十七世纪，著名的捷克教育学家夸美纽斯在其著作《大教学论》中首次提出了“直观教学”的思想，这部被认为是史上第一部正式的教育学著作中提出了二十九条教学原则，其中就包括后由凯洛夫正式命名的直观性教学原则。这一理论的核心观点认为“一切知识都是从感官的感知开始的，在可能的范围内，一切事物都应尽量放在感官跟前，如果得不到实物就用图像、模型等直观教具代替”这也启示教师在进行抽象学科的教学时，要注重从学生的直观性认知出发。

　　直观性教学是以人类生理和心理特点为根据。众所周知，直观性的视觉材料相较于用语言描述的抽象概念更容易被理解和掌握，这是因为直观性的材料带给人多维度的感知，而用于描述生涩抽象概念的语言则是一维的，因此，合理运用直观性教学方法是提高教师教学质量的一个行之有效的方法。理解直观性教学原则的关键在于，通过实际的事物或者是模像又或者是语言，对事物的表象进行的认识，形成的是一种感性知识，一般而言，学生接受知识的过程是起始于感性和直观的，感性材料越丰富，越有利于学生认知的发展和深化。在利用直观性教学原则的过程中，教师应该尽可能多的利用学生的多种感官感受与已有的经验，通过各种形式的直观展示，丰富学生的直接经验和感性认识，从而使学生获得生动的表象，更加全面地掌握知识。

　　高等代数作为一门基础课程，其特点在于高度的抽象性、严密的逻辑性以及广泛地应用性。该课程中有大量的公式、定理、推论，对于学生而言，课程难点往往不在算法上，而是在抽象概念的理解上。何为抽象，“其实就是从不同的事物中找到共同点而忽略不同点，大家共享由这些共同点得到的一切结果”根据此特点，教学应当从特殊的具体的实例出发，于推导过程中体会具体到抽象即公理化的过程。

　　高等代数研究的主要对象是向量空间以及在其上定义的线性变换，研究的工具则是矩阵及其运算，处理的是几何问题，用的却是代数工具，可见高等代数是代数与几何的紧密统一体，故该课程的教学与学习应当牢牢把握空间与矩阵紧密结合这一主线，做到在处理课程所有内容的过程中都能熟练运用几何和代数两种语言来描述和解决问题。这也给我们以启示，实际上，高等代数中的许多概念均可在几何背景中找到对应的几何模型。在最为直观和具体的二维三维空间中，许多抽象的概念和定理均可得到几何直观上的解释，这些抽象的数学理论核心便可通过直观的形象给人留下深刻印象。在高等代数的教学中利用好直观性教学原则，通过将抽象概念与直观形象模型进行对比和联想，可以促进学生思维由具体直观向抽象的转变，培养思维的发散性，同时有利于发掘出概念的实质，从而加深对概念的理解。

　　直观性教学原则在初等数学的教学中应用颇广，然而高等学校教学过程当中，在如何对待直观性原则这一问题上存在诸多分歧，由于高等数学内容丰富，并不是每一部分都可以找到直观性的视觉材料与之对应，同时高等数学的学习更加强调学生理性认识的发展，而不可过分依赖感性认识，从而导致在高等代数的教学中直观性日渐丧失。在如今大部分的高等代数课程中，学生的任务聚焦于理解定义、掌握证明、学会计算与应用，而对于高等代数课程中最本质的诸如：矩阵是什么？矩阵乘法为何可以如此定义？行列式究竟是什么？等等此类问题，却无法做到真正理解，仅仅通过大量的逻辑推理或计算得到的证明，并没有办法对上述问题给出令人满意的解释，反而令学生感到抽象和枯燥难懂。因此，在高等代数教学和教材的编写中，利用直观性教学，培养学生的直观形象思维，有利于学生理解抽象复杂的概念，进一步理解数学的本质。

