1．预备知识
本节将给出范畴理论中几个基本定义。
定义1所谓一个范畴，是指
（1）它有一类对象，其全体记为；
（2）对于任意A，B，定义了一个集合，记作H(A,B)，其中的元素称为从A到B的态射；
（3）对于任意A，B，C，定义了映射
：H(A,B)H(B,C)H(A,C)
记(f,g)=gf，称为态射的复合运算，满足：
1）对任意f H(A,B)，g H(B,C)，h H(C,D)，如下结合律成立：
h(gf)=(hg)f
2）对任意A，存在IA H(A,A)，使得对于任意B，C，任意f H(A,B)，g H(B,A)，有：f IA=f，IAg=g。
定义2设1，2是两个范畴，称T为1到2的函子，如果
（1）T：|1||2|是一个映射；
（2）对任意A，B|1|，由T确定如下一个映射，仍记作T，
T：H(A,B)H(T(A),T(B))，满足：
1）T(fg)=T(f)T(g)
2）T(IA)=IT(A)
定义3称1是范畴的一个子范畴，如果1满足：
（1）1是一个范畴；
（2）|1|||；
（3）对于任意A，B|1|，满足H1(A,B)H(A,B)。
（4）对于f H(A,B)，g H(B,C)，则gf=gf H(A,C)。
定义4设C，B是两个范畴，T：CB是一个函子。如果T既是范畴C和B的对象集之间的双射又是其相应态射集之间的双射，则称范畴C和B是同构的，T称为C到B的同构函子。
2．L型模糊集的广义扩张原理及其性质：
1975年，Zadeh提出了扩张原理。扩张原理是模糊集合论的主要工具之一。它把普通集合之间的点态映射扩张为相应的模糊集之间集值映射，这样，数学中的很多结构，如序结构、可测结构、代数结构等，都可以从其论域上升到论域的幂集上，形成相应的结构。关于扩张原理的性质以及广义扩张原理问题，也有诸多文献论及。本节将讨论基于L型模糊关系的L型广义扩张原理及其基本性质。
在本文中恒假设L是一个完全分配格，1和0表示L上的最大元和最小元。
设X为一集合，Ψ(X)表示由集合X上的模糊集组成的集合。ΨL(X)表示X上的L型模糊集组成的集合。若AΨL(X)，uA，都有A(u)=0，则A称为空集；若uA，都有A(u)=1，则A称为全集X。
L型扩张原理：设f：XY，则由f可导出F：ΨL(X)ΨL(Y)，以及F-1：ΨL(Y)ΨL(X)，对任意AX，BY，有
F(A)(y)=A(x)，yY
F-1(B)(x)=B(f(x))，xX
L型广义扩张原理：设RΨL(XY)是一L型模糊关系，则由R可导出：ΨL(X)ΨL(Y)，以及-1：ΨL(Y)ΨL(X)，对任意AX，BY，定义如下：
(A)(y)=(R(x,y)A(x))，yY
-1(B)(x)=(R(x,y)B(y))，xX
定义5设f：XY为一映射，如下定义的二元关系RfΨL(XY)，称为由f确定的二元关系，其中，对任意(x,y)XY
Rf(x,y)=
我们把根据L型广义扩张原理由Rf导出的映射记为f；根据L型扩张原理由f导出的映射记为F。则我们有
定理2.1设f：XY，g：YZ，根据L型扩张原理由f，g以及其复合映射g•f导出的映射分别为F：ΨL(X)ΨL(Y)，G：ΨL(Y)ΨL(Z)，H：ΨL(X)ΨL(Z)，则H=G•F。
证明：对任意AΨL(X)，cC，有
G•F(A)(c)=G(F(A))(c)=F(A)(b)=(A(a))=A(a)=H(A)(c)
所以有H=G•F
定理2.2设f：XY，AΨL(X)，BΨL(Y)，则有
f(A)=F(A)
f-1(B)=F-1(B)
证明：对于yY，有
f(A)(y)=(Rf(x,y)A(x))
=(Rf(x,y)A(x))(Rf(x,y)A(x))
=(Rf(x,y)A(x))=A(x)
