序言：概念教学是数学教学的一个重要方面，是学习数学的逻辑起点，是学生学习认知的基础，是学好数学知识，提高数学能力的关键。加强数学概念的教学，有助于学生深化对数学知识本身的理解，同时也能培养学生的数学能力和思维品质，促进学生全面发展和提高，培养学生的探究能力和自主学习能力。因此，对于数学概念的教学在数学学习中是非常重要和必须的。
1.数学概念教学的本质
2.1数学概念学习的本质
数学概念是人们通过不断的实践，以一种思维形式能够将客观事物之间存在的数量关系和空间形式方面的本质属性反映出来，并不断致力于从教学所研究对象的许多属性中，抽象地概括出其本质属性，是人为构造的对事物进行抽象描述的一种通用工具。概念的形成标志着人的认识已经从表象的感性认识上升到抽象的理性认识。教学中的数学的推理和证明的基础和依据就是以数学概念为基石所建立的，实质上数学中的推理和证明依然是由一连串的数学概念、判断和原理组成，而数学概念同时也是构成数学原理的元素。由此可以得出数学概念的学习是数学学习的必备基础，数学概念的教学是数学教学最重要的组成部分。
数学概念学习的本质就是抽象地概括出数学中一类事物对象中舍弃个别的，非本质属性，抽出共同本质属性，因此不仅须要正确区分同类事物的本质属性与非本质属性，也要正确形成数学概念的内涵和外延。
2.2数学概念学习的四种水平
数学概念学习可以分为了解、理解、掌握和综合运用四种水平
了解能回忆出概念的言语信息；能辨认出概念的常见例证；会举例说明概念的相关属性。
理解能把握概念的本质属性；能与相关概念建立联系；能区别概念的例证与反例。
掌握在理解的基础上，能直接把概念运用于新的情境。
综合运用能综合运用概念解决问题。
为帮助学生透彻理解并掌握所学的数学概念，教师要注意以下五个方面：
（1）概念的引入
数学概念的引入过程是建立与掌握概念的前提，学生的学习积极性取决于教师的引入过程。俗话说：“好的开始是成功的一半。”精心设计的引入能打动学生的心弦，立疑激趣，促成学生情趣高涨，激发学生的求知欲，并且要符合学生认识发展的规律，以及概念发生发展的规律.。
（2）对数学概念的解剖分析
人们为了方便表述数学概念，于是借助于通俗易懂的数学语言符号，这是为了达到能够具有高度的概括性的效果，其用语、用词一般都非常严密、精练。因此，概念的叙述必须力求简练的同时也要表达出深刻的寓意；有的概念会借助于符号、式子来表述，显得比较抽象。教师针对这些概念，必须将概念中的关键词句进行深入的解剖分析，力求将每一个词、句、符号、式子的内在含义，以一种通俗方法强调并表述出来，使学生能够将概念的本质属性深刻地印入脑海里。
例如，对于函数的定义：假设A，B是一个非空的数集，如果以一种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数与它对应，那么就称：A B为集合A到B的一个函数，记作.其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合即函数的值域。
在对函数概念的讲解中，教师在教学中应该体现以下注意点
②概念中涉及到两个变量和，它们之间是什么关系。根据概念，y的值是随着的值变化而变化的。
②的取值范围。
③对应关系
（3）根据变式突出概念的本质属性
变式是指通过变更概念的非本质特征，目的是为了突出对象的本质特征而形成的表现形式。目的是突出本质特征，让学生深刻理解概念的本质属性，从而培养学生数学思维的灵活性和思考问题的深入性。