　　线性空间上定义的某种特殊运动被称为线性变换，“变换”的本质上就是一个函数，它接收输入内容，并输出对应结果。特别地，在线性空间中，考虑的是接收一个向量并输出一个向量的变换。如果一个变换接收一个向量并输出一个向量，从几何的角度，可以想象这个输入向量移动到输出向量的位置，而要理解整个变换，可以想象每一个输入向量都移动到对应输出向量的位置。由于在二维和三维空间中的线性变换有明显的几何背景，下面以平面为例来说明线性变换几何意义。

　　由于将向量看成箭头，同时考虑所有二维向量会变得相对拥挤，可将以原点为起点的向量看成它的终点而不是一个箭头，此时考虑对空间中所有向量进行变换，只用看空间的所有点移动到其他点的位置，利用网格线来刻画线性变换对空间作用的效果。可以想象到，任意一个变换可以非常复杂，然而高等代数所研究的变换限制在一种特殊类型的变换上，即“线性”，其严格定义如下，线性变换需要满足：

　　才称为线性变换，而在几何上则需满足：原点保持固定，直线在变换后仍保持为直线，不能有所弯曲。从直观的图形来看，高等代数所研究的线性变换是相对简单的一类变换，如何用数值刻画一个具体的线性变换，由此可引申出矩阵的概念。

　　选取二维空间中的单位坐标向量为基向量，则空间中任意向量可拆分为基向量的线性表示：

　　对于任意的线性变换将其作用于向量，由线性变换的性质可知：

　　关注结论：

　　容易发现，向量是和的一个特定线性组合，变换后的向量也是和同样的线性组合，换而言之，想要描述线性变换对一向量的作用效果，只需要关注在线性变换下两个基向量的变化情况。

　　考虑二维空间的线性变换，设变换后的基坐标为，则可知，该线性变换作用于向量的结果仅由这俩对向量坐标可完全确定，如果将这些坐标放在一个的括号当中，便构造了矩阵，这时可以将矩阵的列理解为两个基向量变化后的落脚位置。如果有一个描述线性变换的矩阵以及一个给定向量，想要了解线性变换对这个向量的作用效果，则只需取出向量的坐标，将它们分别与矩阵的特定列相乘，然后结果相加便可得到作用线性变换后的向量。即将矩阵的列向量进行伸缩变换后首尾相连得到一个新向量，该过程也与几何中“缩放基向量再相加”的思想一致。基于以上的讨论，便容易记忆矩阵与向量相乘的计算原则：

　　综上我们可以得到结论：在线性空间中如果确定了一组基，线性映射就可以用一个确定的矩阵来表示，故矩阵本质上可以看作含有描述一个线性变换信息的记号。这就是矩阵的几何意义：线性空间上的线性映射。而矩阵与向量的乘积即为矩阵对线性空间中的一个向量作用的结果，主要过程是对一个向量进行旋转和缩放的综合过程，即线性变换的过程。

　　对更一般的矩阵就是上的线性变换，相当于将维空间的维向量变换为一个维空间的维向量。而对于非列满秩的矩阵，当其作用于线性空间时，变换后的基底将落于同一直线上，此时得到的新空间将较于原空间维数有所降低。

　　在一般的教学过程中，行列式是通过解齐次线性方程组引入高等代数中来的，其在高等代数中应用广泛，如：求解线性方程组的解、求解矩阵的特征值以及判断二次型的正定性等等。行列式是由一些数据排列而成的方阵，通过规定的计算方法，其本质为一个数值。

　　行列式的几何意义有两种解释：“一种解释为行列式是行列式的行或列向量构成的超平面多面体的有向面积或体积；另一种解释是矩阵对应的行列式为线性变换下图形面积或体积的伸缩因子。
 

