小学数学“有余数除法“”教学的问题与策略研究 ——以宿迁市某

　　1.研究背景

　　随着教育改革的进行，教师的教学与学生的学习越来越被重视，填鸭式教学依旧存在，这样的教学方法不能适应所有的教学内容。对于教师的教学，很多知名教师不断进行创新以此提高学习效率特别是对于计算这一板块的学习，理解大于记忆。小学数学有余数除法是表内除法的延伸，以余数知识为基础，是很重要的基础内容，学生能够熟练掌握有余数除法将会对以后更深层次的学习有很大的帮助。故以此为研究目标，通过新课改与教育制度改革的背景之下进行调查研究，推动小学数学研究的发展。

　　在小学数学的教学过程中，很多学生不是以理解为主，而是靠记忆，这样的教学显然不是最佳结果。学生需要深刻理解余数的知识，并在此基础之上充分掌握有余数除法的算理。很多学生难以计算复杂的有余数除法，甚至高年级学生连有余数除法都能算错，只能掌握简单的计算，不能举一反三、活学活用。并且教学的手段不能枯燥，计算类教学虽然是教师主体，但是需要学生学习的积极性，教学才能继续进行下去，所以让学生对有余数除法的计算产生学习兴趣也是需要解决的一个重要问题。

　　2.研究意义

　　（1）理论意义：通过对小学数学“有余数除法”教学现状的调查分析，寻找出师生在进行“有余数除法”的教学中的问题，分析问题发生的原因，分析“有余数除法”的教学内容、教学目标、以及教学反馈。针对调查中所发现的问题，提出改善的策略，丰富“有余数除法”的教学理论，对教师在教学这部分内容的时候提供一定的理论支撑，对于教师教学实践发挥一定的指导作用。

　　（2）实践意义：在针对宿迁市宿豫区张家港实验小学的部分学生的学习情况以及在学习中出现的问题进行研究，及时发现有余数除法在教师教学与学生学习两个环节的问题。将研究所得到的结论及时落实到课堂中，为年轻教师提供一些帮助，避免学生学习效率低下、教师难以采取措施的情况出现。教师可以通过本研究进行教学反思，帮助学生发掘“有余数除法”学习过程中的问题所在，促进学生运算能力的提高以及逻辑思维的发展。结合教学过程中的具体情况，进一步落实课程标准的要求。这一研究对于帮助师生突破“有余数除法”教学的重难点内容，具有很大的实践价值以及意义。

　　在搜集有余数除法相关文献时，文献集中呈现形式为教学分析或者数学期刊并且国外关于有余数除法文献较少，于是将重点放在教学实录中并以专业期刊为辅，贴近学生数学学习的实际。并且通过搜集多名教师的课堂教学设计与反思，进行反复、对比和总结，筛选所需要的文献资料加以研究。得出以下有余数除法教学策略研究的相关观点：

　　1.关于小学数学“有余数除法”教学价值研究

　　王清宇[【1】王清宇.数学有余数除法应该注意的几个问题[D].教师之友2018.3]老师认为研究除数与商都是一位数的有余数除法十分重要。有余数的除法是多位数除法的重要基础,同时对于除法试商也有着十分重要的作用。在教学中,我们对有余数的陈法应予以高度重视，务必使学生理解与掌握余数概念,以及有余数的除法的求商规律与方法。

　　（1）可以使教学过程遵循学生学习规律，提高学生学习效率

　　因为有余数除法的教学属于较为复杂的一种教学，不仅要联系学生先前学习关于除法的知识，还要不断升级教师的教学方法。所以有余数除法教学研究显得尤为重要，对有余数除法进行教学研究也是对表内除法与复杂除法计算的重要依据。学生的认知规律决定了教师的教学不能盲目的进行灌输知识，进行教师单方面教学。教师只有重视对有余数教学进行研究，才能使得教学方法与时俱进，从而提高学生的学习效率

　　（2）可以促进学生创新思维的培养，开拓学生眼界

　　数学教学讲究方法与练习并用，并且数学是活学活用的一门学科，所以一直沿用过时的教学手段和思路有可能很难再有所提高。所以对有余数除法进行教学研究，从创新这一个方向去研究比如创新教学方法、创新课后练习、创新与学生互动方式等。随着新课改的进行，对数学教师的要求也更加的全面，与时俱进的探究教学方法必不可少，不仅可以开拓教师的眼界，也能提高学生的学习兴趣与效率。

　　（3）可以加强学生数学学习与生活的联系

　　数学源自生活，从生活的角度去研究有余数除法的教学，会让这一板块的知识形象具体的展现出来。面对低年级的学生，从生活角度去研究有余数除法，会激发学生浓厚的学习兴趣。研究有余数除法的教学与生活的联系，使数学问题紧紧联系实际生活实际，这样的研究才会得出准确的教学反馈，从而帮助教师进一步的改进教学策略，提高教学效率。

　　2.关于小学数学“有余数除法”教学策略研究

　　有位学者曾经说过：兴趣是学生最好的老师。曹选玲老师[【2】曹选玲.教学反思伴我成长[A].国家教师科研专项基金科研成果（十四）[C].2017]在《教学反思伴我成长》中指出：数学学习要贴近生活实际。所以将贴近生活、愉快学习作为主要的研究方向，主张探索如何让学生走进现实，如何在生活中发现除法问题，解决除法问题特别是有余数除法。从而引申到课堂当中，会是很好的一种教学方法。