=F(A)(y)
从而有f(A)=F(A)。
对于xX，
f-1(B)(x)=(Rf(x,y)B(y))
=Rf(x,f(x))B(f(x))
=B(f(x))
=F-1(B)(x)
因此有f-1(B)=F-1(B)成立。证毕。
此定理说明，L型广义扩张原理是Zadeh扩张原理的自然推广。
由定理2.1和2.2可得如下推论。
推论设f：XY，g：YZ，f与g分别为由f与g确定的L型模糊关系，则有
fg=fg
定理2.3设RΨL(XY)，AiΨL(X)（iI），BjΨL(Y)（jJ），：ΨL(X)→ΨL(Y)，-1：ΨL(Y)→ΨL(X)是由R根据L型广义扩张原理导出的映射。则
（1）()=，-1()=
（2）()=(Ai)
（3）-1(Bj)=-1(Bj)
（4）若A1A2，则(A1)(A2)；若B1B2，则-1(B1)-1(B2)；
（5）(Ai)(Ai)
（6）-1(Bj)-1(Bj)
证明：（1）对yY，有()(y)=(R(x,y)(x))=0，从而()=。
对xX，-1()(x)=(R(x,y)(y))=0，从而-1()=。
（2）对yY，有
()(y)=(R(x,y)(Ai)(x))
=(R(x,y)(Ai(x)))
=(R(x,y)Ai(x))
=(R(x,y)Ai(x))
=((Ai)(y))
=((Ai))(y)
从而()=(Ai)。
（3）对于xX，有
-1(Bj)(x)=(R(x,y)(Bj)(y))
=(R(x,y)(Bj(y)))
=(R(x,y)Bj(y))
=(R(x,y)Bj(y))
=-1(Bj)(x)
=(-1(Bj))(x)
因此有-1(Bj)=-1(Bj)成立。
（4）由定义，显然。
（5）由（4），对于任意iI，有(Ai)(Ai)，
所以有(Ai)(Ai)成立。
（6）类似于（5）可证。
3．三个范畴的定义及其相互关系
关于模糊集的范畴以及由此产生的模糊代数系统的范畴问题，有许多人进行过论说。汪培庄先生曾在文[3]中构造了模糊集范畴Set(L)、Setf(L)及Setg(L)，并讨论了它们的关系。本节将借助于L型广义扩张原理构造两个L型模糊集范畴，并讨论它们的相互关系。
3.1范畴SET的定义
规定其对象集为全体集合组成的类；两个集合之间的态射集为两个集合之间的所有映射；一个集合到自身的单位态射是该集合上的恒等映射；两个态射的复合为两个映射的常规复合。容易验证以上定义使SET成为一个范畴。
3.2范畴(L)的定义
(L)是如下定义的范畴：
（1）|(L)|={(U,ΨL(U)|U|SET|
（2）对任意(U1,ΨL(U1)，(U2,ΨL(U2)|(L)|，其态射集为
H((U1,ΨL(U1)，(U2,ΨL(U2))={|为ΨL(U1)→ΨL(U2)的映射，并且满足：存在映射f：U1→U2，使对任意AΨL(U1)，vΨL(U2)，有(A)(v)=A(u)}（实际上是由f按L型模糊集上的扩张原理扩张后得到)
（3）若H((U,ΨL(U)，(V,ΨL(V))，H((V,ΨL(V)，(W,ΨL(W))，则
对任意AΨL(U)，()(A)=((A))。这种定义是合理的，因为对任意wW，有
()(A)(w)=(((A)))(w)=(A)(v)=(A(u))=A(u)
（4）恒等态射规定为由恒等映射按照L型扩张原理扩张后的同态。
要说明上述定义的(L)构成一范畴，只需证明这样定义的态射满足结合律即可，事实上，对任意
H((U,ΨL(U)，(V,ΨL(V))，H((V,ΨL(V)，(W,ΨL(W))，
H((W,ΨL(W)，(Q,ΨL(Q))，AΨL(U)，qQ有
((A))(q)=((A))(q)=((A))(w)=((A))(u)
