新课标下高中函数思想应用教学案例研究

摘 要

为了适应现代社会发展对于人才培养理念的转变，教育课程改革一直在持续不断的进行。数学课程作为重要的课程之一，属于重点的改革对象之一。故新一轮的数学课程改革从内容到实施，和之前的高中数学课程改革相比有很大的不同。那么要想有效的实现当前教育教学改革的目标，教学实施是主要的实现渠道，教学案例设计是当前较好实现教学目的和教学课程的重要前提，教学案例关系到教学活动的有效性。新课程实施需要通过教学案例设计来落实到课堂的教学之中。

函数思想是数学思想之中最为基本的数学思想之一，该思想不仅是教学的重点，也是一些数学问题的重要思想。高中生进入高中阶段就要对函数知识进行学习，因函数知识结构具有抽象性，使得学生对函数的学习是比较吃力的。然而又因为函数板块是高考之中的热点及难点所在，所以对于函数思想的学习、掌握和应用是非常重要的。随着新课标的普及及实施，高中数学课堂教学之中函数思想方法教学的重要性日渐突出。虽然函数思想抽象导致学生理解困难，但是因初中阶段的时候学生对函数已经有了一定认知，所以为了帮助学生们较好的去理解、掌握和应用函数思想，教师们必须重视函数思想在教学中的渗透和应用。因而，根据新课程教学理念的要求，让函数思想应用教学应激发学生的学习兴趣，让学生们意识到函数思想应用意识及能力的形成是重要的数学素养，

基于上述教学意义，本文结构分成四个部分。第一部分，对于当前函数思想应用的背景及研究函数思想应用的意义进行阐述，并通过对国内外学者们对函数思想的研究来把握函数思想研究的最新研究动态，进而发现对本文研究有价值的学术成果，从而为本文的研究奠定坚实的基础；第二部分，主要是对函数思想应用之中所需要明晰的概念及研究所建立的理论进行阐述，进而为下文的撰写提供思路和方法；第三部分，通过问卷调查法和进行分析后，发现当前教师们和学生们虽然意识到函数思想的重要性，但是对于教师们函数思想如何渗透和应用并不是非常清晰，导致函数思想并未被学生所掌握及积极去应用；第四部分，通过当前函数思想应用现状的分析，对自2017新课标实施以后的全国卷2的数学试卷发现函数思想考察的比例趋势上升，指出当前函数思想渗透的原则及有效途径；第五部分，在结合上述的原则和途径对函数思想应用上设计具体的案例并进行实践检测测试该策略的效果，为教师们以后函数思想教学提供有益经验，进而实现函数思想被学生们充分应用的目标。

关键词：函数思想；教学案例；高中函数；有效途径

第一章 绪论

　1.1 研究背景

伴随着我国新课改的深入实施与应用，传统化的教学理念和方式已经远远不能满足当下学生自主的学习需求，更不能彰显出时代的发展特点，这样就对教师队伍的教学模式提出了新的挑战，广大教师也要在新的课改过程中，逐渐转变教学观念。在教学观念的转型上，主要包括了下面几个方面重要内容：（1）通过以高中的发展方向为目标，用就业的目标作为教学的实施基础；（2）大力发挥学生的主动性和能动性，不断提高其学习和实践动手能力，能够引领学生很好参与到教学实践，并通过角色的扮演，使得学生可以主动积极的加入到数学的知识学习，并且深入探究，从而提高高中数学课堂的质量[1]。

数学思想是当今人类思想文化宝库之中的瑰宝，对于数学教育具有指导意义[2]。新课程改革的目的之一就是推行素质教育，素质教育就是强调学生不仅要掌握好自己的所学的知识，更要从中获取一定的能力，那么通过数学思想的学习及应用，能够培养出严谨的理性思维能力。故在教育部门撰写新课标的要求上，提出教学要能够依托学生为主体。特别是初中升入高中阶段的学生，大多数在数学基础方面都比较薄弱，这是使得高中教师在教学的质量上要有新的目标与要求，并在教学的过程中，要能够对学生的自信心加强和创新思维能力提高做到很好的培养，在实际中，为学生开拓出新课标形式下的高中教学思路，从根本上达到高中数学的教学目的。

作为基础性的重要学科，数学知识的掌握是每一个人必需所具有的技能，不可缺少[3]。这种不可缺失的表现，不仅仅是每一个人对数学知识的掌握内容多少，更重要的是一个人从数学知识学习过程中汲取的数学思想方法有多少，从而在思维上进行不断地强化，使得自己成为新时期的全能人才。在新课标下，高考作为选拔考试，在考察的内容上，一方面要能够对学生的数学认识能力进行全方位考察，另一方面，更要去考察学生对于数学本质认识、应用程度，包括了数学的应用思想内容。在新课标的背景下，高考的命题考察在核心上已经转变为能力考察。数学核心内容之一就是函数，这也是中学阶段的重要学习内容之一，要能够让学生从本质上了解函数，从而寻找出方程的指导思想，进一步提升实际解决能力。

　1.2 研究意义

通过对高中阶段函数思想方法教学现状的调查及结果分析，发现其教学过程中现状，针对现状，结合具体教学案例，提出切实可行的教学建议，提高教师对函数思想方法的重视程度，丰富教师与函数与方程思想方法部分相关的教学理论知识，提高教师对其进行有效渗透的教学技能，提高涉及函数思想方法的相关课程的授课效率，为师生全面且深入地理解、学习和掌握函数思想方法提供参考。

理论意义：本研究是对普通高中数学函数思想方法教学进行的一次深层次研究，丰富了函数思想方法在教学方面的理论研究，也丰富了数学思想方法教学的理论研究。能够引发更多学者对函数思想方法以及其他数学思想方法在教学方面的思考，从更多角度对其进行深入研究。

实践意义：本研究有助于加强教师对函数思想方法教学的重视程度，帮助教师明确函数思想方法教学过程中存在的问题。通过有效的教学途径部分参考案例帮助教师优化教学设计，增强高中数学教学中函数思想方法的渗透程度，提高相关课程的课堂授课效率。同时也有助于教师帮助学生提高运用函数思想方法的意识与能力，完善对函数思想方法以及数学学科的整体认知结构，在学习过程中提高数学素养，训练理性思维。

　1.3 国内外研究现状

1.3.1国外研究现状

历史表明，经历了数学家们近百年的倡导和努力，在克莱因和贝利倡导的数学教育改革运动后，函数概念才成了当今各国学生必学的数学内容。

全美数学教师理事会（2000）在制定代数部分的标准时，就已经提出“理解模式、关系以及函数”，该标准中提出从学前阶段都有对函数的要求。足以显示X在课程安排上对函数部分的重视程度[4]。

德赖弗斯和维纳（Vinner，S.&Dreyfus）对一些大学生和教师进行调查，最后结论显示当把函数定义传授给学生时，多数学生能够从函数性质中得到一些经验，这些经验促使学生形成各自独有的函数概念表象[5]。

日本学者矶田认为学生在学习函数概念时，可以划分为日常语言、算法、代数与几何、微积分以及分析五个水平。在第一个水平他提到学生接触函数概念是从现实生活中获取，并且可以用简单的语言解释变量之间的关系[6]。

国外研究表明，函数是一直以来受到数学家所钟爱的概念内容，在其形成之后，就进入到了中学的教材。因为函数有着很厚实的历史发展性，这就使得在大多数的自然学科上，都要通过函数进行分配，在国外关于函数的研究主要体现在一些教学过程中，大多数的学生对变量的认识是变化的，常量的认识也是经常的，变量也会有受到制约，常量也会变这个问题会有一定的疑惑，所以要能够研究常量和变量的道理。这也正是唯物论中的发展观[7]。

1.3.2国内研究现状

高青提出了在数列方向对函数观点的认识，然后从函数的视角进行了对数列前n项和的增减性探讨，包括了最值和一些周期性问题[8]。申军浩则对函数和数列之间进行了系列的转化，从中分析了关于数列的周期和单调性等[9]。肖浩春则是先对数列的定义和通项公式与各种函数之间的密切联系进行了研究，找出来相关教学方式[10]。

