高考理科全国卷数学应用题的若干思考

摘 要

数学前景的不断开拓和发展，使得数学教育中关于数学知识的应用意识变得越来越重要。在大数据快速发展的时代里，数学与科学技术生产力相结合，在一定程度上为社会政治经济创造了许多价值，因此数学应用的快速发展成为了20世纪下半叶的数学教育中最显著的特征之一。近十年高考理科全国卷的应用题是以我们日常生活的切实例子为背景结合概率与统计知识出现在高考中并且是高考数学全国卷的重要内容。本文分析了近十年来高考理科全国卷应用的题型、比重和考查的内容与背景，探究数学应用题的发展过程和其形成的原因，为学生备战高考应用题提供几点建议，同时也为教师在应用题的教学方面提出了一些建议。

关键词：数学教育；数学应用题；大数据时代

1 引 言

马克思曾经提出：“一门科学真正得到完善的前提是成功地应用数学。”随着100多年的社会科技的快速发展和进步，该科学论断得到了证实。在《自然辩证法》中恩格斯是这样描述数学应用：“在气体力学、固体力学、物理学以及生物学中都能够找到关于数学的应用。”罗巴切夫斯基也曾指出：“虽然数学的内容非常广泛和抽象，但是总会和现实生活里的某一现象相匹配。”我国著名数学家华罗庚在《大哉，数学之为用》中对数学的应用也作出相关的解释，大致的意思为世界中的极限，从浩瀚的宇宙到微不可见的粒子以及从物理中以速度之最的火箭到生物中的各种各样的实验在日常生活中都得到应用。这就说明数学是所有理科中的工具，同时也强调了数学是现代科学的基础。

在日本，数学应用的内容成为中学数学教材必定掌握的知识点之一。在X，日常生活中关于数学应用的知识在高中数学教材中占据重要地位。教材的内容体系以日常生活的应用为主线结合纯数学编排为主。其中，对于应用问题的解决步骤也有一定的要求。并且教材中每一章都有介绍关于实际问题解决的策略和应用，甚至专门在教材的习题部分添加关于各个学科、历史、文化以及家庭理财等方面的应用版块，激发学生积极探究生活中数学的潜能，锻炼学生应用意识和实践能力。我国关于数学课程的基本理念和目标是让学生认识到数学的作用、体验日常生活和其他学科与数学的联系，这是需要建立在解决实际问题的基础上。经历高中数学课程的学习，能够帮助学生掌握利用数学知识、数学思维和方法去联系现实生活中的实际例子，引导学生用数学语言表达问题和用数学方法构建数学变量之间的关系，使学生的创新实践应用能力得到有效的锻炼。随着高考恢复对数学应用题的考查，关于数学课程的性质，《普通高中数学课程标准》（2017年版）[1]中提到：提高学生的逻辑思维能力和实践能力则需要引导学生在探索世界时要从数学的角度出发，在一定程度上促进学生创新意识的发展。相比小学和初中简单的一般性数学应用问题，高中的数学应用题更多考查的是学生对应用题背后的数学知识的理解和掌握，以培养学生将抽象的数学理论知识与实际生活相联系的应用能力为重点。

让学生掌握基础知识和基本技能是数学教育课程的总目标之一，因此要提高学生的逻辑思维能力，培养学生坚持不懈的精神和实事求是的态度，引导学生学会从数学的角度思考生活中存在的数学问题。在以概率与统计为基本理论的大数据时代里，由于我们日常社会生活的方方面面都渗透着概率与统计的思想，从而使数学的应用也变得越来越广泛。

因此文章研究的问题为：高考理科全国卷应用题的若干思考。将从高考数学应用题的题型、考查知识和问题的实际背景以及比重进行详细的分析与思考，为学生在备考期间学习数学应用题提供一些建议和解题方法，同时也为从事高中教学的教师们在应用题方面提供一些备考的教学建议和方法。

2 应用题相关概念

2.1 数学应用题的定义

关于数学应用题定义的确立，《九章算术》就将其定义为以数学中的算法为中心的基本理论与实际生活中的事物相联系的形式。因为不同的人对于数学应用题的定义是从不同角度去理解，所以都有着不同的见解。