　　以二阶行列式为例，

　　是平面上以行向量为邻边的平行四边形的有向面积，若该平行四边形是由向量沿逆时针方向转到得到的，则面积取正值，相反则面积取负值。

　　对于三阶行列式而言，
 

　　其值就是对应的三个行向量在空间中形成的平行六面体的体积，当构成右手坐标系时，体积为正；构成左手坐标系时，体积为负。自然的，这可以启发将n阶行列式定义为n个n维平行多面体的有向容积。

　　第二种有关伸缩因子的几何解释与第一种解释并不矛盾且有着相同的几何本质，需要理解的是方阵对应的行列式反映着矩阵的某个特定性质。

　　以矩阵为例，根据矩阵的几何意义，它相当于将原来的基变成了两组基所在图形上所围成的面积分别是1和6，比值为6，而与此同时矩阵的行列式亦为6，由此便可大胆猜测，矩阵的行列式可以看作某个区域在变化过程中的变化倍数。同理，自在高维空间中，变化前后的体积之比即为矩阵所对应行列式的值，对于非满秩矩阵，相当于线性变换后空间维数降低，此时行列式对应值为零。

　　如果能清晰认识到行列式所关联的几何意义，则行列式的几个主要性质也就有了清晰的解释：

　　（1）

　　行列式某一行的公因子可以提出，或者说一个实数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式。

　　几何解释：在平面上，对应平行四边形的一条边延长或缩短另一边不变，其面积扩大或缩小相应倍数。

　　（2）

　　如果行列式中两行对应元素成比例，则行列式为零。

　　几何解释：在平面上，对应的平行四边形的两条邻边共线，显然所围成四边形的面积为零，因此行列式为零。特别的，如果两个行向量或列向量相同，则对应行列式值也为零。

　　（3）

　　将行列式某一行的倍数加到另一行，行列式的值不发生改变。

　　几何解释：在平面上，变化前后的两个行列式对应的平行四边形同底等高，因此它们的有向面积相等，也即行列式的值不变。

　　（4）

　　交换行列式中两行的位置，行列式反号。

　　几何解释：在平面上，相应的平行四边形两条边的位置互换，面积不发生改变，但两条边的位置关系发生变化，行列式符号相反。

　　2.3特征值与特征向量

　　特征值和特征向量是高等代数中的极其重要的内容，也是后续矩阵论研究的重要部分，同时有较强的物理背景，于工程技术和科学研究等领域有着广泛地应用。

　　特征值和特征向量的定义如下：设为阶矩阵，如果数和维非零向量使得关系式成立，那么数称为矩阵的特征值，非零向量称为的对应于特征值的特征向量。

　　该定义相对抽象，教材中也缺少相应的引入部分，使得概念更显突兀。实际上，若从直观的角度对其进行解释并融入特征值和特征向量的应用实例更有利于学生对概念的接受。

　　以二维线性空间为例，对该线性空间施加一个线性变换，仅仅关注它对某一个非零特定向量的作用，由矩阵的几何意义，即相当对向量施加对应矩阵的作用。在二维平面上，该向量张成的空间即一条直线，在经过线性变换后，大概率的可能是该向量会离开它所张成的空间，但也可能存在某些向量在经过线性变换后仍停留在原张成的空间上，矩阵对其的作用仅仅是拉伸或者压缩而已，而拥有这一特性的向量即为该变换的“特征向量”，每个特征向量对应着一个“特征值”，用于刻画特征向量在变换中拉伸或压缩的比例。

　　综上可知，如果矩阵对某些向量只发生伸缩变换，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩比例即为特征值。

　　对于特征值和特征向量的求解，也可借助矩阵和行列式的几何意义进行理解。已知的等式，需要求解使得等式成立的非零向量和数，由于等式左端为矩阵乘法乘积，右端为向量数乘，通过变形可得，变为矩阵与向量的乘积，由矩阵的几何意义可知，当且仅当矩阵所表示的变换将空间压缩到更低维的空间时，才会存在一个非零向量使得矩阵和它的乘积为零向量，而空间压缩由行列式的几何意义可知此时矩阵行列式为零。故特征值的求解关键在于找到数使得矩阵的行列式为零，即求解得特征值。而求解对应特征向量相当于求解线性方程组。