崔竞分析到：对于函数的思想来说，存在整个的中学教学内容，有着很重要的指导作用，主要就是从函数的基本思想进行对课改前后的知识进行了研究，并且分析了怎样去掌握方法。还对函数的思想进行了横向研究，与其他进行了结合[11]。

张静指出了在高中阶段，函数是学习的重点内容，在教学学家看来，函数以及函数的思想是整个数学教学的标准，在高中阶段的数学思想是一个重要的部分内容，对于函数思想来说，有着很重要的枢纽作用，在实践中，函数的思想要融入到数学的模型中来，让学生更加学会函数思想和其他内容的有效结合，提升解决问题能力[12]。

王卫生指出，高中时期的数学函数思想学习是整个学习阶段的主线内容，在内容上也比较广泛，在文中，通过用变量去构建一种数学模型，使其有了函数思想，进而能够形成新的思维方式理念；在函数模型下提高创新与独立性[13]。

廖佛成提出，数列的定义，是正整数的集合函数，通过函数的性质和思想方法能够有效解决数列的一些突出性问题[14]。

李红保提出，在中学的学习阶段，函数的学习要放在突出的位置，函数思想不仅仅是数学的学习方法，同样也能够和其他学科做到联系，比如生物学裂变，物理中的自由落体章节，函数都和这些有着很密切的知识联系，所以函数的学习是非常重要的内容[15]。

1.4 研究思路与研究方法

本文的研究方向就是在理论和实践的基础下进行的相结合方法，主要的目的就是不断对高中生的函数运用思想进行探究分析，从而对目前的现状以及存在的各种问题进行研究，在国内外现状研究的基础上通过问卷调查得出解决措施，进而把数学思想能够有效运用到实践教学之中，做到理论和实践相结合。故在研究的过程中采用了文献分析方法和问卷调查方法，具体如下：

文献分析方法。主要就是在万维与中国知网等网站、维普与电子文献库等资源进行检索，找出相关的函数思想研究的文献，为论文的写作与构思提供了有效的支持。与此同时，在学校的图书馆等借阅了相关的书籍进行了参考，主要的书籍就是函数思想的应用和高中数学函数思想的应用，相关的学术杂刊和图书等。通过阅读了相关的书籍，并且亲自抄写与摘录，形成了笔记等大纲内容。

问卷调查方法。该方法主要就是能够保证在数据问卷的客观真实性，降低学生的心理负担，在问卷上通过不记名实施。在问卷的内容上，主要就是教材中的各项内容以及相关的研究目的，形成系列的问卷题目内容。长春市NA县第十中学高三年级的学生及及教师进行问卷调查，根据学生问卷填写结果对高中数学当中的函数思想及其应用加以了解。

第二章 核心概念和理论基础

　2.1核心概念

2.1.1函数

Function一词是由来自于德国的数学家Leibniz在1673年编写的手稿中提出的，指的是只要曲线上发生任意一点的变化便能够引起横纵坐标之上的其它切线上的变量发生变化[16]。

贝努力（1718）重新定义了函数的概念，其表示函数指的是变量X与常数同时存在于一个式子中。欧拉（1755）首次对函数变量的定义进行了解释，其表示函数变量指的是由于一些变量的影响导致某一产量产生了改变，且自身也发生了一系列改变，那么后者便可称之为前者函数，该定义得到了大众的认可，我国初中数学至今为止依然沿用的是该定义[17]。

学者黎曼于1851年解释了函数的概念，在其看来函数指的是若一个变量Z的任意一个值发生变化，就会有一个未知变量W因其变化而变化，那么就可认定为W与Z为函数关系[18]。我国高中数学阶段定义函数仍然使用的是此概念。

到了1939年在布尔巴基学派提出在描述函数的定义时需突出关系的地位，因此以笛卡儿积理论为基础，即如果有两个集合，分别用X、Y来表示，两个合集的笛卡尔儿积可用集合｛（x，y）x∈X，y∈Y）｝来表示，其中笛卡儿积的子集F叫做X与Y之间的一种关系。若关系F满足以下关系：若任意一个x∈X，那么就会存在唯一的一个Y，并且（x，y）∈F，此种情况下F就是一个函数[19]，该定义适用于我国高校教材与X部分中学教材。普遍来说，上述定义可界定为变量说、对应该说以及关系说。在东北师范大学学者史宁中看来，可用“研究关系”四个字来高度概括函数的中心思想，函数本质上主要对数量关系、随机关系以及图形关系等展开研究[20]。

函数属于数学模型的重要组成部分，其体现了变量之间相互依存的关系。若细化函数定义，其属于在某种特定法则的影响下，一个变量因另一变量的改变而发生了变化。函数分类依据为变量变化的具体特征。数学研究中函数属于热门问题之一，存在于众多数学问题当中，常见的有随机变量、方程式以及算法等等。

2.1.2函数思想

思想的具体含义。站在哲学的角度，可从两个方面理解思想，分别是观念和与感性认知相对的理性认知结果。概念联系并不是思想的唯一体现，其能够表明存在事物的本质、规律的产生原理以及观点理论等[21]。对于数学思想，学者们的认识都不统一，钱佩玲认为，研究数学思想必须建立在掌握数学知识本质的基础之上，在深入认识某些特定的数学内容与数学知识的基础上对数学观点进行提炼与总结，人们在认识过程中能够多次应用，它的指导意义是普遍的，可以通过数学思想更好地解决数学问题[22]。学者涂荣豹提出，数学思想实际上是需要本质性与概括性地认识数学对象、概念、结构以及方法等。[23]

在众多的数学思想中，函数思想是最基础的，对于数学学科而言，函数思想通常被用于研究和分析生活中因运动而产生变化的数量关系，对研究对象抽象化，从而找到或构建起函数关系或建立起函数，以函数的图像与性质对问题进行分析与转化，将问题简单化后便于处理。史宁中教授认为函数思想的本质为在不同变量之间搭建起关联性，并对此关联性进行探讨，而后其还将该观点发表至其文章《义务教育数学课程标准解读》（2011）当中。刘加霞学者指出函数思想中具有多种思想类型，包括结构化思想、有序思想和预测思想等等。函数思想能够准确地提炼出事物运动与变化的内在规律，并将不同事物之间的相互联系总结出来[24]。整体而言，函数思想需要在纷繁复杂的变化中找到“不变”，并在纷繁复杂的变化中总结出规律。函数思想的本质是对数学问题中的联系与变化进行总结，从而使被研究的数学对象变得明确，在系统的总结数学对象的数学特征之后，搭建起了数学对象之间的函数关系。我国教育机构要求高中阶段学习必须掌握有关函数的相关知识，包括一次函数、三角函数和指数函数等等，与之相关的单调性、周期性和奇偶性等函数特征也必须全面的掌握，由此可以看出，高中阶段学生必须掌握有关函数思想的相关知识，这在高中数学学习中占有非常重要的地位。

函数思想的主要表现包括：第一，通过函数思想需认识到联系的普遍性，不同变量之间是相互依赖、密不可分的。第二，函数思想具有模式化的特征，需在纷繁复杂的变化中总结出规律。第三，通过总结出的规律提炼出有序、结构化以及对称的思想。第四，要认识到变化的节奏时快时慢，在某些时候变化的节奏是一成不变，而有些时候变化的节奏并不稳定。第五，依托规律对未来的发展态势进行预测，也就是说函数思想具有预测的功能。

　2.2 理论基础

2.2.1认知主义学习理论

此理论主要研究的是内部在受到个体环境刺激后产生的变化，外部变化并不在此研究范围当中。由于不同理论的哲学观点切入点存在差异，因此该理论与行为学主义理论提出的观点往往存在差异，时常还会形成对立关系。可将认知学习理论按照研究者、研究办法以及时间等因素划分为两部分：第一部分为早期认知理论，代表学说主要有“顿悟说”和“期待说”；第二部分为现代认知理论，代表学说主要有“发现说”和认知学习理论[25]。