从数学应用题的结构角度作出界定，合艳珠认为：数学应用题是以情节和数量两个基本要素构成的数学问题[2]。从数学应用题的特征和功能的角度作出界定，赵峰认为数学应用题是指数学知识通过实际生活的加工和提炼形成区别于实际生活背景但又和实际生活背景有一定联系的问题[3]。从数学应用题的本质属性的角度作出界定，郭霞认为：数学应用题是一类含有实际生活中的条件和背景并且需要通过数学语言构建成纯数学问题来求解的问题[4]。

对于数学应用题具体定义理解，因所选的角度不同，其理解的侧重点也会不同。因此本文对数学应用题理解为：数学应用问题是以实际生活问题为背景，且蕴含着数学知识和数量关系的数学问题。

2.2 数学应用题的特点

在数学应用题特点的理解上，刘宝林认为:创造性、开放性和应用性是高考数学应用题最显著的特点，不能单纯通过模仿和操作，要通过严谨的实验、讨论、研究和探索以及结合创造思维和情景的应用[5]；白薇认为一道好的应用题的特点：首先，在符合当前的中学数学教育的实际水平的情况下，同时也要以学生的现有知识经验为基础；其次，不仅要符合学生的知识水平和年龄特征，还可以和学生的日常生活相联系；最后，需要一定的挑战性以发展学生的应用意识和实践能力[6]。

本文对数学应用题的特点总结为：高考中的应用题需要建立在学生已有的知识结构之上，在此基础上在对应用题的实际背景和数量关系进行一定的创新，题目内容丰富且具有人文精神，数学知识点能和学生的日常生活相互联系，内容中渗透数学思想且有一定的教育意义，同时还能考查学生语言转化能力，以培养学生的应用意识和实践能力为重点考查目的。

2.3 概率与统计的内容解读

在科学技术高速发展的大数据时代里，概率与统计为大数据时代提供了重要的基本理论知识。同时根据资料整理分析，明显可以看出2010—2019年这十年里，关于数学应用题的考题主要方向是以选择题和解答题为主要题型进行考查，并且考查的数学知识点也是主要围绕概率与统计这一部分。下面将系统地分析数学应用题考查的概率与统计的相关知识点。

2.3.1 随机事件的概率

（1）频率和频数

　　（2）概率

　　（3）互斥事件的概率和对立事件的概率

（4）解题关键：看得懂频数频率表，理解互斥事件和对立事件的概念并对其进行计算事件概率。并且注意题目中的“至多”、“至少”、“不少于”、“不多于”等类似的字词，往往是解题的关键。

2.3.2 古典概型

（1）古典概型的特点：有限个的基本事件发生的概率都是等可能的。

（2）解题关键：在理解古典概型的基础上还要懂得运用概率的计算公式。

2.3.3 几何概型

（1）概念：在构成事件的特定区域的长度、面积和体积的条件中事件发生的概率

（2）特点：无限个基本事件发生的可能性都是相等。

（3）解题关键：初步认识几何概型的意义，理解几何概型、线性规划、圆和其他图形相结合所形成的概率。

2.3.4 离散型随机事件

（1）概念：离散型随机事件是指能够将随机变量按照一定的次序一一罗列出来。

（2）离散随机事件中的最重要部分是分布列，一旦求出分布列，则期望和方差也将随之迎刃而解。

（3）分布列的解题关键：首先根据题意给ζ取值且要明白其背后的数学应用意义，其次求出每个ζ取值后的相应概率，明白所有概率加起来总和为1，最后形成分布列的表格。

2.3.5 统计

（1）理解样本的数字特征以及所呈现的实际情况的具体涵义，描述事件的总体趋势则用平均数、中位数、众数来体现，而表示事件中数据的波动情况则用方差和标准差来体现。

（2）线性回归也是近几年经常考的内容，其解题的关键就是对相关数据进行处理，虽然计算复杂，但是只要认真计算，难度相对来说也是可以掌握的。线性回归的解题关键：第一，判断两个变量是否具有线性关系需要借助散点图和相关检验；第二，利用公式进行求解回归系数。。’‘ ’‘’‘’

（3）独立性检验也是近几年概率与统计的一个常考的知识点，其解题关键：首先利用公式计算随机变量　的观测值；其次，“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α是要根据实际问题的需要进行容许推断，然后确定出临界值　最后，通过比较与之间的大小关系来推断，在推断犯错误的概率不超过α的情况下，若，则说明“X和Y是有关系”；否则，不能够充分说明“X和Y有关系”。