　　教师将创新思维引入到课堂中，主张研究如何开拓学生的视野，在充分理解除法的计算方法和余数的意义之后进行思维的创新来解答现实生活中遇到的除法问题。苏佩凌[【3】苏佩凌.《有余数的除法》教学探微[J].广西教育2018]老师在《有余数除法》教学探微中提到：学生的智力活动与动手操作息息相关，书本上的例题不需多做改变，多媒体课件制作也不需要太过于依赖，让学生用实物去操作，去分一分、比一比、算一算。数学学习具有高度抽象性，对于心智逻辑能力并未发育的很好的低年级学生，通过创新性的教学方法可以通过自己的双手去亲身经历除法问题。创新的点也可以在自我发现当中，在学生初步接触有余数除法的时候，创新性的让学生碰壁遇到麻烦，发现有余数除法和整除除法的区别，可以达到很好的创新效果。

　　陈传梅老师[【4】陈传梅.浅析小学数学“有余数除法”的教学策略[A].数学学习与研究：教研版[C].2016]通过浅析“有余数除法”的教学策略后，主张将除法意义具体化，在学生处于小学二年级时，所学的除法都是以表内除法为基础，商只会是一位数。而在计算有余数除法的时候更多的是两位数除以一位数，这样的计算就算是用竖式都会很难理解，。所以主张研究在提供素材的基础上。将除法的算理具体化，通过素材中的主题图或者现实情境，加强理解。

　　李立军[【5】李立军.《有余数的除法》[J].河北省教师教育学会2014年教学案例[C].2015]老师在《有余数除法》的教学案例中指出：在计算有余数除法的时候，学生不能直接引用已经学过的乘法口诀进行计算，所以发展学生调商、试商的能力就很关键。已经有教师进行数字、图像、概念、数形结合多方面研究如何发展学生调商试商的能力。目前除了反复做计算题，已经有了很大的改善，比如通过具体情境的导入理解有余数除法计算的意义，理解意义之后对于商的认识就会变得更加深刻。

　　3.对文献资料的总结

　　通过对文献资料的总结后发现，很多优秀教师通过教学实录或者教学案例对小学数学有余数除法的教学进行研究。总结发现，小学有余数除法教学贯穿小学生二年级到六年级，涉及的内容很复杂但又条理清晰。不难发现，有余数除法的教学需要做好前后知识的联系工作，先前知识可以为有余数除法打下基础、做好铺垫。所以在教学除法的时候就要注意引导学生加深思考，提前进行浅层次的探究。创新之处在于强调动手操作与心智逻辑能力培养相结合，独立完成与小组合作相结合，强调多种方法理解与解答有余数除法的相关问题。不需要改变教材中的内容，但是处理教材的方式可以稍作改进，课堂中的教学可以寄托于实物如小棒等教具，讲授方式可以以实物直观搭配言语讲解，也可以联系旧知识进行复习导入，铺垫旧知识可以帮助学生快速进入学习状态。

　　1.研究思路

　　本研究是希望了解有余数除法在小学数学教学过程中，教师与学生存在的问题，并且通过分析调查得来的数据，找出成因，从而研究出解决措施。首先搜集关于有余数除法教学的相关实录，并进行简单归类于总结，了解现有的教学方法以及课堂中出现的问题。其次根据有余数除法的学习内容对学生进行简单的考察，编制了教师学生各一套的调查问卷，以此来了解学生对于教师教学的反馈，以及教师在教学中遇到的一些难点。将信息进行详细的汇总、归纳与分析，深入的了解教师的教学与学生的学习，最后找出成因，提出相关的教学意见，为学生更好地学习有余数除法的知识以及教师教学提供一些帮助。

　　2.研究方法

　　（1）文献研究法

　　在对小学有余数除法教学的教学研究中，参考了多位知名学者与教师发表的文献。通过优秀教师对于有余数除法的教学案例来看。有余数除法是表内除法的更深层次的延伸，教学过程中首先学生要理解余数的含义，并且学会用有余数除法的知识解决遇到的数学问题。融会贯通的使用有余数除法是这个板块的重要内容，查阅相关教学实录，可以为接下来对学生的观察打下坚实的基础。通过教学实录中的教学过程的对比可以发现学生之间的对有余数除法的不同理解程度，以此展开调研。

　　（2）观察法

　　为了更好地贴近现实，采取观察法深入探究师生对于有余数除法教学中出现的问题。由于教师之间教学方法有差异，学生之间学习有余数除法的方法或者理解能力都有差异，所以观察不能太过集中，要从整体观察到个体，所以可以在二年级中挑选几个班级或者几名教师所带的班级，再从三四年级挑出2-3个班级进行观察。可以记录每名教师上课所采用的的手段以及学生的课堂表现。不仅仅要观察学生对有余数除法的理解能力，更要观察学生的积极性以及对于教师提出问题的回答正确率，是大面积的还是小部分学生有疑惑，以此记录最真实的课堂实录，方便接下来的研究。

　　（3）问卷调查法

　　在研究过程中，需要了解大体的有余数除法的教学问题。制作相应数量特别是针对教师与学生的问卷。由于有余数除法在苏教版小学二年级进行讲授，所以本次问卷选择面向二三四年级的部分教师与学生，既要调查刚学有余数除法的学生也要调研正在学习更深层次除法的高一两个年级的学生。

　　首先采取了对有余数除法的相关理论基础进行调查研究。从除法教学的源头进行调查，使得研究遵循学生的认知规律与学习知识的先后顺序。通过研究多位知名教师的课堂实录以及对有余数除法的独特见解，来得出有余数除法教学存在的问题以及教学的价值意义进一步提升教学效率。其次通过去学校实践，进行访谈、问卷调查等，掌握最真实的课堂实录以及学情现状，让有余数除法教学有事实证据的支撑。通过对回收的问卷的分析总结，可以清晰明确的发现问题所在。

　　经过上述研究总结后发现，小学数学有余数除法的教学方法多种多样，比如创新思维解题、结合具体情境解题等。但是每个地区或者不同教师与学生都有着不同的教学能力或学习能力。在调查研究后，可以将有余数除法的基础也就是表内除法和余数的含义一直穿插在有余数除法的整个教学过程中。创新性思维应用于解决含有具体情景的有余数除法的题目中，以教学工具和多媒体设备为辅助，给予学生形象生动的思考环境。