在认知派学习理论者看来，学习并不能一蹴而就，是个体对知识结构认知并改组的一个缓慢过程。也是有机体在现有认知知识的基础之上充分认识和了解事物之间的关联，并将重点放在知识结构的理解和拓展之上，让学员能够主动且积极的参加学习，从而提高学习效率。

2.2.2建构主义学习理论

来自瑞士的具有知名度的心理学家让·皮亚杰在认识发展领域取得了显著的成绩，构建主义理论是由其率先提出来的，在他看来，周围环境对人对外界认识的形成极为重要，该过程并非一蹴而就，而是需要一个过程，这样才能在自身结构与层面的认识上有所突破[26]。“顺应”与“同化”是两大基本过程，能够促使认知个体与周边环境建立起平衡的关系，从而对人与环境之间的相互作用产生影响。有机体对现掌握的图式进行拆解和重新组合，便可以达到全新认知平衡的目的。如果现有的图式无法与新掌握的知识进行同化，那么认知平衡便会被打破，只有对原有的图式进行改变或生成新的图式，新的平衡才会形成。人类在建立知识结构过程中的部分动力主要来自同化与顺应，建立平衡，而后将其打破后再次建立，本身是一个循环的认知过程。基于此，人的认知结构得以不断发展和完善。

鉴于此，应将搭建学习环境和理论的数学模型进行总结，也就是教师主导课堂，担任教学主体讲解知识，调解课堂氛围，让学生能够在学习过程中做到相互配合，在良好的环境中主动学习，并明白学习的重要性和必要性。

按照架构主义学习理论的核心思想，学习的关键在于学习主体与学习材料之间频繁互动，发挥自身的主观能动性，进而完成知识的构建。学习过程的特征包括：

经验性：学习主体依托自己已建立的学习结构对新知识进行加工，并非把来自外界的知识直接接入大脑。

探究性：学习者在学习过程中积极发挥自身的主观能动性，采取主动观察、亲自动手操作、交流探讨等多种形式，以比对、分类等多种方式完成知识的构建，从而建立起属于自己的知识架构，此种方法需要学习者发挥自身的积极性，如果只是被动学习，将无法学到知识。

情景性学习：建立起相应的问题情境，从而完成所学内容的意义构建，在一定的情境中，学习者能够获得一种身临其境的感觉，使学习变得更加真实，从而调动学习者积极探究的个性，并且学习者通过自己的努力与探究，针对外部环境积极反应，更好地完成新知识的意义构建，也能进一步改造与升级现有的知识。

数学的抽象性特征决定了学习数学本身属于建构过程，在学习数学概念时，从纵向角度出发可发现该过程分为多级，初级为无定义或以现实模型为依据的初级，经过发展之后，在初级概念的基础上得出来多层次概念结构的具体含义；从横向的角度出发理解数学抽象性，可发现在数学概念的学习中可借助“同态”和“对立”等方法，并在此基础上延伸学习。学习数学的基础为理解数学概念，是建构活动的初级，也可将其理解为认知个体的一种办法和认知事实结构的固定点，并在此基础上建立与其它认知结构的关系。认知过程中的同化阶段和顺应阶段是形成和发展内部网络的必经过程，也就是说必须要经过认知建构这一阶段。相对来说，在建构知识过程中，解决问题属于高级知识建构，解决数学问题要求个体必须具有独立认知结构的基本能力，并在此基础上对问题进行表征、选取解决问题办法、思维调整，最后构建出全新的图式，培养解决问题的能力，也就是用自己的方式来搭建全新的认知结构[27]。

2.2.3 APOS理论

X大部分高校在20世纪末期开始了对课堂教学模式的改革之路，先后建立起范例教学、交互式教学以及小组合作学习等多种课堂教学模式，在师生、学习伙伴与学习资源充分交互的基础上，为学生更好地培养知识发展能力提供帮助。后来的事实表明，重在培养学生创新能力的课程教学模式使教学目标、学习方式变得更加丰富，学习过程也更有个性，能够促使学生利用自己所掌握的知识解决实际问题，对培养团队协作能力、提高学习者主动学习与独立研究能力也有一定的促进作用。基于此，APOS理论的由来自于X的杜宾斯基等教育学家提出的，知名度较高。杜宾斯基在发表的著作《高等数学思维》当中，解释了该理论的具体含义。其表示，个人独自学习数学概念并对其进行了解难度较大，如果个人在数学概念学习方面理解能力较强，则就能学习到数学概念。反之，若一个人的心智结构还未构建起来，则这个人将无法正常学习数学概念，所以老师开展教学活动是为了促使学生建立起相应的心智结构。据此，杜宾斯基为高校学生学习微积分、离散数学知识、抽象群、子群、陪集、商群等代数概念提供了较大的帮助[28]。

杜宾斯基提出的观点实质上是指一个数学教育理论需重点关注学生以什么样的方式展开学习以及老师采用何种教学计划才能为学生学习提供更大的帮助，而不是局限于阐述部分简单的事务。APOS理论中提到的一项基本假设，即个体在解决数学问题过程中往往会掌握与其相关的数学知识，首先个体需从心理活动、解决问题过程以及数学对象等方面构建起数学结构，而后在对问题进行理解时以图式的方式将问题一一呈现。杜宾斯基等教育学家表示，APOS理论是建立在皮亚杰提出的“反思性抽象”理论的基础之上的，是该理论的延伸[29]。

APOS理论中认为构建心智机构是个体学习数学概念的前提条件，要搭建起心智结构往往需要经历以下几个阶段：

第一阶段，活动、操作。前者指的是学者对学习过程中循序渐进地发布外显性指令的基础上对一个实际存在的数学对象进行改变。数学教学主要涉及数学活动，数学认识的前提与基础是操作运算。学生与数学家都需要投入一定的精力，在亲自实践的基础上掌握知识，对比生物、化学等需要进行观察的学科而言在实践性方面存在差异，然而学习数学同样需要实际和内心的操作，内心操作也就是思想实验，一旦缺乏物力与心理操作，数学概念将不复存在。反省抽象是绝大部分数学概念形成的基础，而操作活动是反省与被反省的重要前提条件。

第二阶段：过程。此阶段当中个体历经了多次重复学习而对知识十分熟悉，因此可将物理操作过程理解为从心理上认知过程的一类操作，个体经历过此阶段之后便可将其与之前的活动产生关联，在外部刺激作用下，个体在不需要具体操作的情况下在大脑中即可完成整个任务，若掌握足够熟练，个体还能够在大脑中将该操作与其它操作联系起来或者进行逆转等等。

第三阶段：对象。若个体将该过程视为一个整体加以操作和转换，则该过程将成为个体的一种心理对象，此时个体能够在操控对象的基础上开展多种形式的数学运算。如果需要，看对对象包含的过程步骤进行全面呈现。举例来说，把正弦函数的对应过程视为整体后，以此为基础创建正弦函数对象的心理结构，便可将定义域、值域等多种性质进行指明，也能将其作为具体的对象全面参与函数的运算过程。因此就对象的概念而言，其将某个层次与更高一级的层次有机地联系在一起，它不仅可以对其他对象进行操作，也能成为高层次运算的操作对象。只要将概念视为对象，便能够以静态结构关系呈现出具体的过程，随后再生成为一个实体，便于对其性质进行全面把握，最终形成了一个完成的理解过程。

第四阶段：图式。此阶段当中个体整合了三类学习常态即活动、对象和过程以及与其相关的图式，并在此基础上精准的衍生出全新的图式结构，能够将其运用到实际的解决问题当中。因此，可将数学概念“图式”理解为认知对象、活动、过程以及与三个常态相关图式并组合成一个框架的过程，图式表现出来的特征以及作用能够决定刺激源与该图式之间的关系以及后期发生的反应。