例如，在教学中遇到几何中讲解三角形的“高”的概念时，就要运用变式，提供给学生各种典型的感性直观材料，或者不断变换“高”所呈现的形式，通过不同的形式反映高的本质属性。图1是三种不同三角形的“高”的不同位置。
通过几种形式的变化，从而揭示出高的本质是对角的顶点向这条边所作的垂线。如果教师仅仅用锐角三角形来讲授高的概念，学生对概念的理解就会受局限。如果让他们自己寻找直角三角形两条直角边的高，尤其是钝角三角形两个锐角所对应的高就会发生困难或者错误。在运用变式时，教师要对学生提出明确的要求，引导学生观察、思考，才能使变式达到预期的教学效果。
（4）概念的对比和直观化
数学概念与数学概念之间又是具备平行相关的关系，在学习中如果学会将这些抽象难懂的概念有机的联系在一起，进行类比，就可以收到由此及彼、温故而知新的效果。例如平面几何和立体几何的类比、分数和分式的类比、函数与映射的类比等。
有些数学概念之间联系非常密切，形式差别也较小，容易让学生产生概念混淆的困扰。对于这些概念，就要教会学生学会去比较这些概念之间的内涵和外延，通过概念的比较，总结出相同点和不同点，避免概念的混淆。
例如，“方程的解”，以及后续所学的“不等式的解”，其中“不等式的解”对于刚学习的学生来说是一个难理解的概念。教师可以通过与“方程的解”进行比较，通过具体的例子给学生指出，方程的解是使方程两边左右相等的未知数的值，而不等式的解是指在含有未知数的不等式中，能够使不等式成立的未知数的取值范围。从使式子成立的这一点来看，方程的解和不等式的解的意义是相同的，都是为了满足原式子成立；从解的个数来看，方程的解和不等式的解是有很大区别的。方程在一般情况下解的个数是有限的，而不等式的解是一个或几个数值范围内的无穷多个数。如果将两者反映在数轴上，方程的解是数轴上某一个或是几个孤立的点，而不等式的解则是无数个点的集合。从解的表示形式来看，两者也是有差别的。
数学概念往往是经过多层次、多方面抽象而来的，会脱离具体的原型，对这类比较抽象的数学概念，教师应该引导学生对概念进行具体化和形象化。通过直观图形，使抽象的数学概念成为学生能够感受的事物。
例如，为使学生能够充分理解“极值”和“最值”两个概念的区别，我们可以借助具体的图像来讲解。极值是函数在局部区间的性质；最值是函数在整个区间所取得的最大或最小的函数值。
如图2所示，B点是最大值点，但不是极大值点；C点是极小值点，但不是最小值点；D点是极大值点但不是最大值点。但是有时函数的某个极大值就是函数的最大值。如图3所示，P点既是极大值点也是最大值点。这里，我们借助图形直观，突出了最值的整体性和极值的局部性。这就能帮助学生更加形象直观的理解最值和极值的概念。
（5）概念产生的背景
为了帮助学生能够充分理解和掌握数学概念，关键的问题不仅是让学生知道一节课该学习的内容，更要让学生明白为什么要学习这个内容。在概念教学中，如果只注重概念的结果和运用，而忽略揭示概念的形成过程，必然会导致学生只是学习的工具，他们会对所学知识处于零散、混乱的无序状态。要让学生知其然，更要知其所以然。
3．概念形成的教学设计
3.1数学概念形成的教学模式
概念形成可以通过现实生活中的案例或已学习过的知识出发，经过比较、分类、假设从中找出一类事物的本质特征，然后通过具体例子验证、修改，最后通过概括得到数学概念的定义。
下面以“函数的概念”为例来说明数学概念形成的教学模式。
（1）给学生例举熟悉的数学问题，逐一分析每一个问题
例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化规律是?