　　在学生学习有余数除法的时候，《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求学生能够根据法则、规律正确的进行运算。学会用数量关系来表述生活中的具体情境，理解现实生活中的数的意义。学会用数学的概念原理、方法解释现实生活中的现象，用运算的方法解决问题。

　　初步认识有余数除法的意义，并能够用除法算式来表示有余数的除法，认识余数，通过研究了解余数的意义以及和除数之间的关系，理解余数为什么要比除数小。数学知识的教学，理解为先。如果不理解基础概念，后续的教学就没有成效与意义。并且对学生怎样理解有余数除法提出了明确的要求就是理解余数比除数小的原因，通过列除法算式的方法对有余数除法进行深刻的理解与计算。

　　通过拍手、摆小棒等动手操作，在实践活动与动手操作中理解余数和除数的关系，提高分析动手能力以及培养小组合作的意识。学会直观计算问题的方法，开发与培养动手操作能力，通过摆小棒或者拍手的方法去加深对余数的理解，也逐步培养学生的动手操作的意识与能力。渗透直观的思想方法，需要实际亲身经历才会加深对概念的理解，使得概念不会空洞，随即培养学生的抽象思维。

　　感受数学与生活的密切联系，树立学习数学的自信心，激发数学学习的兴趣。在数学学习的过程中，与生活进行联系是必要的，所以数学教学要密切联系生活实际，让学生不会觉得数学概念太难理解。当学生逐步掌握了有余数除法的计算方法时，会让学生树立自信心，为今后的学习打下基础。

　　有余数除法的内容是紧接着二年级上册表内除法编排的，是巩固表内除法以及为以后学习更复杂的除法计算打下基础的重要内容。表内除法最初教学的是口算为主，有余数除法是帮助学生从口算向列式笔算进行过渡的学习内容。

　　1.展现“有剩余”的现象

　　学习完平均分的概念之后，向学生展现“有剩余”的现象，一步步引导学生认识余数以及有余数的除法。在表内除法的教学时，教师大多数会向学生引出平均分这一概念，这是为有剩余的现象做铺垫，到展开讲解余数概念的时候，会改动平均分题目的数据，使得不能整除，从而引出有剩余的现象。例题1是初步展开讲解有余数除法的题目，有平均分也有不能整除有余数，让学生通过对比加深印象。10支铅笔，每人分两支，能分多少人？每人三支呢？每人四支呢?每人五支呢？这样的编排学生会通过已经学过的平均分的知识很自然的过渡到有剩余，同时学生已经学会写没有余数的除法算式，教师需要引导学生理解有余数除法的被除数、除数、商都是与能整除的除法是一样的，只不过余数是剩下的不够平均分的部分。

　　2.摆小棒理解余数意义

　　在学习余数的意义时，引导学生学会用小棒尝试摆正方形，从而加深学生对有余数除法的理解，发现并理解余数必须必除数小的规律。根据教材的安排，规定学生用12、13、14、15、16根小棒摆正方形，通过摆小棒的方式学生也可以自行填写书本中的有余数除法的算式，丰富了学生对有余数除法的认识。用12或16根小棒摆正方形正好不剩余，用13、14、15根小棒都有剩余，剩下的分别是1根、2根、3根，引导学生思考为什么是这种情况。用12、13、14、15根小棒都是摆三个正方形，用16根小棒为什么会多了一个正方形？当学生能够理解并解答这两个问题的时候，学生已经能够掌握余数比除数小的原因了。

　　3.理解竖式结构与写法

　　一系列的铺垫后，开始教学除法竖式，让学生理解竖式怎么写，理解竖式的结构，学会求商的各种方法，进行简单的有余数除法计算。需要引导学生联系先前学过的乘法口诀进行计算，如果列竖式进行计算就会更加方便的计算。口算有余数除法的计算结果对于二年级的学生难度较大，所以需要向学生详细的讲解列如何列竖式。从生活实际进行导入，比如说买了12个苹果，每四个放一盘放了几盘？学生很容易的列出除法算式，这个时候向学生引出竖式，首先介绍竖式的结构以及计算方式，再联系题目进行讲解。将题目改成12个苹果每五个放一盘，上3个5不够分，改上2个5，得10，再用12-10=2得出余数。

　　通过收集有余数除法教学的课堂实录，总结出一些学生学习有余数除法的时候的常见错误：

　　1.难以理解对位以及运算形式

　　2.混淆商与余数

　　3.解答时余数与商的单位写错

　　4.试商不正确

　　5.被除数的最高位不够除时，写错首位的位置

　　6.不能确定余数

　　很多种情况会导致学生计算错误，从知识角度来讲学生理解有余数除法竖式的过程困难，除法竖式的各个位置以及如何利用竖式计算对于低年级学生来讲难度很大。学生在掌握有余数除法竖式计算的方式仍然出错有可能是因为学生个人不够专注、粗心大意造成的。当学生只能领会表面意思，不能够变通的时候，只能算出简单的或者是做过的竖式计算，不能做出改变过的或者加大难度的竖式计算。总体来讲，学生因为乘法口诀与表内除法知识不牢固、基础太差导致犯错的情况占大多数。

　　1.为今后的除法学习打下基础

　　有余数除法是小学数学的重点内容，着重教学有余数的除法，使得学生能够掌握这部分的知识，为学生学习除数是两位数的除法以及整个数学学习生涯打下坚实的基础。

　　2.培养学生动手操作能力以及合作学习的意识

　　有余数除法有很多种情况来展开学习，相对较形象的方法就是摆小棒或者小组合作。当教学有余数除法的时候，指导学生自行摆小棒进行理解，使得学生充分培养动手操作的能力。将学生划分小组进行教学，让学生在小组中发表自己的意见以及通过合作进行有余数除法的计算。