从图2.1可以看出，在杜宾斯基看来，学习数学过程中应认识到活动、对象和过程属于三类数学常态，图2.1正是以三类常态为基础而搭建出的认知结构。表面上看四者属于不同等级，实质上认知和理解数学概念是循环的，并不是呈线性的。

　　图2.1 APOS循环图

第三章 函数思想在高中数学应用现状调查与分析

　3.1调查实施

3.1.1 调查对象与目的

为方便调查，且保证调查的时效性和准确性。本文中的调查对象就选择了笔者当前执教的长春市农安县第十中学的教师和学生，该校是一所县级重点中学，在本区域内具有较强的影响力，生源相对其他的中学好很多，因而学生的学习成绩及能力相对其他中学学生学习成绩及能力方面比较高，那么作为样本也具有较强的说服力和代表性。为了确保调查的真实性，在调查对象之中重点选择了高中三个年级之中每个班级的学习成绩排名在10名到60名的学生，分别从三个年级任意选择两个年级共6个班级300名学生作为调查对象。此外，选择本校高中三个年级各6名数据教师，共计18名教师作为调查的教师对象。之所以这样的进行调查，主要是为最大程度上确保本次的调查样本符合调查问卷方法的基本要求，最大程度上确保调查的真实性和有效性，根据本文的研究思路，本次调查的目的有两个：第一，采用问卷形式让所有调查对象采用填写问卷，通过问卷反映的情况了解到当前高中生应用函数思想的现状；第二，简单依靠学生们的问卷反映情况不能全面对学生函数思想掌握、应用方面的真实情况，故通过教师们问卷了解到在教师们教学之中对函数思想的渗透情况，及学生对函数思想掌握、应用的情况。

3.1.2 调查方法

本次采用的调查问卷方法，调查问卷结合人教版教材的内容设计及教学内容进度进行安排，以学生们的实际为基础，为实现调查目的所自行编制。此次调查问卷形式分为两类：第一类是针对学生的问卷调查，调查项目包括了对数学课程喜欢程度调查、对函数思想理解程度调查、对教学方式的调查、对学习函数学习规律的调查和对函数思想解决数学问题的能力等，问题一共有14个，其中12个封闭式问题，2个开放性问题。第二类是针对教师问卷，调查项目包括了函数思想应用的范围、学生掌握函数思想情况、教师对函数思想认识程度及平时开展函数思想研究的情况等，共有12个封闭式问题。问卷详情参加附录1和附录2。

本次调查活动选用匿名制模式开展，并利用学生自习时间段15分钟内完成调查问卷。问卷调查表回收率100%。问卷调查卷（学生版）发放了300份，回收300份，回收率100%，但是通过对调查表进行详细查阅和筛选，将调查表中未全面解答或者选择题任意解答的，发现有效调查问卷为290份数。问卷调查表（教师版）发放了18份，回收17份。通过引入SPSS20.0工具推演统计结果，将其列入到表3.1之中：

表3.1问卷调查表发放回收情况统计表

从表3.1中的数据显示我们发现本次回收问卷有效率是达标的，问卷的数量及质量也是符合要求的。

　3.2调查结果与分析

3.2.1学生调查问卷分析

（1）学生对数学课程喜欢程度

表3.2学生对数学课程喜欢程度表

根据上述数据分析，有一半以上的学生对数学课程是非常喜欢的，其中比较喜欢占比是31.3%；不太喜欢学生的占比是31.3%；不清楚学生的占比是1.37%。足以说明多数高中生对数学学科是比较喜欢，也有一个比较良好的学习态度。

（2）函数思想认识程度情况

表3.3学生对函数思想方法认识程度表

通过对2-4题的数据进行统计发现，有大约55.86的学生对于考试大纲的函数思想要求是不知道，仅有18.27%知道考试大纲对函数思想的要求，说明在数学课堂上很多教师对于函数思想重视程度不够，使得很多学生对函数思想的考试位置不清楚。但是值得庆幸的是，有50.68%的学生函数思想在知识体系及考试之中占据非常重要的位置，有34.48%的学生对函数概念是特别清楚，同时也有43.49%对于函数思想方法的应用条件、应用类型和方式是特别清楚的。通过数据上的统计分析，我们可以发现当前的高中生都是能够认识到函数思想方法的重要性，对于函数概念、应用条件、类型和方式等方面的掌握程度基本普遍处于比较低水平。说明加强函数思想应用势在必行。

（3）函数思想方法的学习情况

表3.4学生对函数思想方法学习情况表

从6和7题的统计来看，有52.41%的学生认为自己在初中阶段对函数思想方法的掌握程度是较好的，有31.72%的学生认为自己掌握的一般。在高中阶段对函数思想难易来看，45.17%的学生提出自己在学习高中函数思想方法学习比较困难，30.68%的学生认为自己学习高中函数思想方法学习特别困难。从上述的数据分析来看，结合学生的学习规律来看，多数的学生都认为自己在初中阶段对函数思想方法的掌握程度处于中等的水平，但是在高中阶段对此思想方法学习就比较困难或者特别困难，说明对于高中阶段的函数思想学习需要要结合学生的实际，教师要及时调整教学模式或者方式，要让学生易于理解的方式去教授函数思想。

（4）函数思想教学开展情况

表3.5函数教学开展情况表

通过对第8题的统计来看，42.41%学生认为教师在课堂上教学能够经常渗透数学思想，然一般渗透、很少渗透和从不渗透的占比却有一半多以上。在新课标要求下，教材上的数学思想并不是单独成块，需要教师在平时教学中国要不断渗透，因为比较数学知识的学习，数学思想及方法的学习更为重要。那么以上的数据说明我们的数学教师大多都知道给学生渗透数学思想，但是21.38%的学会说呢过认为老师很少渗透数学思想，说明我们的教师需要在课堂教学中应有意识去强化数学思想的意识。

通过对的9题的统计来看，该题重点是对学生喜欢何种教学方式的调查，对于教学方式的选择来看，“老师给思路后自主探究”和“自己在课堂上主动学习”占据的比例分别是40.68%和41.37%。说明在新课标下高中学生的思想模式已经发生了很大转变，多数的学生喜欢更灵活和更自主的课堂教学方式。

通过对第10题的统计来看，40%的学生表示老师在课堂上对于函数思想和其他数学思想之间联系是一般联系，33.79%的学生表示老师在课堂上对于函数思想和其他数学思想之间联系是经常联系。说明学生们能够意识到教师对函数思想的应用，并利用函数思想去学习其他数学思想，但是更多的学生对教师所采用函数思想和其他数学思想之间联系教学的方式感受并不深，不能更好利用函数思想去建构其他数学思想理论学习。这说明我们教师对此教学方式运用并未达到预期的效果，学生接受的程度并不高。

（5）函数思想的应用意识

问卷中的11和12题是来考察学生对函数思想引用意识的，问卷试题如下：

11.平时你会有意识的去运用函数思想来解题吗？

A.经常用B.偶尔用 C.一般 D不用

12.你平时用函数思想解决的类型题多不多？

A.很多 B.一般 C.较少

根据统计来看，11题有大约54.21%的学生选择了B（偶尔用）；12题有大约61.12%的学生选择了B（一般）。从上述的数据可以发现，高中阶段的学生偶尔会用函数思想来解题，但是对于应用函数思想来解题的类型题却不是很多。由此我们可以发现，学生们仅有在遇到一些数学问题的时候才会意识到要运用函数思想，对于其他可以应用函数思想可以解决其他数学问题，学生对此并未有应用函数思想的意识。

（6）高中生的教学建议

在问卷之中专门设置了两个问题对教学建议进行分析：

13.在函数思想方法应用引导上，你喜欢老师三个年级循序渐进、螺旋上升，还是在高三备考时再归纳总结，为什么?