　　关于数学的本质，《中国大百科全书》中描述为：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学”。我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉,形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离”。数和形反映的是事物两方面的属性，而数形结合旨在建立起两者之间的一种对应关系，将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形建立联系，将抽象思维与形象思维结合起来，从而加深对概念的理解，也能同时拓宽解决问题的思路。

　　数形结合是数学研究中的一种重要思想方法，对于学生而言并不陌生，例如在中学数学中常常会利用几何图形解决代数问题，以获得更为直观地理解，在解析几何课程中，也是利用了数形结合思想，用代数方法解决对应的几何问题。而在高等代数的学习过程中，由于本身内容相对复杂，教材的编写也往往忽视了学生的直观理解，导致学生很难仅仅依靠自身找到与内容相对应的直观模型，长此以往便更难有意识地将数形结合的思想融入代数的学习过程当中。

　　如何更好培养学生的数形结合思想，在进行高等代数课程的学习之时，教师在教学设计、教学手段、教学方法等多方面应尽可能地渗透数形结合的思想，这可以帮助学生逐渐养成利用数形结合思想的习惯，从而提高自身的创新意识和能力。

　　数学专业学生本科教育的基础课程包括数学分析、解析几何、高等代数这三门课程，且通常是以三门独立课程的形式进行授课，在整个本科教育阶段占有极其的重要地位同时也占用了很大的教学时间。随着现代科学技术的迅速发展,课程改革作为教育改革的核心环节而受到广泛的重视。高等代数与解析几何作为传统“三基”模式下的其中两门基础课程，其重要程度不言而喻，对这两门课程的改革也是许多教育工作者所关注的问题。长期以来，高等院校都是将高等代数和解析几何这两门课程于大一年级开设并同时讲授，其优点在于授课的结构清晰，条理清楚，然而两门课程之间关系密切，解析几何课程是利用代数方法以解决几何问题，而高等代数中讨论的有限维的线性空间又为几何空间的一种代数抽象，它们的关系是“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”，学生学习高等代数的目的不仅是熟练掌握矩阵运算工具，同时也要学会将向量空间的问题用矩阵的语言来描述，学会理解矩阵运算的几何意义并用此来解决向量空间问题。

　　著名数学家拉格朗日曾经说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄；但当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸收新鲜的活力，从而以快捷的步伐走向完美”，因而将高等代数与解析几何二者进行合理地整合不仅必要而且切实可行。基于上述认识，目前已有越来越多的高等院校数学系尝试将高等代数与解析几何二门课程合成一门新的课程进行学习。

　　两门课程的结合，需要兼备高等代数中高度抽象概括的特点以及解析几何中几何问题代数化的思想，从而才能为抽象的代数问题找到直观的几何背景，这不仅有利于将数学中的“数”与“形”紧密地结合，同时也可培养学生运用几何和代数相结合的方法思考、解决问题的能力，以及抽象思维、空间想象等能力。有利于学生深刻理解知识间的内在联系，从而做到更好地掌握相关知识并运用相关知识。

　　随着计算机图像技术的不断发展，数学实验已日渐成为传统课程教学改革的重要环节。数学实验是一种新型的数学教学模式，这一教学模式的产生也是现代科技发展的必然产物。在实验教学过程中，主要的仪器设备为计算机，通过充分利用计算机的图像、音像功能等优势，将高等代数中具有几何背景的内容通过计算机直观形象地展示出来，为几何直观的实现提供了更好的场所，既可活跃课堂气氛，，也提供给了学生观察数学的新角度，大大拓展学生的数学视野，是实现数形结合的新的手段和机遇。相关的几何问题的代数化处理，代数问题的可视化处理，抽象思维的形象化处理均可极大地激发学生的直观形象思维。