　　3.发展学生逻辑思维能力

　　随着新课改的不断进行，小学数学教学有了更高的要求。有余数除法对于低年级的学生来讲属于较为复杂的知识，学生刚接触这部分的知识略显困难，教师在教学时需要不断的提升、锻炼学生对复杂概念的理解能力，所以教学有余数除法可以有效的培养学生的逻辑思维能力。

　　1.调查目的

　　随着教育改革的进行，教师的教学与学生的学习越来越被重视，填鸭式教学依旧存在，这样的教学方法不能适应所有的教学内容。对于教师的教学，很多知名教师不断进行创新以此提高学习效率特别是对于计算这一板块的学习，理解大于记忆。小学数学有余数除法是表内除法的延伸，以余数知识为基础，是很重要的基础内容，学生能够熟练掌握有余数除法将会对以后更深层次的学习有很大的帮助。故以此为研究目标，通过新课改与教育制度改革的背景之下进行调查研究，推动小学数学研究的发展。

　　2.调查对象

　　本次调查研究的对象是宿迁市宿豫区张家港实验小学的32名小学数学教师，以及100名各年级的学生。发放教师问卷32份、学生问卷100份，回收教师问卷32份、学生问卷100份。针对二年级是表内除法的新授年级，以及三四年级所学除法是有余数除法，收集筛选出一节教学实录，由此了解师生对于有余数除法的教与学的相关问题。

　　3.问卷编制

　　针对教师教学的问卷一共有22题，这些题目一共涉及了三个层面，第一方面是教师基本信息的调查；第二方面是了解教师对于有余数除法教学更方面的理解；第三方面是学生的反馈情况。针对学生的问卷一共有15题，一共调查了三个方面，第一方面是学生的基本信息；第二方面是学生对于有余数除法和除法相关计算题的使用方法；第三方面是学生对于有余数除法的学习以及教师教学的意见与反馈。

　　4.调查实施

　　为了获得更加有效真实的数据，我采用了各年级学生抽查、不记名的点在教师的办公室，方便多名数学教师一起交流补充。了解各位教师在教学有余数除法的时候发现的问题以及独特的见解。时间在需要调查的教师都有空闲的时间进行，同时当场回收问卷，随即进行课堂教学实录。

　　1.教师问卷调查结果

　　表1：师生基本情况调查：

　　名称选项频数百分比

　　您的教龄A.刚入职22 68.75%

　　B.三年以下5 15.63%

　　C.四到五年

　　D.五年以上1

　　4 3.13%

　　12.5%

　　是否参与二年级数学的教学A．是

　　B．否23

　　9 71.88%

　　28.13%

　　你是几年级的学生A.二54 54%

　　B.三26 26%

　　C.四13 13%

　　D.五7 7%

　　年轻教师受到思维定势以及教学习惯的影响不大，会给本次调查提供更新颖的问题与想法。同时五年以上的老教师也会提供丰富的教学经验以及在教学中发现的种种问题，以老教师的经验可以帮助调查少走弯路。

　　由上表知23名教师参与了二年级数学的教学，二年级的学生刚刚接触到有余数除法的知识，参与过这一年级教学的数学教师会对学生刚刚接触有余数除法知识所出现的问题有着很深的认知与心得，真实体验过二年级数学的教学的教师可以轻松的发现学生表内除法知识有没有掌握牢固以及对后续有余数除法的学习暴露出来的问题。

　　表2：对“有余数除法”的重要性的认知：

　　名称选项频数百分比

　　您认为“有余数除法”在小学数学教学中的地位如何？A.非常重要26 81.25%

　　B.一般重要6 18.75%

　　C.不重要0 0.00%

　　表3：对“有余数除法”的教学内容认知情况：

　　名称选项频数百分比

　　您认为在苏教版“有余数除法”的教学内容安排是否合理？A.非常合理25 78.13%

　　B.一般合理7 21.86%

　　C.不合理0 0.00%

　　在教学前，您会如何备课？A.根据学生特点备课10 31.25%

　　B.根据前后知识联系备课15 46.88%

　　C.根据学校参考书备课0 0%

　　D.模仿前辈教师备课7 21.88%

　　由上表知在教材方面，二十五名教师觉得教材需要改进的地方不是很多，编排合理。七名教师认为教学内容安排一般合理，有少许需改进的地方。大多数教师认为教材基本编排合理，各例题逻辑有序。少部分教师根据自己的教学方法会觉得教材需要改进。

　　由上表百分之三十一的教师会根据学生的特点进行备课，近百分之四十七的教师会根据前后知识联系进行备课，有近百分之二十二教师是模仿前辈教师进行备课，有些刚刚入职的教师会对有余数除法的备课无从下手，所以根据前辈教室的经验可以很快进入状态，少走弯路。

　　表4：有余数除法的教学过程调查

　　名称选项频数百分比

　　您会选择怎样的导入方式？

　　A.情境导入22 68.75%

　　B.直接导入3 21.86%

　　C.复习导入7 21.88%

　　D.谈话导入0 0

　　“有余数除法”的运算规则您会花很长时间来讲解吗？A.会18 56.25%

　　B.不会8 25%

　　C.不确定6 18.75%

　　您觉得在教学“有余数除法”过程中学生的参与情况如何A参与程度非常高10 31.25%

　　B．参与程度高15 46.88%

　　C．参与程度一般5 15.63%

　　D．参与程度很低2 6.25%

　　上表知近百分之七十的教师在教学时会选择情境导入，通过情境动画或者故事引导学生进入感兴趣的课堂氛围中，激发学生的学习兴趣、集中学生的注意力。百分之二十的教师会通过复习导入，比如用表内除法的简单口算题目进行导入，先复习先前的知识避免学生遗忘，还可以帮助学生尽快的进入除法学习的状态，不会对有余数除法的知识感到太陌生。还有百分之十的教师会选择直接导入，直接导入对教师和学生的要求都很高，需要教师充分的准备以及学生课前的预习。