14.你对以后函数思想方法的教学有什么好的建议？

通过对学生们主观题统计分析后，发现在函数思想方法应用引导上，多数学生们选择了循序渐进、螺旋上升的做法，主要的原因是多数学生认为函数思想的学习是有用的的，但是鉴于认识规律的影响，很多学生认为只有螺旋上升自己才能够慢慢将函数思想进行消化和理解，应用函数思想的难度也会降低。如果一味等待到高三归纳总结，学习任务重，并不能很好的将函数思想应用，还影响数学其他知识的学习。

在对14题的学生建议情况进行整理后发现学生们提出的建议主要为：第一，教师们应该在平时的数学课程上加强函数思想及其他数学思想的渗透深度，并要清晰去讲解函数思想的内容，进而帮助学生们加强对函数思想的理解，进而能够建立自己的知识框架；第二，教师们应该多给学生们学习的自己空间，课堂上最大程度发挥学生们的积极性，让学生可以独立的去思考，分析函数思想上更多让学生自己发现问题和解决问题；第三，教师们应该根据学生的认识规律去引导学生如何去运用函数思想解决问题，通过生动形象的方式去演示函数思想和其他数学思想之间的联系，并和学生积极沟通，用学生们可以理解的方式去教授函数相关知识，让学生们能够更好的理解函数思想，并积极去运用函数思想。

3.2.2教师调查问卷分析

（1）数学思想数学方法教学情况

表3.6 数学思想方法教学情况

从1题和2题所统计的数据来看，有一半以上的教师是经常在课堂上渗透数学思想方法，也有大约52.94%的教师反映当前学校偶尔会有数学思想方法专题研讨教学。这些数据说明，当前高中的数学教师在新课标下也意识到要在课堂上去渗透数学思想，但是从学校层面来说，相对组织教师们之间对数学思想方法教学的探讨上还不是非常重视。

（2）对函数思想的认识

从问卷来看，3-5题是针对教师对函数思想的认识程度进行的调查。从下列的图3.1、3.2和3.3来看，有47.08%和41.17%对函数思想在高中数学教学之中的重要性基本了解和很了解；有29.41%和35.29%的教师对函数思想方法在高中阶段所涉及的具体课程是特别清楚和比较清楚，不知道的占比是非常低的，仅占据11.76%；有58.82%的教师对函数思想的应用条件、类型和方式特别清楚，29.41%的教师对函数思想应用条件、类型和方式比较清楚。通过对上述问题就数据进行分析，我们可以发现教师们普遍能够意识到函数思想方法高中数学学习中的重要性，对于函数思想在高中数学中所涉及的到具体课程、应用条件、类型和方式等等掌握水平可以说基本上处于比较高的同一水平，基本上能够形成比较完成的函数思想教学的知识体系。

　　（3）对函数思想方法的教学

第6-12题主要对教师在高中教学中针对函数思想教学的情况进行统计。第6-8题主要是考察教师函数思想教学难度的掌握及学生的掌握程度，从统计的数据来看（表3.8），有52.94%的教师们认为重视函数思想在初中阶段和高中阶段之间的连贯性，并对此进行一定的工作且取得了一定的效果。但是也有41.17%的教师们对于函数思想教学上表示非常困难，仅有5.88%的教师提出对此教学比较容易；在对高中学生对函数思想方法掌握的难易调查来看，47.05%的教师认为高中学生很难掌握函数思想方法，35.29%的教师认为高中学生是较难掌握函数思想方法。通过上述数据的分析，说明教师们也重视学生学习认知上的规律，都很重视初中和高中知识上的衔接，但是也只有部分的教师在此方面工作上作出了一定的成效。同时，教师们也认识到无论从自己还是学生都对函数思想掌握程度都达不到一个很高的水平，说明函数思想虽然重要，但是实际想要掌握函数思想方法并非一件容易的事情。

表3.7高中函数思想教学掌握程度情况

第9-11题重点考察教师在对函数思想教学方式考察。从图3.4来看，有58.82%的教师在教学之中可以做到经常将函数思想和其他数学思想联系给学生讲解，有29.41%教师则是一般联系。从表3.8中的数据来看，52.94%有教师比较喜欢或者常用“教师点思路，学生自主探究”的教学模式去教授函数思想相关知识；大约有41.18%的教师认为在例题练习环节对函数思想进行渗透效果最好，有35.29%的教师则认为在知识讲授环节来对函数思想进行渗透的效果最好。但是从学生调查问卷显示的结果来看，学生们更喜欢自己成为课堂上的主要人，自己去探究数学知识写的学习，所以教师们要适应新课标同时也要认识到学生作为学习主体的重要性。

　　图3.4函数思想和其他数学思想联系讲解情况

表3.8中函数思想教学方式

第12题主要是考察教师对高中阶段函数思想方法教学的重要作用认识情况，该情况主要采用图的形式来展现。从图3.5来看，我们可以发现有35.29%的教师认为函数思想方法的重要作用是解决综合性问题，有效提升学生数学成绩，有29.41%的教师认为将高中的函数知识逐渐内化为思想方法，进而培养学生数学应用意识。

　　图3.5 函数思想方法作用认识情况

综上所述，多数的教师对于函数思想方法教学是比较重视的，也能够经常将函数思想和其他函数思想联系给学生讲解，并采取了一些教学手段来教授函数思想方法，其中在例题练习环节渗透函数思想效果最好。但是大部分教师在应试教育思想的影响下，大部分教师虽然认识到了应将函数知识内化为函数思想方法，应对学生函数思想应用意识进行培养，但是还是注重学生数学成绩的提升。这样使得教师和学生对于课堂教学模式的认识出现了一定的偏差，学生们对函数思想的掌握程度就不是很好。

　3.3现状调查结果总结

通过对学生和教师调查问卷经过相应的整理和分析以后，可以得到的一些结论如下：第一，立足学生角度来看，无论出于应试的目的还是出于兴趣，学生们都愿意学习数学，对于函数思想重要性也能有一个比较清晰的认识。但是学生们普遍认为自己对函数思想方法的学习上难度比较大，对于函数思想的应用意识也不强，更不用说应用能力。不过学生们对于教师的教学模式有清晰的需求，即都比较喜欢自己在课堂上主动学习，更愿意发挥自己的主观能动性；第二，立足教师角度角度来看，教师们也经常在课堂上渗透数学思想及方法，对于函数思想方法重要性及函数思想方法的认识水平还是比较高的，但是教师们所采用的教学模式及在课堂上对函数思想的应用程度相对比较低，且大部分的教师还是较为注重函数思想对学生数学成绩上的作用，对于学生应用函数思想方法的意识引导或者培养上投入还是比较少，且学校对函数思想方面的教研活动也不是很重视。因此，有必要在高中数学之中积极渗透函数思想，教师们也应该及时调整教学模式，突出学生在课堂上的作用，进一步增强学生对函数思想的应用意识和应用能力，从而有效的改变当前函数思想的教学现状。

第四章 高考试题分析与函数思想应用教学的有效途径

众所周知，函数是学生们进入高中阶段必须学习的内容板块，属于比较重要的教学内容之一。故学生在学习该板块的内容的时候，不仅要求学生要掌握和函数有关的一些概念性的知识，还要掌握函数的思想方法。函数思想实质就是在数学学习之中通过构建函数，再结合函数的相关性质来解决学习中遇到的一些实际问题的一种数学思想，这种思想和高中数学学习中的很多知识有联系，因此，在了解当前高中生应用函数思想的现状基础上，调查分析近五年内的高考数学试题中的函数思想考察，进而提出应用函数思想的教学策略，从而推进函数思想在高中数学学习中的有效应用，提升学生们的函数思想应用能力。