3 2010-2019年高考理科全国卷1、2卷数学应用题的分析与思考

由于高考理科全国卷3只在比较偏远的部分地区使用，因此本章节主要针对2010-2019年高考理科全国1、2卷数学应用题进行思考和分析。

3.1 2010—2019年高考理科全国卷数学应用题的题型与比重分析

3.1.1 2010-2019年高考理科全国卷数学应用题的题型分析

从表3-1可以明显看出2010到2019年期间的十次高考的20份试卷的数学应用题在选择题、填空题和解答题都有涉及，题量各为1道，但主要分布还是在选择题和解答题上。个别年份在选择题的题量上有所增加。选择题和填空题的题号都属于比较靠前的部分，难易程度属于中等偏下水平，学生们只要认真审题，基本上都能在这些题上得分。

表3-1 题型分析表

3.1.2 2010-2019年高考理科全国卷数学应用题的比重分析

图3-1展示了高考理科全国1卷应用题的考查变动不大，比重值的变化比较平缓，总体比重在11.33%-14.67%之间。高考理科全国2卷上在2017年-2019年这三年的比重有较大的起伏，但总的来说也是在11.33%-14.67%之间。在2019年的高考理科全国1、2卷对于数学应用题的考查比重都有明显的上升趋势，均达到了18%。这也意味着数学应用题在高考理科全国卷中的地位越来越重要。

　　图3-1高考理科全国卷数学应用题的比重分析图

　　3.2 2010—2019年高考理科全国卷数学应用题的考查内容和背景分析

从表3-2可以看出：在考查的实际背景上，2010-2019年高考理科全国卷的应用题基本上都是围绕学生日常生活实际去设置，并且每年也都在不断创新，同时还结合时代热点进行考查，例如：社会实践活动分配，农村居民家庭收入、农村经济情况、空气质量监测和环境基础设施投资额等都与时代的发展息息相关，不仅考查了学生对数学应用的意识和能力，而且激发了学生对社会时政的学习，也进一步考查了学生对时事政治的认识。

在考查内容上，虽然部分年份的高考理科全国卷有考查推理证明这部分知识点，但是在大部分选择题和填空题上的数学应用题均以排列组合和概率统计为主要考查内容。随着新课标改革的发展，在2017年全国1、2卷选择题上数列的相关知识点开始出现在数学应用题，2019年全国1卷解答题中也涉及了数列知识点。这说明了在未来的高考中，数学应用题在选择题和填空题方面的考查很有可能会将数列作为考查知识点或者从其他方面的知识点延伸和拓展。解答题上的数学应用题一直是以概率与统计为主要的考点，其中2019年的高考理科全国1卷中开始出现了数列和概率与统计相结合的知识点的考查，打破了以往对单一考查概率与统计的风格，这也说明了在接下来的高考中数学应用题的考查有很大的可能会往概率与统计结合其他知识点的趋势发展，进一步地培养学生对数学知识与知识之间的应用和理解的能力，加强了对学生的创新意识和实践能力的考查。

表3-2 高考理科全国卷数学应用题的考查内容和背景分析表

3.3 近十年来高考理科全国卷解答题中数学应用题关于概率与统计的考查内容分析以及趋势预测

通过近十年高考理科全国卷数学应用题的具体考查内容分析，我们可以知道：2010-2019年高考理科全国卷数学应用题在解答题上都是围绕概率与统计这一知识点考查的。2010-2013年高考理科全国卷解答题的应用题主要考查的内容有离散型随机变量的分布列、期望、独立事件和方差的知识点，其中在2012年的全国1卷和2013年的全国2卷中出现了在概率与统计中涉及函数解析式知识点的考查形式；在2014-2019年高考理科全国卷的应用题对概率与统计内部知识点的考查也变得多样化，正态分布、线性回归、独立检验等知识点相继出现，加大了学生在数据分析、运算求解方面的难度；在2018-2019年全国1卷中高考的数学应用题分别出现了导数性质、极值和等比数列的定义与概率与统计相结合的考查形式，这就对考生的运算求解能力、数据分析处理能力、数学逻辑推理等方面都有了更高的要求。