　　近百分之六十的教师会花很长时间来进行讲解“有余数除法”的运算规则，因为乘除法的运算规则和算理是学生理解计算的基础，算理能否讲解透彻，会影响到学生能否理解有余数除法的计算。但也有少数教师认为运算规则不需要花很长时间来讲解，学生应该能很快的理解。

　　学生在有余数除法的学习过程中，学生的参与程度很高，教师能够做到在有余数除法教学时调动学生的注意力，使得参与度很高，学生能够融入到有余数除法教学的课堂氛围中，对学生理解除法运算规则有很大帮助并且促进师生之间的合作能力提升。

　　表5：课后评价及反馈情况调查

　　名称选项频数百分比

　　您是如何对学生完成有余数除法的学习后进行评价的？A.观察学生在小组合作中的表现6 78.13%

　　B.课后测试的分数13 40.63%%

　　C.是否对“有余数除法”运用到生活中6 18.75%%

　　D.观察学生学习方式

　　7 21.88%

　　学生对“有余数除法”的掌握情况A.很好13 40.63%

　　B.一般16 50%

　　C.不好3 9.38%

　　D.不确定0 0%

　　由上表知百分之四十的教师通过观察课后测试的分数对学生进行评价，有百分之二十的教师认为观察学生学习方式进行评价，有百分之十八的教师会通过观察学生是否将“有余数除法”应用到生活中对学生进行评价。还有百分之十八的教师通过观察学生在小组合作中的表现对学生进行评价。

　　由上表知百分之四十的学生对有余数除法的学习情况很好，由百分之五十的学生对有余数除法的学习情况一般，百分之九的学生学习情况不好。

　　表6：课后反思及交流情况调查：

　　名称选项频数百分比

　　您会经常根据学生表现进行课后反思吗？A.经常23 71.88%

　　B.偶尔7 21.88%

　　C.从不2 6.25%

　　您会与其他教师交流合作，分享经验吗？A.经常25 78.13%

　　B.偶尔4 12.5%

　　C.从不1 3.13%

　　由上表知百分之七十的教师会经常根据学生的表现进行课后反思，由百分之二十一的教师偶尔课后反思，也有百分之六的教师不进行课后反思。

　　由上表知近百分之八十的教师经常与其他教师交流合作、分享经验，这样可以总结不同教师的不同方法以及不同学生的不同反馈的情况。也有百分之二十的教师很少与其他教师合作交流，通过表格发现了有少数教师偶尔或者不参加与其他教师的交流合作的问题。

　　2.学生调查问卷结果：

　　表7：学生如何理解与计算“有余数除法”情况调查1

　　名称选项频数百分比

　　有17名学生去春游，一辆车最多坐5人，他们至少要用到多少辆车？

　　A.2 0 0%

　　B.3 3 3%

　　C.4

　　97 97%

　　D.5 0 0%

　　上一题你是用什么方法算出来的？

　　A．新授知识列竖式31 31%

　　B．画图20 20%

　　C．直接列式49 49%

　　由上表知，有百分之九十七的学生选择了正确答案，百分之三的学生选错了答案。

　　由上表知，对上一题的解答百分之四十九的学生是列除法算式进行常规计算，百分之而是的学生是通过画图进行分一分的方法，百分之三十一的学生是通过刚刚学习的除法竖式计算。做出这道题的方法有很多种，除法竖式相对较难，画图方式相对形象易懂，而列式的方法有可能考察使用估算的方法。

　　表8：：学生如何理解与计算“有余数除法”情况调查2

　　名称选项频数百分比

　　将21个苹果每4个放一个盘子里，一共需要多少个盘子？还剩几个？

　　A.5、2 4 4%

　　B.4、2 4 4%

　　C.5、1

　　90 90%

　　D.4、1 2 2%

　　上一题你是用什么方法算出来的？

　　A．新授知识列竖式12 12%

　　B．画图7 7%

　　C．直接列式81 81%

　　由上表知，百分之九十的学生选择了正确答案，百分之十的学生选错了答案，这道题考察的是学生对有余数除法的概念以及计算的理解程度，如果不能理解有余数除法的意义，就不能算出还剩几个苹果。

　　由上表知，百分之八十一的学生选择进行列式计算，列式计算是最基础的计算方法，由百分之十二的学生选择用竖式进行计算，这部分学生对竖式的理解能够帮助题他们更快的得出答案，也有百分之七的学生用画图的方法进行计算，这类学生通过动手的方法，进行解答。

　　表9：学生如何判断一道除法算式有没有余数：

　　名称选项频数百分比

　　如何判断一道除法算式有没有余数呢？A.除法竖式计算28 28%

　　B.看是否平均分50 50%

　　C.除数乘商是否等于被除数22 22%

　　由上表知，百分之二十八的学生会通过除法竖式计算，看是否整除来判断一道除法算式有没有余数。百分之五十的学生会通过看看是否平均分进行判断，考察学生对乘法口诀的熟练程度。有百分之二十二的学生会通过除数乘商，看看是否等于被除数来验算这道算式是否有余数。

　　表10：学生对有余数除法的理解难易以及兴趣调查：

　　名称选项频数百分比

　　你觉得有余数除法难理解吗？A.难理解6 6%

　　B.不难理解88 88%

　　C.不确定6 6%

　　你对有余数除法的学习感兴趣吗？A.非常感兴趣25 25%

　　B.一般63 63%

　　C.不感兴趣12 12%

　　由上表知，百分之八十八的学生认为有余数除法不难理解，因为在课堂中有很多种方法帮助学生进行理解。有百分之六的学生觉得难理解，这部分学生需要教师采取创新的思维进行个别辅导。