　4.1近年高考试题中函数思想考察的调查分析

4.1.1高考大纲函数说明对比

根据考试大纲的基本要求，以2018年和2019年的高考数学来看，对于数学最基本的思想的考查主要是关注数学知识在高一个层次上的抽象及概括，且考察的实施一定要和数学知识要进行有机结合。在通过对数学思想以及对应数学知识的基本考查，来准确细致的反映学生对于基本数学知识的了解和掌握的程度[30]。从这一考试大纲的全面深入的研究，充分的反映了对高中数学知识的考查模式基本上处于一个稳定的状态，那么由此而知，对于高中数学函数思想的考查则基本上相同。在高中数学的学习当中，函数所占的比值也是比较大的，它作为一种数学的工具，成为了高中数学的四大主体之一，其中研究函数的单调性、极值、最值和证明不等式是函数的一个工具；而零点存在性定理则作为定理存在，函数的基本关系则是：函数的零点是方程的根。其中，函数主要分为两大类，即基本初等函数和基本初等函数的复合函数，而且高中的函数中通常涉及到导数的几何意义和定积分的几何意义，在基本的变换当中也常常涉及到图像的平移变换、伸缩变换、和翻折变换；定义一个函数，主要包括定义它的定义域、值域和解析式，同时函数具有单调、奇偶、有界、周期、凹凸、对称等基本函数特性。

之所以会体现函数的思想，其主要来源于建立函数关系或者构建中间函数，将函数复杂问题简单化，就是将其转化为讨论函数的性质，进而实现在解决数学实际问题化难为易、化繁为简的目的[31] 。故而，函数思想在实际的解题中可以分为大致的两步：首先就是要读懂题目要义，进行构建函数关系，进而将所求的问题转化为基本的函数问题，并在此基础上进行一一分析；其次就是将转化过来的函数问题利用其基本性质进行解答，找出函数关系中的突破点，进行解题。

4.1.2 近年高考数学试题中的函数思想

从吉林省高考数学试题来看，采用的全国Ⅱ卷，即为全国新课标二卷，通常新课标全国一卷比全国二卷要简单一些。结合2017年教育部印发的相关文件标准，并在采用此标准对2017年-2019年吉林省高考试题进行考察，并对其中一些试题涉及到函数思想应用进行分析。如表4.1。从表4.1和图4.1显示的数据来看，随着《2017新课标》在教学中的实施，高考文科数学试卷对于函数及应用的考察分数相对稳定，保持在35分上下，高考理科数学试卷稳定中保持增加的趋势，特别是在2019年增加到41分，比以往年增加4分。说明新课标对函数及应用的考察比例有影响，同时也说明函数思想及应用在高考数学中的重要性。因此，对于高中生而言，必须要有应用函数思想的意识，并能够利用函数思想的方法去解题，才是决胜高考的关键。

表4.1吉林省高考数学函数及应用的分布

图4.1 吉林省高考数学函数及应用分值图

　　4.2 高中课堂教学中函数思想应用教学的有效途径

函数是构建高中数学知识框架的基础，也是转化问题得到答案的主要途径。通过函数可以直接抛开研究问题的非数学特性，抽象建模使得问题变得具体化和简单化。在运用函数的概念、图像和性质去分析、转化和解决问题是当前数学学科的最为主要的基本思想。[32]因此，我们对于函数思想应用研究终极目的就是希望通过教师在课堂上有意识和有计划的向学生渗透函数思想，并以此来促进和提高学生真正解决问题的能力，这在一定的程度上可以培养学生的思维能力，进而提升学生的基本素质。但是对于学生而言，如果想要真正的理解函数的精髓并不是一件容易的事情，这需要不断地摸索和不断地去学习，需要投入大量的精力，以及耗用很长一部分的时间。故而，需要我们的教师在教学之中遵循一定的教学原则，并采用有效的教学方法，这样在很大程度上可以减少学生因为盲目找寻方法而使得浪费太多的时间，也能够有效的避免学生的积极性下降。

4.2.1在教学中应用函数思想的原则

渗透性原则。函数思想通常是蕴含在数学知识体系之中，在对某一个具体知识点进行教学的时候，不可能一句话就能将知识点所蕴含函数思想就能够让学生理解。所以教师一般通过采用设计能够吸引学生兴趣和最近发展区的情景，进而有意识的引导学生发现具体知识中的函数思想方法，进而让学生在潜移默化的过程中实现理解并掌握函数思想。函数思想作为一种数学思想，具有高度的抽象性和概括性[33]，故培养函数思想应用意识并不是短时间内可以实现的，需要经过长时间教学实践中慢慢的渗透才能够被学生所真正的掌握。有学者曾研究发展，如果要快速有效的给学生灌输相关的数学思想，仅仅靠单纯的理论知识是远远不够的，还需要结合具体的实例来进行知识讲解才能够真正实现数学思想的具体化。只有这样才能够达到较好的效果。故而，对于函数思想的领悟学习也是同样的道理。因此，只有在教学过程中注重优化，使得教学的过程逐渐趋于科学化、合理化，才能更好的参透函数思想的最终意义。教师作为一名科学的实施者，就要在认真钻研备课的同时，积极的将隐藏的知识进行深层次的挖掘，进而才能够将隐藏和分散在知识点当中的函数思想进行提炼，同时这个过程应该是循序渐进，教师要掌握好持续性、长期性，做到长期渗透。建构性原则。根据建构主义理论我们可以得知学习是自己主动学习和内化的过程，是将自己在脑海里的知识和原来所学习的知识之间产生联系，并进行重建的过程。那么教师在进行讲学的时候，尤其对于函数教学这一部分，教师也应该遵循互相联系的原则，让学生在学习函数知识的时候并不是被动的接受知识，而是引导学生将自己原先学习过的知识和实践建立起联系，进而更深层次的掌握和学习函数知识，并且能够十分灵活的运用它们，这是一个有着积极作用的重建过程。而且对于学生来讲，在学习过程中要建立起主动的学习态度，这样才可以让自己主导自己的学习，而不只是被动的去接受。站在教师的角度来看，教师应该在教学的过程中注意重视新知识的探索，同时，鼓励学生养成发现问题、提出问题的好习惯，需要原有知识和新知识之间建立联系，创新特点比较明显。系统性原则。数学教学的关键认为就是推进学生认知结构的形成和完善，认知结构的完善则是需要一个系统梳理阶段。换一个说法，就是说教师应该积极的引导学生，将以前学过的分散的知识点和某种数学思想建立起系统性的联系，进而不断的提取和应用，形成一个比较完善的结构。对于函数思想进行系统性的研究，通常要从两个方面做起：一方面就是要去研究每一个具体数学知识点的教学之中可以采用的函数思想进行教学；一方面也要去研究函数思想可以在哪些数学知识点教学之中进行渗透。可以说是从纵向和横向两个维度去整理函数思想的系统。例如在“数列的概念”这一节中，函数思想是通过数列的定义，数列的函数图像体现出来的；而“等差、等比数列”中，函数思想体现在其通项公式、前n项和公式与函数之间的联系与区别，以及如何应用函数的有关性质解数列中的问题等。循序渐进原则。大家都知道，数学本身就是一个很抽象的学习过程。函数思想学习也是不例外的。函数思想的学习需要历经从领悟函数知识到形成函数思想、从函数函数思想到应用的发展过程。因此，教学的程序是非常重要的，首先是教师的引导，其次就是学习当中的渗透，紧接着学生要建立起不断做总结的习惯2。然而因学生个体差异的影响，在和具体函数知识相比，学生掌握函数思想多呈现出现更大的不同步性。那么教师在教学之中，应当重视那些学习能力不强的学生思想、接受的时间，因为一旦跳过或者缩短这个过程，就出现学生两级分化的现象出现。故对函数思想的教学要逐步开展，特别是在渗透的时候要遵循教学规律，结合不同阶段知识要点，有意识的一步步循循渐进的渗透函数思想。如学生在初中教师就介绍过一次函数和二次函数，那么到了高中阶段就要对函数知识进行深化，要先介绍函数的概念，随后是介绍指数函数、对数函数、幂函数以及三角函数等等，在历经多次反反复复的循序渐进的学习后，学生对函数的思想认识才能逐步明确。[34]

4.2.2在教学中渗透函数思想的有效途径

函数思想是随着其他数学知识的变化而灵活应用的，那么学生只有经历感知、理解、巩固和应用的四个阶段才能够真正掌握这个思想，才能够使得该思想成为以后解决有关数学问题的方法。教师在渗透函数思想的时候要根据学生的认知规律和过程进行，才能够取得较好的效果。因此，本文结合现有高中生的学习特点，并根据新课标的要求，具体阐述如何在教学中渗透函数思想。