表3- 3 高考解答题中数学应用题的具体考查内容分析表

因此，本文预测2020年高考理科全国1卷解答题的应用题将依然以概率与统计为主要考查知识点，很大的可能会按照2018年和2019年高考理科全国1卷的形式，将概率与统计结合其他方面的知识点进行考查，但是主要还是考查考生的运算求解能力、数据处理方面的技巧，重点培养考生一定的数学逻辑推理能力和数据分析的核心素养。然而离散型随机变量的分布列与期望、独立事件、线性回归、独立检验和正态分布等知识点则依然是2020高考理科全国2卷解答题的应用题的主要考点。

3.4 高考理科全国卷数学应用题考查变化的分析与思考

1978年恢复高考，在此期间数学应用题受到“文革”的影响，其数学背景多数都带有政治色彩。到1985年，数学应用题就从高考试题中消失了，直到1993年的高考才重新恢复对数学应用题的考查。1993年到2003年的高考理科全国卷数学应用题经历了从恢复高考到趋于稳定的一个时期，这10年期间关于高考理科全国卷应用题的考查是非常有特点的。在考查内容上，与2010-2019这十年的高考理科全国卷中的数学应用题只以概率与统计为考查方向不一样的是这期间对于数学应用题的考查所涉及到的知识点比较广，内容也比较的丰富，每年考查的知识点基本上都在变化，考查的主要内容有数列、函数、不等式（组）和立体几何，考点知识之间的联系相对来说也比较紧密，没有一定的规律可以总结，对学生的考查有一定的难度，更加注重学生在关于学科知识与知识之间的联系以及知识与生活例子的联系和应用意识方面的培养。对于数学背景选取的例子也是非常贴近生活以及时事热点，能够激发学生可以更加关注时事生活以及学习数学知识的兴趣，同时也提高学生将数学知识与实际生活和现代科学技术相结合的能力，培养学生的创新意识和实践能力。2003年课标改革将概率与统计加入必修课程主题，在2004年高考理科全国卷中概率与统计的应用题首次出现，之后的高考理科全国卷的应用题均是围绕着概率与统计知识点进行考查。在研究中，近十年的高考理科全国卷的应用题大体上是这样分布的：概率与统计基本上是选择题和填空题的主要考查内容，同时也出现对排列组合和推理证明知识点的考查，在解答题上都是考查概率与统计的知识点，考查知识点相对来说比较稳定，在近一两年的高考理科全国卷的数学应用题出现了一些将一种知识和概率与统计问题相联系的新的考查形式，这充分地展示了新课程改革的特点，进一步加深了对概率与统计的应用，主要培养学生的实际应用意识、数学运算和数据分析能力。

由此可以看出，在数学应用题的考查变化是从考查不同的知识点变成了只围绕概率与统计为考查内容，为什么概率与统计会成为高考理科全国卷的数学应用题的主要考查内容，本文进行了如下思考：

（1）因为概率与统计是作为必修课程的主题内容加入到2003年的课标改革和2017年普通高中数学课程标准中，所以概率与统计知识进一步地成为高考数学应用题的考查热点。

（2）概率与统计的应用题最终是以考查学生能够运用所学的知识解决日常生活中的问题为目的，数学建模也是以利用数学知识解决实际问题为核心，二者在很大程度上有着重要的联系。又因为数学探究、数学建模的思想以不同的形式渗透在高中数学课程的各个模块和专题内容之中，所以概率与统计的考查成为高考理科全国卷必考的内容之一。

（3）众所周知，概率与统计最早是出现在赌博上，在日常生活中涉及概率与统计的实际例子也比较广泛，这从侧面反映了概率与统计的考查需要建立在实际的背景上，促使了概率与统计变为了高考数学应用题的主线。

（4）之所以概率与统计能为人们提供了认识客观世界的关键思维方式和问题解决策略，是因为随机现象和数据是概率与统计的主要研究对象。在科技和经济快速发展的时代里，我们生活的环境就是一个大数据，然而概率与统计又是大数据数学应用的基本方法理论，因此高考理科数学应用题以概率与统计成为高考考查的一大趋势也是符合时代的一种表达。

（5）繁杂的数据计算和分析是信息技术和概率与统计的主要特点，在记录、分析和研究数据信息的基础上促使学生利用计算机进行对数据的处理，一定程度上为概率与统计提供了丰富的数据资源。在概率与统计中计算机成为了学生的一个良好的工具。由此看来概率与统计不仅推动了信息技术的发展，而且还能培养学生利用信息技术解决实际问题的能力以扩展了学生的发展空间，帮助学生更快更好地适应大数据时代发展的需求。