　　由上表知，百分之二十五的学生对有余数除法的知识非常感兴趣，还有百分只能六十三的学生对这部分知识觉得一般，百分之十二的学生对有余数除法不感兴趣。课堂氛围、授课方式等因素使得近一半的学生对有余数除法的知识不怎么感兴趣。

　　表11：学生对教师教学“有余数除法”的评价调查：

　　名称选项频数百分比

　　老师是如何讲解有余数除法的？A.联系先前除法知识24 24%

　　B.在练习中讲解23 23%

　　C.讲解例题，引出有余数除法的知识50 50%

　　D.动手操作3 3%

　　由上表知，百分之五十的教师会通过讲解例题，来引导出有余数除法的知识，百分之二十四的教师会联系旧知识来引出新知识。有百分之二十三的教师会通过练习直接讲解，也有百分之三的教师会通过用摆小棒的方法让学生理解有余数除法。

　　表12：学生是如何巩固有余数除法的知识情况调查

　　名称选项频数百分比

　　你是如何巩固有余数除法的？A.课后练习68 68%

　　B.同桌互相提问16 16%

　　C.教师答疑9 9%

　　D.动手操作7 7%

　　由上表知，百分之六十八的学生通过课后练习巩固有余数除法的知识，百分之九的学生通过教师答疑来巩固，百分之十六的学生通过同桌间互相提问来巩固，还有百分之七的学生会通过动手操作来巩固新知。教师答疑的情况不多，并且学生间的互动程度不高。

　　表13：学生是否具备估算解题的意识调查：

　　名称选项频数百分比

　　你会经常用估算的方法答题吗？A.经常用62 62%

　　B.偶尔用37 37%

　　C.几乎不用1 1%

　　由上表知，百分之六十二的学生经常用估算的方法去解决有余数除法的问题，估算可以很快的得出结果。百分之三十七的学生偶尔用估算的方法，百分之一的学生几乎不用估算的方法。有一部分学生对估算的重要性还没有理解到位，教师缺少培养学生估算能力的意识。

　　表14：学生对“有余数除法”的评价调查

　　名称选项频数百分比

　　你觉得有余数除法的作用大吗？A.非常大68 68%

　　B.比较大32 32%

　　C.不大0 0%

　　D.不确定0 0%

　　由上表知，百分之六十八的学生认为有余数除法的作用非常大，因为二到六年级都在用这方面的知识，由百分之三十二的学生认为作用比较大。

　　2.“有余数除法”教学案例分析

　　分析：在教学例1的时候不能直接让学生接触不能平均分的知识，要一步步先从平均分引导，并且需要学生自己动手操作，帮助学生能够很快地理解不能平均分的意义。

　　分析：学生不能一下子就记住10支铅笔每人分2支、分3支、分4支是怎样分的，所以要求学生通过摆小棒的方法来分一分、摆一摆，在通过列表的方法来记录，既考虑到学生的逻辑思维发展并不完善又能培养学生的动手操作能力。

　　分析：在填完表格之后，启发学生区分平均分和有剩余两种情况，从而引出有剩余怎么用除法算式来表示出来，通过对比就能很快区分这两种情况，在后续的学习中学生会因此减少混淆知识的情况。

　　分析：趁热打铁进行难度加深的例题教学，在例2的教学中，最重要的任务是让学生理解并且记住余数必须比除数小的要求以及原因。通过12、13、14、15、16根小棒摆正方形的方法形象生动的向学生解释了为什么余数一定要比除数小的原因，学生在理解原因之后，会减少后续学习的计算错误，并且方便学生进行验算。

　　1.教学方法单一、过度依靠例题讲解

　　在这次问卷调查以及小学实习期间，我发现教师教学方法单一。虽然教师会用多媒体动画或者提出问题进行导入，但是学生依旧是被动接受知识。部分教师会在教学有余数除法的时候，让学生互动合作，但是不提出合作互动摆小棒的要求与目的，并且得不到及时的反馈。部分教师不会给学生时间进行交流合作，学生在课堂中被动的消化难以理解的有余数除法的知识。教师在教学中会出现过度依赖例题的现象，在讲解例题的时候花费太多时间，学生的探究意识以及自主建构的能力得不到培养，往往会导致部分学生学习脱节的情况。部分教师没有将算理很好的讲解给学生，单一的利用例题或者习题进行讲解，学生难以理解除法知识，会失去对这板块学习的兴趣。

　　2.教学深度不够、学生学习停在除法算式的表面

　　教师依靠例题进行讲解或者联系先前的除法知识，忽略了有余数除法算理的讲解，学生没有经历实物-表象-符号的过程。学生直接跳过概念进行阶梯，少部分学生会考虑是否平均分，平均分是除法教学时的导入概念，十分的重要，但是在后续的学习中难以体现这部分的概念。学生只能学一道题解一道题，少部分学生能够灵活的进行变式训练，仅仅停留在记住怎么计算这一层面。学生动手操作能力与计算能力仅仅停留在学习有余数除法概念的阶段，而不是后续计算复杂算式的阶段。

　　3.学生学习效率不高、缺乏学习兴趣

　　很多学生并没有理解为什么余数一定要比除数小，学生的学习只停留在表面，教师说余数比除数小，就形成了机械记忆。这样导致学生对于有余数除法的计算灵活性不高，遇到稍显复杂的题型，就会花很长时间来完成甚至不能完成，导致学习效率大大降低。学生在通过摆小棒的方法进行理解计算时，教师没有提出明确的要求与规定的时候，会让学生注意力分散，导致课堂教学时间花在了多余的地方。教师没有营造出一种良好的学习气氛，计算类的教学难免略显枯燥，一旦学生失去了学习兴趣，使得学习效率大大降低。