=(()(A))(u)=()((A)(v)=()(A)(q)
从而(L)是一个范畴。
3.3范畴(L)的定义
(L)是如下定义的范畴：
（1）|(L)|={(U,ΨL(U)|U|SET|
（2）对任意(U1,ΨL(U1)，(U2,ΨL(U2)|(L)|，其态射集为
H((U1,ΨL(U1))，(U2,ΨL(U2)))={|为ΨL(U1)→ΨL(U2)的映射，并且满足：存在L型模糊关系R：U1U2→L，使R按L型广义扩张原理诱导出。}
（3）若1H((U1,ΨL(U1)，(U2,ΨL(U2)))，2H((U2,ΨL(U2)，(U3,ΨL(U3)))，则
对任意AΨL(U)，21(A)=2(1(A))。这种定义是合理的，因为对wU3，
(21(A))(w)=2(1(A))(w)=(R2(v,w)1(A)(v))
=(R2(v,w)((R1(u,v)A(u))))
=(R2(v,w)R1(u,v)A(u))
=(R2(v,w)R1(u,v)A(u))
=(((R2(v,w)R1(u,v))A(u)))
=((R2·R1)(u,w)A(u)))
（4）恒等态射规定为由恒等关系按L型广义扩张原理扩张后的同态。
要说明上述定义的(L)构成一范畴，还需证明这样定义的态射满足结合律。事实上，对任意1 H((U1,ΨL(U1)，(U2,ΨL(U2))，2 H((U2,ΨL(U2)，(U3,ΨL(U3))，3 H((U3,ΨL(U3)，(U4,ΨL(U4))，AΨL(U1)，xU4，有
(3(21))(A)(x)=(R3(w,x)(21))(A)(w))
=(R3(w,x)(R2(v,w)1(A)(v)))
=(R3(w,x)(R2(v,w)(R1(u,v)A(u))))
=(R3(w,x)R2(v,w)R1(u,v)A(u))
=(R3(w,x)R2(v,w)R1(u,v)A(u))
=((R3(w,x)R2(v,w))(R1(u,v)A(u)))
=((R3·R2)(v,x))1(A)(v))=((32)1)(A)(x)
从而(L)是一个范畴。
定理3.1范畴(L)与范畴SET同构。
证明：我们只需构造一个从范畴(L)到范畴SET的同构函子即可。
定义T：SET(L)，使得
对任意U|SET|，T(U)=(U,ΨL(U)；
对任意U1,U2|SET|，fHSET(U1,U2)，T(f)=。
其中为ΨL(U1)→ΨL(U2)的映射且对AΨL(U1)，vU2，有(A)(v)=A(u)。
下面证明T是函子。
（1）对U1,U2，U3|SET|，fH(U1,U2)，gH(U2,U3)，由上述定义知：
T(g f)=T(g·f)：ΨL(U1)→ΨL(U3)，对AΨL(U1)，wU3，
T(g f)(A)(w)=(A(u))=(A(u))=(A)(v)
=(((A)))(w)=()(A)(w)=(T(g)T(f))(A)(w)
从而T(g f)=T(g)T(f)
（2）U|SET|，T(IU)：ΨL(U)→ΨL(U)，对AΨL(U)，uA，有
T(IU)(A)(u)=A(u)=IT(A)(u)
因此T(IU)=IT(A)
所以T是一个函子。
下面证明T是同构函子。
（1）显然，T是|SET|→|(L)|的双射。
（2）对任意f，g H(U1,U2)，U1,U2|SET|，若fg，则存在一个u U1,使得
v1=f(u)g(u)=v2。其中，v1,v2U2。
令A={u}，T(f)(A)(v1)=A(u)=1，T(g)(A)(v1)=A(u)=0
因此T(f)(A)T(g)(A)，这说明T是单射。
显然T是满射。因为对任意(U1,ΨL(U1)，(U2,ΨL(U2)|(L)|，
H((U1,ΨL(U1)，(U2,ΨL(U2))都有原象即其被扩张的函数f。