4 相应的备考建议

4.1 备考期间数学应用题的教学建议

概率与统计是高考重要的主线之一，同时也是数学应用题考查的知识热点，因此通过针对上文对高考理科全国卷数学应用题的分析和思考，结合概率与统计这方面的知识点，提出一些在备考期间的教学建议。

（1）从学生的认知现状出发。由于概率与统计的应用题的背景丰富，学生生活阅历相对来说比较浅，导致了对数学应用方面的知识面比较窄以及根据背景寻找数学关系的能力比较薄弱，因此在备考期间教师应当适当地以学生的认知现状为教学的基础，扩充学生的知识广度以及提高一定的应用能力。

（2）在备考的教学期间，教师尽可能地提供与时俱进的相关时事热点，给学生提供贴近他们日常生活的现实背景。创设丰富的有关概率与统计的问题情境，激发学生学习的积极性，鼓励学生去感受身边的概率与统计的问题，帮助学生将概率与统计概念的理解融入自己的思考。

（3）加强对概率与统计的概念的系统化处理。因为概率与统计的概念相对较多且部分公式也比较复杂，教师在教学时可以适当引导学生对概念进行分类，比较不同概念之间的异同点，整理和分析概念之间的关系，使得学生对概念有个清晰和准确的把握，促进学生对概念的深入理解。

（4）帮助学生正确寻找题目所隐藏的数量关系。在备考期间，教师不应该将教学目标只放在帮助学生消除数学应用题中的障碍，而是要引导学生在实际问题背景中抽取出关键的数学问题，帮助学生正确理解问题中存在哪些的数量关系。在备考期间，培养学生在审题时抓住关键词的习惯，同时要求学生把“难”、“繁”、“偏”的词语转化为具有逻辑意义的数学语言，让学生在审题过程中明确题目要求的问题，引导学生整理题目的信息并且能够表达出其中数量关系。其中，因为高考考查的热点为概率与统计中的概率和随机变量分布，所以教师最主要的教学任务是让学生摒弃原先的只是单纯地套公式进行计算的解题思想,取而代之的是要引导学生理解和应用这两类中的数学关系，重点加强学生理解数量关系之间的区别与联系。

（5）帮助学生克服心理上对题目的理解和运算的障碍。在教学过程中设计能够提高学生自信心的环节，培养学生对概率与统计的应用题题目理解能力，激发学生对解数学应用题的积极性。近几年高考数学应用题涉及概率与统计中的线性回归和独立性检验等方面知识的考查，因为这两方面的知识点所要求的计算有较大的难度，所以教师在备考期间要让学生重视计算，提高正确计算的能力以及培养学生思维的严谨性。

4.2 备考期间数学应用题的解题建议

（1）提高阅读和语言转化能力是基础。解答题的应用题的一大特点就是题目字数多且繁杂。需要正确理解数学术语，对繁杂的背景题目进行提取、加工、抽象成为数学关系并且依据已学过的数学知识和原理去分析其中的逻辑关系。由于解答题的应用题题目都是比较长，因此在阅读题目时要进行读写结合，把重要的信息画起来，以免忘记了而导致对后面理解题意产生偏差。要对题目多加阅读并且利用自己已有的数学知识进行检索，这样有助于将实际问题转化为数学问题，达成构建相应的正确的数学关系。

（2）学会寻找题目中的核心数量关系是必要条件。一道应用题只要能顺利有效地找出相应的数量关系，那么这道解答题就相当于成功了一半。在备考期间，我们经常涉及的概率与统计的知识点的技巧主要包括以下几类：第一，搞清楚每个概率问题的类型；第二，如果是古典概率问题，就要根据其定义，依公式进行求值；第三，对于频率与概率、随机事件、互斥事件、对立事件与独立事件等问题，要结合题目中所给的条件再选择适应的公式进行计算；第四，如果题目中出现“最多”、“至少”、“不大于”、“不少于”等词语，那么解题思路通常考虑选择逆向思维的方法；第五，同时注意其他知识点和概率与统计相结合的应用，例如：函数思想、数列等知识点；第六，由于分布列是解决离散型随机变量问题的关键步骤，因此在计算过程中要明确每一个变量的取值和所代表的意义，根据每个事件中的关系求出相应的概率，然后形成分布列，最后再根据分布列中所有概率相加之和为1进行检验所求的分布列是否正确；第七，高考理科全国卷数学应用题在统计方面考查了抽样方法、样本的数字特征和总体分布估计等知识点，最近几年关于统计的考查增加了线性回归和独立检验这两部分的知识点。如何用合适的抽样方法来获取样本数据需要根据具体题目的实际情况进行选择，提取出题目所要的数字特征，进而来推断总体。同时在数学运算方面的能力需要进一步的加强和训练。

