生活。

感谢我的家人，感谢你们在我十多年求学路上的帮助和支持！

参考文献

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