　　4.教师在教学时缺乏培养学生估算的意识

　　在调查中发现很多学生解决复杂有余数除法的计算时会难以下手，因为缺少估算的意识。有一部分学生并没有形成估算的意识。教师基本上都会教授估算的方法给学生，但是都忘记了指导学生理解什么时候进行估算。学生只能在教师的提醒下才会使用估算的方法来解题。特别是二年级的学生的理解能力与语言能力都有限，能够完全的掌握估算的方法很困难。

　　1.教师教学能力有限、对有余数除法认知不足

　　在调查中发现教师能够将基础的概念教学教授给学生，但是通过多种方法引导学生去理解有余数除法的知识的教师很少。能将教材吃透并且能够灵活运用教材进行教学对教师的要求很高，对教师的教学能力有着很高的要求。教师对“有余数除法”的认知还停留在讲解算理、竖式计算的层面，忽略了联系实际的要求。有余数除法的教学是具有实际意义的，在生活中能够使学生去利用“有余数除法”的知识，才是有余数除法学习的主要目的。很大一部分教师并可以认识到这一点。在调查中，大部分教师会引导学生动手操作，但是很少教师会注意动手操作之后学生的反馈，缺少对学生动手操作的要求与规则。教师缺乏培养学生主动探究学习的能力，学生的探究意识的得不到发展，会给接下来有余数除法的进一步学习造成困难。教师对有余数除法各部分的名称没有讲解到位，学生就不能灵活的计算有余数除法的问题。技能的学习往往不会被教师忘记，但是教授的是解题方法，而不是告知答案。

　　2.教学观念陈旧过度依靠模仿前辈教师备课

　　在课堂教学的过程中，理论必须要联系实践。在教学有余数除法的时候，可以借鉴前辈教师的教学经验，以免在教学的时候走弯路。但是传统的教学理念需要更新换代，在详细的理论讲解之后，要给学生一个实践操作的机会与环境，让学生及时巩固新知。很多教师没有意识到这一点，就会让教学过程越来越枯燥、越来越困难。低年级学生会对动手操作或者户外实践的方法更加感兴趣，而讲授完新知，紧接着是大量的计算练习，会使得不会的学生继续不会，有能力计算的学生得到提高，会使班级出现两极分化的现象。以教师为主体的教学观念要更加的关注学生的体会，满堂灌、快速的知识传授的现象依旧出现，学生对课堂失去了积极性导致一个个掉队。陈旧的教学观念导致师生间的交流越来越少，学生不懂教师在讲什么，教师不懂学生在想什么。

　　3.学生除法基础差，思维发展缓慢

　　有余数除法的初步教学是在苏教版二年级下册，低年级的学生思维发展缓慢，刚学完表内除法的学生有一部分甚至还没有完全掌握表内除法就开始学习有余数除法，基础很差就很难学习更深层次的知识。教师很少会注重培养学生的逻辑思维能力，学生跟不上除法竖式的教学，也难以理解估算的意义以及重要性，对后续的学习造成了很大的困难。教师联系旧知识辅助学习新知识的次数不够频繁，在进行计算练习的时候，暴露出来的基础差的问题，教师得到反馈之后，少有进行反复讲解的情况。在估算的讲解时，很多学生难以理解什么时候可以估算、怎么估算，思维发展缓慢的低年级学生，缺少切身体会、亲自动手操作实践的机会。数学知识的传授不能离开实践活动的帮助。学生不能在比较复杂的除法计算教学中获得学习的乐趣，导致厌学的心理，基础不会边牢固，思维发展也会很缓慢。

　　4.对学生学习的课后评价过度依靠课后测试、缺少答疑环节

　　计算类教学的检查方式一般都是通过计算练习或者试卷考察，教师很少会让学生说一说算理以及运算规则。在进行书面检查的时候，教师没有明确规定完成的时间，以及是独立完成还是合作完成的要求，得不到清晰地反馈，就不能正确的评价学生。一旦评价方法不当，很有可能会打击学生的积极性，因为计算类教学过程本就容易让学生觉得枯燥，不当的评价方法只会让学生更加厌学。教师过度依靠课后测试，很容易会误认为学生已经掌握算理或者学生完全没有掌握“有余数除法”的知识。课后测试之后，教师答疑的情况很少，师生之间的学习互动仅限于课堂新知教学，学生进行测试之后，不会的题目尽管教师在讲解都只会这一道题，不能够理解更多的解题方法，因为学生并没有解决对知识源头的疑问。

　　教师在对“有余数除法”的教学内容的理解与分析对教学效果有很大的影响，将书本研究透彻是必要的，但是不能仅仅让学生的学习局限于教材。更应该联系实际，让学生在切身体会的情况下去学习“有余数除法”才会学的深刻。“有余数除法”这部分的知识既是基础又是难点，尽管学生刚刚学完乘法口诀和表内除法的知识，但是依旧缺乏实际情况或表象的支持。可以通过生活中的物品来进行衔接，比如说相应钱数去买固定的物品剩多少钱，或者用12、13、14、15、16根牙签能摆多少个正方形，学生通过摆小棒的活动可以发现余数一定要比除数小的规定。低年级的学生刚学习有余数除法竖式的学习是有一定难度的，学生还在经历以表象为主的认知过程，所以要多挖掘实际表象来帮助学生理解什么是竖式、什么是余数、除数与余数的关系等问题。

　　实际情境对于有余数除法的教学是十分重要的，因为这部分的知识是与生活紧密联系的。除法问题在实际生活中应用广泛，凡是涉及到分配问题的事情都会用到除法的知识。可以引导学生说一说你在生活中遇到了哪些除法的问题，学生经历一个寻找发现的过程，这是学习有余数除法知识的重要环节。实际表象联系紧密可以促进学生的学习迁移，再用教材进行辅助，可以很好的解决学生难以理解“有余数除法”的问题，并且激发学生的学习兴趣。只通过教材进行知识点的呈现虽然准确无误，但是缺乏实际形象的支持，学生就会觉得难以理解、枯燥无趣。教材中也有联系实际情境的例题但那是远远不够的，光靠几个例题学生不会很快地就能理解复杂的“有余数除法”的运算规则，要不断的引用发掘生活中的情境，通过实际帮助学生理解“有余数除法”的意义。