（3）提高应用意识是前提。在备考期间，由于时间有限且课业也比较繁忙，不能进行足够课外实践活动，因此需要多多留意自己身边的时事热点，在解答数学应用题的过程中要有主体意识和参与意识，将自己置身于问题中，而不是纯粹地把数学应用题等同于纯数学题进行解答。

（4）树立自信心是关键。在备考期间，自信心是非常关键的一项学习要素。在备考期间相信自己有能力并且可以正确解题，同时也不要给自己施加很大的压力，保持自信对待应用题，冷静分析问题。

5 结论、反思与展望

5.1 研究结论

在2010-2019年这十年的20份高考理科全国卷中，数学应用题在每种题型上都有考查，考查比重也相对比较稳定，但是在近三年有上升的趋势，其主题内容都是围绕概率与统计进行考查。概率与统计在高考数学应用题中的地位越来越高并且依旧是未来的一个很大的命题趋势，这符合了大数据时代的发展。在一个以概率与统计为基础的“大数据时代”里，概率与统计和我们实际生活中的方方面面都息息相关，甚至已经成为必备的数学工具。此外，繁杂的数据计算和分析能够促使学生利用计算机进行对数据的处理，一定程度上为概率与统计提供了丰富的数据资源，不仅推动了信息技术的发展，而且还可以让学生更快更好地适应大数据时代发展的需求。我们深受着大数据给我们带来的便利，在这其中概率与统计的“功劳”是不可忽视的，这是概率与统计在近十年的高考题中深受重视的原因。

由于数学应用题的特点不像纯数学应用题的题目那样浅显易懂，使得学生在解数学应用题的心理上产生恐惧的心态，因此在备考期间学生的学与教师的教必须相结合，帮助学生在认知上和心理上去学习数学应用题，与此同时学生自身也要增强自信心，在做数学应用题时要有主动感和参与感，将自己置身于情境中，不仅能够做到正确解题，而且还能理解数学应用题背景后面的教育意义。

5.2 研究反思与展望

因为全国卷3卷是一些偏远地区使用的试卷且内容也比较简单，因此文章从高考理科全国卷1、2卷为主要研究范围去研究数学应用题。未来可以从应用题的其他角度进行具体研究，从而使高考数学应用题的研究和思考更加完善。在大数据时代，概率与统计是未来高考命题的一大趋势和主线之一，未来的研究可以继续对概率与统计这部分知识点进行深入地探索和研究，使得在概率与统计方面的数学应用题的教育教学能够得到更近一步的完善和提升。

参考文献

1. 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（修订稿）[S].2017.
2. 合艳珠.数学高考中应用题的解题研究[D].云南师范大学,2009.
3. 赵峰.高中数学应用题教学研究[D].聊城大学,2011.
4. 郭霞.新一轮课程改革下初中数学应用题研究[D].西北师范大学,2006.
5. 刘宝林.近年高考数学应用题特点及解法的探讨[J].广西教育学院学报,2004(S2):207-209.
6. 白薇.高中数学应用题的原创题型教学研究[D].华东师范大学,2007.
7. 杨英.高中数学应用题的编制与教学的研究[D].山东师范大学,2004.
8. 胡亚雅.我国高考数学应用题特点和变化规律的研究[D].东北师范大学,2008.

致 谢

时光荏苒，大学四年的时间转眼即逝，我的四年大学生活即将结束。在宁德师范学院的四年学习生涯中，非常感谢老师们的指导和同学们的帮助，让我在这大学四年积累了许多丰富的阅历，同时也让我从一个什么都懵懂的大一学生变成了具备一定的专业知识和专业技能的大四毕业生。

与此同时，我要特别感谢指导老师刘芳老师，在刘芳老师的指导和修改建议下，使我的论文有了正确的方向，从而也使我的论文的内容更加的充实，让我在写论文期间收获良多。

由于本人的能力水平和研究时间有限，文章存在不当之处，敬请老师批评指正。

高考理科全国卷数学应用题的若干思考

价格 ¥9.90 发布时间 2022年12月28日

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