例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题。下图4中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变化情况。请说出时间t和面积S的变化范围。
例3：国际上常用恩格尔系数来反映一个国家人民生活质量水平的高低。定义恩格尔系数越低，生活质量越高。表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生的显著变化。
时间（年）1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
城镇居民家庭恩格尔系数（%）53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9
请描述恩格尔系数和时间的关系。
（2）通过观察其共同特点，初步形成概念。
教师引导学生分析，每一个题目都不相同，但是它们都有一个共同属性，一个值变化，另一个值都会随之变化。在（1）中，时间不同，高度也会不同，高度随着时间的变化而变化；在（2）中，横坐标都有一个纵坐标与之对应，横坐标的值不同，对应的纵坐标也会变化；（3）中，每一个时间都有一个恩格尔系数与之对应。这种关系可以通过图形形象的体现出来，然后再给函数定义：对于函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A B为集合A到B的一个函数，记作.于是，学生已初步知道了概念，不能说已经形成了概念，还需要进一步探究。
（3）概念的深化
教师可以逐字解读并举例给学生讲解概念，结合例子帮助学生理解，适当的给学生举一些反例，不是函数的式子，来加深学生对概念的理解。
（4）概念的运用
通过对概念的运用，巩固强化学生对概念的印象。
需要指出的是，概念的形成是学生以自己的直接经验为基础。在教师的引导下，学生归纳发现概念的本质特征的学习。这样的学习方式，并不需要学生具备较多的概念，只需要能够观察、归纳和验证。
3.2数学概念形成的教学案例
课题函数的单调性
教材普通高中课程标准试验教科书人教版A版数学必修1
教学内容第一章第二节函数的基本性质
教学目标
（1）知识与技能
①理解增函数和减函数的定义
②会利用定义证明函数的单调性
③了解函数单调区间的概念，并能根据图像说出函数的单调性
（2）过程与方法
从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
（3）情感态度与价值观
通过本节知识的学习，使学生理解数形结合等思想方法在分析解决问题中的作用，领会从直观到抽象，从感性到理性的数学思维方法。
教学重、难点
教学重点：函数单调性的概念和判断
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性
教学过程
（一）创设情境，引入课题
下图是某市某一天中气温变化情况，请你根据曲线图说说气温的变化情况？
由生活情境引入课题，让学生联系实际生活，从中获取有用的知识，同时也要学会体会数学在我们生活中的运用。并能够调动学生积极参与学习的主动性。
设计意图：引导学生观察气温变化曲线图，让学生体会在某些时段温度升高，某些时段温度降低，而不是从抽象语言入手来引入函数单调性。使学生体会到研究函数单调性的必要性，明确本节课我们要研究和学习的课题，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神。
（二）归纳探究，形成概念
观察一次函数和二次函数的图象，并说说它们分别有怎样的变化趋势。
通过观察可以得到：
函数的图像由左至右是下降的；函数的图像在y轴的左侧是上升的，在y轴的右侧是下降的，函数的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性。那么，我们如何来描述函数图像的上升与下降呢？
再引导学生观察二次函数的图像，图像在y轴左侧是上升的，也就是说，在区间（-∞，0]上，随着x的增大而增大；图像在y轴的左侧下降，也就是，早区间（0,+∞]上随着x的增大而减小。
提出问题：如何利用函数解析式描述“随着x的增大，相应的随着减小”“随着x的减小，相应的随着增大”？
增函数：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。
类比增函数的定义，让学生概括出减函数的定义。
减函数：
一般地，假设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。
函数的单调性：
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间
在总结出概念之后，教师再向同学进行概念的分析和解读，让学生对概念的理解能够达到通透彻底的效果。
①数的单调性是指在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)．
设计目的：在这一阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念的发生与发展过程和数形结合的数学思想，让其经历观察、归纳、抽象的探究过程是必要的。借以问题的形式反馈给学生，让其进行思考，教师再逐步引导学生一步步得出函数增减函数的概念，让学生积极的思考并参与到学习，总结和讨论中去，体现学生的主体地位。
（三）综合运用
例1：证明函数在区间（0，+∞）上为增函数。
证明：设是区间（0，+∞）上任意两个自变量的值。
且
因为故，
又由得，故。
因此，即
所以函数在（0，+∞）上是增函数
设计意图：引导学生从增函数概念中分析出证明函数单调性的基本过程。教师在讲解的同时，也强调学生规范单调性的证明过程。
判断函数单调性的方法步骤：
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般方法步骤：
②任取x1，x2∈D，且x1<x2；
③取两函数值的差f(x1)－f(x2)；
④变形（一般方法是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤得出结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
例2：如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
例3：物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。
本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考、交流、分析讲解，使学生初步掌握根据单调性定义证明函数单调性的方法。
（四）归纳小结
请学生交流一下本节课的收获，然后回答以下问题：
1、函数单调性定义是什么？
2、证明函数单调性的步骤有哪些？
3、判断函数单调性有哪些方法？
（五）课后作业
参考文献：
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