（1）教学前—设计环节渗透函数思想

在教学之前，教师就要及时了解新课标的要求，并要对函数及与函数思想应有关联的知识点有整体系统的认识，并明确学生对函数思想需要达到的掌握和应用程度。首要，教师要对教材内容及结构有清晰的认识，并能够钻研、挖掘教材，将隐藏在数学知识之中的函数思想挖掘出来，并且将其融入到教学目标之中，做好充分的课前准备，要从整体上进行教学设计，并要把握好不同年级教材中渗透函数思想的程度，进而采用化隐为显的反复去渗透，进而循序渐进、螺旋上升的帮助学生系统性的去构建函数思想方法。其次，教师要根据学生之间的认知差异及心理特点，立足学生的角度去发现学生学习之中有可能出现的疑惑或者易错点，进而设计合适的教学方法和教学场景，让学生们能够较好的去理解函数思想。

例如：在必修1中，函数和方程。其目的就是让学生利用函数思想去解决方程的知识，进而更进一步将问题转化成为求函数零点。求方程根就直接转化为了思考函数图像和轴相交关系的问题；

例如：在必修5中对数列的学习。学生在必修1之中已经学习一些函数知识，但是，高一学生突然接受和初中完全不同的知识，一下子适应不了，多数学生并未完全掌握函数章节的内容。那么对于教师可以在教学之前，先将函数相关知识点简单复习一下，然后再引入数列的概念，这么做的好处就是能让学生慢慢进入状态，从而更好的进行数列的相关学习。

教学中—教学实施环节渗透函数思想课堂教学是教师们的主战场，主要是采用合理科学的组织形式和有效的教学方法安排来调控教学活动。基于此在教学环节之中提出渗透的方法：

知识形成中渗透函数思想函数的思想不仅仅具有一定的概括性，还有较强的指导性。因为它是在数学思想中不断地提炼和巩固的结果。然当前教材仅是从概念、定理和公式等表象上出形式上的结论，并未将产生结论的思维过程展现出现，学生就难以从数学思维活动之中发现隐含的函数思想。因此，教师在教学过程中，要采用不同的课型、形式和角度将数学结论的论证、推导过程演示给学生，让学生自主去探究知识发生的过程，从中吸取思维的营养。

如可以在概念讲授之中渗透。教师在进行概念性教学的时候，不要急于给学生定义或者定理，而是先对概念的背景进行介绍，引导学生自己去探索，寻找概念产生的思路理解概念的本质，进而体会到概念与其他知识之间的联系。以数列概念渗透函数思想为例，通过将数列的项数n看作自变量，项视为变量，可以将数列看作定义域为正整数集

　的函数，当自变量从小到大依次取值的时候，该函数所对应的一列函数值就是这个数列。假设数列的第之间的函数关系是可以用一个式子表示为，这个式子就作为这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应的函数解析式[35]。那么学生在经过这样的分析以后，就能够明白数列本质为表现为一个离散的函数，加深对函数的理解。如可以通过在相关命题、定理或者公式推导之中渗透函数思想。在对相关命题、定理或者公式推导等相关结论教学中，教师要重视学生的自我发现、探索的过程，适当提出思考问题，引导学生进行数学思维活动，进而让学生可以理解该结论形成的条件。以高二数学课程必修5《等差数列的通项公式和前

项和》的讲授为基本例子，研究等差数列。结合通项公式发现当则是关于的一次函数，前

的没有常数项的二次函数，这样就能够函数的性质去解决数列的相关问题。

解题教学中渗透函数思想无论是基于数控考试考察的需要还是基于数学内部知识结构，数学的学习都和解题有着密切的联系。目前的解题教学主要有例题和习题教学两种。例题教学主要是指，在教师的指导下，学生将自己所学知识应用解决自己所遇到的数学问题，此时教师充当的角色就是示范；而对于习题教学的方法，就是学生解题，通过熟练和此题类型一致的例题，进而掌握学习方法的一种实践。

如在例题教学中体现渗透思想。在数学的学习过程当中，一道经典的题目可能会在其中学习很多种的思想方法，因此，对于例题分析讲解之中要运用函数思想就要把握好渗透性原则、循循渐进原则等原则想学生讲解，这样通过该反复不断的渗透，使得函数思想可以得到反复的运用，并得到进一步的巩固和深化。

如在习题教学中体现渗透思想。通常是在学生对函数思想有一定的的了解以后，教师就可以设计一些练习题，练习题主要应用函数思想。这些练习题设置上要有一定梯度性，从简单到复杂，从容易到困难，可以让同学们分组进行讨论，可以提示同学们试着从函数的角度去思考该问题。通过这样不断的阶梯式训练，可以让学生在解题中对函数思想进行有效的学习。

从上述解题过程中，我们可以发现通过引导学生利用函数思想，可以较快解决数学问题，提升了学生解题效率，也使得函数思想应用得到强化。

归纳总结中渗透函数思想在课堂之中对知识归纳和总结是教学之中的一个环节，因为归纳的同时，可以学习到一些数学方法，而函数思想大多都存在其中。这些指点点是零散的分布在教学之中，进而使得函数思想的教学也有分散的特点。所以教师要正确的去以学生学会概括函数思想方法，进而形成归纳和总结的意识。通常总结函数思想方法基本可以分为两部分：一部分是对函数思想方法的内在规律进行揭示；一部分是了解函数思想方和知识之间的联系，促使函数思想应用变得有迹可循。对于教师而言，要做好定期采用单元小结或者专题复习的方式进行归纳和总结。

以单元小结举例，在每一个单元学习完之后，教师要及时带领学生对其中出现的函数思想进行系统梳理，帮助学生去领会该单元函数思想是如何应用的，进而帮助学生可以独立去应用函数思想解相关问题。比如，对于《基本初等函数》的学习。该章节的知识结构如图4.3。从图的结构我们可以对基本初等函数单元进行总结。该章节先从整数指数幂出发，进而推广到了有理指数幂，再认识了实数指数幂，通过函数的图像和性质对函数的本质进行全面认识，对于函数相关知识形成过程有了更深刻的认识，能够更好的理解到函数思想的真谛。

　　图4.3 基本初等函数图

（3）教学后—教学总结阶段渗透函数思想

有一位著名的数学家叫做弗赖登塔尔，他曾说过这样一句话，反思是数学思维活动的核心和动力[36]，而对于教师和学生而言，都要对在课程结束后对函数思想方法课程之中的渗透进行反思。

从教师角度来看，教师先对自己课前所设计的教学案例设计进行自我评价，并反思每一个环节之中渗透是否实现自己所设定的理想目标，并对没有达到自己所设置的理想效果的环节及渗透方式进行相应的改善，并及时对课堂教学中学生对自己所提出的没有经过预先设定的新问题、新情况进行综合的评价，同时认真思考在以后教学设计中是否有必要对此进行讲解。只有教师经过充分的反思，才能够有效改进教学环节渗透，才能够有效提升自己的数学教学水平，进而形成适合自己和学生的教学方法。

从学生角度来看，需要教师引导学生反思和学生自己主动反思，教师反思主要是创设情景为学生制造一些反思的机会，在此情景中，及时有效的带领学生进行独立思考，并让学生对自己的思维活动进行反思，进而让学生去发现自己在处理问题的时候会出现什么样的错误类型、错误的实质，并通过对错误题目进行整理、分析，对错误的出现的根源？如何纠正？进行彻底的反思，并总结经验教训。只有这样学生才能够真正理解函数思想方法的内涵，概括思维的本质，进而将自己对数学的学习直接上升到函数思想方法学习的高度上。具体的反思过程：在关于函数思想在方程中应用环节问题，提示学生们哪些题目是属于经常会利用到函数思想去解决方程问题的？解决过程之中又需要注意哪些问题呢？在解决某类问题的时候要具体使用什么方法呢？