　　在调查中发现，学生解决有余数除法的问题时，只有一半的学生对这部分的知识感兴趣，并且百分之六十的学生在这部分的学习中是通过课后大量练习巩固知识的。这样的情况是教师上课互动程度不高，学习气氛不佳、没有创新学生的思想造成的。多数教师会采取创设情境的方式导入有余数除法的学习，应该将学生身边的实物或者学生感兴趣的事情进行创设，一下子就能吸引住学生的注意力，调动学生的积极性。在教学有余数除法时必不可少的摆小棒也可以变换成不同形式的组织方法，比如划分小组进行比赛摆小棒，或者通过摆的小棒猜算式等方法，不断地引导学生进行动手操作，加深印象，让教学充满了竞争性与吸引力。在这个过程中教师应当扮演的是规则的组织者与指导者，其余的操作全交由学生自主进行。在概念教学时，可以引用表内除法的知识以及先前摆小棒的方式帮助学生理解有余数除法的内涵与意义。在高年级学生运算复杂的计算时，调商、试商的讲解很重要。很少有教师忽略这两种方法的教学，但是调商、试商的讲解难免枯燥难懂，教师可以通过先前学过的乘法口诀引导学生进行整除的计算，再进行不能整除的计算，从易到难，引导学生理解列除法竖式的学习需要哪些知识辅助理解。

　　在教学中应该教师应该改变学生被动学习的教学方法，应该给予学生更多的思维空间，学会学习有余数除法的方法而不是直接告知方法。在教学前，教师应该了解学生的心理状态、学习态度、以及对表内除法知识的掌握程度，制定较为适合本班级教学的策略。给学生更多的时候自己去摸索。摆小棒或者小组合作交流，让学生自己去摸索有余数除法的规律。在教学估算的时候，更应该让学生大胆猜想，仔细观察估算算式的规律与在联想表内除法与乘法口诀的知识，最后让学生说出结论，教师加以改正总结，这样学生自己得出的正确答案不会被遗忘。有余数除法中余数为什么要比除数小、什么时候估算合适、怎么调商、试商，什么时候才能整除这些问题都需要教师创设一个又一个小情境与问题构建出学生的知识脉络。课后巩固练习必须的，但是不能仅仅让学生练习，更应该让学生复述学到的知识，有没有掌握有余数除法的知识。教师应该正确评价学生的学习方式与结果，课后练习或者试卷检测是必要的，但是这不能完全暴露出学生学习的全部问题，教师需要对学生进行多元化的评价比如观察学生是否能够将“有余数除法”的知识运用到实际生活中、观察学生能否在小组合作中多互动、多交流。

　　随着新课改的不断进行，教师教学要更加关注生成性目标，注重过程。除法知识贯穿小学数学甚至整个数学学习生涯，所以短暂性的评价结果是不可取的。数学学习是一个长久的学习过程，要关注学生的进步以及不足。调查中发现，教师更多的依靠课后测试来巩固学生的“有余数除法”的知识并且得到学生的学习反馈。这不仅仅是除法这一板块的知识，大部分的数学学习的检测方式都是笔试测试，学生不会的知识点没有做到反复的讲解就又要接受下一阶段的学习或者下一套测试题，导致难点越积越多。所以教师在教学的时候应该注重过程的进行，多方面的评价学生，避免以偏概全。可以将评价考察的方向转向学生的学习有没有应用到实际生活中。

　　目前大部分学生的数学学习都是被动接受学习，很少有学生主动探究新知识，会去提出疑问的学生更是少之又少。学生的学习仅限于课堂学习，在生活中缺少数学素养。教师要关注学生的学习方式，精确到每一位学生，考虑到学生都是独特的，教师要尽可能的帮助每一位学生找到正确的学习方式，基础差补基础，基础好在巩固基础的前提下深入学习。数学应该与学生的生活实际紧密联系，在有余数除法的学习中，学生不能像以往被动学习一样接受知识，更应该去主动探究。应当增加生生合作、师生合作、自主建构的过程。改变原来的接受学习的策略，适当接受教师的理论讲解，更多的应该是自己联系前后知识进行学习迁移，通过自我询问的方式来了解自己是否真正的了解有余数除法的知识，可以自由划分学习小组进行自主探究。要学会问问题，学会发现问题。比如怎样估算、什么时候使用调商、试商的方法，在复杂的计算题上，学生难免磕磕绊绊，在答疑的过程中教师要改变学生的学习方法，不是等答案、等方法、而是教学生怎样找方法，与以前学习的题目有什么相同、有什么不同，不同的地方用什么方法去解决，引导学生动手操作。

　　本文在前辈教师的研究基础上，借助问卷调查、观察法等方法对苏教版小学数学有余数除法的教学问题与策略进行调查研究。发现了一些在教学中以及学生学习方式的问题，有余数除法在国外的研究综述较少，在国内主要以教学实录以及教学反思为主。笔者希望总结一些前辈教师的经验以及在实际教学中出现的问题，为此提供一些参考建议，希望更多的教师能够助力小学有余数除法的教学当中来，从而进一步提高小学数学教学的质量与效率。

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　　从开题到答辩，毕业论文是我大学四年的句号，是对我这四年学习的总结与考察。在完成论文的这一刻，我十分感谢我的论文老师，从一开始的论文选题到论文定稿，您都给了我耐心的指导以及肯定。您的严谨态度与丰厚学识让我受益匪浅。同时感谢我在张家港实验小学的实习指导老师，给予了我在调查问卷过程中很多帮助，让我的调查任务能够顺利进行。大学四年即将画上句号，由衷的感谢各位老师对我的关心与严格，我会努力在小学教师的道路上走下去。