从而T是SET→(L)的一个同构函子。证毕。
定理3.2范畴(L)同构于范畴(L)的一个子范畴。
证明：首先定义(L)的一个子范畴S(L)：
（1）|S(L)|=|(L)|
（2）对任意(U1,ΨL(U1))，(U2,ΨL(U2))|(L)|，其态射集为
HS(L)((U1,ΨL(U1))，(U2,ΨL(U2)))={f|f为ΨL(U1)→ΨL(U2)的映射，并且满足：存在映射f：U1→U2，由f确定的L型模糊关系为Rf：U1U2→L，使Rf按L型广义扩张原理诱导出f。}
显然，HS(L)((U1,ΨL(U1)，(U2,ΨL(U2))H(L)((U1,ΨL(U1)，(U2,ΨL(U2)))
下面证明S(L)中的态射关于态射的复合运算封闭。
若f H S(L)((U1,ΨL(U1))，(U2,ΨL(U2)))，g H S(L)((U2,ΨL(U2))，(U3,ΨL(U3)))则有对wU3，AΨL(U1)，根据定理1.1、定理1.2及其推论，有
(gf)(A)(w)=g(f(A))(w)=(Rg(v,w)f(A)(v))
=(Rg(v,w)((Rf(u,v)A(u))))
=(Rg(v,w)Rf(u,v)A(u))
=(Rg(v,w)Rf(u,v)A(u))
=((Rg(v,w)Rf(u,v))A(u))
=((Rg·Rf)(u,w)A(u)))
=(Rgf(u,w)A(u))=gf(A)(w)H S(L)((U1,ΨL(U1))，(U3,ΨL(U3)))
从而S(L)是(L)的一个子范畴。
下面构造函子G：SET→(L)
（1）对任意U|SET|，G(U)=(U,ΨL(U)|(L)|；
对任意U1,U2|SET|，fHSET(U1,U2)，
G(f)=f H S(L)((U1,ΨL(U1))，(U2,ΨL(U2)))。
下面证明G是函子。
（1）对U1,U2，U3|SET|，fHSET(U1,U2)，gHSET(U2,U3)，由上述定义知：
G(g f)=G(g·f)：ΨL(U1)→ΨL(U3)，对AΨL(U1)，wU3，根据定理1.1、定理1.2及其推论，有
G(g f)(A)(w)=gf(A)(w)=(gf)(A))(w)
从而G(g f)=G(g)G(f)
（2）U|SET|，G(IU)：ΨL(U)→ΨL(U)，对AΨL(U)，UA，有
G(IU)(A)(U)=A(U)=IG(A)(U)
因此G(IU)=IG(A)，所以G是一个函子。
下面证明G是同构函子。
（1）显然，T是|SET|→|(L)|的双射。
（2）对任意f，g H(U1,U2)，U1,U2|SET|，若fg，则存在一个u U1,使得
v1=f(u)g(u)=v2。其中，v1,v2U2。
令A={u}，G(f)(A)(v1)=f(A)(v1)=(Rf(u,v)A(u)))=1，
G(g)(A)(v1)=g(A)(v1)=(Rg(u,v)A(u)))=0
因此T(f)(A)T(g)(A)，这说明T是单射。
显然T是满射。因为对任意(U1,ΨL(U1)，(U2,ΨL(U2)|(L)|，
fH S(L)((U1,ΨL(U1)，(U2,ΨL(U2))，G都有原象。
从而G是SET→(L)的一个同构函子。
由于同构关系是等价关系，所以由定理3.1知，S(L)与(L)同构。证毕。
4．结论
扩张原理在模糊集合论中有着广泛的应用，本文将广义扩张原理应用到L型模糊集上，并通过L型广义扩张原理构造了两个模糊集范畴，并讨论了它们的相互关系。本文的结果有望应用于泛型信息处理的设计中.
参考文献
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