另外，教师还需要不定时的督促学生要及时的对各个知识之间的联系进行反思，要温故而知新，要不断的转换新旧知识，进而通过该途径促使学生能够透彻的去认识所学的知识，进而提升知识的网络化和结构化的水平。

第五章 函数思想渗透与应用的实验教学研究

为了进一步展示函数思想应用的教学策略的实践效果，根据人教版高中教材中选取函数思想应用比较集中的教学板块为素材，结合文中所提到的教学策略编写具体的教学设计，并在教学学校高三两个平行班（实验组和对照组）进行实验教学。

　　5.1函数思想应用的教学案例设计

在上文之中对函数思想渗透的原则和有效途径进行具体阐述，那么如何实施呢?我们来对设计具体函数思想应用的教学案例进行展示。在高中数学的学习过程中，函数思想虽然和数列属于不同的版块，但是他们的联系缺是相当的紧密。因此，以人教版高中数学教材之中必修5第一课时可是数列概念学习进行教学设计，进而展现是如何进行函数思想应用的。

5.1.1教学前准备

在开展对数列概念学习之前，作为教师要对该节教学目标、重点难点及教学方法的运用要有明确的了解，并进行相应的准备。

知识与技能：了解数列的概念、分类和表示方法，并能够明确数列是一种特殊的函数。

过程与方法：通过对数列的概括、归纳，进而明确何为数列，并了解数列是一种怎么样的函数，掌握数列的表示方法，让学生在学习数列的基本概念以后，对数列进行适当的运用，从而加深学生对于归纳、猜想、类比等一系列方法的印象。

树立价值观：要培养学生的思维能力，从客观到主观，紧接着树立学生乐于思考和勇于创新的价值观念。

教学的重点与难点：教学重点为理解函数概念；教学难点是要让学生体会数列和函数之间的关系。

教学方法：引导发现方法。

5.1.2教学过程展示

表5.1教学过程

　5.2 函数思想应用的实践教学研究

5.2.1 实验目的

本文之中提出了高中数学教学之中应用函数思想的教学策略，那么开展的实验的目的就是为了去检验该教学策略在实践教学之中的教学效果，进而对教学策略进行进一步的完善。

5.2.2 实验准备

在教学实践之中，遵守教学策略，并在各个环节之中适时去渗透和应用函数思想，有助于学生对数学知识的理解及掌握，并进一步的提升学生的成绩。所选取的实验材料就是实验班的同学采用本文的教学设计进行教学，并设置相应的教学成绩测试卷来进行检测。

5.2.3 实验设计

实验对象及方法：本次实验选取笔者在教学的长春市NA县第十高中高二年级的两个平行班作为实验对象，这两个班级均是笔者在教学中所管理的班级。其中，高二6班作为实验组，该组采用的教学设计是本文之中的教学设计，对此进行函数思想的渗透及应用教学；高二7班作为对照组，沿用原有的教学设计进行教学，两个班级之间的学生数学水平是相当的，数学的学习能力及综合素质也是相当的。在实验之中所实施教学的内容和要求都是符合新课程标准的要求，并且在两个班级进行教学的时候，课时量和作业量都是完全一样的。

5.2.4 实验变量

（1）自变量：教师在实验班进行教学的的时候要采用多种方法去渗透和应用函数思想，并遵循相应的原则，力求在各个教学环节之中展示函数思想是如何在数学知识学习中的应用；

（2）因变量：实验班和对照班级学生测试的成绩，学生对于本节课所学的知识理解掌握程度，和其对函数思想的了解、掌握情况。为了确保实验真实性和准确性，对于有可能对本次实验效果有影响无关变量进行了比较严格的限制，即两个班级都是由同一个教师进行教学；两个班级的学生数学水平、学习能力基本相当，并不会提前告知他们这是实验教学；两个班级学生的教学内容、课时量和作业量保持一致。特别是在测试方面的测试卷、评分标准和测试时间都是相同的。

5.2.5 实验过程

实践教学的时间为2019年11月10日上午7点30-9点30分，其中对照班是上午的7点30分-8点15分，对照班则是8点25分-9点10分，两个班级测试的时间是一致的，从 上午9点20分到10点20分。两个班级都是有教师进行监考，时间均60分，满分都是100分。在测试结束后，收回测试卷，并进行整理分析。

5.2.6 结果分析

课堂测试结束后，在课后将对照班和实验班的学生测试成绩进行整理统计，通过spss20.0软件统计数据，见表5.2

表5.2 实验班与对照班成绩统计表

表5.3 独立样本检验情况表

从表5.2的分析看，实验班和对照班的学生数量是一致的，但是实验班的测后平均成绩为84.7111分，对照班测后成绩平均值是在75.6889分，实验班的平均成绩比对照班成绩要高出9.0222分，说明二者之间的成绩平均分上是有显著差异的。基于此，采用spss20.0软件进行T检验方法检验，设定显著性水平为0.05，如果检测出来的P值是小于0.05的话，说明两个班级总体方差是有显著性差异的。那么从表5.2第一行假设方差相等情况下，T测定出来值是5.206，其对应的P值是0.040，那么P值<0.05，实验班和对照班之间的分数出现比较明显的变化，说明根据本文中教学策略在函数思想渗透及应用对于学生数学成绩是有影响，且呈现出显著性差异。据此，我们可以的出的结论如下：实验班和对照班在未进行该教学实践之前二个班级在数学能力和认识上是没有明显差异的，随着该教学实践的进行，实验班数学分值和对照班数学分值之间出现较大差异，说明该教学策略对学生么数学成绩的提升是具有积极作用，也证明是了本文中对于函数思想应用的教学策略是可行的，并且取得了比较好的教学效果。

第六章 结论与展望

函数思想是函数基本知识体系的解题，也是学生高中数学的核心所在。基于此，本文从高中数学教材出发，对高中教材中的函数思想进行总结，并通近三年高考数学试卷分析，发现当前函数思想应用在高考之中考察的比例在增加。采用文献分析方法和问卷调查方法，对吉林省NA县高中一到三年级的学生进行函数思想掌握及应用程度的调查，发现当前教师和学生都认识到了函数思想的重要性，但是对于函数思想的渗透及应用方面却比较欠缺，故结合当前的教学实际提出函数思想具体渗透的教学原则的有效途径：教学准备阶段、教学过程阶段和教学后阶段为渗透路线，遵循循序渐进原则、构建性原则和系统性原则基础上，将函数思想有效渗透于整个教学环节。为了将函数思想渗透及应用清晰的展现给一线教师，并以数列概念作为教学案例进行设计，对函数思想渗透及应用进行系统具体的阐述。通过实验来论证函数思想应用教学实践效果，采用spss软件对实验数据分析后得出了函数思想应用策略对学生数学成绩的提升具有很大的作用。

在当前的社会发展现实下，特别是新课标的指引下，数学的思想对教学的作用日益凸显，它看起来比课本的知识还要重要。因此，对于教师来说，在教学的过程中，要选择恰当的时机去引导学生去学习课本背后所隐藏的基本的数学思想方法，首先就是要弄懂这个方法，其次就是要运用这个方法，只有学生熟练的掌握了这些方法，才能运用在特定的题目中。通过该上述的教学方式让学生感悟数学真正的实用价值，进而促使学生个体数学核心素养的形成。

万事万物都有其发展的更规律，变化的规律，数学也是如此。函数作为一项重要的数学模型，无时无刻不体现者它在数学之中不可或缺的地位。特别是在高中阶段，它以工具的形式贯穿着整个阶段，它所蕴含的基本的逻辑思维、思想和其他数学知识联系更是比较紧密，因此，函数思想应用一旦掌握好，对于高中生而言是具有极为重要的意义。

函数思想方法渗透及应用的关键就是在于教师的引导，教师素质对于学生函数思想掌握也可能有影响，因而，后续研究方向可以集中教师素质对函数思想应用影响上。

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新课标下高中函数思想应用教学案例研究

价格 ¥9.90 发布时间 2023年5月13日

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